Series y Transformada de Fourier

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Series y Transformada de Fourier
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17/11/99
Series de Fourier
Transformada de Fourier
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Series de Fourier
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Las series de Fourier describen señales periódicas como una
combinación de señales armónicas (sinusoides).
Con esta herramienta podemos analizar una señal periódica en
términos de su contenido frecuencial o espectro.
Nos permitirá establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia,
de forma que operaciones realizadas en el dominio temporal
tienen su dual en el dominio frecuencial.
Forma trigonométrica de las series de Fourier: se pretende
describir una función periódica xp(t) de periodo T (frecuencia
fundamental f0=1/T, ω0=2π f0).
a0
+ a1 cos(ω 0t ) + + ak cos(kω 0t ) + + b1 sin(ω 0t ) + + bk sin(kω 0t ) + 2
a0 ∞
= + ∑ ak cos(kω 0t ) + bk sin(kω 0t )
2 k =1
x p (t ) =
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Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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Series de Fourier
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En forma exponencial:
x p (t ) =
∞
∑ X [k ]exp( jkω
s
0
t)
k =−∞
Se ha empleado la ecuación de Euler : e ± jα = cos α ± j sen α
1
◆ Se demuestra que
X s [k] = (ak − jbk )
2
1
X S [k ] = ∫ xp (t )exp(− jkω0t)dt
❒ Cálculo de los coeficientes
TT
◆
❒
Relación de Parseval
◆
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∞
1
2
2
Px = ∫ x p (t )dt = ∑ Xs [k ]
T T
k = −∞
La potencia contenida en una señal puede evaluarse a partir de los
coeficientes de su correspondiente serie de Fourier.
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Series de Fourier
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Espectro de señales periódicas : Los coeficientes Xs[k] son los
coeficientes espectrales de la señal xp(t).
La gráfica de esos coeficientes en función del índice armónico
k ó de las frecuencias kω0, se denomina espectro.
Hay dos tipos de gráficos, uno de magnitud con los coeficientes |Xs[k]| y otro de la fase de Xs[k].
La función |Xs[k]| así como la fase de Xs[k] son funciones
discretas de la frecuencia.
Es importante saber cuantos armónicos serán necesarios para
reconstruir una señal dada. Para ello utilizaremos la relación
de Parseval.
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Series de Fourier
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Un parámetro importante en la reconstrucción de señales es la
velocidad de convergencia, o lo que es lo mismo la velocidad
a la cual los coeficientes de Fourier tienden a 0.
Propiedades Superposicion αx (t ) + βy (t ) ↔ αX [k ] + βY [k ]
p
Derivada
p
S
x ′p (t ) ↔ jk 2πf 0 X S [k ]
t
S
(k ≠ 0)
X [k ]
+C
jk 2πf 0
Integral
∫0
Retraso
x p (t − α ) ↔ X S [k ] exp( − jk 2πf 0α )
Escalado
x p (αt ) ↔ X S [k ] (armonicos en f = kf 0α )
x p (t )dt ↔
(k ≠ 0 )
x p ( −t ) ↔ X S [− k ] = X S* [k ]
1
{ X S [k − m] + X S [k + m]}
2
Modulacion
cos( m 2πf 0 t ) x p (t ) ↔
Convolucion
1
x p (t + α ) + x p (t − α ) ↔ cos(2πf0 α ) X S [k ]
2
x p (t ) y p (t ) ↔ X S [k ]∗ YS [k ]
{
}
x p (t ) • y p (t ) ↔ X S [k ]YS [k ]
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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Series de Fourier
❒
Respuesta de un sistema a entradas periódicas
◆
Tenemos un sistema cuya respuesta a impulso es h(t). Si sometemos
esta sistema a una entrada armónica x(t)=exp(jωt), la respuesta y(t)
será la convolución de h(t) con x(t):
y(t ) =
◆
∞
∞
−∞
−∞
∫ h(λ ) exp{ jω (t − λ )}dλ = exp( jωt ) ∫ h(λ ) exp( − jωλ )dλ =x (t ) H (ω )
Como toda señal xp(t) puede ser expresada como una suma infinita de
armónicos y aplicando el principio de superposición:
x p (t ) =
∞
∑
k =−∞
◆
◆
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X S [k ] exp( jkω 0 t ) ↔ y p (t ) =
∞
∑ X S [k ]H[kω 0 ]exp( jkω 0 t )
k =−∞
La respuesta del sistema a una señal periódica es también una señal
periódica de la misma frecuencia que la señal de entrada, pero con
diferentes magnitudes y fases.
La respuesta de un sistema a entradas armónicas nos da la respuesta
estacionaria del sistema.
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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Series de Fourier
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Efecto Gibbs
◆
◆
◆
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Para señales discontinuas, su reconstrucción a partir de las series de
Fourier produce el llamado efecto Gibbs, que consiste en la aparición
de un pico del 9% en el punto de discontinuidad. Este efecto se da
incluso cuando se emplea un número grande de armómicos para la
reconstrucción.
Si queremos aproximar una función periódica con discontinuidades
que tiene infinitos armónicos, tendremos que truncar la función hasta
el armónico N. Esto nos va a producir el efecto Gibbs.
Para eliminarlo se utilizan las llamadas ventanas espectrales que
suavizan la reconstrucción de la función. Veremos más acerca de estas
ventanas en capítulos próximos.
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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Transformada de Fourier
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Queremos ampliar el concepto de series de Fourier a señales
no periódicas. Podemos visualizar una señal no periódica
como una señal continua de periodo infinito :
◆
◆
◆
❒
El espaciado entre frecuencias se aproxima a 0 y es por tanto una
función continua.
La señal pasa a ser de potencia a señal de energía.
Los coeficientes Xs[k] son 0. Ya no es un indicador del contenido
espectral de la señal.
Se define la Transformada de Fourier de x(t) como
X ( f ) = lim T ⋅ X [ k ] = ∫ x ( t ) exp( − j 2π ft ) dt
Relación entre las Series y la Transformada de Fourier:
∞
T →∞
❒
◆
◆
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S
−∞
X(ω) es la función envolvente de Xs[k].
Si muestreamos X(ω) a intervalos f0, la función resultante es el
espectro de una señal periódica de periodo T0=1/f0.
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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Transformada de Fourier
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◆
◆
❒
Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se corresponde con
señales periódicas en el dominio temporal.
X ( f ) = T ⋅ X S [k ] k ⋅ f
X S [k ] =
X (f
T
0=
f
)
f =k⋅ f0
Transformada Inversa de Fourier para una función X(ω) :
x (t ) =
∞
∫ X ( f ) exp( j 2π ft ) df
−∞
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Transformada de Fourier
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Propiedades de la Transformada de Fourier
Superposicion F {ax(t ) + by(t )} = aX(ω ) + bY (ω )
Derivada
F {x ′(t )} = jωX(ω )
F {x n (t )} = ( jω ) n X(ω )
×t
Desplazamiento F {x( t − α )} = e − jωα X (ω )
F {e j 2παt x( t )} = X ( f − α )
Convolucion
F {− j 2πtx(t )} = 2πX ′(ω )
F { x(t ) y(t )} =
F {(− j 2πt ) n x(t )} = (2π ) n X n (ω )
Integral
Escalado
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t
 1
F  ∫ x(t )dt  =
X(ω ) + πX(0)δ (w)
j
ω
−∞

1
ω
F {x(αt )} = X 
α α
F { x(t )∗ y( t )} = X (ω )Y (ω )
∞
Parseval
1
[ X (ω )∗ Y (ω )]
2π
∞
1
2
(
)
(
)
x
t
dt
=
X
dω
ω
∫
∫
π −∞
−∞
2
Teorema
del valorInicial x(0 + ) = lim [ jωX (ω )]
ω →∞
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Transformada de Fourier
❒
❒
Podemos utilizar la Transformada de Fourier para analizar la
respuesta a sistemas LTI, valiéndonos del hecho de que
convolución en el tiempo equivale al producto en el dominio
frecuencial.
Si la respuesta y(t) a un sistema con una respuesta a impulso
h(t) y entrada x(t) con condiciones iniciales cero es
y(t ) = x (t )∗ h(t )
Aplicando la Transformada de Fourier a ambos miembros,
Y ( w ) = X (ω ) H (ω )
❒
H(ω)=Y(ω)/X(ω) es la función de Transferencia del sistema. Esta
nos permite analizar la respuesta frecuencial del sistema.
Como se vió en las Series de Fourier, se puede analizar la respuesta en el
estado estacionario del sistema a partir de H(ω).
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Transformada de Fourier
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Limitaciones de la Transformada de Fourier
◆
◆
❒
El sistema debe tener condiciones iniciales cero.
Entradas que no son señales de energía requieren el uso de impulsos.
Por ello se extiende el concepto de la Transformada de
Fourier a la Transformada de Laplace.
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Espectro de la señal x(t) = rect(t)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-15
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-10
-5
0
5
Frecuencia (Hz)
10
15
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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Reconstrucción de x(t) (15 armónicos) a partir de muestreos en el espectro
Muestreos cada 0.25 Hz
1.2
1
0.8
x(t)
0.6
0.4
0.2
0
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0
1
2
t (s)
3
4
5
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Reconstrucción de x(t) (15 armónicos) a partir de muestreos en el espectro
Muestreos cada 0.5 Hz
1.2
1
0.8
0.6
x(t)
0.4
0.2
0
-0.2
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0
1
2
t (s)
3
4
5
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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Magnitud vs índice k
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
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0
5
10
15
20
25
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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phase vs k
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Fase vs k
150
100
50
0
-50
-100
-150
0
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5
10
15
20
25
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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
power(o) & cumulative power(*) vs k
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
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0
5
10
15
20
25
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Reconstrucciones de un periodo de x(t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
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0
1
2
3
4
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Reconstrucción con 25 armónicos
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
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0
1
2
3
4
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Reconstrucción real (--) y suavizada (--) con 25 armónicos
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
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0
1
2
3
4
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier
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