Matemáticas

LIBRO PARA EL MAESTRO
MATEMÁTICAS
CUARTO GRADO
M/4/P-001-056.PM7.0
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El Libro para el maestro. Matemáticas. Cuarto grado fue elaborado en la Dirección General
de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal
de la Secretaría de Educación Pública
Coordinación general
Elisa Bonilla Rius
Alba Martínez Olivé
Rodolfo Ramírez Raymundo
Redacción
Víctor Manuel García Montes
Asesoría
Hugo Balbuena Corro
Colaboración
María de los Ángeles Olivera Bustamante
Irma Griselda Pasos Orellana
Coordinación editorial
Elena Ortiz Hernán Pupareli
Diseño
Mauro Calanchina Poncini
Cuidado de la edición
José Agustín Escamilla Viveros
Supervisión técnica
Alejandro Portilla de Buen
Formación
Martín Aguilar Gallegos
Portada
Diseño: Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos,
con la colaboración de Luis Almeida
Ilustración: Matemáticas. Cuarto grado, SEP, 1994.
Presencia núm. III, Fernando García Ponce, acrílico sobre tela, 1972.
Museo de Arte Moderno, México, D. F.
Reproducción autorizada por el Instituto Nacional de Bellas Artes y Literatura
Primera edición, 1994
Segunda edición, 2001
Tercera edición, 2002
Segunda reimpresión, 2004 (ciclo escolar 2004-2005)
D.R. © Secretaría de Educación Pública, 1994
Argentina 28, Centro,
06020, México, D.F.
ISBN 970-18-7719-5
Impreso en México
DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA
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Índice
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Presentación
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Introducción
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Recomendaciones didácticas generales
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Recomendaciones didácticas por eje
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Recomendaciones de evaluación
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Sugerencias bibliográficas para el maestro
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Bibliografía consultada y créditos
de ilustración
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Presentación
En el año escolar 1993-1994 se aplicó
la primera etapa de la reforma de los
planes y programas de estudio de la
educación primaria. En esa etapa el
nuevo currículo entró en vigor en los
grados primero, tercero y quinto, y a
partir del año escolar 1994-1995 se
aplica también en los grados segundo,
cuarto y sexto.
plan y los programas y utilice los nuevos materiales educativos en forma
sistemática, creativa y flexible.
Tradicionalmente la Secretaría de
Educación Pública distribuye los libros para el maestro como un apoyo
al trabajo profesional que se realiza
en nuestras escuelas primarias. La
forma de organización y presentación
de estos libros ha sido modificada. En
el pasado se integraban en un solo
volumen las recomendaciones didácticas correspondientes a todas las
áreas o asignaturas de un grado. A
partir de esta etapa hay libros de menor volumen para cada asignatura de
un grado o, excepcionalmente, para
una pareja de asignaturas interrelacionadas estrechamente.
Al mismo tiempo que se reformaron los planes y programas de estudio
se inició la renovación de los libros de
texto gratuitos que el gobierno de la
República entrega a todos los alumnos de las escuelas primarias del país.
Con objeto de asegurar el conocimiento preciso del nuevo currículo, se
ha enviado a todos los maestros y
directivos escolares un ejemplar del
libro Plan y programas de estudio. Educación básica. Primaria, en el que se describen los propósitos y contenidos de
la enseñanza de cada asignatura y grado y del ciclo en su conjunto.
Esta nueva organización del Libro
para el maestro tiene como propósito
facilitar su manejo, actualización y
mejoramiento, así como proporcionar
material de estudio adecuado para los
maestros que deseen profundizar en
la enseñanza de una asignatura, a lo
largo de todo el ciclo de la educación
primaria.
La reforma del currículo y los nuevos libros de texto tiene como propósito que los niños mexicanos adquieran una formación cultural más sólida
y desarrollen su capacidad para aprender permanentemente y con independencia. Para que esta finalidad se cumpla es indispensable que cada maestro
lleve a la práctica las orientaciones del
La nueva presentación integra abundantes propuestas para la enseñanza
de los contenidos y la utilización del
libro de texto y otros materiales educativos de cada asignatura y grado
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escolar. Adicionalmente, los maestros
recibirán el Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Cuarto grado y podrán consultar el Avance programático.
Cuarto grado. Educación básica. Primaria, recurso auxiliar para planear y
organizar la secuencia, dosificación y
articulación de contenidos y actividades de enseñanza.
El Libro para el maestro. Matemáticas.
Cuarto grado, además de ser un recurso
práctico para apoyar el trabajo en el
aula, se ha concebido como un medio
para estimular y orientar el análisis
colectivo de los maestros sobre su materia de trabajo, ya sea que se realice de
manera informal o como actividad del
Consejo Técnico. Igualmente, el libro
será material básico de actividades y
cursos de actualización profesional.
Este Libro para el maestro. Matemáticas. Cuarto grado no tiene una finalidad directiva ni es su pretensión indicar a los profesores, de manera rígida
e inflexible, lo que tienen que hacer en
cada clase o en el desarrollo de cada
tema. El contenido del libro y su presentación parten de reconocer la creatividad del maestro y la existencia de
múltiples métodos y estilos de trabajo docente. Por esta razón, las propuestas didácticas son abiertas y ofrecen
amplias posibilidades de adaptación
a las formas de trabajo del maestro, a
las condiciones específicas en las que
realiza su labor y a los intereses, necesidades y dificultades de aprendizaje
de los niños.
Los planes y los programas de estudio, los libros de texto gratuitos y otros
materiales didácticos, destinados a los
maestros y a los alumnos, son instrumentos educativos que deben ser corregidos y mejorados con frecuencia y
sistemáticamente, a la luz de los resultados que se obtienen al utilizarlos en la
práctica. Es por ello que la Secretaría de
Educación Pública reitera la atenta invitación hecha a los profesores de educación primaria para que envíen a esta
dependencia sus opiniones y recomendaciones relativas al mejoramiento de
los instrumentos educativos mencionados y en particular del presente libro.
Secretaría de Educación Pública
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Introducción
La formación matemática que permi-
ritmos usuales y la habilidad para resolver diversos problemas se apoya
firmemente en la evolución de los conocimientos previos. La evolución de
éstos se dará en la medida en que el
maestro proponga diversos retos a sus
alumnos. El papel del maestro es fundamental como mediador entre los
saberes de los alumnos, las situaciones de aprendizaje y el conocimiento
matemático que tiene rango social.
ta a cada miembro de la comunidad
enfrentar y dar respuesta a los problemas matemáticos que se presentan en
la vida moderna dependerá en gran
medida de las habilidades y nociones
desarrolladas durante la educación primaria, así como de los conocimientos
construidos dentro y fuera de la escuela. El tipo de experiencias que tengan
los niños durante el proceso de enseñanza, estudio y aprendizaje de las
matemáticas en la educación primaria, determinará también las actitudes
que asuman ante los problemas que
requieran el uso de esta disciplina.
Por tanto, las situaciones de aprendizaje que los maestros pueden proponer
constituyen la materia prima necesaria
para generar hipótesis, estrategias y
procedimientos por parte de los alumnos. Dada la dificultad para diseñar
diversas situaciones de aprendizaje, los
maestros de educación primaria cuentan con un repertorio importante en los
libros de texto gratuitos y en los ficheros de actividades didácticas.
El Plan y programas de estudio. Educación básica. Primaria plantea estudiar
en las aulas una matemática que permita a los alumnos construir conocimientos a través de la resolución de
situaciones problemáticas que despierten su interés y su deseo de búsqueda
de soluciones. Paralelamente, la propuesta pretende ofrecer a los alumnos
la oportunidad de desarrollar habilidades para estimar, medir, comunicar
(de manera oral y escrita), operar (mentalmente y con los algoritmos usuales)
para hacer inferencias y generalizaciones. Asimismo, se pretende que el
alumno disfrute al hacer matemáticas, desarrollando su creatividad e
imaginación.
Propósitos generales
del grado
Con fundamento en este enfoque se
espera que, a lo largo del cuarto grado,
el alumno logre obtener experiencias
significativas en las que:
• Desarrolle la habilidad para leer, escribir, ordenar, ubicar en la recta
numérica y comparar números naturales hasta de cinco cifras y números decimales hasta centésimos.
La comprensión y uso de conceptos
matemáticos, el dominio de los algo7
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MATEMÁTICAS
• Desarrolle estrategias para estimar y
calcular mentalmente el resultado
de problemas de suma, resta y multiplicación.
• Adquiera, a través de la comparación de giros, la noción de ángulo y
la capacidad para medirlos en fracciones de vuelta o en grados.
• Desarrolle la capacidad para reconocer, plantear y resolver problemas que impliquen el algoritmo de
las cuatro operaciones fundamentales. En el caso de la división, con
divisores hasta de dos cifras.
• Desarrolle la habilidad para elaborar e
interpretar croquis y representar puntos y desplazamientos en el plano.
• Desarrolle la habilidad en el manejo
de diferentes instrumentos de geometría para trazar líneas paralelas y
perpendiculares, figuras, ejes de simetría y desarrollos planos de cuerpos geométricos.
• Resuelva problemas que impliquen
el uso de fracciones en situaciones
de reparto, medición, comparación,
equivalencia u orden.
• Use las tablas de variación proporcional directa en la resolución de
problemas.
• Resuelva problemas que impliquen
el uso y equivalencia de unidades de
longitud, peso, superficie, capacidad
y tiempo para profundizar en el estudio del Sistema Métrico Decimal.
Juan Francisco Ríos
• Desarrolle la capacidad de recolectar, organizar, comunicar e interpre-
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CUARTO GRADO
tar información que provenga de encuestas, tablas, gráficas, pictogramas,
etcétera.
• Adquiera la capacidad de estimar
los resultados de diferentes juegos
de azar, utilizando los términos “más
probable que” y “menos probable
que”, los registre y los organice en
tablas de frecuencias.
Los contenidos de Matemáticas, a lo
largo de la educación primaria, se han
organizado alrededor de seis ejes:
• Los números, sus relaciones y sus
operaciones
Juan Francisco Ríos
Organización
de los contenidos
deban tratarse de manera aislada o
independiente. Ha de buscarse sistemáticamente la interrelación entre los
contenidos correspondientes a cada
uno de los diferentes ejes. Cabe señalar, por otra parte, que tal interrelación debe tratar de hacerse de manera natural sin forzar la incorporación
de otros contenidos.
• Geometría
• Medición
• Tratamiento de la información
• Procesos de cambio
• La predicción y el azar
Por ejemplo, en la actividad que
consiste en trazar figuras con igual
perímetro, pero diferente área (véase la lección “Hilaza para el contorno”, p. 42) se trabajan varios contenidos: la medición con el centímetro
cuadrado, la multiplicación y el trazo y manejo de formas geométricas,
entre otros.
En cuarto grado se introducen contenidos correspondientes al eje “Procesos de cambio”, los cuales se tratarán con mayor profundidad en los
siguientes grados de la educación primaria.
La organización por ejes no significa que los contenidos de cada uno
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MATEMÁTICAS
Recomendaciones didácticas generales
de actividades realizadas a lo largo de
una o varias sesiones.
Para
que las matemáticas puedan
disfrutarse, su enseñanza debe incluir
informaciones y aplicaciones útiles e
interesantes para el niño. Al enseñar
matemáticas no sólo se pretende promover aprendizajes significativos, sino
también fomentar el gusto por esta
asignatura. Esta nueva presentación
de la matemática está más cerca de los
intereses infantiles; es una matemática atractiva y lúdica, pero también útil
y significativa.
El papel del profesor en la
enseñanza de las matemáticas
La participación del profesor es esencial para el éxito de esta propuesta. Es
el organizador, el coordinador de las
actividades, el que orienta a los alumnos en las dificultades, quien sugiere
fuentes de información y da apoyo
adicional cuando es necesario.
Con base en esta idea se trabaja a
partir de situaciones propias de la
cultura infantil, presentando una matemática más cercana al niño. Los animales y las plantas, los juegos, la lectura, los libros y el periódico infantil
–entre otros– son soporte y contexto
de los contenidos matemáticos. Por lo
mismo, se han incorporado noticias
periodísticas, notas deportivas, sorteos, anuncios, carteles, datos sobre
animales, plantas y fenómenos naturales. El objetivo es que, paralelamente
al aprendizaje de las matemáticas, los
niños manejen información diversa y
se interesen por indagar sobre temas
de otras asignaturas o intereses personales que apenas se tocan.
Sin el apoyo del profesor en la lectura, algunas páginas del libro de texto
probablemente resulten incomprensibles para el niño. Un ejemplo de esto
son las lecciones dedicadas al algoritmo de la multiplicación y al de la división (véase Matemáticas. Cuarto grado,
pp. 34, 60, 104 y 108). Puede decirse
que estas lecciones requieren especialmente de la participación directa del
profesor. Con base en ellas puede,
como mediador del diálogo con el libro, ayudar a los niños a entender los
algoritmos y otras nociones asociadas
a la multiplicación y a la división.
La actividad central del maestro en
la enseñanza de las matemáticas va
mucho más allá de la transmisión de
conocimientos, definiciones y algoritmos matemáticos:
Por esta razón en el libro del alumno
no aparecen definiciones formales;
éstas son, en todo caso, la conclusión
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• Selecciona problemas matemáticos
que sean adecuados para propiciar
el aprendizaje de los distintos contenidos.
como la promoción y enriquecimiento
de las concepciones iniciales del alumno, mediante un proceso que, a través
de la presentación de situaciones concretas, lo llevan a abandonar, modificar o enriquecer dichas concepciones,
y a acercarse paulatinamente al lenguaje y los procedimientos propios de
las matemáticas, sin olvidar que dicho
proceso es largo y complejo.
• Elige actividades para favorecer que
los alumnos pongan en juego los
conocimientos matemáticos que poseen, graduándolas de acuerdo con
su nivel.
• Propone situaciones que contradigan las hipótesis de los alumnos,
favoreciendo la reflexión sobre los
problemas y la búsqueda de nuevas
explicaciones o procedimientos que
los aproximen hacia la formalización
de los conocimientos matemáticos.
Los conocimientos previos y los procedimientos iniciales de los niños en la
resolución de problemas deben ser, en
el discurso y en los hechos, el punto de
partida para avanzar en la construcción de nuevos conocimientos.
• Promueve y coordina la discusión
sobre las ideas que tienen los alumnos acerca de las situaciones que se
plantean, mediante preguntas que
permitan conocer el porqué de sus
respuestas.
La resolución de problemas
y la adquisición
de conocimientos significativos
Con el propósito de que los alumnos
aprendan matemáticas a través de la
resolución de problemas, se pide a
los niños que los resuelvan utilizando sus propias estrategias y recursos,
sin imponerles restricciones ni indicarles caminos precisos; como el algoritmo convencional. Cuando los
alumnos tienen libertad para buscar
la manera de resolver un problema,
utilizando las operaciones que conocen o con otros procedimientos (con
material, dibujos, cálculo mental,
etcétera), por lo general encuentran,
al menos, una forma de aproximarse
a la solución. Dichas estrategias se
deberán dar a conocer al grupo para
determinar cuáles llevaron a la solución del problema y cuáles no. Comparar las estrategias pertinentes
favorece que los alumnos observen
Los conocimientos previos
de los niños
La enseñanza de las matemáticas basada en la resolución de problemas se
apoya en la idea de que los niños tienen,
además de los conocimientos aprendidos en la escuela, conocimientos adquiridos en la calle, en la casa, en los
juegos, etcétera, que les permiten solucionar problemas diversos.
Al resolver las situaciones que el
maestro les presenta, los niños utilizan
los conocimientos y concepciones construidos previamente. Por ello, la enseñanza de las matemáticas se entiende
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Es probable que después de que se
les haya enseñado el procedimiento
usual, los alumnos continúen utilizando sus estrategias con las que los
han resuelto. Es recomendable permitírselos y después recordarles que
también pueden resolverse con el procedimiento convencional enseñado.
Poco a poco, en la medida en que los
alumnos comprendan este último
procedimiento se apropiarán de él y
lo utilizarán para resolver problemas.
Mediante este proceso se espera que
las expresiones matemáticas y los
algoritmos de cálculo convencionales tengan sentido y sean de utilidad
para los niños.
Juan Francisco Ríos
que unas son más sencillas que otras,
es decir, más económicas, y que éstas
les permiten llegar con mayor facilidad a la solución del problema. De
manera paulatina, a través del diálogo entre los compañeros, el maestro
y el libro de texto, los niños evolucionarán en sus procedimientos de solución,
aproximándose a los procedimientos
convencionales. Posteriormente, el
maestro deberá proponer el procedimiento convencional como una forma más económica para encontrar la
solución.
posibilidad de resolver problemas con
sus propios recursos facilitará al estudiante desarrollar su capacidad de razonamiento.
Es importante señalar que al permitir a los niños usar sus propias
estrategias no sucede que cada uno
utilice una estrategia diferente y que,
por lo tanto, el maestro tenga que
conciliar 30 o 40 procedimientos distintos para cada problema. Los estudios realizados al respecto muestran
una regularidad en los recursos que
los niños utilizan. Es decir, no aparecerán más que un número manejable
de estrategias de resolución que obedecen al momento de desarrollo conceptual en el cual los niños se encuentran.
De acuerdo con lo anterior, para
llegar al procedimiento usual de cada
una de las operaciones aritméticas, los
niños deben resolver primero diversos problemas mediante sus propios
recursos; éstos implican la búsqueda
creativa de variados caminos, ensayos
y errores. Este acercamiento paulatino
a los algoritmos convencionales permitirá al alumno comprenderlos, cuando se enfrente a ellos. Por otra parte, la
Por otra parte, la discusión misma
les permitirá adoptar aquellas estrate12
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gias utilizadas por sus compañeros
que consideren mejores. Interrogantes
como: ¿qué forma de resolver este
problema les gustó más? ¿Con cuál
procedimiento pueden resolver más
rápido el problema?, son cuestionamientos clave que el maestro puede
formular para promover la comparación de estrategias y llevar a los niños
a seleccionar las que les parezcan más
económicas.
• Que responda a una necesidad o interés del niño.
• Que despierte el interés de búsqueda para resolverlo.
• Que pueda expresarse en varios lenguajes (aritmético, geométrico, gráfico, etcétera) y que sea posible la
traducción de uno a otro.
• Que su grado de dificultad no sea
tan alto como para desanimar a los
alumnos.
Es recomendable que el maestro
proponga también problemas que tengan diferentes respuestas correctas,
con el propósito de que los alumnos
no se acostumbren a resolver sólo problemas con respuestas únicas (véase,
por ejemplo, “El puesto de tortas”,
libro de texto, p. 180).
• Que a veces los problemas tengan
más de una respuesta correcta.
Desde esta perspectiva la resolución de problemas es fuente y criterio
de verdad de los conocimientos para
el niño. Se aprende al resolver problemas nuevos porque se construyen conocimientos para poder hacerlo; se
aprende también cuando se aplican
los conocimientos a situaciones diversas porque se abstrae y se generaliza el
Juan Francisco Ríos
Antes de presentar o redactar un
problema es importante que el maestro tenga claro qué propósito se persigue. Por otro lado, debe asegurarse
que el problema cumpla con determinadas condiciones:
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saber anteriormente construido. Es ahí
donde se muestra la solidez y validez
de los conocimientos.
El diálogo, la confrontación y el convencimiento deben prevalecer en el
proceso educativo. Aprovechar los
momentos en los que los alumnos resuelven alguna situación problemática con procedimientos propios y no
convencionales para comunicarlo al
resto del grupo es una tarea que se debe llevar a cabo todos los días. El hecho
de explicar los procedimientos permite que sea el propio niño quien convenza a los otros de su validez, sin que
deba esperar una respuesta externa
que apruebe sus acciones, lo que contribuye a fortalecer la seguridad del
alumno. El maestro también debe tener en cuenta que no todas las respuestas de los niños son correctas, por
lo que es necesario analizar tanto los
procedimientos que llevan a una solución acertada como los que no.
El diálogo y la interacción
en la clase de matemáticas
Ésta es una propuesta para dialogar
con el compañero de banca, con los
compañeros de equipo, con el maestro
y para interactuar con la información
escrita y con las ilustraciones del propio libro o de otras fuentes. Se aprende
más y más rápidamente si se dialoga
con los compañeros y con el maestro.
Escuchar las opiniones de los demás,
preguntar, refutar, comparar y argumentar redunda en beneficio de alumnos y maestros. El grupo es una instancia educadora, y el texto, material
fundamental con que se cuenta en las
escuelas, promueve desde sus páginas el diálogo, la confrontación y el
aprendizaje en grupo.
Es formativo, para clarificar la naturaleza del error, que el alumno sepa
por qué con determinados procedimientos no es posible resolver el problema. Esto se puede lograr si el maestro propicia un clima para que los
niños expliquen la lógica de sus estrategias, identifiquen sus errores y los
corrijan. Este proceso ayuda a disminuir la frustración que genera el no
resolver correctamente un problema
matemático.
En la construcción de conocimientos, la interacción entre compañeros y
alumnos con el maestro juega un papel fundamental. La confrontación de
estrategias y respuestas ayuda a los
niños a percatarse de que puede haber
mejores formas para solucionar un
problema determinado; también permite ayudar a los compañeros menos
avanzados en el proceso de aprendizaje, así como a los más adelantados, a
verificar respuestas y enriquecer conocimientos. Se espera que en este
diálogo el niño construya los conocimientos y desarrolle las habilidades
matemáticas planteadas para el cuarto grado.
El maestro, entonces, debe considerar que durante la enseñanza y el
aprendizaje hay tres momentos en el
planteamiento de un problema o actividad:
• Cuando el maestro organiza a su
grupo en equipos, en parejas o de
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manera individual y en el que se
plantea la actividad.
Juan Francisco Ríos
• Cuando los niños se hacen cargo del
problema, es decir, en el momento
en que los alumnos realizan las acciones que consideran pertinentes
para resolverlo y en el que el maestro
observa cómo lo hacen.
• Cuando se discuten, se validan, se
socializan los procedimientos encontrados por los alumnos y se analizan
sus ventajas y sus desventajas.
consignas incluidas en las lecciones,
como “Compara tu procedimiento o tu
resultado con tus compañeros”, “Organízate en equipo” o “Trabaja con un
compañero” se incorporan porque la
dificultad o la novedad de la tarea hacen
necesaria la ayuda mutua, el intercambio de puntos de vista y la conjunción de
ideas para promover el aprendizaje colectivo y la reflexión individual.
El uso del libro de texto
y las fichas didácticas
Los materiales con los que el maestro
cuenta para trabajar en el transcurso
del año escolar son: el libro para el
maestro, el libro de texto, un fichero de
actividades didácticas y el avance
programático.
El libro del alumno ayuda al profesor a organizar la clase porque contiene los elementos básicos para apoyar
el proceso de construcción de cada
concepto. Es decir, en cada lección se
presenta una situación problemática a
partir de la cual se derivan actividades, preguntas, discusiones, simbolizaciones y ejercicios de aplicación que,
en conjunto, permiten lograr los propósitos del tema en cuestión.
Las situaciones problemáticas que
se plantean en el libro no presentan
explicaciones de cómo resolverlas o
definiciones conceptuales, pues su
propósito es que los alumnos, de manera individual, por grupos o en parejas, aborden las lecciones de acuerdo
con las consignas señaladas, para que
busquen estrategias de solución, discutan y reflexionen sobre sus procedimientos que, finalmente, los llevarán
al conocimiento deseado.
Las ilustraciones del libro de texto
juegan un papel fundamental para la
solución de ejercicios y problemas, por
lo que el alumno deberá entender que
no son únicamente decorativas y tendrá que aprender a interpretarlas. Las
Además, las actividades propuestas
en las fichas didácticas son sugerencias
complementarias que apoyan y enriquecen la propuesta contenida en el
libro del alumno, mismas que el maestro podrá utilizar cuando lo considere
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necesario –porque hay que reforzar
algún tema o porque las actividades
incorporadas en el libro no son suficientes– antes o después de tratar algún tema, adaptarlas y proponer otras
actividades que el propio maestro considere pertinentes.
ron que realizar dichas acciones con el
material. En cambio, si plantea el problema, les entrega el material y les da
libertad de usarlo como ellos consideren conveniente para encontrar la solución, los niños pondrán en juego sus
conocimientos sobre la situación planteada, echarán mano de experiencias
anteriores y utilizarán el material como
un recurso que les ayude a resolver los
problemas.
En el avance programático se sugiere una forma de integrar las actividades de ambos materiales; el maestro
debe tomar en cuenta que hay algunas
lecciones que introducen al tema y
otras que requieren de actividades
previas, como las que se sugieren en
las fichas didácticas.
En muchas de las actividades que
realizan los niños de cuarto grado, el
material concreto es necesario. Algunas veces lo utilizan como un instrumento que permite buscar, construir y
llegar a la solución de un problema.
Éste es el caso de las secuencias planteadas para la medición de longitudes
usando fracciones, cuya comprensión
y manejo sería prácticamente inaccesible sin el apoyo del material concreto
(véase, por ejemplo, “La tienda del
pueblo”, p. 14).
En cualquiera de los dos casos el
libro de texto contiene los puntos clave del proceso de aprendizaje. Al maestro le corresponde iniciar, adaptar o
ampliar la secuencia propuesta en el
libro, utilizando las actividades y problemas propuestos en las fichas.
Importancia del uso
de material concreto
En otras ocasiones el material es un
instrumento que permite verificar las
hipótesis y soluciones anticipadas por
los niños, por ejemplo, cuando se utiliza para comprobar si la estimación
del resultado de un cálculo o una medición son o no correctos. En este sentido, el papel del material concreto es
fundamental, dado que uno de los
propósitos de la educación primaria
es que los alumnos desarrollen la habilidad para calcular, estimar y verificar
sus resultados.
Si bien el empleo de material concreto
en los primeros grados es indispensable, en cuarto grado también es muy
importante para continuar con la construcción o el desarrollo de muchos
conocimientos matemáticos.
Generalmente se asocia la palabra
actividad a la manipulación de objetos. Si para resolver un problema el
maestro entrega el material a los alumnos y les indica la manera en que deben utilizarlo aprenderán a seguir instrucciones, pero muy probablemente
no podrán comprender por qué tuvie-
La mayor parte del material que se
utiliza durante el año se ha incorporado
en el libro de texto. Éste está compuesto
por 19 recortables y puede completarse
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con corcholatas de colores, semillas, etcétera. De este modo, cuando el maestro lo necesite, tendrá el material suficiente para desarrollar su curso. Se
sugiere que el profesor solicite ayuda a
los padres de familia cuando la tarea de
recortar sea difícil para los niños. También será conveniente guardar el material en un sobre o en una bolsa con el
nombre de cada alumno. La intención
es que se conserve todo el año y pueda
utilizarse cuantas veces sea necesario.
problemas sean más interesantes, reales y atractivos para los niños. Asimismo, permitirá relacionar la matemática con otras asignaturas del plan
de estudios.
Por ejemplo, pueden establecerse
relaciones con Geografía a través de
la lectura y la elaboración de croquis
y mapas; con Historia, mediante el
cálculo de los años que han transcurrido desde determinado acontecimiento al elaborar la “línea del tiempo”; con Ciencias Naturales, a partir
de situaciones basadas en datos referentes a los hábitos, la alimentación o
el peso de algunos animales y además
apoyará la lectura, actividad fundamental en la formación de los niños
propia de Español y, desde luego, en
el aprendizaje de las matemáticas.
Otros materiales que el maestro
debe utilizar para el desarrollo de los
temas son: periódicos, revistas infantiles, los Libros del Rincón editados
por la Secretaría de Educación Pública u otros, como fuentes de situaciones para el trabajo matemático. El uso
de estos materiales ayudará a que los
4. LA TIENDA DEL PUEBLO
3
En la tienda del pueblo hay de todo un poco, así,
El dueño de la tienda dice que el clavo dibujado abajo mide 1 + 14 de tira. Utiliza el procedimiento
de Rosa para encontrar la tira con la que se midió el clavo y táchala.
las personas no tienen que ir tan lejos para comprar
lo que necesitan.
Tira A
1
Tira B
Don Rodolfo encargó unos clavos a su sobrino Juan, le dio dinero para comprarlos y una
tira de papel para medirlos.
Tira C
La tira era de este tamaño:
4
Según el dueño de la tienda, la broca mide 1 + 18
de tira. ¿Cuál de las tres tiras usó para
medir?
En la tienda Juan pidió clavos de tres tamaños:
El dueño de la tienda le mostró
de una tira
clavos de varios tamaños para
de media tira
que Juan escogiera.
de una tira más un medio de tira
Tira A
Tira B
Tira C
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Averigua cuánto miden el clavo, el tornillo y la broca, usando como unidad de medida la
siguiente tira.
UNIDAD DE MEDIDA
Marca los clavos que debió escoger Juan.
2
Observa cómo algunos niños encontraron los clavos que debió escoger Juan.
Yo marqué la longitud de la tira
en la orilla de una hoja de papel
y así pude medir los clavos.
Yo hice una tira igual a la
que está dibujada y la
doblé en cuatro partes
iguales para medir.
¿Cuánto mide el clavo?
Yo nada más al tanteo
vi cuáles eran.
¿Cuánto mide el tornillo?
¿Cuánto mide la broca?
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El dibujo de abajo es una tira dividida en partes iguales.
¿En cuántas partes está dividida?
1
Colorea de rojo 12 de la tira, de azul 14 de la tira, de verde 18 de la tira y de amarillo 16
Y tú, ¿cómo supiste cuáles clavos debió escoger Juan?
Comenta tu respuesta con otros compañeros y con tu maestro.
14
de la tira.
Rosa
Flor
Ramón
¿Qué parte de la tira quedó sin colorear?
17
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Recomendaciones didácticas por eje
Los números, sus relaciones
y sus operaciones
mil o el dos mil? ¿Cuál va antes del ...?
¿Cuál va después del...?
Las respuestas a preguntas como
éstas, así como su discusión, permitirá
al maestro conocer el rango de números que sus alumnos manejan oralmente o por escrito y, además, iniciar
el trabajo con números a partir de sus
experiencias y de sus conocimientos.
Los números naturales
Este eje tiene como uno de sus objetivos centrales el estudio y uso del sistema de numeración decimal. El rango
que se trabaja en el cuarto grado es el
de las decenas de millar. Para el trabajo en esta dirección el maestro deberá
tener en cuenta que, con frecuencia,
los niños conocen los números más
allá de lo que han aprendido en la
escuela, debido a que los utilizan
funcionalmente.
En esta etapa también es importante
promover que los alumnos identifiquen números y reflexionen sobre los
Para iniciar el trabajo con la numeración se sugiere promover el reconocimiento y uso de los números que los
niños conocen, a través de preguntas
como: ¿qué números conoces? ¿Dónde has visto números? ¿Qué números
sabes escribir? ¿Cuál es el número más
grande que conoces? ¿Cuál es el más
pequeño? ¿Qué número va primero, el
Juan Francisco Ríos
Se parte de la idea de que los alumnos reconocen y usan los números en
rangos mayores a los previstos en la
escuela para resolver situaciones y problemas que se les presentan en las
diversas actividades que desarrollan
en sus juegos y en sus compras.
18
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CUARTO GRADO
que ven en los precios, los anuncios,
los domicilios, el periódico, las placas
de los autos, etcétera. Es decir, se trata
de que manejen los números y reflexionen sobre ellos en situaciones en las
que son útiles.
apoyar dicha tarea, a continuación se
proporcionan al maestro algunas sugerencias generales que pueden realizarse a lo largo del año escolar.
El uso del tablero
Con base en esta idea, en los primeros bloques el trabajo sobre esta temática se inicia con la lectura de números
en situaciones que les den significado,
por ejemplo, en “El sorteo” y “Cuadros y números”, páginas 12 y 50.
A partir de la lectura de los números
que aparecen en precios, anuncios, etcétera, se realiza un primer trabajo de
comparación, ordenación, identificación y descomposición de números.
Paulatinamente se logrará una ordenación más sistemática –y con rangos
más amplios– de la serie numérica.
El tablero (véase la página 25 de este
libro) es un material que puede ser
elaborado por los alumnos; se sugiere
utilizarlo para representar números,
para conocer y estudiar la serie numérica y el valor posicional de las cifras,
así como para desarrollar la habilidad
del cálculo mental en los alumnos.
El uso del tablero puede hacerse
más interesante a medida que avanza
el año escolar si las preguntas o consignas a partir de las cuales se trabaja
se van haciendo cada vez más complejas.
La construcción de series numéricas
cortas, orales y escritas son también
actividades en las que se pueden hacer
reflexiones interesantes. Por ejemplo:
señalar como punto de partida el número 20 000 y solicitar a los niños escribir los 10 números que van antes y
los 10 números que van después; esto los hará reflexionar sobre los principios que subyacen a la escritura de dichos números. La elaboración de series
con intervalos amplios (como podría ser
contar de 50 en 50, de 100 en 100, de 250
en 250, de 500 en 500, de 1000 en 1000,
etcétera) permitirá observar otras regularidades en la serie numérica.
En este grado las fichas para representar a los números en el tablero no
tienen color diferente como en los grados anteriores; la intención es que el
alumno se dé cuenta de que el valor del
número es por el lugar que ocupa y no
por el color que tiene; es probable que
en el transcurso del año se abandone el
uso de este material, pero será el avance
y dominio del tema por parte de los
alumnos lo que marcará la pauta para
dejar a un lado estos materiales.
Representación
de números mediante
monedas y billetes
En síntesis, se propone que a lo largo del año los niños manejen significativamente los números, hasta de cinco cifras, sin necesidad de hacer series
numéricas largas y aburridas. Para
El uso de material concreto para representar cantidades favorece que los
19
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19
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Juan Francisco Ríos
MATEMÁTICAS
alumnos entiendan la regla de cambio
“diez por uno” del sistema de numeración decimal y, a la vez, favorece la
comprensión del valor relativo de las
cifras contenidas en un número.
las lecciones y de la resolución de problemas. Una vez que el niño ha comprendido lo que se desea al plantear
un problema, se le debe conducir hacia la estimación del resultado o pedirle que haga el cálculo mental, sin olvidar que tanto la estimación como el
cálculo mental sólo adquieren sentido
si el niño los compara con el resultado
exacto del problema planteado.
En la lección “Cajeros y clientes”,
página 104, los alumnos trabajan diversos aspectos que implican el aprendizaje de los números, además de las
equivalencias propias y naturales que
se trabajan en contextos de dinero.
Dentro del sistema decimal de numeración se manejan diferentes maneras
de representar el mismo número y se
continúa con la secuencia didáctica de
actividades orientadas al estudio del
algoritmo de la división.
La frecuencia con la que se practique este tipo de cálculos permitirá,
entre otras cosas, que el alumno discrimine un resultado lógico de otro que
no lo es y genere procedimientos propios cuando lleve a cabo operaciones
por vías distintas a los algoritmos convencionales.
Estimación de resultados
y cálculo mental
Solicitar a los niños el cálculo mental aproximado de operaciones o problemas y después verificar sus resultados realizando cálculos escritos o
utilizando la calculadora puede ser
una forma habitual de trabajar. Por
ejemplo, se pueden plantear algunas
La anticipación de resultados, así como
el cálculo mental son actividades que
deberán desarrollarse durante todo el
año, ligadas al desarrollo específico de
20
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20
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CUARTO GRADO
preguntas como las siguientes para
estimar el resultado de un problema
que implique multiplicar 12 × 8: ¿cuál
creen que será el resultado? ¿Será más
de 100 o menos de 100? ¿Estará entre
100 y 150, o entre 150 y 200?
Por último, los alumnos deberán
resolver la operación para verificar
sus resultados.
Es conveniente proponer a los alumnos la búsqueda de errores para posteriormente discutirlos en clase, argumentando en qué consiste el error
(véase la página 26 de este libro).
Después de esta etapa de estimación puede indicarse a los alumnos
que calculen mentalmente el resultado exacto. Por ejemplo, sin multiplicar
directamente por 8. Es conveniente,
después del ejercicio, registrar las diferentes maneras que surgieron del
grupo y discutir la estrategia utilizada
en cada caso; este ejercicio es sumamente interesante por los resultados
que arroja:
El conteo
de cantidades grandes
El conteo, y en particular el conteo de
cantidades grandes de objetos, es una
actividad importante para desarrollar
la intuición sobre los números e ideas
claras acerca de su magnitud. Pedirle
a los niños que cuenten la cantidad de
corcholatas que hay en una caja, la
cantidad de garbanzos que contiene
un frasco, etcétera, les permitirá tener
una idea más precisa de lo que es una
centena, un millar, cinco mil, diez mil,
etcétera. Los niños probablemente
empezarán a contar “de uno en uno”,
pero, a medida que avancen, se darán
cuenta de que es mejor buscar otras
estrategias para contar, por ejemplo,
hacer grupos y sumar la cantidad que
tiene cada grupo.
12 × 8 = 12 × 4 × 2
Juan Francisco Ríos
12 × 8 = 12 × 10 – 12 × 2
La realización frecuente de actividades como las que se acaban de señalar permitirá al maestro llevar a sus
alumnos a la comprensión de la magnitud de los números y del sistema decimal con el que los representamos. El
profesor encontrará en el libro del niño
(véase, por ejemplo, “Un montón de
lentejas”, p. 24) y en el fichero de actividades algunas sugerencias para el
desarrollo de estas nociones.
21
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21
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MATEMÁTICAS
El uso de la calculadora
en la escuela primaria
Algunas de las actividades del fichero permiten indagar los conocimientos previos de los alumnos acerca de los números, favorecen el
aprendizaje de la serie numérica oral
y escrita y de las operaciones de suma
y resta. Otras propician el cálculo mental y la estimación de resultados, mismos que se verifican con el auxilio de
la calculadora.
El uso de la calculadora se ha restringido en la escuela primaria, entre otras razones por el temor de los
maestros y padres de familia de que
este instrumento evite que los niños
aprendan a efectuar (sin calculadora) las operaciones básicas. Sin embargo, numerosas experiencias en
el ámbito de la investigación en didáctica de las matemáticas han podido constatar que el uso controlado
de la calculadora en ciertas actividades
específicas, lejos de obstaculizar el
aprendizaje lo favorece. Por ejemplo, permite:
¿Cómo trabajar las actividades
con la calculadora?
Es conveniente que antes de aplicar las
actividades, el maestro las experimente usando diferentes tipos de calculadoras, pues no todas funcionan de la
misma manera. Por ejemplo, con cualquier calculadora es posible construir
sucesiones numéricas de 1 en 1, de 2 en
• Plantear problemas cuya finalidad
es que los alumnos establezcan relaciones adecuadas entre los datos y
seleccionen, de manera autónoma,
la o las operaciones con las que pueden resolverse.
• Verificar resultados obtenidos mediante el cálculo mental o escrito.
Resolver problemas que requieren
efectuar muchas operaciones o cálculos numéricos engorrosos. Por lo anterior, en algunas lecciones del libro de
texto (véanse las páginas 17, 35, 93 y
181) y en las fichas 7, 12 y 40 del Fichero.
Actividades didácticas. Matemáticas.
Cuarto grado se incorporaron situaciones en las que se sugiere utilizar la
calculadora.
Juan Francisco Ríos
• Inferir los procesos que sigue la
calculadora a partir del análisis de
las teclas que se oprimen y de los
resultados que arroja.
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Juan Francisco Ríos
CUARTO GRADO
2, etcétera. Sin embargo, no siempre se
procede de la misma forma. Si tiene a
la mano dos o tres calculadoras sencillas de diferente modelo y marca, probablemente encontrará distintos resultados al ejecutar, en cada una, las
siguientes instrucciones:
damente la tecla =: 20, 23, 26, 29, 32,
35... En otra calculadora tal vez los
resultados sean: 20, 37, 54, 71, 88, 105...
otra quizás arroje los siguientes resultados: 20, 20, 20...
Puede observarse que en el primer
caso (20, 23, 26, 29, 32, 35…), al oprimir
consecutivamente la tecla =, la calculadora suma de manera constante el
segundo sumando que se introdujo
(17 + 3). En el segundo caso (20, 37, 54, 71,
88, 105…), se observa que la calculadora
toma como constante el primer sumando (17 + 3) y en el tercer caso (20, 20, 20...),
no se modifica el primer resultado.
1. Encienda la calculadora (en la
pantalla aparece el 0).
2. Oprima las teclas para realizar la
siguiente suma: 17 + 3 (en la pantalla
aparece primero el 17 y luego el 3).
3. Oprima tantas veces como desee,
la tecla = y observe cada vez el número
que aparece en la pantalla.
Para construir sucesiones numéricas con estas últimas calculadoras, tal
vez se requiera oprimir dos veces seguidas el signo + (17 ++ 3 = = = …).
Saber cómo funcionan las calculado-
Es probable que en alguna de las
calculadoras obtenga la siguiente sucesión de números al oprimir repeti23
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23
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MATEMÁTICAS
ras que usan los alumnos permitirá al
maestro coordinar con éxito las actividades propuestas.
ner estrategias definidas con las que
aseguren ganar. Para construir una
estrategia que les permita ganar sistemáticamente es necesario que jueguen
varias veces el mismo juego, que conozcan y dominen sus reglas y analicen las jugadas. De esta manera el
jugador, frente al juego, tiende a ser
autónomo, ya que no aplica instrucciones dictadas por otro, sino que construye sus propias estrategias en la
interacción con sus compañeros.
En algunas lecciones del libro Matemáticas. Cuarto grado se propone que
los alumnos utilicen la calculadora para
verificar resultados. En tales casos es
importante que los alumnos resuelvan primero las actividades mediante
el cálculo mental o con lápiz y papel y
después usen la calculadora para verificar los resultados obtenidos.
Sin embargo, no todos los juegos
son interesantes para el alumno, desde el punto de vista de las matemáticas que se aprenden ni todas las actividades que sirven para aprender son
realmente juegos. El reto es entonces
descubrir o construir actividades que
Los juegos
como apoyo didáctico
Cuando los alumnos practican por
primera vez un juego lo hacen sin te-
14. EL VIVERO DE DON FERMÍN
¿Te acuerdas que en el vivero de
AGUACATES
AGUACATES
MAMEYES
MANGOS
don Fermín hay diferentes plantas
Resuelve las multiplicaciones que se indican para encontrar el resultado de 56 × 24
4
frutales?
6
50
50 × 20 =
50 × 4 =
6 × 20 =
20
6 × 4 =
4
Total =
56 × 24 =
NARANJOS
1
NARANJOS
NARANJOS GUANÁBANOS
5
Divide el rectángulo en cuatro partes como tú quieras y luego realiza los cálculos necesarios
para encontrar el resultado de 73 × 38
¿Cuántas plantas hay en total en el vivero? Averígualo utilizando el procedimiento que quieras
y anótalo en tu cuaderno.
2
×
=
×
=
Resuelve las multiplicaciones de la derecha
20 × 10 = 200
para calcular el número de plantas que hay de
10 × 10 =
×
cada tipo. Observa el ejemplo:
30 × 10 =
×
aguacates
5 × l0 =
=
=
Total =
5 × l0 =
Total =
73 × 38 =
¿Cuántas plantas hay en total en el vivero?
3
6
El vecino de don Fermín dividió su terreno en cuatro parcelas. En cada una va a sembrar
Termina de resolver las siguientes multiplicaciones:
32
árboles diferentes.
Observa el dibujo del terreno que está abajo y anota la multiplicación con la que se puede
calcular el total de plantas que va a sembrar el vecino de don Fermín:
×
20
4
Calcula la cantidad de árboles que se van a sembrar en cada parcela.
8
40
40 × 20
8 × 20
4
40 × 4
8×4
40
40 × 63
5
5 × 63
4 × 32
8 × 20 =
Practica: Usa tu calculadora para encontrar los resultados parciales y el resultado total
de cada multiplicación.
55
Total =
× 20
63
× 45
Compara tus resultados con los de tus compañeros.
8×4=
34
63
32
× 24
40 × 20 =
40 × 4 =
20
20 × 32
60
72
86
× 47
× 59
× 48
¿Cuántas plantas en total va a sembrar el vecino de don Fermín?
24
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35
CUARTO GRADO
1
Valor n
ició
y pos
Unidades
de millar
Centenas
Decenas
Unidades
Unidades
de millar
Centenas
Decenas
Unidades
A
Escrib
e
¿Cuál con letra
e
lo
¿Y el s el suces s número
s
s
o
¿Cuál ucesor de r de 7 899 represent
3 150
ados
es el
?
en el
antec
?
¿Y el
table
a
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ro.
En los ntecesor d sor de 7 8
9
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n
9
3
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1
5
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0
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d
el tab
lero, ¿
Repre el 5?
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table
s.
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l 7?
úmero
de ma
yor va
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e
25
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25
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MATEMÁTICAS
2
ión
c
a
m
i
Est
ra
since
A
Une con una flecha la operación y el círculo
en el que creas que se puede encontrar el
resultado.
Es menor
que 100
Está entre el
200 y el 300
?
?
=
=
1
1
1
1
5544 xx
Está entre el
100 y el 200
B
Calcula mentalmente el resultado y anótalo.
Compara tu resultado con los de tus compañeros.
Explica tu procedimiento y escucha los de tus compañeros.
¿Qué procedimiento les pareció mejor?
¿Por qué?
Inventa un problema que se resuelva con esa operación.
35
x 8=
?
Es mayor
que 300
25 x 9=?
26
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CUARTO GRADO
3
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16072
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
1
2
2
4
3
6
4 5 6 7 8 9 10
8 10 12 14 16 18 20
3
4
0
0
3
4
6 9 12 15 18 21 24 27 30
8 12 16 20 24 28 32 36 40
5
6
0
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7
0
7 14 21 28 35 42 49 56 63B 70
0
¿
Todos
escrib
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
¿Cómo 80
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r
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9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 c81
taste
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u
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.
esuelv os que falt
a
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la ope ban?
ración
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
que
A
¿Que número va en cada hueco?
Compara tu respuesta con la de tus compañeros.
27
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MATEMÁTICAS
plantean y no necesariamente en el
tamaño de los números. Por ejemplo,
en “La rueda de la fortuna”, página 16
del libro de texto, se plantean problemas como los siguientes:
sean realmente juegos para los niños y
que, a la vez, propicien aprendizajes
interesantes de matemáticas (véase la
página 27 de este libro).
En los libros Juega y aprende matemáticas y Los números y su representación,
de la colección de Libros del Rincón
(SEP) el maestro podrá encontrar, entre
otros, algunos juegos que permiten al
niño profundizar, afianzar o introducir diversos aspectos del sistema de
numeración decimal. Por ejemplo, en
el juego “La pulga y las trampas” del
libro Juega y aprende matemáticas, los
alumnos aplican los conocimientos que
poseen sobre series con intervalos constantes.
• A la rueda de la fortuna subieron 23
personas, ¿cuántos lugares quedaron vacíos? (En la ilustración se observa que caben 32 personas en la
rueda.)
• Rosa dijo: cuando me subí al látigo
íbamos 25 personas y quedaron 19
lugares vacíos, ¿cuántas personas caben en el látigo?
Los problemas se pueden expresar,
respectivamente, como se muestra
en seguida:
Operaciones y problemas
23 + ___ = 32
Las operaciones con números naturales es un tema central en la educación
primaria. En este grado se utilizan las
cuatro operaciones fundamentales. La
multiplicación y la división se abordan con matices distintos a la adición
y la sustracción.
En el primer problema identificar la
resta como la operación que permite
encontrar el dato no es sencillo, ya que
los niños tendrán primero que hacer
una inversión en el planteamiento inicial del problema:
En relación con la adición y la sustracción se da énfasis a la resolución de
problemas que implican alguna de
ellas. Se deja de lado el trabajo relacionado con los algoritmos de esas operaciones, ya que desde el primer grado
de primaria los alumnos realizan un
amplio trabajo para comprenderlas y
en tercer grado amplían sus conocimientos sobre el manejo de los algoritmos convencionales de la suma y
de la resta. En cuarto grado, la complejidad del uso de la suma y la resta se
centra en el tipo de problemas que se
23 + ___ = 32 — 32 – 23 = ___
Aunque este problema se resuelve
con una resta muy simple, la identificación de la operación no es obvia para
el alumno.
Ninguno de estos dos problemas es
sencillo para los niños que cursan cuarto grado, no obstante que no se involucran datos de más de dos dígitos.
Para ellos resulta más difícil resolver
problemas como éstos –aun teniendo
números pequeños– que resolver al28
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28
25 + 19=___
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CUARTO GRADO
gunos problemas con números de cuatro o cinco cifras, en los que la suma o
la resta son identificadas fácilmente.
Un ejemplo sería:
grado deberán ser tratados por el profesor de manera especial.
La multiplicación se inicia con una
síntesis del tratamiento que se hizo en
tercer grado, basado en la descomposición de arreglos rectangulares (véase, por ejemplo, “El vivero de don
Fermín”, p. 34).
• En su trabajo Gerardo ganó $ 3 176 y
le dio $ 1875 a Lalo, ¿cuánto dinero le
quedó?
A pesar de que los datos de este
problema involucran números de cuatro cifras, por diversas razones es de
fácil resolución. La primera de ellas es
que la palabra quedó anuncia a los niños la resta; la segunda razón es que el
problema tiene la incógnita al final:
Posteriormente, a partir de la misma estrategia se amplía el rango de
números hasta que se presenta el procedimiento usual para resolver multiplicaciones. Se espera que la descomposición de una multiplicación en
arreglos rectangulares haga más comprensible a los niños el algoritmo de
tal operación.
3 176 – 1875 = ______
Por lo anterior, a lo largo del programa y en los materiales de apoyo se ha
establecido una diferencia entre la dificultad en el uso del algoritmo y la
dificultad en la resolución de problemas. En el primer problema de la rueda de la fortuna la dificultad radica en
la identificación de la resta como operación que resuelve el problema, mientras que en el problema del dinero la
dificultad se ubica en el dominio del
algoritmo. El maestro debe apoyar
ambos aspectos de las operaciones;
teniendo la precaución de trabajar las
“técnicas de cálculo” cuando éstas ya
tengan significado para los niños, es
decir, cuando las hayan identificado
como instrumentos para resolver cierto tipo de problemas.
No solamente se maneja la multiplicación con la idea de arreglos rectangulares, también se utiliza en problemas de variación proporcional directa
(véase, por ejemplo, “El mercado”, p.
10) y en problemas de combinatoria
(véase, por ejemplo, “Combinaciones”,
p. 168), la actividad consiste en combinar un número diferente de faldas y
blusas para vestir a una muñeca. El
maestro deberá hacer reflexionar a los
alumnos sobre la relación entre el número de faldas, el de blusas y el total
de combinaciones. Una vez que los
alumnos han resuelto la situación con
material concreto, se propone introducir la representación gráfica, como
se muestra en la misma lección, para
llegar, posteriormente, a la representación simbólica:
La situación es diferente con la multiplicación y la división. Probablemente los niños todavía no dominan ambos algoritmos, por lo tanto, en este
5 × 4 = 20
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29
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MATEMÁTICAS
La división
tiene 4 filas y cada fila tiene 5 chocolates. Deciden repartirlos en partes
iguales. ¿Cuántos le tocan a cada
quien?
Desde segundo grado los alumnos resuelven problemas de reparto de objetos y en tercero se incluyen problemas
de agrupamiento o tasativos, es decir,
aquellos en los que se debe determinar
cuántas veces cabe una cantidad en
otra. Es importante continuar con este
tipo de problemas en cuarto grado
porque ayuda al alumno a profundizar en los diferentes significados de la
división y se afianza la comprensión
del procedimiento usual para dividir.
A continuación se dan algunos ejemplos de problemas. El primero y el
tercero son de agrupamiento o tasativos, y el segundo es de reparto.
• Uriel, Paco y René quieren guardar
sus dulces en bolsas. Deciden poner
10 dulces en cada bolsa. Uriel tiene
153 dulces; Paco 192 y René 214.
¿Cuántas bolsas necesita cada niño
para guardar sus dulces? ¿Sobrarán
dulces? ¿Podrán hacer otra bolsa con
los dulces sobrantes?
Con los ejemplos anteriores queremos ilustrar el hecho de que los niños
no adquieren conocimientos en pequeñas dosis mediante la información que reciben del maestro. Más
bien, lo que les permite construir su
conocimiento es el proceso de poner
constantemente a prueba sus propias
hipótesis en las situaciones que se les
presentan. Esta forma de trabajo constituye uno de los propósitos más importantes de esta propuesta.
• Catalina debe colocar 250 manzanas
en cajas con 6. Tiene 40 cajas. Quiere
saber si le alcanzan o le sobran cajas.
Juan Francisco Ríos
• A Yólotl, Carlos, Luis, César y Pamela les regalaron una caja de chocolates. La caja tiene 3 pisos. Cada piso
30
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Juan Francisco Ríos
CUARTO GRADO
y “Entre 10 y 100”, pp. 28 y 62). Entre
una lección y otra el maestro debe
proponer otros problemas similares
para que los niños sistematicen y afirmen su conocimiento sobre la multiplicación al resolver problemas de
división.
La lectura de los diálogos que aparecen en el libro del alumno también
permitirá a los niños aclarar dudas y
corregir posibles errores. Esta actividad será un apoyo importante en la
construcción y autoevaluación de las
estrategias de resolución de problemas y de cálculos.
Anticipar el resultado de la división, situándolo entre 1 y 10, entre 10 y
100, entre 100 y 1000 (véase, por ejemplo, “Entre 10 y 100”, p. 62) hará que el
alumno infiera si el resultado de las
operaciones efectuadas es absurdo o
lógico. También es recomendable que
antes de efectuar las divisiones los
alumnos estimen el número de cifras
que tendrá el cociente y verifiquen
cada vez si su estimación fue o no
correcta.
En tercer grado los niños llegaron a
conocer el procedimiento usual para
dividir, pero es necesario un trabajo
mucho más amplio para que poco a
poco adquieran dominio sobre esta
operación. La secuencia de situaciones que se plantea en el libro de cuarto grado comienza con el uso de distintos procedimientos para resolver
problemas de división (véase, por
ejemplo, “La huerta de don Fermín”,
31
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31
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MATEMÁTICAS
Fracciones
Las fracciones
en situaciones de reparto
En cuarto grado se amplía el trabajo
con las fracciones, enfatizando su uso
en situaciones problemáticas en diferentes contextos, relacionados con la
medición de longitudes, el peso de
algunos objetos, la capacidad de algunos recipientes, así como en situaciones de reparto.
Más que memorizar los términos de
una fracción y saber distinguirlos es
necesario que los alumnos le den un
significado al numerador y al denominador. Este aspecto se aborda en la
lección “Más galletas y más niños”,
libro de texto, página 94, en la que se
trabaja la noción de fracción como resultado de un reparto.
La diferencia entre los problemas
que se plantean en tercer grado y los
de cuarto es el nivel de complejidad de
las actividades y el tipo de fracciones
con las que se trabaja. Además de trabajar con las fracciones cuyo denominador es dos, cuatro u ocho; se incluyen también los tercios, los quintos y
las fracciones decimales.
Una vez resueltos los puntos 1, 2, 3
y 4 de la lección es conveniente que el
maestro propicie un análisis sobre la
relación que existe entre los datos del
reparto y la fracción que representa el
resultado del reparto, de tal manera
que descubran que en el resultado de
4. ANIMALES QUE SALTAN
E
La pulga, el conejo y el canguro se desplazan por
medio de saltos. El dibujo de abajo muestra que el
En el dibujo se muestra la relación entre los
2
canguro avanza una unidad en cada salto.
saltos de los tres animales.
¿Cuántos saltos tiene que dar la pulga para
Saltos de canguro
1
igualar un salto del conejo?
Saltos de conejo
1
10
igualar un salto del canguro?
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
1
1+ 1 1+ 2
10
10
D
0
¿Cuántos saltos tiene que dar la pulga para
2
20
10
C
10
10
1
Observa el dibujo de arriba y contesta las siguientes preguntas:
ur
o
El canguro sale del 0 y salta 5 veces.
lc
B
an
g
¿A qué número llega?
lto
de
El canguro salió del 0 y llegó al número 9.
Sa
¿Cuántos saltos dio?
¿Cuántas veces tiene que saltar el conejo
para igualar un salto del canguro?
¿Cuánto avanza el conejo en cada salto?
El conejo salió de 0 y llegó a 1. ¿Cuántas veces saltó?
10
A
10
C
on
ejo
El conejo salió de 0 y saltó 15 veces. ¿A qué número llegó?
10
Lee lo que dicen Flor, Rosa y Carmen:
3
10
4
El conejo salió de 3 y llegó a 1 + 2 . ¿Cuántas veces saltó?
Llegó a 16 .
3
Completa lo que falta de acuerdo con lo que se
ve en el dibujo.
Llegó a 1+ 5 .
10
2
10
10
Llegó a 15 .
En cada salto el canguro avanza:
10
En cada salto la pulga avanza:
10
1
Pu
lg
a
En cada salto el conejo avanza:
10
100
0
¿Cuántos saltos tiene que dar el conejo para
10 1
0
llegar a 4 ?
10
¿Cuántos saltos tiene que dar la pulga para llegar
al mismo lugar?
4
¿Cuál de las tres niñas no tiene razón?
los puntos señalados con letras.
Comenta tu respuesta con tus compañeros y tu maestro.
134
Anota los números que corresponden a
A: 25 , o bien, 2 + 5
D:
B:
E: 108 , o bien, 1+
100
C:
100
100
100
10
, o bien,
, o bien,
10
+
100
100
100
, o bien,
10
+
10
100
+
100
, o bien, 1+
100
10
135
32
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32
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CUARTO GRADO
que en 35 hay cinco, por lo que a estos
últimos les toca menos. Si el problema
es comparar 32 con 158 puede actuarse
intuitivamente mediante la siguiente
reflexión: en tres medios hay más galletas que niños, en tanto que en 158 hay
más niños que galletas, por lo tanto 132
es mayor que 158 . Cuando el caso es de
fracciones equivalentes a un entero,
por ejemplo, 33 y 44 , el razonamiento es
que hay igual número de galletas que
de niños, por lo que les toca lo mismo
en ambos casos.
un reparto se pueden identificar el número de unidades que se repartieron y
el número de elementos entre los que
se hizo el reparto o que, mediante el
análisis de los datos del reparto se
puede anticipar el resultado.
Por ejemplo, si se reparte 5 pasteles
entre 3 niños a cada niño le toca 1
pastel + 13 + 13 de pastel, que es lo mismo
que . En la fracción 53 el numerador
indica el número de pasteles que se
repartieron y el denominador indica
el número de niños entre los que se
hizo el reparto.
Estas comparaciones a nivel intuitivo son más importantes que la introducción prematura de cualquier algoritmo para comparar fracciones. Es por
eso que en cuarto grado no se sugieren
algoritmos para estos temas.
Estos significados permiten a los niños hacer reflexiones como las siguientes: 34 es mayor que 35, porque en
los dos casos se reparten tres galletas,
pero en 34 hay cuatro niños, mientras
Fracciones en situaciones
de medición
Juan Francisco Ríos
La noción de fracción como resultado
de la medición de longitudes se introduce a través de situaciones en las
que, para medir con más precisión
una longitud es necesario fraccionar
en partes iguales la unidad de medida, porque ésta no cabe un número
exacto de veces en la longitud a medir. En estas situaciones se enfatiza el
hecho de que la unidad de medida
puede ser una tira, un segmento o
cualquier objeto alargado y también
se propicia el uso de fracciones con
numerador mayor que uno y de los
números mixtos.
En el transcurso del año escolar las
situaciones de reparto y de medición
que involucran el uso de las fraccio-
33
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33
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MATEMÁTICAS
nes se van haciendo más complejas,
con el fin de que los procedimientos
iniciales empleados por los niños evolucionen.
bajar la idea de fracción como parte de
un todo formado por 360° (véase la
ficha 5, página 38 de este libro).
Equivalencia de fracciones
En un principio se plantean problemas en los que se utilizan fracciones
para medir longitudes (véase, por
ejemplo, “La tienda del pueblo”,
p. 14) o bien el problema de dividir
un segmento en partes iguales (véase,
por ejemplo, “En partes iguales sin
doblar”, p. 18). En este tipo de situaciones se usan fracciones con numerador diferente a uno. Al principio,
los niños utilizan hojas o tiras de papel para realizar y verificar sus ejercicios y posteriormente pueden usar su
regla graduada para encontrar las soluciones.
Uno de los aspectos más importantes
para la comprensión de las fracciones
es la noción de equivalencia. Antes de
abordar este tema se maneja en el libro
de texto la comparación de fracciones
con procedimientos informales (véase,
por ejemplo, “Galletas redondas”,
p. 82). A lo largo del curso se presentan
situaciones que propician el uso de expresiones equivalentes que se pueden
aprovechar para enfatizar dicha noción. Por ejemplo, en los problemas de
reparto, dependiendo de las particiones que se hagan, pueden surgir distintas expresiones aditivas que representan el mismo valor (véase, por ejemplo,
“Más galletas y más niños”, p. 94).
Para medir el peso de algunos objetos, la capacidad de recipientes y la
superficie de figuras se sugiere que los
niños construyan o consigan algunas
unidades de medida: el metro, el centímetro, 14 de kilogramo, 12 kilogramo
(véase la página 37 de este libro), el
decímetro y el centímetro cuadrado...,
el litro, 14 de litro, etcétera, para que
los usen en juegos o actividades que
involucren contenidos del eje “Medición”, así como contenidos del aspecto de fracciones correspondiente al
eje “Los números, sus relaciones y
sus operaciones”.
Las situaciones de medición de longitudes y de capacidades también pueden aprovecharse para el uso de expresiones equivalentes. Es importante
destacar que en todas las situaciones
donde aparece la noción de equivalencia deben realizarse actividades para
verificar los resultados que obtienen
los niños. Si se trata de situaciones de
reparto, al principio pueden usarse
hojas de papel y, poco a poco, los niños
apoyarán sus razonamientos sobre la
equivalencia de los repartos en sus
propios dibujos.
Otro aspecto importante que se presta para trabajar también con las fracciones es la medición de ángulos. Este
aspecto se introduce a partir de giros
de una vuelta completa, media vuelta,
un cuarto de vuelta o un tercio de
vuelta. Igualmente, se empieza a tra-
En las situaciones de medición puede resultar de gran utilidad el uso de
una hoja rayada para dividir segmentos en partes iguales. No se pretende
34
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34
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CUARTO GRADO
que los alumnos utilicen las expresiones formales o las reglas para encontrar fracciones equivalentes.
números decimales es que los alumnos
comprendan su significado. Para ello
se insiste en la necesidad de que interpreten primero las cantidades escritas
con punto decimal en términos de
número de unidades + décimos + centésimos. Por ejemplo, antes de que los
niños logren interpretar 3.75 metros
como 3 metros 75 centímetros es necesario que comprendan que 3.75 significa 3 metros más 7 décimos de metro,
más 5 centésimos de metro o 3 metros
más 75 centésimos de metro.
La escritura formal de la suma y la
resta de fracciones se trabaja en el
bloque IV, en la lección “Esferas de
plastilina”, página 136; sin embargo,
hay otras situaciones a lo largo del
texto en las que se calculan sumas o
restas sin necesidad de utilizar el algoritmo convencional. Si la equivalencia
y el orden entre las fracciones se trabaja detenidamente, los niños no tendrán dificultad para inferir los resultados de las sumas o de las restas. Para
que los niños comprendan el significado de las fracciones que se trabajan
es importante que éstas estén asociadas a unidades de medida, por ejemplo, 34 de metro, 12 litro, y no con fracciones en abstracto como 34 y 12 .
Se insiste también en que los alumnos representen, con fracciones, las
descomposiciones aditivas de números representados con punto decimal.
Por ejemplo:
5
3. 75 es igual a 3 + 107 + 100
.
El uso de la recta numérica es un
recurso gráfico de gran utilidad para
trabajar la partición de las unidades en
partes iguales, como se hace en algunos problemas de la lección “Animales que saltan”, página 134.
Fracciones y números decimales
El campo de los números fraccionarios
se amplía en cuarto grado con la introducción de las fracciones decimales.
El primer tratamiento de estos números está en la lección “Adornos para el
festival”, página 102, en una situación
en la que es necesario dividir una
unidad (pedazo de cuerda) en diez
partes iguales. Que los alumnos realicen este tipo de situaciones es fundamental para darle a los decimales su
carácter genérico, supeditado exclusivamente a la unidad de que se trate
(longitudes, superficies, capacidad,
peso, dinero).
Los números decimales también se
pueden trabajar mediante actividades
que impliquen el uso de dinero, litros,
metros, etcétera (véase, por ejemplo,
en “Particiones decimales”, p. 140); se
presentan situaciones en diversos contextos que se resuelven utilizando los
números decimales.
Asimismo, se pueden plantear problemas mediante actividades que
involucren el uso de publicidad impresa, en donde los alumnos deben
investigar los precios reales de diferentes objetos.
El propósito fundamental que se
plantea en cuarto grado sobre los
35
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35
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MATEMÁTICAS
Medición
Desde el punto de vista didáctico, el
uso de unidades arbitrarias de medida
es también de suma importancia, no
sólo porque permite adquirir una noción más amplia acerca del concepto
de unidad de medida, sino porque
permite apreciar mejor la utilidad de
las medidas convencionales. Es entonces recomendable que el maestro promueva el trabajo de medición con unidades arbitrarias, como antecedente
al uso de las unidades convencionales.
Juan Francisco Ríos
El trabajo que se desarrolla en este eje
está relacionado con las unidades de
medida de longitud, capacidad, peso,
superficie, tiempo y medidas angulares.
Para alcanzar los propósitos asociados
a esta temática, el maestro debe considerar que las nociones relacionadas con
la medida se desarrollan precisamente
haciendo mediciones y reflexionando
sobre el resultado de las mismas.
realizar mediciones. Tal actividad tiene sentido en situaciones en las que
resulta difícil medir directamente, utilizando la regla graduada en centímetros o el metro rígido. En estos casos
un cordón es un instrumento útil para
hacer mediciones (véase, por ejemplo,
“Cuerdas resistentes”, p. 26).
Peso, capacidad y longitud
En el caso de la medición de longitudes se han diseñado actividades en las
que es necesario realizar mediciones
usando unidades arbitrarias, por ejemplo, las tiras de cartón que se utilizan
en la lección “La paloma de la paz”,
página 118, así como unidades convencionales como el centímetro y el
metro, que se utilizan en diferentes
lecciones del texto (véanse, por ejemplo, “Cuerdas resistentes” e “Hilaza
para el contorno”, pp. 26 y 42).
A lo largo del grado se plantean
situaciones en las que es necesario el
uso del kilogramo y del litro. Los niños podrán apreciar mejor el significado de estas unidades de medida si se
hace referencia a su experiencia cotidiana: por ejemplo, comprar “un kilo
de tortillas”, “un kilo de frijol” o “un
litro de petróleo”. La construcción de
una balanza (véase, por ejemplo, “Las
golosinas”, p. 110) y el uso de paquetes
de 1 kilogramo, 53 o 14 de kilogramo
como unidades de medida, también
Otro tipo de actividad que se sugiere es el uso de un intermediario para
36
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CUARTO GRADO
4
ce
Balan o
ct
perfe
1 Kg
3
4 Kg
3
4 Kg
3
4 Kg
3
4 Kg
1
2 Kg
1
2 Kg
1
4 Kg
1
4 Kg
en el
olocar nza?
c
n
e
d
e pue elar la bala
esas s
iv
¿Qué p vacío para n
platillo
A
B
Compara tu respuesta con las de tus compañeros.
¿Hubo una sola respuesta o varias?
¿Cuántas respuestas correctas y diferentes resultaron?
¿Cómo acomodarías todas las pesas en los platillos para
que queden bien equilibrados? Escribe por lo menos dos
maneras diferentes de hacerlo.
37
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37
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1
4 Kg
5
MATEMÁTICAS
con
Újule la
ju
la brú
NO
N
NE
O
E
SO
SE
S
Yo digo que para
dar una vuelta completa
en cada brújula
hay que girar 88
NO
N
NE
O
E
SO
SE
S
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o sent
l mism
en e
A
la gira
ju
ú
r
b
sta
j
ja de e
del relo
La agu manecillas
s
que la
B
¿Qué fracción de giro hizo la flecha de la brújula si estaba
en el N y llegó al E?
Si después llegó al SE, ¿cuánto giró?
Desde el SE giró lo mismo que del N al E. ¿A dónde llegó
la flecha?
Si finalmente llegó otra vez al N, ¿cuánto giró?
Expresa todos los giros anteriores en grados.
38
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38
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CUARTO GRADO
permitirá a los alumnos aproximarse
significativamente a la noción de peso.
Si bien en el uso diario de algunas
magnitudes se emplea solamente el
prefijo de algunos múltiplos de la
unidad, por ejemplo kilo, es conveniente que el niño tenga la información de que tal forma de expresión
usada comúnmente está relacionada
con el kilogramo.
Juan Francisco Ríos
Algunos de los materiales necesarios para la construcción de estas unidades de medida aparecen en el material recortable o se sugiere, en el libro
de texto, cómo elaborarlos y muchos
otros pueden adquirirse con facilidad.
Otro elemento que enriquecerá de
manera significativa el trabajo en este
eje es el empleo de algunas unidades
de medida usadas en las diferentes
regiones de nuestro país, así como la
comparación de esas medidas con las
unidades de medida convencionales
(por ejemplo, el uso del “doble”, del
“cuartillo” y la “maquila” en el estado
de Guerrero).
me, de cremas, etcétera. De esta manera los alumnos pueden formarse una
idea acerca de la magnitud de las unidades pequeñas, como el mililitro y el
gramo (véase, por ejemplo, “Jarabe para
la tos” y “Las golosinas”, pp. 96 y 110).
Otro aspecto importante de la medición que se debe desarrollar en este
grado consiste en ordenar y comparar
dos o más longitudes a partir del resultado de mediciones (véase, por ejemplo, “Cuerdas resistentes”, p. 26).
Superficie
Respecto a la medición de superficies,
se parte de formar figuras con igual
perímetro y diferente área (véase, por
ejemplo, “Hilaza para el contorno”,
p. 42), para posteriormente pasar a la
medición de la superficie del triángulo mediante el conteo de cuadrados
(véase, por ejemplo, “La mitad de un
rectángulo”, p. 154), y por último llegar a la deducción de la fórmula respectiva y su aplicación en el cálculo de
áreas de cuadriláteros (véase, por ejem-
En cuanto a las unidades de medida
de capacidad y de peso es conveniente
que el maestro presente a los niños
distintos objetos pequeños, especialmente aquellos en los que se utilicen
submúltiplos del litro o gramos como
unidades de medida, por ejemplo: frascos de medicina, de especias, de perfu39
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MATEMÁTICAS
pueden reflexionar sobre el uso y la
utilidad de estas unidades de medida
y sobre los diferentes tipos de instrumentos de medición del tiempo que
conocen.
plo, “Alfombras de flores”, p. 1 78). De
esta manera contarán con un procedimiento general para obtener el área de
figuras de lados rectos, a través de su
descomposición en triángulos, cuadrados y rectángulos, según convenga, y
no estarán obligados a depender de la
memoria para recordar la fórmula para
cada figura.
El calendario es otro recurso que el
maestro puede utilizar para plantear
situaciones en las que se mida el tiempo transcurrido entre un suceso y otro,
utilizando el día, la semana y el mes
como unidades de medida. Otro tipo
de actividades que permite trabajar
con esta noción es la elaboración de la
línea del tiempo, en la que los alumnos
ubiquen lustros, décadas o siglos durante los cuales se desarrollaron determinados sucesos históricos (véase, por
ejemplo, “La ONU”, p. 52). De esta manera se relaciona este aspecto de la
medición con otras asignaturas.
Tiempo
Juan Francisco Ríos
El tiempo, para los alumnos, es una de
las nociones más difíciles de adquirir.
Por ello es importante que durante el
curso realicen diferentes actividades
en las que se utilicen la hora y los
minutos como unidades de medida.
En la lección “El circo”, página 32, se
plantean algunos problemas en los que
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CUARTO GRADO
Ángulos
como instrumento para medir ángulos. Posteriormente, en “El cazador”,
página 132, aparecen los ángulos de 1211
de vuelta, es decir, los que miden 30° o
un número múltiplo de 30. En este
nivel se utiliza la palabra grado más
que su símbolo.
La noción de ángulo y su medida es un
aspecto que por primera vez se introduce en el libro de texto de cuarto grado. La idea que se maneja en éste es que
los ángulos se describen cuando se realizan giros. La mayor parte de la secuencia de situaciones se desarrolla en
el contexto de viajes a diferentes países.
En “La vuelta al mundo en 360 grados”, página 112, aparece el grado
como unidad de medida, y se ilustra la
amplitud que tiene un ángulo de un
grado. En esta lección se propicia la
reflexión en el sentido de que la medida de los ángulos es independiente de
la longitud de los lados que lo forman.
La medición se inicia considerando
giros menores de una vuelta. Cada
giro se describe entre una línea de
salida y una de llegada. En la lección
“La vuelta al mundo”, página 78, se
inicia el trabajo con los ángulos y se
sugiere el uso de material recortable
que consiste en un círculo dividido en
octavos. Se pide a los niños que traten
de reproducirlo en papel transparente
o plástico para que lo puedan usar
En el punto 10, de la misma lección,
ante la pregunta: “¿Cuál de los siguientes ángulos mide más?”, seguramente
muchos niños pensarán que mide más
el que tiene los lados más largos. Es
necesario que el maestro propicie la
discusión sobre este aspecto y haga
notar que los dos ángulos miden lo
mismo porque ambos se generan con
un giro de de vuelta. Los ángulos se
presentan en otras lecciones del texto
como una de las características de las
figuras. Esa es la idea de ángulo en su
forma estática, misma que el maestro
puede complementar propiciando
que los niños distingan los ángulos en
algunos objetos que estén a la vista.
Geometría
Juan Francisco Ríos
Tradicionalmente, la enseñanza de la
geometría partía de las definiciones
de punto, recta y plano. A partir de
estos conceptos se definían rectas perpendiculares, paralelas, ángulos, figuras y luego cuerpos. Investigacio41
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MATEMÁTICAS
nes realizadas en torno del aprendizaje infantil han mostrado que el proceso es inverso; en otras palabras, es
necesario partir de lo sólido para llegar a lo más abstracto: las líneas y los
puntos.
nentemente la anticipación de formas
y espacios, con lo cual se espera que
los alumnos desarrollen su imaginación espacial e identifiquen relaciones
para saber si con determinada plantilla se puede o no construir un poliedro;
por ejemplo, el número de caras, las
medidas de las aristas, los lados adyacentes, etcétera. Asimismo, descubrirán que para elaborar un sólido determinado pueden construir más de una
plantilla.
Sólidos geométricos
Con el estudio que se hace en el libro
de texto sobre los sólidos geométricos
se pretende que los niños identifiquen
qué figuras forman las caras de un
sólido (véase, por ejemplo, “Casas de
diferentes países”, p. 74) y que establezcan la relación entre el dibujo en el
plano y el sólido en tres dimensiones,
es decir: se abordan dos aspectos.
Trazos y reproducción
de figuras
Un aspecto importante del eje “Geometría” es el que se refiere a las características de las figuras y su trazo. Se
sugiere utilizar diversos recursos como
el doblado de papel, el dibujo, los
mensajes, etcétera, para que los niños
reproduzcan figuras.
• Un sólido puede representarse en el
plano, intentando plasmar sus tres
dimensiones.
La reproducción de figuras es una
actividad motivante para los niños si
se plantea adecuadamente. Se propone que el maestro dé libertad a los
niños para que busquen estrategias
que les permitan reproducirlas. Con
ello, además de desarrollar destrezas
en el trazo se estará promoviendo el
análisis de las figuras y de sus propiedades geométricas. Una situación importante que se presenta en algunas
lecciones de geometría consiste en reproducir, a partir de un mensaje, una
figura o construir un sólido (véase,
por ejemplo, “Dibujos y medidas” y
“Forma y tamaño exactos”, pp. 54 y
120, entre otras lecciones). En dicha
situación tener las figuras a la mano y
observar sus características geomé-
• A partir del plano puede construirse
un sólido (con tres dimensiones). De
ahí derivan lecciones como “Cubos
y construcciones” y ”Construimos
poliedros”, páginas 146 y 182.
En las lecciones del libro se diferencian los sólidos que son poliedros de
los que no lo son, y se solicita perma42
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CUARTO GRADO
tricas es fundamental para poder realizar la actividad.
El tipo de figuras que se reproducen
podrá hacerse progresivamente más
complejo a lo largo del curso.
El paralelismo, la perpendicularidad, la simetría, el tamaño de los
lados y de los ángulos son características geométricas importantes en las que
se basa la construcción y el análisis de
figuras en este grado. Se pretende que
los niños se apoyen en tales aspectos
cuando se les pide la reproducción y el
análisis de figuras. Es importante destacar que en ningún caso se pretende
que los niños hagan un análisis riguroso y exhaustivo de las figuras o de los
sólidos. Únicamente se pretende que
desarrollen la capacidad de análisis y
de observación, que encuentren similitudes y diferencias, y que las utilicen
como criterios para hacer descripciones y clasificaciones, así como para
crear y construir formas diversas.
Figuras simétricas
Juan Francisco Ríos
En tercer grado, la simetría se inició
con un tratamiento intuitivo, mediante la simulación de formas reflejadas
en el agua como si ésta fuera un gran
espejo, o a través del dibujo de las
figuras “reflejadas en el espejo”. En un
primer momento se recomienda que
los alumnos de cuarto grado utilicen
este recurso para reproducir figuras
simétricas. Posteriormente, se realizan
actividades que permiten profundizar un poco más acerca de la simetría
y algunas de sus características, en
“Artesanías”, página 36, se propone el
uso de papel cuadriculado para que
43
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43
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MATEMÁTICAS
los niños dibujen o completen figuras
simétricas. En “Bordados y simetría”,
página 130, se aplica el reconocimiento y trazo de los ejes de simetría, pero
ya sin apoyo de la cuadrícula, sin embargo, para el desarrollo de este tema
el maestro también podrá sugerir juegos o dejar a los alumnos que exploren
diversas posibilidades, utilizando hojas cuadriculadas hasta que se sientan
con la suficiente confianza para abandonarlas.
texto y en las fichas con el entorno de
los niños.
El trabajo en este aspecto se ha orientado básicamente a construir un sistema elemental (no formal) de ubicación
de puntos en el plano. Es por ello que
las actividades, en su mayoría, están
dirigidas a la interpretación y construcción de planos urbanos, es decir, a
la lectura y trazo de planos que tienen
calles y avenidas. Sin embargo, la tarea de interpretar un plano no es fácil
para los niños; por ello el trabajo se
inicia con la ubicación de puntos y
descripción de trayectos en un pueblo
sencillo, donde las casas no han perdido sus características más evidentes
(véase, por ejemplo, “Camino al mercado”, p. 8).
Otras actividades que el maestro
puede sugerir con el mismo propósito
son las de papiroflexia (doblado de
papel). Con el apoyo de este recurso se
hará más atractiva la clase de geometría y más accesibles algunos contenidos de este aspecto del programa.
Mediante las actividades de papiroflexia se promueve el desarrollo de
la imaginación espacial y la capacidad
de construir hipótesis, ya que permiten al niño anticipar las formas que se
obtendrán doblando de determinada
manera un pedazo de papel.
En un segundo momento se propone la elaboración de planos a partir de
fotografías aéreas más complejas. Se
espera que, de esta manera, cuando
los niños se enfrenten a un plano como
el que aparece en “Las calles de la
ciudad”, página 38, las líneas que representan las calles tengan significado
para ellos.
Ubicación espacial
Una vez realizado este trabajo, que
podríamos llamar “lectura comprensiva del plano”, se inicia la tarea específica de ubicar puntos tomando como
referencia los ejes de coordenadas que
se representan con dos calles principales. El propósito fundamental del curso es llegar a manejar un lenguaje simplificado como (2,4) en lugar de decir
“dos calles a la derecha y cuatro calles
hacia arriba”. El uso de este lenguaje
implica un proceso en el que se usen
expresiones que los niños construyan.
El trabajo en el eje de “Geometría” incluye situaciones que inducen al niño
a buscar diferentes maneras de ubicarse en su entorno y a experimentar
formas de expresar y registrar tal ubicación. Las actividades incluidas en
las fichas y en el libro de texto tienen
también como finalidad que los niños
hagan sus propias representaciones
del entorno inmediato y familiar. En
todos los casos es necesario que se
liguen las situaciones planteadas en el
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CUARTO GRADO
Procesos de cambio
son las relaciones entre los datos. El maestro podrá reforzar estas ideas planteando problemas que impliquen una comparación multiplicativa. Por ejemplo: “Si
Juanito tiene 10 años y Pedro tiene el
doble, ¿cuántos años tiene Pedro?”.
Las actividades correspondientes al
eje “Procesos de cambio” introducen a
los alumnos de cuarto grado al análisis de situaciones que implican variación proporcional directa.
Con este tipo de problemas, además
de profundizar en el significado de la
multiplicación, como se puede observar en las últimas tablas de la lección
“El mercado”, página 10, se prepara al
alumno para identificar relaciones proporcionales sin hacerlo explícito.
La elaboración de tablas y el análisis
de la información propicia que los
alumnos descubran las relaciones de
dobles, triples y mitades entre los datos de un problema, por ejemplo, en la
lección “El mercado”, página 10, se
plantean varios problemas que implican la relación proporcional entre los
kilogramos de frutas y verduras que
se venden, y el dinero que se obtiene
en cada caso. Para completar cuánto
cuestan 8 kg de jitomate, el alumno
calculará el doble de los $12 que corresponden a 4 kg, es decir, tendrá que
concluir que el doble de 4 kg es 8 kg y
el doble de $12 es $24.
Otras actividades, como analizar
recetas de diferentes comidas para distinta cantidad de comensales, favorecen que el alumno empiece a trabajar
en este tema. En “Hacemos recetas”,
página 122, se pretende que el alumno
comprenda que es necesario duplicar
la cantidad de cada uno de los ingredientes, si se quiere preparar gelatina
para 12 personas, dado que la receta
está hecha para seis.
En ocasiones las relaciones de dobles, triples, etcétera, no alcanzan para
completar dichas tablas y es necesario
recurrir al valor unitario. En el caso de
los jitomates se sabe que 1 kg cuesta $3
y a partir de este dato puede calcularse, por ejemplo, el precio para 5 kg.
Para completar en la misma lección la
tabla del precio de la sandía es necesario averiguar cuánto cuesta 1 kg (valor unitario), y a partir de este dato
calcular los que faltan, donde las relaciones de dobles, triples, etcétera, no
son tan evidentes (véase la página 49
de este libro).
Cabe destacar que la noción de variación proporcional directa es compleja; por tanto se propone que los
alumnos completen tablas a partir de
las nociones intuitivas que tienen sobre la proporcionalidad, por supuesto
sin llegar a mecanizar reglas ni a repetir definiciones.
El objetivo es que los niños se aproximen a la noción de proporcionalidad
directa en términos cualitativos, a través del análisis de diferentes tablas de
variación proporcional para que los
alumnos puedan ver la manera en
que una cantidad varía en función de
la otra.
El propósito es que el maestro ayude a
los alumnos a desarrollar procedimientos intuitivos de proporcionalidad, como
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MATEMÁTICAS
• En cuanto a los contenidos referidos
a la elaboración e interpretación de
registros, se debe enfatizar la lectura
de gráficas de barras e introducir
pictogramas a los que se les asignan
valores de 1 000, 5 000 o 10 000 para
representar números grandes (véanse, por ejemplo, “Naciones poco pobladas” y “El censo de población”,
pp. 70 y 128). Los valores de los
pictogramas pueden modificarse dependiendo de las cantidades que se
manejen y, además, dicho valor puede ser modificado.
3x2=6
B
3
A
Situaciones de variación
ligadas a la geometría
• Para el estudio de los contenidos
referidos al análisis de la información se debe promover, durante el
año escolar, la reflexión sobre los
datos que son útiles para resolver un
problema, los que no lo son y los que
faltan (véase, por ejemplo, “¿Se puede responder?”, p. 20).
Es importante que además de presentar a los alumnos situaciones numéricas de variación se les planteen situaciones de geometría. Por ejemplo, el
perímetro de un cuadrado está en función de la medida de sus lados. Si se
aumenta al doble la medida de sus
lados el perímetro aumenta también
al doble, y si disminuye a la mitad el
perímetro disminuirá en la misma proporción. Éste es un caso de variación
proporcional directa.
El tratamiento didáctico en este eje
debe iniciarse con situaciones cercanas a los intereses de los niños de
este nivel, por ejemplo, los animales,
los juegos o las materias escolares
que les gustan. Los fenómenos meteorológicos pueden ser otra fuente
de situaciones interesantes para los
alumnos.
Tratamiento
de la información
El objetivo de los contenidos incluidos
en este eje es, como su nombre lo indica, desarrollar la capacidad de los
alumnos para obtener, analizar y utilizar información numérica en distintos
contextos.
Además de las situaciones sugeridas
en el libro de texto y en las fichas de
actividades didácticas, el maestro puede aprovechar otras situaciones escolares que sean de interés para los niños,
como el registro diario de la puntualidad, el aseo, las ventas de la cooperativa o la organización de algún acto
cívico, entre otros.
Es conveniente resaltar dos aspectos de este eje, el registro y el análisis
de datos:
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CUARTO GRADO
Lo primero que debe hacer el niño
para resolver un problema es organizar y analizar la información que se le
presenta. Esta información puede ser
oral, escrita o presentarse en ilustraciones e imágenes. Esto quiere decir
que ayudar a los niños a obtener y
analizar información es una tarea fundamental para contribuir al mejoramiento de su capacidad para plantear
y resolver problemas.
Un ejemplo de esta actividad es la
lección “¿Se puede responder?”, libro de texto, página 20.
La predicción
y el azar
El estudio de este eje se inicia en tercer
grado. El tratamiento didáctico que se
le ha dado es meramente intuitivo y
mediante situaciones de juego (véase,
por ejemplo, “Águila o sol”, p. 22). El
registro de las diferentes posibilidades en un juego de azar y la comparación de los registros y respuestas entre
los compañeros es importante para
que el alumno intuya la posibilidad de
predecir o instrumentar alguna estrategia para ganar el juego (véanse, por
ejemplo, “Los colores del dado” y “Canicas de colores”, pp. 76 y 114).
Las lecciones del libro de texto favorecen el análisis de la información
durante el curso. Para su resolución
los niños deben, en la mayoría de los
casos, seleccionar y analizar la información que se proporciona en una
ilustración o en un documento y hacer
preguntas con las que pueda obtener
más información o información más
relevante. Por ejemplo, en “Estadios y
números”, página 90, deben analizar
la información contenida en el cuadro
para contestar las preguntas.
Se pretende introducir a los niños
en la reflexión de situaciones en las
que se sabe lo que va a pasar y en
otras en las cuales no es posible saberlo. Esto sin precisar que, en algunos casos, el no saber puede deberse
a la falta de información, mientras
que en otros no es posible obtener la
información porque se está, precisamente, en situaciones de azar. Por
ejemplo, al lanzar una moneda al aire no se sabe con certeza sobre qué
cara caerá (véase, por ejemplo, “Águila o sol”, p. 22).
El maestro deberá aprovechar todos los temas del programa para trabajar el tratamiento de la información
como un aspecto colateral del contenido; con ello promoverá a la vez la
capacidad de reflexión y de resolución
de problemas. Dicha tarea podría apoyarse en actividades como las que se
describen a continuación.
• Planteamiento de preguntas y problemas a partir de la información
que puedan obtener de ilustraciones
y documentos.
Es conveniente que durante el desarrollo de estas actividades el maestro
ayude a los niños a entender las reglas
de los distintos juegos, cuando éstas
sean difíciles, y a anticipar lo que creen
que sucederá.
• Identificación de preguntas que pueden o no responderse, a partir de la
información contenida en un texto.
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MATEMÁTICAS
En este grado se empieza a manejar
a través de las actividades de “Canicas
de colores”, página 114, la noción de
mayor o menor probabilidad de que
ocurra un evento, al analizar la posibilidad de sacar de una caja una canica
de algún color determinado (véase la
página 50 de este libro).
rrera a veinte”, del libro Juega y aprende matemáticas, página 57.
Se sugiere al maestro permitir una
amplia flexibilidad en lo que se refiere
a las caracterizaciones que hagan los
niños de los juegos, dada la dificultad
para establecer afirmaciones rigurosas respecto al concepto de azar, sobre
todo en este nivel.
En un primer momento los niños
pueden asociar el término azar a la
palabra suerte que ellos manejan. Sin
embargo, hay que promover gradualmente su significado correcto. También deben aprender que existe una
gran variedad de juegos en los que el
azar no interviene. En éstos siempre
hay una estrategia para ganar, como
en el ajedrez o como en el juego “Ca-
Es recomendable también que el
maestro utilice los juegos practicados
en su región o localidad para el trabajo
sobre la predicción y el azar. Una tarea
puede consistir, precisamente, en indagar cuáles son los juegos propios
del lugar y, entre ellos, distinguir los
que son de azar.
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CUARTO GRADO
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o
gand
e
v
a
N
A
Cada lancha lleva 8 personas.
Completa la tabla
¿Cuántas personas pueden navegar en 10 lanchas?
¿Cuántas en 15 lanchas?
¿Cómo puedes calcular el número de personas
que viaja en 35 lanchas?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Lanchas
1
2
3
Personas
8
16
24
4
5
10
12
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MATEMÁTICAS
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a
Rulet ca
gi
ecoló
Regar
Sembrar
Aflojar
tierra
Abonar
B
¿Qué
es
Regar más prob
a
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Semb aflojar la ble?
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.
¿Qué r o regar.
es
Abona menos pr
obable
r
?
Afloja o regar.
r la tie
rra o
sembr
ar.
A
Si un niño lanza un dardo hacia el disco, ¿qué
actividad es más probable que señale?
¿Cuál crees que sea la actividad que salga menos?
¿Por qué?
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Recomendaciones de evaluación
La evaluación es uno de los aspectos
las dificultades que enfrentan y las
actividades que conviene que realicen
para superarlas.
de mayor complejidad en la enseñanza, pues no consiste solamente en otorgar una calificación a los alumnos,
sino en la apreciación permanente de
su aprendizaje. Muchas veces la evaluación no se considera como parte del
proceso de aprendizaje, sino como el
momento en el que se miden conocimientos terminales a partir de la calificación de un examen.
• La estimación y el cálculo mental
que realizan los alumnos al dar una
respuesta aproximada a determinadas situaciones son también habilidades que deben considerarse y valorarse mediante la observación, la
revisión de los trabajos y la participación individual y en grupo.
En el caso de las matemáticas, el
maestro debe tener presente que los
conceptos se construyen paulatinamente, por lo que su adquisición deberá ser valorada a lo largo de todo el año
escolar, a partir del desempeño del
alumno en las diferentes actividades
de aprendizaje. La evaluación, desde
este punto de vista, no corresponde a
una sesión específica o a un examen
cada mes.
• Las destrezas y habilidades que
muestran los niños en el manejo de
los instrumentos geométricos, por
sencillos que éstos sean, son indicadores del grado de comprensión que
tienen sobre diferentes conceptos o
procedimientos matemáticos asociados a ellos.
Por esta razón, el maestro deberá
valorar el avance de los alumnos al
observar la forma en que manejan los
instrumentos geométricos, así como
su habilidad para realizar los trazos.
Generalmente, los errores que cometen los niños son muestra del grado
de comprensión que han alcanzado de
un concepto. En este sentido, los errores no constituyen un elemento para
etiquetar a los que saben y a los que no
saben, sino que son una fuente muy
importante para que los niños busquen nuevos procedimientos para resolver problemas y para que el maestro sepa cómo piensan sus alumnos,
• También es importante considerar
si los alumnos logran analizar la información contenida en diferentes
documentos e ilustraciones, así como
plantear preguntas y problemas relacionados con dicha información,
sin olvidar que deben tener la capa51
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MATEMÁTICAS
cidad para relacionar y “escoger” la
operación u operaciones adecuadas
para resolver el problema.
bas, registros, observaciones, anécdotas, etcétera), con la finalidad de
observar la evolución de la aplicación
de las operaciones y diferentes estrategias en la resolución de problemas,
además de los avances en los trazos y
análisis de figuras geométricas. Dicho expediente puede servir también
para el registro de actividades y avances que presenten en cualquiera de
las otras asignaturas.
• Respecto a la medición, es conveniente que el maestro observe el desarrollo paulatino de la habilidad de
sus alumnos para utilizar los instrumentos y las unidades de medida
convencionales (de longitud, superficie, medidas angulares, capacidad,
peso y tiempo), no sólo en la resolución de problemas escritos, sino fundamentalmente en su uso práctico y
en la decisión del niño para seleccionar la unidad adecuada para cada
contexto.
En síntesis, la evaluación en Matemáticas debe realizarse desde el primer día de clases, con el propósito de
obtener información acerca de los conocimientos y avances de los niños.
Esta información sirve al maestro para
ajustar las actividades de enseñanza a
las necesidades y momentos particulares de aprendizaje de los alumnos.
Juan Francisco Ríos
• Es conveniente elaborar un expediente individual de los alumnos que contenga diferentes documentos (prue-
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Sugerencias bibliográficas
para el maestro
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—, Fuenlabrada, Irma, Hugo Balbuena y
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Ávila, Alicia, Los niños también cuentan,
México, SEP, 1994 (Libros del Rincón).
—, Fuenlabrada, Irma, David Block, Patricia Martínez y Alicia Carvajal, Lo que
cuentan las cuentas de sumar y de restar,
México, SEP, 1994 (Libros del Rincón).
Baldor, Aurelio, Aritmética teórico práctica,
8a ed., México, Publicaciones Cultural,
1993.
Godino, J., Azar y probabilidad, Madrid,
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—, Geometría plana y del espacio y trigonometría, 2a ed., España, Vasco Americana, 1967.
SEP, Guía para el maestro. Tercer grado, Méxi-
co, 1992.
—, Pelos y plumas, México, SEP, 1992 (Libros
del Rincón).
Block, David, Irma Fuenlabrada, Hugo
Balbuena y J. Leove Ortega, Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir,
México, SEP, 1993 (Libros del Rincón).
—, Papirolas 1, México, SEP/Petra Ediciones, 1992 (Libros del Rincón).
—, Irma Fuenlabrada, Alicia Carvajal y
Patricia Martínez, Los números y su representación, México, SEP, 1991 (Libros
del Rincón).
Tison, Annette y Talus Taylor, Grandes y
pequeños, México, SEP, 1992 (Libros del
Rincón).
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Bibliografía consultada y créditos de ilustración
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Peltier, Marie-Lise y Claudette Clavié,
Objetif calcul. CE1, París, Hatier, 1992.
—, Objetif calcul. Livre du maitre, París,
Hatier, 1992.
Ducel, Yves y Marie-Lise Peltier, Approche
de la geometrie par le dessin geometrique au
CM2, Francia, IREM de Rouen, 1986.
SEP, Matemáticas. Tercer grado, México, 1993.
—, Los niños también cuentan. Procesos de
construcción de la aritmética en la escuela,
México, 1994 (Libros del Rincón).
Ermel, Apprentissages numériques et résolution de problémes, París, Hatier, 1991.
Vergnaud, Gerard “Psychologie du
developpement cognitif et didactique
des mathématiques”, en Grand N (38),
Francia, IREM/CRDP, 1986.
Holloway, G., Concepción del espacio en el
niño según Piaget, Argentina, Paidós,
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INRP, “Comment font-ils?”, en Rencontres
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—, “Un, deux... beaucoup, passionnément!
Les enfants et les nombres”, en Rencontres Pédagogiques (21), París, 1988.
Créditos de ilustración, Matemáticas.
Tercer grado, México, SEP, 1993; páginas
20, 27, 28, 35, 39 y 52.
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Libro para el maestro.
Matemáticas. Cuarto grado,
se imprimió por encargo de la
Comisión Nacional de los Libros de Texto Gratuitos,
en los talleres de
,
con domicilio en
,
el mes de
de 200 .
El tiraje fue de
ejemplares
más sobrantes para reposición.
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