NOMBRE DEL EXPERIMENTO: “Descubriendo a Phi”. AUTOR

NOMBRE DEL EXPERIMENTO:
“Descubriendo a Phi”.
AUTOR:
Equipo de Profesores de primer ciclo de ESO del I.E.S. “Arcipreste de
Hita”. C/Poeta Manuel Martínez, 4. CP 19200. Azuqueca, Guadalajara.
e-mail: [email protected]
CATEGORÍA:
Laboratorio de Matemáticas.
PALABRAS CLAVE:
Matemática divulgativa. Números.
¿QUÉ SE PRETENDE MOSTRAR?
La presencia de la Proporción Áurea en los lugares
insospechados, utilizando compases de fabricación sencilla.
más
DIRIGIDO A:
Gran Público, Primaria, Secundaria y Universidad.
MATERIALES NECESARIOS:
Cartón fino, chinchetas encuadernadoras, madera contrachapada
delgada, lija, listones, taladro, remaches o tornillos con tuerca, papel
de embalar, rotuladores.
DNI, tarjetas de crédito, CDs, piñas, flautas, pósters del Partenón, la
Monna Lisa y muestras arquitectónicas representativas de tu localidad
o país.
DESCRIPCIÓN:
a) Fabricación de los compases áureos.
Proponemos construir varios compases a modo de tijeras, que
constan de dos hojas de madera que siguen un patrón proporcional a
éste:
Ambas hojas se unirán con un remache, a través de un orificio que
divide a su longitud en dos partes en razón áurea (≈ 1,618) También
se fabricarán en cartón, unidas por una chincheta para encuadernar.
Se preparan las plantillas en cartulina y se rotulan sobre la madera o
el cartón fino. Es muy importante marcar con precisión los orificios,
para que las aberturas de los compases queden realmente en
proporción áurea.
Si los compases van a construirse en madera es aconsejable
realizarlos en el Taller de Tecnología. Recomendamos utilizar
planchas de madera contrachapada de 3-4 mm de grosor. Una vez
marcado el contorno de las piezas, se fija la plancha con un banco de
mesa y se corta utilizando un arco de sierra de marquetería. El
orificio se practica con un taladro vertical y broca de 4 mm. Las dos
hojas del compás se unen con un remache de tubo y arandela,
con una remachadora manual. También pueden utilizarse tornillo,
arandela y tuerca, pero el acabado no es tan sólido. Por último, se
eliminan picos y astillas con la lija, cuidando de no modificar la
longitud ni la proporción entre los segmentos.
Además de varios compases de mano, se necesitan uno o dos
grandes, de 1m de longitud. La madera debe ser más robusta. Se
pueden utilizar listones para rodapié o similares. El remache es aquí
algo más robusto y laborioso.
b) Descubrimiento de phi.
1) Objetos cotidianos: usaremos los compases de mano para mostrar
cómo el DNI y los carnets de su tamaño verifican con precisión la
razón áurea entre sus lados. Ocurre lo mismo con los radios de un CD
y con las cajitas de algunas marcas de caramelos o gominolas. Las
flautas están divididas en dos zonas que están en proporción áurea:
una contiene la embocadura y otra el tubo con los orificios para la
digitación.
2) El cuerpo humano: Con los compases grandes medimos la
separación vertical entre el ombligo y el suelo, en varias personas y
utilizando la abertura mayor. Se comprobará que la separación entre
el ombligo y la parte superior de la cabeza se corresponde con la
abertura menor en la gran mayoría de los casos. Ocurre lo mismo
entre la longitud total del brazo con los dedos extendidos y la
longitud desde los dedos hasta el codo. Existen más pares de
medidas en razón áurea en el rostro, el tronco y las piernas, pero su
comprobación no es tan precisa ni se verifica con tanta frecuencia.
Sobre un papel de embalar, tendido en el suelo, se traza la silueta de
una persona tumbada. Se marca su ombligo. Se toman las medidas
reales de las distancias ombligo-suelo, ombligo-cabeza, dedoshombro y dedos-codo, se hallan sus cocientes y se plasma todo ello
en el dibujo grande, que quedará expuesto.
3) Phi en la Arquitectura y el Arte: recomendamos que los pósters
con los que se va a trabajar se plastifiquen, para darles rigidez y
conservarlos en buenas condiciones.
El Partenón presenta numerosos pares de dimensiones en proporción
áurea. Con el compás se encuentran fácilmente. Ocurre lo mismo con
la Monna Lisa, en su rostro y en algunas zonas de luz y oscuridad del
cuadro.
En monumentos y edificios singulares del entorno será fácil descubrir
medidas en razón áurea, especialmente en ejemplos de arte
renacentista, pero también en otros estilos.
4) Fibonacci y phi: se incluirá una cartulina plastificada con los
primeros términos de la sucesión de Fibonacci, y se invitará al público
a descubrirlos en las espirales que hay en las piñas o en los girasoles,
y a continuar la sucesión. Se explicará cómo el resultado del cociente
entre dos términos consecutivos se aproxima a phi conforme éstos
van creciendo.
5) El Pentagrama Pitagórico: sobre una cartulina rectangular áurea
(p. ej. De 89x55 cm) se dibuja un pentágono de grandes
dimensiones, y en él se inscribe el Pentagrama Pitagórico.
Se comprueba con el compás áureo que cada longitud está en razón
áurea con la inmediatamente más corta.
6) ¿Cuánto sabes de Phi?: El taller concluye con un juego de tablero
con preguntas y respuestas sobre lo observado y explicado en clase
acerca de phi. Proponemos algunos diseños basados en la Espiral de
Bernouilli o el Pentagrama como patrón de avance de las fichas. Las
papeletas y el tablero serán, por supuesto, rectángulos áureos.
RIESGOS:
Aparecen resaltados en rojo en el texto anterior.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
“Pitágoras. El filósofo del número”, de Pedro Miguel González
Urbaneja, perteneciente a la colección “La matemática en sus
personajes”, editorial Nívola. Es un libro formidable, ameno, muy
instructivo y accesible, todo pedagogía y divulgación.
“La Proporción Áurea”, de Mario Livio, editorial Ariel. Una monografía
sobre el tema que invita a pensar de manera crítica.
PARA SABER MÁS:
Actualmente, es posible encontrar en Internet infinidad de páginas
con información, gráficos y fotografías acerca de la proporción áurea.
No es posible mencionar ninguna en concreto sin ser injusto al obviar
otras muchas. Cualquier buscador os conducirá a abundantes fuentes
de información.
Eso sí, es necesario contrastar lo leído con obras contrastadas. En ese
sentido, el libro de Mario Livio es una referencia obligada.
OBSERVACIONES y SUGERENCIAS:
Cuando trabajamos con alumnos midiendo el cuerpo humano, es muy
conveniente dar a la situación un carácter informal y desenfadado,
haciendo énfasis en lo relativo y pasajero de los cánones de belleza e
incidiendo en la importancia de otros aspectos como la salud y la
aceptación de uno mismo tal como es. La presencia de phi en el
cuerpo debe tratarse más como una curiosidad que como un modelo
de perfección.
Los compases pueden fabricarse en otros materiales (aluminio,
plástico rígido, metacrilato, etc.) y personalizarse con dibujos y
símbolos relativos a la razón áurea (números de Fibonacci,
pentagrama, expresiones de phi como fracción irracional o continua,
espiral de Bernouilli, ...). Para una demostración a gran escala
dirigida a público numeroso puede encargarse una gran cantidad de
compases a una empresa de serigrafía, para repartirlos entre los
asistentes.
Existen otros modelos de compás que también son muy útiles, y sólo
un poco más complejos en su elaboración. Pueden verse en las
fotografías.
El uso de compases puede aplicarse al estudio de muchos más casos
que los expuestos anteriormente; por ejemplo: Espiral logarítmica,
concha del nautilus, triángulos aúreos, Hombre de Vitruvio, etc.
Es importante señalar que no hay acuerdo sobre la presencia estricta
de la proporción áurea en algunos ejemplos del arte y la arquitectura
trabajados aquí. Esta experiencia pretende intuirlos con buena
aproximación, y no demostrar su existencia. Siempre puede hacerse
una valoración estética de lo observado, más allá de la intención del
artista.
Si queremos dar a la experiencia la categoría de unidad didáctica, es
conveniente comenzar el diseño de la actividad por el juego final. La
elección de las preguntas nos orientará en las competencias y en los
objetivos que queramos trabajar, y así tendremos unos criterios
claros para seleccionar las propuestas concretas que mostraremos
después.
¡Ánimo!