En un estudio sobre la contaminación de una determinada zona, se

En un estudio sobre la contaminación de una determinada zona, se consideran dos tipos de
vertidos, agrícolas e industriales. Denotando por A el suceso presencia de vertidos agrícolas, y
por B el suceso presencia de vertidos industriales, se tienen los siguientes datos:
P  A  B   0'8
P  B   0'6
 B  0'6
P A
a) Calcula la probabilidad del suceso A.
b) ¿Son los sucesos A y B incompatibles?.
Solución
La información que nos da el problema es:
P  A  B   0'8
P  B   0'6
 B  0'6  P  A B  1 P  A B  0'4
P A
 
 
 P  A·P B
A

Como P  A  B   
 P  B ·P A B  0'6·0'4  0'24

Y P  A  B   P  A  P  B   P  A  B   P  A   0'8  0'6  0'24  0'44
Como P  A  B   0'24  0 , A y B no son incompatibles.
Una máquina se encarga de la producción de una pieza muy complicada. El 10% de los días
produce una pieza, el 30% de los días produce 2 piezas, y el 60% de los días produce 3 piezas.
Las piezas producidas se someten a un proceso de control de calidad para comprobar si el
producto final es correcto. Sabiendo que la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0’03
y que las piezas defectuosas aparecen independientemente, calcular la probabilidad de no
obtener piezas defectuosas en un día.
Solución
Es un problema de probabilidad que puede resolverse con la regla de la probabilidad total.
Llamando:
A: la máquina produce una pieza
B: La máquina produce dos piezas
C: La máquina produce tres piezas
P(A) = 0’1
P(B) = 0’3
P( C ) = 0’6
La probabilidad de que la pieza sea defectuosa es 0’03, y dichas piezas aparecen de forma
independiente. Por lo tanto, las piezas serán correctas con probabilidad 0’97, también de forma
independiente.
Llamando D : No obtener piezas defectuosas en un día
Y teniendo en cuenta la definición de independencia de sucesos, puedo calcular las siguientes
probabilidades condicionadas:
 A  0'97
P  D   0'97
B
P  D   0'97
C
P D
Y
tomando
como
partición
A B C  
A B  AC  B C  
las probabilidades son  0
la
formada
2
3
por
los
sucesos
{
A,
B,
C}
Se tiene, en virtud de la regla de la probabilidad total, que:
 A  P  B ·P  D B   P C ·P  D C   0'1·0'97  0'3·0'97
P  D   P  A·P D
2
 0'6·0'973 
 0'9269
En la plantilla de una empresa hay tres operarios encargados de realizar mediciones. Se sabe que
el 10% de las mediciones son incorrectas, que el operario A se encarga del 40% de las
mediciones y el resto se las reparten los operarios B y C a partes iguales. Además, la
probabilidad de que una medición realizada por A sea incorrecta es igual a 0’13 y si la realiza el
operario B esta probabilidad es 0’07. Calcula:
a) La probabilidad de que una medición realizada por C sea incorrecta.
b) La probabilidad de que una medición incorrecta haya sido realizada por el operario A.
Solución
Sea
A: la medición la realiza el operario A P  A  0'4
P  I A  0'13
B: la medición la realiza el operario B
P  B  0'3
P  I B   0'07
C: la medición la realiza el operario C
P C   0'3
P  I C   ???
I: la medición es incorrecta
Tomamos como partición:
a)
P  I   0'1
 A, B, C
P  I   P  A ·P  I A   P  B ·P  I B   P  C ·P  I C 
0 '1  0 ' 4·0 '13  0 '3·0 '07  0 '3·P  I C   P  I C   0 '09
 I   P  A·P  I A  PP CB ··PP  II CB   P C ·P  I C   0'27
b) P C
En cierta región del país, se sabe por experiencia del pasado que la probabilidad de que un
adulto mayor de 40 años tenga cáncer es 0’05. Si la probabilidad de que un doctor diagnostique
de forma correcta que una persona con cáncer tiene la enfermedad es 0’78, y la probabilidad de
que diagnostique de forma incorrecta una persona sin cáncer como si tuviera la enfermedad es
0’006.
a) Calcula la probabilidad de que a una persona mayor de 40 años se le diagnostique
cáncer.
b) Halla la probabilidad de que una persona de más de 40 años a la que se le diagnostica
cáncer realmente tenga la enfermedad.
Solución
Llamando
C : tener cáncer
P  C   0 '05  P  C  0 '95
C : no tener cáncer
P D
 C   0 '78
 C   0 '006
P D
D : estar diagnosticado de cáncer
C C  

Y tomando como partición a los sucesos C , C

C C  
las probabilidades son positivas
a) P  D 
Formula de la
probabilidad total
 D
b) P C

Formula
de Bayes

 C   P C ·P  D C   0'05·0'78  0'95·0'006  0'0447
P  C ·P  D 
0'05·0'78
C

 0'872
P  C ·P  D   P  C ·P  D  0'05·0'78  0'95·0'006
C
C
P  C ·P D
Un profesor se olvida de poner el despertador 1 de cada 10 días en los que tiene clase a la
mañana siguiente. Cuando pone el despertador, hay una probabilidad de 0’1 de que llegue tarde
a clase; mientras que la probabilidad de que llegue tarde a clase es de 0’4 si no se acordó de
poner el despertador.
a) Calcula la probabilidad de que el profesor llegue tarde a clase.
b) Si un día determinado el profesor no llegó tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que
se hubiese olvidado de poner el despertador?.
Llamando
O: Olvida poner el despertador
P  O   0'1  P  O   0'9
O: No olvida poner el despertador
P T
T: llega tarde
 O  0'1  P T O  0'9 .
P T   0'4  P  T   0'6
O
O
O  O  

Tomando como partición O, O O  O  
las probabilidades son > 0

 O  P O·P T O  0'1·0'4  0'9·0'1  0'13
a) P T   P  O·P T
 O

 0'069

 T P O·P T  P O ·P T  0'1·0'60'1·0'6
 0'9·0'9
 O
 O
P  O ·P T
b) P O
A partir de una investigación a nivel nacional, se sabe que, aproximadamente el 10% de los
individuos de alrededor de 50 años de edad sufren un tipo particular de artritis. Para detectar
esta enfermedad, se utiliza un test cuyo resultado es positivo en el 85% de los casos cuando se
aplica en un individuo enfermo. Si el test se pone a prueba con un individuo sano, se obtiene
que el porcentaje de individuos con resultado positivo es del 4%.
a) Se elige una persona al azar de la población considerada y se le aplica el test. ¿Cuál es
la probabilidad de que el resultado sea correcto?.
b) Se elige una persona al azar y se le aplica el test. Si el resultado es negativo, ¿cuál es la
probabilidad de que realmente el individuo no padezca la enfermedad?.
Llamando:
A : tener artritis
P  A   0 '1
A : no tener artritis
P  A   0 '9
P : la prueba da positivo
 A  0 '85  P  P A  0 '15
P P
 A   0 '04  P  P A  0 '96
P P
 A, A
Tomando como partición:

A A  

A A  
las probabilidades son positivas


 A  P  A·P  P A  0'1·0'85  0'9·0'96  0'949
a) P  A  P   P A  P  P  A·P P
 
0'9·0'96
 0'983
 P   P  A·P P  P  AA·P P  0'1·0'15
 0'9·0'96
 A
 A
b) P A
P  A ·P P