fila i \ / \ / \ / - Matemáticas sin fin

I D E A S Matrices
CLARAS
Se denomina matriz de dimensión m n a todo conjunto cuyos elementos están dispuestos en m filas y n columnas.
Tipos de
matrices
Los tipos de matrices más importantes son:
Matriz fila. Es una matriz de dimensión 1 n; también se denomina vector fila.
A (a1 a2 a3 … an)
Matriz columna. Es una matriz de dimensión m 1; también se denomina vector columna.
a11
a
A 21
…
am1
Matriz escalonada por filas. Es una matriz tal que en cada fila el número de ceros que procede
al primer elemento no nulo es mayor que en la precedente.
1
0
A
0
0
1
5
0
0
4
0
0
0
7
1
2
0
9
1
2
1
Matriz cuadrada. Tiene el mismo número de filas que de columnas. Así, una matriz de dimensión n n
recibe el nombre de matriz cuadrada de orden n.
3 0
4
9 2
1
A
3 2 5
Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada en la que los elementos que no están en la diagonal principal
valen cero; es decir, aij 0 si i j: Si los elementos de la diagonal principal de una matriz escalar, matriz
diagonal en la que los elementos de la diagonal son todos iguales, valen 1, esta se denomina matriz
unidad.
2
0
A
0
0
0
1
0
0
0
0
3
0
0
0
0
5
Matriz traspuesta. Dada una matriz A (aij)m n, se define su matriz traspuesta como aquella que se
obtiene al intercambiar en la matriz A sus filas por sus columnas. Se representa por At. Como A es una
matriz de dimensión m n, la dimensión de At es n m y su elemento aij será igual al aji de la matriz A.
2 3
2 1 0
At 1
4
A
3 4 6
0
6
Operaciones
con matrices
Únicamente se pueden sumar o restar matrices con la misma dimensión.
Cuando multiplicamos un número real por una matriz, se multiplican todos los elementos de la matriz.
Cuando multiplicamos dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el
número de filas de la segunda. La matriz producto tiene el número de filas de la primera y el número
de columnas de la segunda.
Am n Bn p Cm p
cik ai1 b1k ai2 b2k … aij bjk … ain bnk
columna k
a11 a12 … … … a1n
b11 b12 … b1k … b1p
c11 c12 … c1k … c1p
a21 a22 … … … a2n
b21 b22 … b2k … b2p
c21 c22 … c2k … c2p
… … … … … …
… … … … … …
… … … … … …
… … … bjk … …
ci1 ci2 … cik … cip
fila i ai1 ai2 … aij … ain
… … … … … …
… … … … … …
… … … … … …
am1 am2 … … … amn
bn1 bn2 … bnk … bnp
cm1 cm2 … cmk … cmp
Matriz
inversa
Una matriz, A, es invertible o regular si tiene matriz inversa, A1, tal que:
A A1 A1 A I
donde I es la matriz unidad.
En ocasiones, por comodidad, los sistemas de ecuaciones lineales se escriben utilizando la notación
Forma
matricial:
matricial de
un sistema
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n
b1
de ecuaciones
a21 a22 … a2n
a21 a22 … a2n
b2
A* A
lineales
… … … …
… … … … …
am1
am2
…
amn
am1
am2
… amn
bm
La resolución de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss puede realizarse operando
directamente con las ecuaciones o bien con las filas de la matriz ampliada del sistema para conseguir
una matriz escalonada. Las operaciones elementales entre filas son las siguientes:
Cambiar de orden las filas.
Multiplicar una o más filas por un número real distinto de 0.
Sumar a una fila otra multiplicada por un número real.
Rango
de una
matriz
El número de filas linealmente independientes de una matriz A se denomina rango de A y se representa
mediante rango (A).
El número de filas linealmente independientes de una matriz coincide con el número de columnas
linealmente independientes.
El rango de una matriz A, rango (A), es igual al número de filas, o de columnas, linealmente
independientes.
Se puede utilizar el método de Gauss para averiguar el rango de una matriz: en una matriz escalonada
el rango es igual al número de filas no nulas.