Á L G E B R A donde: 2.- Hallar el término independiente del cociente: pr = m m r = –– p ∴ (x + a)n - an –––––––––– x (α) Solución: qr = n Dando la forma de C.N. y desarrollando: n r = –– q ∴ (x + a)n - an –––––––––– = (x + a)n-1 + (x + a)n-2a1 (x + a) - a + (x + a)n-3a2 + … + an-1 (β) m y –– n , deben ser Es decir, los cocientes entre –– p q enteros e iguales. El término independiente del C.N. es: NÚMERO DE TÉRMINOS DEL COCIENTE NOTABLE n-1 P(0) = a1444442444443 + an-2a1 + an-3. a2 + … + an-1 “n términos” De (α) y (β): = 144424443 an-1+ an-1+ an-1+...+an-1 m = –– n –– p q = # de términos del cociente notable. “n veces” n-1 T.I.C. = na EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Simplificar: 3.- Simplificar: 2 3 n n-1 1 + –– x + –– x + –– x + … + –––– x + –––––––– x E = –– a a2 a3 a4 an+1 an+1(a - x) x78 + x76 + x74 + … + x4 + x2 + 1 E = –––––––––––––––––––––––––––– x38 + x36 + x34 + … + x4 + x2 + 1 Solución: Solución: Sumando todos menos el último sumando: Escribiendo el numerador y denominador como C.N.: 1 + –– x + –– x2 +…+ –––– xn –– 2 3 a a a an+1 an + an-1x + an-2x2 + an-3x3 +…+ xn = ––––––––––––––––––––––––––– (x2)40 - 140 ––––––––––– (x2) - 1 E = ––––––––––– (x2)20 - 120 ––––––––––– (x2) - 1 an+1 escribiendo el numerador como C.N.: an+1 - xn+1 ––––––––– 1 x x x a-x –– + –– + –– + …+ ––– = ––––––––– 2 3 n+1 a a a a an+1 2 efectuando y simplificando: n n+1 x80 - 1 (x40)2 - 12 E = ––––––– = ––––––––– 40 x40 - 1 x -1 n+1 a -x = ––––––––– an+1(a - x) (x40 + 1) (x40- 1)2 E = ––––––––––––––– = x40 + 1 (x40- 1) Sustituyendo en la expresión: an+1 - xn+1 xn+1 an+1 - xn+1 + xn+1 E = ––––––––– + ––––––––– = ––––––––––––––– n+1 n+1 a (a - x) an+1(a - x) a (a - x) 4.- Hallar el cociente y el resto en: x34 + x2-1 –––––––––––––––––––––––––––––– x32 + x30 + x28 + … + x4 + x2 + 1 simplificando: an+1 1 = (a - x) -1 E = ––––––––– = –––– an+1(a - x) a - x Solución: Rpta.: E = (a - x)-1 Transformando el divisor a Cociente Notable: - 129 - 34 2 34 2 α 2 x + x - 1 (x + x - 1)(x - 1) –––––––––– = ––––––––––––––––– x34 - 1 x34 - 1 –––––– 2 x -1 x36 + x4 - x2 - x34 - x2 + 1 = –––––––––––––––––––––– x34 - 1 α 6.- Si los grados absolutos de todos los términos van disminuyendo de 3 en 3 y si además el t(40) de su desarrollo tiene grado absoluto (G.A.) = 87, hallar el número de términos siendo el C.N.: xnp - ap ––––––– xn - a Dividiendo por el método normal: Solución: x36 - x34 + x4 - 2x2 + 1 x34 - 1 1) Cálculo del t(40): -x36 + x2 x2 - 1 t(40) = (xn)p-40 (a)40-1 - x34 + x4 - x2 + 1 Por dato: + x34 -1 G.A.t(40) = n(p - 40) + 39 = 87 + x4 - x2 n(p - 40) = 48 Resto Verdadero Como Resto verdadero = ––––––––––––––– x2 - 1 (α) 2) Cálculo del t(41): t(41) = (xn)p-41 (a)41-1 x4 - x2 = –––––– = x2 x2 - 1 t(41) = (xn)p-41 (a)40 Rpta.: El cociente es : q(x) = x2 - 1 por ser término consecutivo, y los grados absolutos según el problema disminuyen de 3 en 3, se tiene: 5.- Hallar (m + n) si el t (25) del desarrollo de: G.A.t(41) = n(p - 41) + 40 = 84 x129m - a86n –––––––––– x3m - a2n n(p - 41) = 44 (β) 270 288 es x a Dividiendo (α) : (β): Solución: n(p - 40) 48 12 –––––––– = ––– = ––– n(p - 41) 44 11 Cálculo de t(25): Escribiendo la división como C.N.: 3m 43 ∴ p = 52 2n 43 (x ) - (a ) ––––––––––––––– (x3m) - (a2n) 3m 43-25 t(25) = + (x ) 2n 25-1 (a ) 7.- Si el siguiente cociente: 54m 48n =x a α =x 270 288 a x6n+3 + a6n-22 –––––––––––––– n-6 n-8 (––––) x Por datos: 2 es notable. Calcular: identificando los exponentes: a) El valor de n. 54m = 270 ⇒ m=5 b) El número de términos. 48n = 288 ⇒ n=6 c) El término 19. - 130 - (––––) + a 2 Á L G E B R A Solución: Luego, el k- ésimo término será: Si es C.N., por fórmula: t(k) = (x3)m-k (y7)k-1 6n + 3 6n - 22 –––––– = ––––––– = # de términos. n-6 n-8 ––––– ––––– 2 2 si hay término central, entonces: (x3)m-k(y7)k-1 = xcy231 identificando exponentes: a) Simplificando: 3(m - k) = c 6n + 3 6n - 22 –––––– = ––––––– n-6 n-8 (β) 7(k - 1) = 231 ∴ Multiplicando medios y extremos: k = 34 El lugar del término central es 34, entonces habrá: (6n + 3)(n - 8) = (6n - 22)(n - 6) …………… 34 …………… 14424431442443 33 33 14444444244444443 6n2- 48n + 3n - 24 = 6n2 - 36n - 22n + 132 13n = 156 m = 33 + 33 + 1 = 67 términos ∴ n = 12 a = –– b = m = 67 En (α) : –– 3 7 b) El número de términos es: 6n + 3 6(12) + 3 75 # = –––––– = ––––––––– = –––– = 25 n 6 12 6 3 ––––– –––––– 2 2 a = 67 de aquí: –– b ⇒ a = 201 b = 67 –– 7 ⇒ b = 469 3(67 - 34) = c ⇒ c = 99 c) El cociente notable es: En (β): x75 + a50 (x3)25 + (a2)25 –––––––– = –––––––––––– x3 + a2 (x3) + (a2) Por fórmula: Luego, el valor pedido es: 3 25-19 t19 = +(x ) 2 19-1 (a ) E = 201 + 469 + 99 = 769 18 36 t19 = x a 9.- Sabiendo que el t(5) del cociente notable: 8.- En el cociente notable: a x x -y ––––––– x3 - y7 es: a176 b64. Calcular el número de términos. hay un término central, que es igual a: Solución: xc y231 Desarrollando el Cociente Notable: Hallar: E = a + b + c x Solución: Si es cociente notable, llamando m al número de términos, se tiene: a = –– b =m –– 3 7 x a4 - b4 –––––––––––– y y a5 -9 - b5 -9 b (α) a4 - b4 = a4x -(5y - 9) + a4x -2(5y - 9) ––––––––––– y y a5 -9 - b5 -9 y-9 . b5 x -3(5y -9) + a4 . b3(5 - 131 - y -9) . b2(5 y -9) x -5(5y -9) + a4 x -4(5y -9) + a4 y -9) + b4 (5 +… α Por dato: x -5(5y -9) t(5) = a4 b4(5 y -9) = a176 b64 G.A.t(k) = 5(70 - k) + 2(k - 1) = 348 - 3k b) Cálculo del t(k) contado a partir del extremo final. identificando exponentes de a: 4x- 5(5y - 9) = 176 α T(k) = (x5)70-k (y2)k-1 (α) Sean los términos y sus respectivas posiciones. exponentes de b: 4(5y - 9) = 64 “n” 644444447444444448 y 5 - 9 = 16 y 1 , 2 , 3, 4 , … ……, k, …… ……, n 1442443 2 5 =5 ↑ 678 de donde: y = 2 (n - k) (n - k + 1) En (α): 4x - 5(16) = 176 α El t(k) contado a partir del extremo final ocupa la posición n - k + 1 contado a partir del extremo inicial. Luego: 4x = 256 = 44 ∴ x=4 t(n - k + 1) = t(70 - k + 1) = t(71 - k) El número de términos es: 4x 44 256 –––––– = –––––– = –––– = 16 y 2 5 -9 5 -9 16 = (x5)70-(71-k) (y2)71-k-1 t(71 - k) = (x5)k-1 (y2)70-k 10.- Cuál es el lugar que ocupa un término en el sigueinte C.N.: G.A. : x350 - y140 –––––––––– x5 - y2 t(71 - k) = 5(k - 1) + 2(70 - k) = 3K + 135 contado a partir del primer término sabiendo que la diferencia del grado absoluto (G.A.) de éste con el G.A. del término que ocupa la misma posición contado a partir del extremo final es 9. Por la condición del problema: Solución: de donde: k = 34 a) Cálculo del t(k) contado a partir del extremo inicial: El término ocupa el lugar 34. - 132 - (348 - 3k) - (3k + 135) = 9