Ayudantía 4 I. Consumo Inter-temporal. Profesor: Juan Luis Correa

Ayudantía 4
Profesor: Juan Luis Correa
Carolina Ariztía [email protected]
I.
(1)
Consumo Inter-temporal.
Un individuo vive 2 periodos. Tiene función utilidad instantánea.
𝑈(𝐶1 , 𝐶2 ) = ln(𝐶1 ) + 𝛽ln⁡(𝐶2 )
(a) Encuentre los consumos óptimos inter-temporal
(b) Si 𝛽 = 1 ¿Cómo son los consumos óptimos? ¿Qué significa lo obtenido?
(c) Si 𝛽 = 0.5 ¿Cómo son los consumos óptimos? ¿Qué significa lo anterior?
(d) En resumen, ¿Qué rol o importancia tiene el beta en esta función de
utilidad? Grafique los resultados obtenidos en (b) y (c)
(e) Suponga que aumenta el r. Qué sucede con los consumos. Grafique y
explique efectos sustitución e ingreso
(2)
Suponga que una familia vive durante dos periodos y gana $100 en el
primero y $200 en el segundo. La tasa de interés es 10%.
(a) Dibuje la restricción presupuestaria
(b) ¿Cuál es el ingreso permanente de esta familia? ¿El ingreso corriente?
(c) Si la familia desea consumir exactamente el mismo monto en ambos
periodos, ¿Cuál será el valor de su consumo en cada período? ¿A cuánto
alcanza el ahorro o endeudamiento en cada periodo?
(d) ¿Cómo cambiaría la restricción presupuestaria con respecto a la letra (a)
si la familia pudiera prestar, pero no endeudarse? Si sus preferencias
siguen siendo las mismas, ¿Quedaría en mejores o peores condiciones?
(e) ¿Cómo cambiaría la respuesta en (c) si la familia tuviera enormes
preferencias por el consumo corriente? (Explicar con palabras)
(3)
Suponga un individuo que tiene preferencias entre consumo presente y
futuro del tipo: 𝑈 = 𝐶1𝛼 𝐶21−𝛼 . Además tiene como dotación 𝑌0 = 100, 𝑌1 =
120. Suponga que la tasa de interés que enfrenta es 20%.
(a) ¿Cuánto vale la riqueza del individuo hoy?
(b) ¿Cuánto consume en el presente y futuro? (Exprese en función de alfa)
(c) ¿Para qué valores del parámetro alfa este individuo es un deudor neto en
el periodo 1?
(d) Si alfa es 0.5, encuentre C1, C2, S1 y S2. Grafique
(e) Partiendo de (d), encuentre el valor del ingreso permanente de este
individuo, ¿Qué ocurre con dicho valor si alfa es 1?
II.
Comentes
(1) ¿Qué efectos macro cree usted que tendrá para Chile un anuncio
realizado por el gobierno respecto de entregar un bono de $20.000 para
las familias más pobres, para que puedan superar en parte el alza de los
bienes de consumo básico de los últimos meses?
(2) Suponga un shock tecnológico negativo temporal, que disminuye la
productividad (y por ende el ingreso) solo en el periodo 1. Como la tasa
de interés sube, nos encontramos en una menor curva de utilidad. Esto
último indica que la propensión marginal a consumir y a ahorrar
disminuye.
Soluciones
I.
(1)
(a) 𝑇𝑀𝑆𝑆 = 𝑇𝑀𝑆𝑇 → ⁡⁡ −
𝜕(ln(𝐶1 )+𝛽 ln(𝐶2 ))
𝜕𝐶1
= −(1 + 𝑟)
1
=𝐶
𝜕(ln(𝐶1 )+𝛽 ln(𝐶2 ))
𝜕𝐶1
𝜕𝑈
𝜕𝐶1
𝜕𝑈
𝜕𝐶2
1
𝛽
=𝐶
2
𝜕𝑈
1
𝐶2
𝜕𝐶1
𝐶1
−
=
=
= −(1 + 𝑟)
𝜕𝑈
𝛽
𝛽𝐶1
𝐶2
𝜕𝐶2
 𝐶1 𝛽(1 + 𝑟) = 𝐶2
𝐶
𝑌
2
2
Remplazando en restricción 𝐶1 + 1+𝑟
= 𝑌1 + 1+𝑟
tenemos
𝐶1∗ = (𝑌1 +
𝐶2∗ = (𝑌1 +
𝑌2
1
)⁡
1 + 𝑟 𝛽(1 + 𝑟)
𝑌2
𝛽
)⁡
1 + 𝑟 (1 + 𝛽)(1 + 𝑟)
(b) si 𝛽 = 1
𝑌2 1
)
1+𝑟 2
𝑌2
1
1
𝐶2∗ = (𝑌1 +
)⁡
= (𝑌1 (1 + 𝑟) + 𝑌2 )
1 + 𝑟 2(1 + 𝑟) 2
𝐶1∗ = (𝑌1 +
El consumo es el promedio de los ingresos de ambos periodos. Y para el
segundo período hay un ajuste por la tasa de interés (está en valor futuro)
(c) si 𝛽 = 0.5
𝑌2
1
𝑌2
)
= (𝑌1 +
)0.66
1 + 𝑟 1.5
1+𝑟
𝑌2
0.33
𝐶2∗ = (𝑌1 +
)⁡
1 + 𝑟 (1 + 𝑟)
𝐶1∗ = (𝑌1 +
Hay mayor preferencia a consumir en el presente
(d) Es un factor de descuento, una proporción del consumo del valor presente.
Variable importante en la toma de decisiones de consumo. Muestra las
preferencias del consumidor.
Si 𝛽 < 1 prefiero consumo presente
Si 𝛽 = 1 consumo lo mismo en ambos periodos
Si 𝛽 > 1 prefiero consumo futuro
𝛽=1
𝛽<1
P1
(e)
𝑌1 (1 + 𝑟) + 𝑌2
𝑌
2
𝑌1 + 1+𝑟
B-A efecto sustitución
C-A efecto ingreso
Es más caro consumir hoy, por lo que sustituyo consumo actual por el futuro.
Hay efecto sustitución agregado positivo.
Hay aumento ingreso para ahorrador y disminución de ingreso para deudor,
por lo tanto, el efecto ingreso agregado es cero.
(2)
𝑌
2
(a) 𝑤 = 𝑌1 + 1+𝑟
𝑤1 = 100 +
200
1.1
= 281.82
𝑤2 = 100 ∗ 1.1 + 200 = 310
𝐶
𝑌
2
2
(b) 𝐶1 + 1+𝑟
= 𝑌1 + 1+𝑟
𝑌𝑝
𝑌
2
𝑌𝑝 + 1+𝑟 = 𝑌1 + 1+𝑟
𝑌𝑝(1+𝑟)+𝑌𝑝
1+𝑟
=
𝑌𝑝(2+𝑟)
1+𝑟
𝑌
2
= 𝑌1 + 1+𝑟
1+𝑟
𝑌
1.1
200
2
𝑌𝑝 = 2+𝑟 ∗ (𝑌1 + 1+𝑟
)
𝑌𝑝 = 2.1 ∗ (100 +
1.1
) = 147.62
𝑌𝑐1 = 100,⁡⁡⁡⁡⁡𝑌𝑐2 = 200
(c) 𝐶1 = 𝐶2 = 𝑌𝑝 = 147.62
𝑆1 = 𝑌1 − 𝑌𝑝 = 100 − 147.62 = −47.62
Endeudamiento
𝑆2 = 𝑌2 − 𝑌𝑝 = 200 − 147.62 = 52.4
Ahorro (para el primer periodo, no hay
ahorro para el futuro, en el fondo consumo lo que me quedó del valor presente
del ingreso)
(d) Como no se puede endeudar está peor, ya que no puede consumir todo lo que
necesita o quiere.
(e) Sin importar el futuro, la familia consume todo en el presente. 281.82
(3)
𝑌
2
(a) 𝑤1 = 𝑌1 + 1+𝑟
= 100 +
(b) 𝑇𝑀𝑆𝑆 = −
𝜕(𝐶1𝛼 𝐶21−𝛼 )
𝜕𝐶1
1.2
= 200
= 𝑇𝑀𝑆𝑇 = −(1 + 𝑟)
= 𝛼𝐶1𝛼−1 𝐶21−𝛼
𝜕(𝐶1𝛼 𝐶21−𝛼 )
𝜕𝐶1
𝜕𝑈
𝜕𝐶1
𝜕𝑈
𝜕𝐶2
120
= (1 − 𝛼)𝐶1𝛼 𝐶2−𝛼
𝜕𝑈
𝛼𝐶1𝛼−1 𝐶21−𝛼
𝜕𝐶1
−
=−
= −(1 + 𝑟)
𝜕𝑈
(1 − 𝛼)𝐶1𝛼 𝐶2−𝛼
𝜕𝐶2
𝛼𝐶
2
Entonces (1−𝛼)𝐶
= (1 + 𝑟)
1
𝛼𝐶2
→ ⁡ (1−𝛼)(1+𝑟)
= 𝐶1
y ⁡𝐶2 =
𝐶
𝐶1 (1−𝛼)(1+𝑟)
𝛼
𝑌
2
2
Remplazando en 𝐶1 + 1+𝑟
= 𝑌1 + 1+𝑟
Tenemos
𝛼𝐶2
(1−𝛼)(1+𝑟)
𝐶
𝑌
2
2
+ 1+𝑟
= 𝑌1 + 1+𝑟
𝛼𝐶2 +(1−𝛼)𝐶2
(1−𝛼)(1+𝑟)

𝑌
2
= 𝑌1 + 1+𝑟
= 200
𝐶 ∗ 2 = (1 − 𝛼)240
Haciendo el mismo proceso de evaluar 𝐶2 en la RP, tenemos
𝐶 ∗1 = 𝛼200
(c) 𝑌1 < 𝐶1 → 𝑌1 − 𝐶1 < 0⁡
100 − 𝛼200 < 0
0.5 < 𝛼
(d)
𝐶 ∗ 2 = (1 − 0.5)240 = 120
𝐶 ∗1 = 0.5 ∗ 200 = 100
𝑃2
𝑆1 = 𝑆1 = 0
240
120
100
1+𝑟
200
𝑌
P1
1.2
2
(e) 𝑌𝑝 = 2+𝑟 ∗ (𝑌1 + 1+𝑟
) = 2.2 ∗ (100 +
120
1.2
) = 109.09
Si 𝛼 = 1 sólo se valora el consumo en periodo 1. Preferencia de consumir todo
en C1.
𝐶 ∗1 = 1 ∗ 200 = 200
II. Comentes
(1) Depende de si el ingreso es temporal o permanente. Si es temporal se
ahorra en el banco, si es permanente se modifican las preferencias de
consumo (aumenta el consumo). Los efectos macro son efecto sustitución
e ingreso. Si es permanente, el efecto ingreso y sustitución son
(2) Falso. Como disminuye la productividad, se desplaza la restricción
presupuestaria, pero la tasa de interés no cambia, no hay sustitución
inter-temporal por cambio en tasa. La utilidad disminuye por baja en las
posibilidades de consumo.
Efectivamente disminuye tanto la propensión marginal a consumir y a
ahorrar. Pero esto no es una consecuencia directa de baja en la curva de
utilidad, si no que de la productividad. Puede suceder (como se ve en el
gráfico dos) que por disminución en (por ejemplo) el ingreso presente,
disminuya la curva de utilidad, pero que aumente alguna de las
propensiones marginales.