Examen parcial de Matem`atiques I Facultat d`Inform`atica

Examen parcial de Matemàtiques I
Facultat d’Informàtica de Barcelona
21 abril 2004
1
Tres pagesos xinesos cultiven arròs col.lectivament i quan arriba l’època de la collita fan tota la
feina plegats. Després, divideixen la collita en tres parts iguals i cadascun d’ells, amb la seva
part, es dirigeix a un mercat diferent a vendre-la. En el primer mercat l’arrós es mesura en
recipients de 87gr., en el segon de 170gr. i en el tercer de 143gr. Aquest any els tres pagesos
venen totes les mesures possibles d’arròs, pèro retornen a la cooperativa amb 18gr., 58gr. i 40gr.
respectivament. Quina quantitat d’arròs havien collit com a mı́nim entre tots tres enguany?
2
De les dues afirmacions següents una és certa i l’altra falsa. Digues quina és quina i demostra-ho.
1) Tot nombre enter compost n > 1 té un factor primer estrictament més gran que la seva
arrel quadrada.
2) Existeixen nombres enters n tals que no hi ha cap nombre primer p amb n − 4 ≤ p ≤ n.
3
Enuncia el pincipi d’inducció.
Demostra que per a tot enter n ≥ 3 el nombre n2 − 7n + 12 és no negatiu.
Temps: de 11:30 a 13:30.
Puntuació: tots els exercicis valen igual.
Solució
1. Sea Y la cantidad total de gramos de arroz que han recogido los tres campesinos juntos.
Sea X la tercera parte de Y , es decir, Y = 3X. Ası́, las condiciones del problema nos llevan a
plantear el siguiente sistema de congruencias:


X ≡ 18 (mod 87)
X ≡ 58 (mod 170)


X ≡ 40 (mod 143)
Dado que 87 = 3 · 29, 170 = 2 · 5 · 17 y 143 es primo, se tiene que los módulos son primos
dos a dos y por tanto podemos resolverlo con el Teorema Chino del Residuo, que nos dice que
la solución está dada por
X ≡ 18M1 y1 + 58M2 y2 + 40M3 y3
(mod |87 · 170
{z · 143})
2114970
donde:
– M1 = 170 · 143 = 24310, y1 es el inverso de M1 módulo 87;
– M2 = 87 · 143 = 12441, y2 es el inverso de M2 módulo 170; y
– M3 = 87 · 170 = 14790, y3 es el inverso de M3 módulo 143.
Ahora, por el algoritmo de la división:
– 24310 = 87(279) + 37, de donde 24310 ≡ 37 mod 87;
– 12441 = 170(73) + 31, de donde 12441 ≡ 31 mod 170; y
– 14790 = 143(103) + 61, de donde 14790 ≡ 61 mod 143.
Podemos calcular los respectivos inversos yi ’s encontrando una identidad de Bèzout a través del
algoritmo de Euclides de la siguiente manera:
87 = 37(2) + 13,
37 = 13(2) + 11,
13 = 11(1) + 2,
11 = 2(5) + 1,
2 = 1(1) + 0
de donde
0 1
1 −2
0 1
0 1
0 1
0 1
−17 40
=
1 −5
1 −1
1 −2
1 −2
∗
∗
y ası́,
1 = 87(−17) + 37(40)
finalmente, cogiendo congruencia módulo 87, obtenemos
37 · 40 ≡ 1(mod87)
y por tanto y1 = 40.
De manera similar se tiene que y2 = 11 y y2 = 68.
Por lo tanto,
X ≡ 18 · 24310 · 40 + 58 · 12441 · 11 + 40 · 14790 · 68
X ≡ 105288
(mod 2114970)
(mod 2114970)
Ası́, podemos concluı́r que, como mı́nimo, entre los tres campesinos se recogieron Y = 315864
grs. de arroz.
√
2. 1) Falsa. Contra-ejemplo: Si n = 4 su único factor primo es p1 = 2, que es igual a 4, por
lo que no cumple la condición.
2) Cierta. Si consideramos n = 28, no existe ningún número primo p tal que: n − 4 ≤ p ≤ n,
puesto que 24, 25, 26, 27 y 28 son números compuestos.
3. Principi d’inducció (feble): Sigui P (n) un proposició definida sobre els nombres enters. Si
existeix un enter n0 tal que:
– Pas base: P (n0 ) és certa, i
– Pas inductiu: per a tot n ≥ n0 , si P (n) és certa, llavors P (n + 1) és certa,
aleshores, la proposició P (n) és certa per a tots els enters n ≥ n0 .
Principi d’inducció completa o forta: Sigui P (n) un proposició definida sobre els nombres
enters. Si existeix un enter n0 tal que:
– Pas base: P (n0 ) és certa, i
– Pas inductiu: per a tot n ≥ n0 , si P (k) és certa, per a tot n0 ≤ k ≤ n, llavors P (n + 1) és
certa,
aleshores, la proposició P (n) és certa per a tots els enters n ≥ n0 .
Demostrem que n2 − 7n + 12 és un nombre no negatiu per a tot enter n ≥ 3 de dues maneres.
– Per inducció.
Sigui P (n) la proposició ”n2 − 7n + 12 ≥ 0”. Hem de provar que P (n) és certa per a tot
n ∈ Z, n ≥ 3.
Pas base: P (3) es compleix, ja que 32 − 7 ∗ 3 + 12 = 0.
Pas inductiu: Cal provar que, per a tot n ≥ 3, si P (n) és certa, llavors P (n + 1) és certa.
Suposem que es té n2 − 7n + 12 ≥ 0 (hipòtesi d’inducció). Aleshores
(n + 1)2 − 7(n + 1) + 12 = n2 + 2n + 1 − 7n − 7 + 12 = |n2 − 7n
{z + 12} +2n − 6 ≥ 2n − 6 ≥ 0.
≥0 (H.I.)
Atès que n ≥ 3, llavors 2n ≥ 6, i per tant, 2n − 6 ≥ 0.
Per tant, la proposició P (n) és certa per a tots els enters n ≥ 3.
– Per casos. Si n ≥ 7, llavors n2 ≥ 7n. Atès que 12 és un nombre positiu, es té que
n2 + 12 ≥ 7n. Per tant, només cal comprovar si la desigualtat n2 − 7n + 12 ≥ 0 es compleix
per als enters entre 3 i 6:
n = 3 : 32 − 7 ∗ 3 + 12 = 0;
n = 4 : 42 − 7 ∗ 4 + 12 = 0;
n = 5 : 52 − 7 ∗ 5 + 12 = 2;
n = 6 : 62 − 7 ∗ 6 + 12 = 6.
Per tant, n2 − 7n + 12 ≥ 0 per a tot enter n ≥ 3.