Sólido de Lagrange - Escuela Técnica Superior de Ingenieros

Sólido de Lagrange
Mecánica II
Tema 11
Manuel Ruiz Delgado
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos
Universidad Politécnica de Madrid
Sólido de Lagrange– p. 1/22
Sólido de Lagrange
Sólido pesado con punto fijo
Sólido de Lagrange
Reducción a cuadraturas
Análisis cualitativo
Movimientos estacionarios
Movimiento pseudoregular del trompo rápido
La Tierra como sólido de Lagrange: Precesión de los equinoccios
Sólido de Lagrange– p. 2/22
Sólido pesado con punto fijo
Eje Oz1 fijo vertical ascendente:
Ejes sólido principales en O : Ii = A, B, C
OG = (ξ, η, ζ)0 = (ξ1 , η1 , ζ1 )1
En el caso general hay dos integrales primeras:
Rótula lisa, peso → conservativo:
1
2
2
2
Ap + Bq + Cr + mgζ1 = E
2
z1
z
θ
x
G
O
ζ1
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
x1
mg y1
y
El peso no da momento según Oz1 , pues ~g k k1 :
dHO
· k1 =
· k1 = 0
dt
HO = (Ap, Bq, Cr)0 ;
MD
O
⇒
HO · k1 = Hz1 = Cte.
k1 = (sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, cos θ)0
(Ap sin ϕ + Bq cos ϕ) sin θ + Cr cos θ = Hz1
Sólido de Lagrange– p. 3/22
Sólido pesado con punto fijo
Hace falta otra ecuación, p.e., una de las de Euler:




Aṗ + qr(C − B)
 η cos θ − ζ sin θ cos ϕ 
B q̇ + pr(A − C) = −mg
ζ cos θ sin ϕ − ξ cos θ




C ṙ + pq(B − A)
sin θ (ξ cos ϕ − η sin ϕ)
No se pueden integrar analíticamente en el caso general. Pueden
reducirse a cuadraturas en dos casos:
Sólido de Sofía Kowaleskaya: A = B = 2C, ζ = 0
Sólido de Lagrange: A = B, ξ = η = 0 (trompo simétrico).
Sólido de Lagrange– p. 4/22
Sólido de Lagrange
Sólido pesado con punto fijo, elipsoide de inercia
de revolución (A = B ) y centro de masas en el
eje (ξ = η = 0).
En este caso, la tercera ecuación de Euler da
una integral primera:
z1
z0
y0
.
ψ
θ
.
ϕ
θ
O
mg
x1
ψ
.
θ
ψ
y1
x0
C ṙ + pq(
B
−
A) = −mg sin θ (ξ cos ϕ − η sin ϕ)
⇒
r = r0
Las dos integrales primeras del caso general quedan:
2
2
A p + q + Cr02 + 2mgζ cos θ = 2E
A (p sin ϕ + q cos ϕ) sin θ + Cr0 cos θ = Hz1
Ahora el problema puede reducirse a cuadraturas.
Sólido de Lagrange– p. 5/22
Sólido de Lagrange: reducción a cuadraturas
2
A p +q
2
+ Cr02 + 2mgζ cos θ = 2E
A (p sin ϕ + q cos ϕ) sin θ + Cr0 cos θ = Hz1
Sustituyendo p y q por sus valores en función de los ángulos de Euler
y sus derivadas,
θ̇ + ψ̇ sin θ =
2E−Cr02
A
−
2mgζ
A
ψ̇ sin2 θ
Hz 1
A
−
C
A
2
2
2
=
cos θ =
r0 cos θ =
α − a cos θ
β − b r0 cos θ
α y β dependen de las condiciones iniciales
a y b dependen de la geometría de masas del sólido
Eliminando ψ̇ , queda una ecuación en θ̇2 y θ → cuadratura
Las cuadraturas pueden integrarse mediante funciones elípticas
Sólido de Lagrange– p. 6/22
Sólido de Lagrange: reducción a cuadraturas
De la integral de la energía se obtiene una cuadratura para t(θ)
2
2
Z t
Z θ
dθ
β − br0 cos θ
±dθ
p
= α−a cos θ−
= f (θ) →
dt =
dt
sin θ
f (θ)
t0
θ0
Sustituyendo este dt en la del momento cinético, se obtiene ψ(θ):
β − br0 cos θ
ψ̇ =
sin2 θ
→
ψ − ψ0 = ±
Z
θ
θ0
β − br0 cos θ dθ
p
2
sin θ
f (θ)
Y finalmente, de r0 se obtiene ϕ(θ)
r0 = ϕ̇+ψ̇ cos θ → ϕ − ϕ0 = ±
Z
θ
θ0
β − br0 cos θ
dθ
cos θ p
r0 −
2
sin θ
f (θ)
Sólido de Lagrange– p. 7/22
Sólido de Lagrange: análisis cualitatativo
Mediante dos integrales primeras se ha dejado la de la energía sólo
como función de θ̇2 y θ → se puede hacer un análisis cualitativo:
2
θ̇ = α − a cos θ −
β − br0 cos θ
sin θ
2
2 ′
=
E − Vef (θ) ≥ 0
A
queda más simple con el cambio u = cos θ, que da u̇ = −θ̇ sin θ:
θ̇2 sin2 θ = (α − a cos θ) sin2 θ − (β − br0 cos θ)2
⇒
2
2
u̇ = (α − au) 1 − u
⇒
− (β − br0 u)2
Con lo que, tomando la constante E ′ como cero, queda:
2
2
Vef (u) = − (α − au) 1 − u + (β − br0 u)2
A
Sólido de Lagrange– p. 8/22
Sólido de Lagrange: análisis cualitatativo
2
A Vef (u)
= − (α − au)
1 − u2
+ (β − br0 u)2 ≤ 0.
Polinomio de grado 3 con las siguientes propiedades:
u
Vef (u)
−∞
+
−1
+
u0
−
1
+
Vef (u)
θ1
u
0
−1
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
u1
u2
∞
−
1
θ2
1 u3
−1
Traza del eje de revolución sobre la esfera unidad
Sólido de Lagrange– p. 9/22
Sólido de Lagrange: casos
Ṽef (u) = − (α − au) 1 − u
+ (β − br0 u)2
β
ψ̇ = 0 → u =
br0
2
∗
ψ̇ sin θ = β − br0 u
β br0 > 1
2
Vef(u)
∗
|u | > 1
u
∗
⇒
u ∈
/ [u1 , u2 ]
*
u
u1
−1
u2
u3
0
1
Vef(u)
α > au
β br0 < 1
u∗ ∈ [u1 , u2 ]
∗
*
u
u
u1
−1
u2
u3
0
1
Vef(u)
α < au
u∗ ∈
/ [u1 , u2 ]
∗
|u∗ | < 1
u*
u
u1
−1
u2
0
u3
1
Vef(u)
α = au
∗
∗
u = u2
′
∗
V (u ) = a 1 − u
∗2
>0
u*
u
u1
−1
u2
0
u3
1
Sólido de Lagrange– p. 10/22
Sólido de Lagrange: casos
Vef(u)
θ̇(1) =
α>a
β
br
0
=1
u∗ = +1
V ′ (1) =
2(α − a)
√
α−a
−1
u
u3
u2
u1
0
1
Vef(u)
α<a
u
u = 1 imposible, pues T < 0
u1
−1
α=a
>
b2 r02
2a
=
2a
0
u3
1
Vef(u)
b2 r02
2a
b2 r02
u2
Trompo dormido estable
Transición:
=
ω∗
√
2
Amgζ
C
u
u1=u2
−1
0
u3
1
Vef(u)
u
u1=u2=u3
−1
0
1
Vef(u)
<
Trompo dormido inestable
u
u2=u3
u1
−1
0
1
Sólido de Lagrange– p. 11/22
Sólido de Lagrange: casos
Vef(u)
u1
β br0 = 1
∗
u = −1
u2
α+a>0
−1
0
u3
u
1
′
V (1) = −2(α + a)
Vef(u)
α+a=0
u
u1=u2
−1
u3
0
1
Sólido de Lagrange– p. 12/22
Trompo dormido
Ṽef (u) = − (α − au) 1 − u + (β − br0 u)2
′
2
Ṽef (u) = a 1 − u + 2u (α − au) − 2br0 (β − br0 u)
2
′′
Ṽef
(u) = 2 (α − au) −4au + 2b2 r02
Vef(u)
Disipación: r0 ↓
Vef(u)
Vef(u)
u
u
u1=u2
−1
0
1
u
u3
u1
u1=u2=u3
−1
0
1
−1
u2=u3
0
1
Sólido de Lagrange– p. 13/22
Trompo dormido
Aplicación del trompo dormido: estabilización de proyectiles por
rotación
θ̇
Fr
Fr
ϕ̇
θ
v
v
ψ̇
Sólido de Lagrange– p. 14/22
Movimiento estacionario
Movimiento con θ = θ0 , θ̇ = 0, ψ̇ = ψ̇0 y ϕ̇ = ϕ̇0
Las condiciones inciales necesarias se pueden obtener de
′ (u) = 0
análisis cualitativo: hacer Vef
ecuaciones de Euler: hacer θ̇ = θ̈ = ψ̈ = ϕ̈ = 0
En el movimiento estacionario se cumple para u = u0 = cos θ0
Vef (u0 ) = −(α − au0 )(1 − u20 ) + (β − br0 u0 )2 = 0
′
Vef
(u0 ) = a(1 − u20 ) + 2u0 (α − au0 ) − 2br0 (β − br0 u0 ) = 0
La primera no dice nada: se cumple siempre que se lance con
θ̇ = 0. Lo propio del estacionario es que se anule la derivada.
θ̇0 = 0
θ̈0 = 0
Sólido de Lagrange– p. 15/22
Movimiento estacionario
′
Vef
(u0 ) = a(1 − u20 ) + 2u0 (α − au0 ) − 2br0 (β − br0 u0 ) = 0
Las constantes α, β , en función de las condiciones iniciales,
2
2
2
θ̇
+
ψ̇
sin
θ0 = α − au0
0
0
ψ̇0 sin2 θ0 = β − br0 u0
se sustituyen en la derivada del potencial,
h
i
h
i
a 1 − u20 + 2u0 ψ̇02 1 − u20 − 2br0 ψ̇0 1 − u20 = 0
Como sólo interesan los casos con |u0 | =
6 1, queda:
a + 2u0 ψ̇02 − 2br0 ψ̇0 = 0
Sólido de Lagrange– p. 16/22
Movimiento estacionario
a + 2u0 ψ̇02 − 2br0 ψ̇0 = 0
Es más intuitivo usar ϕ̇0 en vez de r0 :
a + 2u0 (1 − b) ψ̇02 − 2b ϕ̇0 ψ̇0 = 0
Esta expresión es cuadrática en la ψ̇0 y lineal en la ϕ̇0 :
√ 2 2
√ 2 2
2bϕ̇0 + 4b ϕ̇0 −8au0 (1−b)
2bϕ̇0 − 4b ϕ̇0 −8au0 (1−b)
l
ψ̇0r =
ψ̇
=
0
4u0 (1−b)
4u0 (1−b)
Habrá dos valores de la precesión, rápida y lenta, si:
(ϕ̇∗0 )2
2a
≥ 2 u0 (1 − b) = ω ∗ 2 u0 (1 − b)
b
donde ω ∗ es la velocidad crítica del trompo dormido.
Sólido de Lagrange– p. 17/22
Movimiento estacionario
La rotación propia es única, y tiene dos términos:
a
u0 (1 − b)
mgζ
C
ϕ̇0 =
+
ψ̇0 =
+ 1−
r0
b
A
2b ψ̇0
ψ̇0
Uno, inversamente proporcional a la precesión, recoge el
efecto del peso a través de a = 2mgζ/A. El otro, proporcional a la
precesión, se debe a la inercia como en el sólido de Poinsot.
Para valores altos de ϕ̇0 ,
a
l
Precesión lenta: efecto del peso dominante: ψ̇0 ≃
2bϕ̇0
Precesión rápida: inercia dominante:
ψ̇0r
bϕ̇0
≃
u0 (1 − b)
Sólido de Lagrange– p. 18/22
Movimiento estacionario
mgζ
ϕ̇0 =
+
ψ̇0
u0 > 0
ϕ̇0
C
1−
A
cos θ0 ψ̇0
b < 1: Prolato
ψ̇0l
ψ̇0r
ω∗
p
u0 (1 − b)
ψ̇0
b > 1: Oblato
Sólido de Lagrange– p. 19/22
Precesión de los equinoccios
Movimiento de la Tierra como sólido de Lagrange:
ω
S
T
Sólido de Lagrange– p. 20/22
Precesión de los equinoccios
Primavera
Verano
Invierno
23,5o
Otoño
Sólido de Lagrange– p. 21/22
Precesión de los equinoccios
Círculo
Polar Ártico
Invierno en el
hemisferio norte
Trópico
de Cáncer
23o 26′
día
noc
he
Verano en el
hemisferio norte
Trópico
de Capricornio
Sólido de Lagrange– p. 22/22