NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS ENTEROS
MAT1
 Los NÚMEROS NATURALES (N), son el 0, 1, 2, 3, 121, 1348…
 Los NÚMEROS ENTEROS (Z), son los naturales más los negativos: -4, -25, 12, 46, 547…
Llamamos Z
+
a los enteros positivos (los naturales menos el cero), y llamamos
-
Z a los enteros negativos. (El cero es un número natural, pero ni positivo ni
negativo).
 El VALOR ABSOLUTO de un número es su valor positivo, y lo representamos entre
dos barras verticales. Dicho de otra manera, es el número natural que sale si le quitamos
el signo. Lo vemos con estos ejemplos de valores absolutos:
|6|=6; |-6|=6; |28|=28; |-4236|=4236; etc.
 El OPUESTO de un número es ese mismo número, con signo contrario:
El opuesto de 6 es -6; el de 15, -15; el de -32, 32; el de -1254, 1254; etc.
 El INVERSO de un número es 1 partido por ese número:
El inverso de 3 es
; el de 25 es
; el de -8 es
1
; el de -32 es
8
; etc.
 Operaciones con números enteros:
Para sumas y restas
 Los números que tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y se
pone ese signo.
Es decir, al sumar varios números positivos saldrá un número positivo; y al sumar
varios números negativos, tendremos un número negativo:
 Cuando los números tienen signo distinto, se restan los valores absolutos y se
pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Por ejemplo:
El seis tiene signo negativo, y el ocho, positivo; ponemos el signo del mayor (8 es
mayor que 6), que es más; y restamos 8-6 (ya nos olvidamos del signo).
Otro ejemplo:
Cuando tenemos varios números positivos y negativos en sumas y restas, podemos
agruparlos en dos paréntesis; en el primero sumamos todos los de signo positivo, y el
segundo sumamos todos los de signo negativo (¡con signo más!), y los restamos, poniendo
el signo del mayor, como siempre. En el caso anterior:
Se puede ver como si fuesen euros, por ejemplo. Los signos + son euros que tienes, y
los signos - , los que debes. En este caso, hemos sumado en un paréntesis todo el dinero
que tienes, por un lado, y hemos sumado en otro paréntesis todo el dinero que debes;
y al final, lo restamos: si sale positivo, tienes dinero; y si sale negativo, debes dinero.
Si, digamos, debes 3 euros a tu hermano, debes otros 5 a tu prima, y tienes 12 en la
hucha, matemáticamente es:
→ Es decir, al final tienes 4 euros.
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Puedes pensarlo de otras maneras; por ejemplo, con temperaturas. En el caso
anterior, si estamos a 3 grados bajo cero, la temperatura baja cinco grados más, y luego
sube 12 grados, al final estamos a 4 grados sobre cero, positivos.
Igualmente, con las plantas de un edificio: estás en 3 er sótano, bajas 5 pisos más, y
luego subes 12, llegando así al 4º piso.
Cuando en una operación sólo hay sumas y restas, no es necesario seguir el orden de
izquierda a derecha, siempre que tengas claro que cada número se mueve con su signo.
Multiplicación y división. Regla de los signos
Ahora vamos a ver operaciones en las que sólo hay divisiones y multiplicaciones. Para
ello aplicamos la regla de los signos para multiplicar números enteros (o dividirlos, que la
regla es la misma). Es ésta:
(+) · (+) = (+)
(+) · (-) = (-)
(-) · (+) = (-)
(+) : (+) = (+)
exactamente
igual →
(+) : (-) = (-)
(-) : (+) = (-)
(-) · (-) = (+)
(-) : (-) = (+)
¡Observa!: Si los dos signos son iguales, el resultado final es más; y si son distintos,
el resultado final es menos.
Ejemplos: (cuando a un número no se le pone signo, es que es más, ¡SIEMPRE!)
1)
3)
5)
7)
9)
1
2)
4)
6)
8)
10)
Tenemos que operar, por un lado, los signos, y por otro, los números en valor
absoluto. Es decir, en los ejemplos anteriores:
En el 1) → menos por menos, más; 2 por 3 = 6 → resultado: +6
En el 2) → menos por más, menos; 2 por 3 = 6; resultado: -6
En el 3) → más por menos, menos; 4 por 10 = 40 → resultado: -40
En el 4) → más entre más, más; 8 entre 4 = 2 → resultado: +2
En el 5) → menos por menos entre menos, menos; 2 por 10 entre 4 = 5 → resultado: -5
En el 6) → más entre menos por más, menos; 25 entre 5 por 3 = 15 → resultado: -15
En el 7) → menos por más entre menos, más; 10 por 3 entre 6 = 5 → resultado: +5
En el 8) → menos por menos por más, más; 2 por 3 por 4 = 24 → resultado: +24
En el 9) → menos entre más por más, menos; 18 entre 9 por 3 =6 → resultado: -6
En el 10) → menos por más por más entre menos, más; 4 por 3 por 7 entre 14 = 6 →
resultado: +6
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¡OJO! No se pueden poner 2 signos de operaciones seguidos (por y menos, por
ejemplo); entonces metemos al número con su signo dentro de un paréntesis, SIEMPRE.
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 Sacar números de un paréntesis
Todo paréntesis tiene su signo, y sólo uno: Es el que está delante del paréntesis,
fuera de él, SIEMPRE: Cuando no pone ninguno, el signo es + SIEMPRE.
Los números de dentro del paréntesis también tienen su signo, cada uno de ellos el
suyo propio, SIEMPRE. Cuando un número no tiene ninguno, el signo es + SIEMPRE.
Es decir, ¿cuántos signos hay en total? Pues tantos como números hay dentro del
paréntesis, más uno, el del propio paréntesis. Y cada número dentro de un paréntesis está
afectado por dos signos, el suyo y el del paréntesis.
Cuando tenemos operaciones con números dentro y fuera de paréntesis, la jerarquía
de las operaciones (que se explica más abajo) nos dice que primero operamos dentro del
paréntesis.
Pero podemos querer sacar primero los números del paréntesis, y luego operar. Así,
después del proceso, los números estarán fuera del paréntesis, YA NO HABRÁ
PARÉNTESIS, y cada número sólo estará afectado por un solo signo, el suyo propio, que
será el mismo que tenía antes, dentro, o no, depende; veámoslo:

Regla para sacar los números del paréntesis
Hay dos formas de hacerlo, que por supuesto, dan el mismo resultado:
 Cuando el signo del paréntesis es positivo, +, cada número sale del paréntesis y
queda ya fuera con el mismo signo que tenía dentro.
 Cuando el signo del paréntesis es negativo,
- , cada número sale del paréntesis y
queda ya fuera con el signo opuesto al que tenía dentro.

La segunda forma de hacerlo es aplicar la Regla de los signos:
 Multiplicamos el signo del paréntesis por cada signo de cada número, y los
vamos sacando.
Ejemplos de sacar números de paréntesis

(-3+5-4)  el signo del paréntesis es + , por tanto, cada número sale con el mismo
signo que tiene dentro: (-3+5-4) = -3+5-4
Visto de la segunda forma: (+)·(-)=(-) → -3; (+)·(+)=(+) → +5; (+)·(-)=(-) → -4

-(-3+5-4)  el signo del paréntesis es - , por tanto, cada número sale con el signo
opuesto al que tiene dentro: -(-3+5-4) = 3-5+4
Visto de la segunda forma: (-)·(-)=(+) → +3; (-)·(+)=(-) → -5; (-)·(-)=(+) → +4

-(5-3+7)+(-3+9-4)-(4-3-8)= -5 +3 -7 -3 +9 -4 -4 +3 +8
Prueba a hacerlo tú ahora de la segunda forma.
Obviamente, el resultado es el mismo haciéndolo de una manera o de la otra.
 Jerarquía de las operaciones
Cuando tenemos sumas, restas, paréntesis, multiplicaciones, potencias, divisiones,
corchetes2… todo junto, hemos de atender a la jerarquía de las operaciones para
resolverlo, es decir, qué hacemos primero y qué después. Cambiar el orden correcto (la
jerarquía) por otro es UN ERROR GRAVE, puesto que nos va a dar otro resultado
2
Un corchete no es más que un paréntesis grande en el que hay dentro otro u otros
paréntesis: [ () ]
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completamente distinto, lo que nunca puede ocurrir en matemáticas: cuando hacemos algo
por métodos distintos, nos ha de dar el mismo resultado; y si no, es que algo (o todo) está
mal. Entonces, el orden correcto (la jerarquía de las operaciones) es:
1. Primero operamos los paréntesis.
2. Después los corchetes; (es decir, los paréntesis de dentro hacia fuera).
3. Más tarde, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces.
4. Finalmente, sumas y restas, en el orden normal de lectura.
Cuando hay dos o más operaciones que no tienen preferencia la una sobre la otra, se
realizan según están, de izquierda a derecha.
Recuerda, ESCRIBIMOS TODO SIEMPRE: ponemos todo, también los números y
operaciones que no hemos efectuado; NUNCA hacemos medias operaciones, con signos de
igual, y luego retomamos las otras operaciones, con otros signos de igual… ¡NUNCA
NUNCA JAMÁS!

10 ejemplos de operaciones combinadas
1)
—
2)
3)
4)
–
5)
6)
7)
8)
9)
10)
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