Práctica 5 - Laboratorio de procesado de imagen

Práctica 5
Procesos Estocásticos
5.1.
Objetivos
Iniciar al alumno en los conceptos básicos de procesos estocásticos aplicados a las telecomunicaciones.
5.2.
Bibliografı́a
C. Alberola López, Probabilidad, Variables Aleatorias y Procesos Estocásticos. Una introducción orientada a las telecomunicaciones. Secretariado de Publicaciones e Intercambio Editorial.
Universidad de Valladolid, 2004.
P. Z. Peebles, Probability, Random Variables and Random Signal Principles. Mc-Graw Hill Int.
Ed., 3rd Ed., 1994.
A. Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Processes. Mc-Graw Hill Int. Ed.,
3rd Ed., 1993.
5.3.
Ejercicio previo
Considere la señal aleatoria X[n] = A cos(Ωc n+Θ), donde A es una variable exponencial de parámetro
λ, Ωc es una frecuencia angular constante y Θ una variable uniforme en el intervalo (0, 2π). Suponga que
las variables A y Θ son independientes. Además considere un proceso de ruido W[n] blanco, gaussiano,
WSS, con media cero y CW [k] = N0 δ[k] e independiente de X[n]. La señal Y[n] = X[n] + W[n] pasa
por un filtro paso banda ideal con frecuencia central Ωc y ancho de banda ∆Ω para dar lugar a otra
señal Z[n]. Se pide:
1. Determine la media de las señales Y[n] y Z[n].
2. Determine la autocorrelación y la densidad espectral de potencia de Y[n].
3. Determine la densidad espectral de potencia de Z[n].
4. Determine la potencia media de las señales Y[n] y Z[n].
5.4.
Solución analı́tica
1.
E{Y[n]} = E{Z[n]} = 0
2.
RY [k] =
1
cos(Ωc k) + N0 δ[k]
λ2
10
Señales Aleatorias y Ruido
11
SY (Ω) =
∞
π X
[δ(Ω − Ωc + 2mπ) + δ(Ω + Ωc + 2mπ)] + N0
λ2 m=−∞
3.
∞ X
π
Ω−Ωc +2mπ
Ω+Ωc +2mπ
π
δ(Ω−Ωc +2mπ)+ 2 δ(Ω+Ωc +2mπ)+N0 Π
+N0 Π
SZ (Ω) =
λ2
λ
∆Ω
∆Ω
m=−∞
donde Π(x) es un pulso de amplitud unidad y duración unidad centrado en el origen de coordenadas. Se puede definir a partir del escalón unidad como
1
1
Π(x) = u x +
−u x−
2
2
4.
PY = E{Y2 [n]} = RY [0] =
PZ = E{Z2 [n]} =
5.5.
1
2π
Z
1
+ N0
λ2
π
SZ (Ω)dΩ =
−π
1
N0 ∆Ω
+
2
λ
π
Ejercicios de laboratorio
Se pretende generar varias realizaciones de los procesos estocásticos definidos en el ejercicio previo. A
partir de las realizaciones se pretende obtener estimaciones para la autocorrelación, densidad espectral
y potencia media para los procesos Y[n] y Z[n]. Igualmente se pretende analizar el efecto del filtro
paso banda en una señal sinusoidal enmascarada por ruido. Se pide:
1. Genere M=1000 realizaciones de los procesos estocásticos X[n] y W[n]. Considere los instantes
temporales 0 ≤ n ≤ N − 1 con N=1500 (cada realización será una fila de las matrices MxN que
construya). Considere que Omega_c=pi/8;, lambda=2;, DeltaOmega=pi/64; y N0=10;. Genere
también el proceso Y[n]. Se recomienda utilizar el comando de Matlab repmat.
2. Represente la primera realización del proceso Y[n] para 200 < n ≤ 300. Como vamos a mostrar
por pantalla varias cosas, escriba
ContFigura=ContFigura+1;
figure(ContFigura);plot(...);
title(’Primera realizacion de Y[n]’)
con ContFigura una variable previamente inicializada a cero y la leyenda entre tildes de la orden
title cambiante según el contenido del plot que represente.
3. Estime la potencia del proceso Y[n] y compárela con el valor teórico.
4. Obtenga el histograma del proceso Y[n] para n = 10 con bins=50.
5. Estime la autocorrelación RY [k] usando la función de Matlab xcorr mediante
autocorrelacion_y=zeros(M,2*N-1);
for m=1:M
autocorrelacion_y(m,:)=xcorr(Y(m,:),Y(m,:),’unbiased’);
end
autocorrelacion_y=mean(autocorrelacion_y);
y muéstrela por pantalla usando el eje definido por
k=-N+1:N-1;
12
Práctica 5. Procesos Estocásticos
6. Estime la densidad espectral SY (Ω) usando las funciones de Matlab fft, abs y fftshift según
SY=abs(fftshift(fft(autocorrelacion_y)));
y dibújela respecto al eje de frecuencias definido por
Omega=-pi:2*pi/(length(SY)-1):pi;
7. Defina los coeficientes de un filtro paso banda discreto con frecuencia central Ωc y ancho de
banda ∆Ω de orden 128 usando el comando de Matlab fir1 según
h=fir1(128,[Omega_c-DeltaOmega/2 Omega_c+DeltaOmega/2]/pi);
8. Filtre cada realización usando el comando filter con el filtro paso banda definido en el punto
anterior para obtener N=1000 realizaciones del proceso estocástico Z[n] según
Z=zeros(M,N);
for m=1:M
Z(m,:)=filter(h,1,Y(m,:));
end
9. Represente la primera realización del proceso Z[n] para 200 < n ≤ 300 y compare el resultado
con la realización representada anteriormente para el proceso Y[n].
10. Estime la potencia del proceso Z[n] y compárela con el valor teórico.
11. Estime la autocorrelación RZ [k] y la densidad espectral SZ (Ω) usando el mismo procedimiento
que para el proceso Y[n] y dibuje ambas. Compare los resultados con los obtenidos para el
proceso Y[n].
12. Estime la potencia del proceso Z[n] a partir de la autocorrelación RZ [k] y la densidad espectral
SZ (Ω) estimadas en el punto anterior y compárelas con el valor teórico.