2-Sistemas OFDM

2 Sistemas OFDM
2.1 Introducción a OFDM
La historia de OFDM data de los años 60 cuando Chang publicó su artículo sobre
la síntesis de transmisión multicanal de señales limitadas en banda. Él presentó el
principio de la transmisión de mensajes simultáneamente a través de un canal lineal
limitado en banda sin interferencia intercanal (ICI) ni íntersimbólica (ISI). Poco después
de Chang se presenta el artículo, realización Saltzberg un análisis del funcionamiento,
donde se concluye que “la estrategia de diseño para un eficiente sistema paralelo debe
centrarse mas en la reducción de interferencia entre canales adyacentes que en
perfeccionar los canales individuales en si mismos, desde que la distorsión debida a la
interferencia tienda a dominar”. Esta es una conclusión importante, la cual ha ayudado a
corregir el procesamiento en banda base digital pocos años después.
Un mayor empuje a OFDM fue presentado en 1971 por Weinstein y Ebert,
quienes usaron la transformada discreta de Fourier (DFT) para realizar la modulación y
demodulación en banda base. Este trabajo no se centró en perfeccionar los canales
individualmente, pero aumento la eficiencia de procesamiento al eliminar los bancos de
osciladores de las subportadoras. Para combatir la ISI y la ICI ellos usaron un espacio
de guarda entre los símbolos y cosenos-alzados enventanados en el dominio del tiempo.
El sistema no obtuvo una ortogonalidad perfecta entre subportadoras sobre un canal
dispersivo pero fue un un mayor avance para OFDM.
Otra importante contribución fue realizada por Peled y Ruiz en 1980, quienes
introdujeron el prefijo cíclico (CP) o extensión cíclica, solucionando el problema de la
ortogonalidad. En lugar de usar un espacio de guarda vacío, ellos llenaron el espacio de
guarda con una extensión cíclica del símbolo OFDM.
Este efecto simula un canal que realiza la convolución cíclica, lo que implica
ortogonalidad sobre canales dispersivos cuando el CP es más largo que la respuesta
impulsiva del canal. Esto introduce una pérdida de energía proporcional a la longitud
del CP pero esta perdida de energía está motivada por la anulación de la ICI.
Los sistemas OFDM son usualmente realizados con pulsos rectangulares pero
recientemente se ha incrementado el interés por los pulsos shaping. Al usar pulsos que
no son rectangulares, el espectro puede ser formado para estar más localizado en
frecuencia lo cual es beneficioso desde el punto de vista de la interferencia.
OFDM se usa corrientemente en la banda de audio digital europea, European
digital audio broadcasting (DAB) Standard. Varios sistemas DAB propuestos en norte
América están basados en OFDM y su aplicación a la televisión digital es ya una
realidad. OFDM en combinación con técnicas de acceso múltiple son objeto de
investigación. OFDM, bajo el sinónimo de DMT, ha atraído también mucho la atención
como una eficiente tecnología para transmisión a alta velocidad sobre la red telefónica
(ADSL y XDSL).
2.1.1 Modelos de sistemas.
La idea básica de OFDM es dividir el rango del espectro disponible en varios
subcanales (subpotadoras). Usando canales de banda estrecha, estos experimenten casi
un desvanecimiento plano, haciendo la ecualización mucho más simple. Para obtener
una mayor eficiencia espectral la respuesta en frecuencia de los subcanales son
solapadas y ortogonales, de ahí el nombre de OFDM. Esta ortogonalidad puede ser
completamente mantenida, aun cuando la señal pase a través del canal dipersivo en el
tiempo, introduciendo un prefijo cíclico. Existen varias versiones de OFDM pero
nosotros nos centraremos en sistemas que usan un prefijo cíclico. El prefijo cíclico es
una copia de la última parte del símbolo OFDM (figura 2.1).
Figura 2.1: Uso del prefijo cíclico para conservar la ortogonalidad.
Esto hace que la señal transmitida sea periódica, lo cual juega un papel decisivo
para evitar la interferencia intersímbolica y entre portadoras. El prefijo cíclico introduce
una pérdida en la razón señal-ruido (SNR) que supone el pequeño precio a pagar para
mitigar la interferencia.
Un esquema de un sistema OFDM en banda base se muestra en la figura 2.2.
Figura 2.2: Implementación digital de un sistema OFDM en banda base.
Para este sistema se asumen las siguientes premisas:

Se usa prefijo cíclico.

La longitud de respuesta al impulso del canal es más corta que el prefijo cíclico.

Transmisor y receptor están perfectamente sincronizados.

El canal de ruido es aditivo, blanco y complejo Gaussiano.

El desvanecimiento es lo bastante lento respecto al canal como para ser
considerado constante durante un intervalo de símbolo OFDM.
Los modelos de sistemas OFDM se clasifican en dos clases: continuos en el tiempo y
discretos en el tiempo.
2.1.1.1
Modelo de tiempo continúo.
El modelo de tiempo continuo de sistema OFDM presentado puede ser
considerado como el sistema OFDM ideal el cual en la práctica es sintetizado
digitalmente.
El modelo de banda base se observa en la figura 2.3.
Figura 2.3: Modelo de sistema OFDM en banda base.

Transmisor:
Asumiendo un sistema OFDM con N subportadoras, un ancho de banda de W Hz y
símbolos de longitud T segundos, de los cuales Tcp segundos es la longitud del prefijo
cíclico, los transmisores usan las siguientes formas de ondas:
donde T=N/W + Tcp. Notar que Φk(t)= φk(t+N/W) cuando t está dentro del prefijo
cíclico [0, Tcp]. Así, Φk(t) es un pulso rectangular modulado en la frecuencia portadora
kW/N. La interpretación común de OFDM es el uso de N subportadoras, cada una con
un bajo bit-rate. La forma de onda Φk(t) usadas en la modulación y la señal banda base
transmitida para un número l de símbolos OFDM es
donde x0,l, x1,l,…, xN-1,l son números complejos de un conjunto de puntos de señal de
una constelación. Cuando una secuencia infinita de símbolos OFDM son trasmitidos, la
salida del transmisor es yuxtapuesta de los símbolos OFDM individuales:

Canal físico:
Asumiendo que el soporte de la respuesta impulsiva g(τ;t) del canal físico está
restringida al intervalo τ Є [0, Tcp] para la longitud del prefijo cíclico. La señal recibida
llega a ser
donde el ruido n(t) es aditivo, blanco y Gaussiano.

Receptor:
El receptor OFDM consiste en un banco de filtro, emparejado en la última parte
[Tcp,T] de la onda transmitida Φk(t), es decir:
Efectivamente esto significa que el prefijo cíclico es removido en el receptor. Como
el prefijo cíclico contiene toda la ISI de los símbolos previos, la salida del banco de
filtro del receptor no contiene ISI. Así podemos ignorar el índice temporal l cuando
calculamos la salida en los k-th filtros. Pudiendo obtener:
Nosotros consideramos que el canal está fijado sobre los intervalos de símbolos OFDM
y se denota por g(τ), lo cual da
Los intervalos de integración son Tcp < t < T y 0 < τ < Tcp lo que implica que 0 <
t- τ < T y el menor intervalo puede escribirse como
La última parte de la expresión es el muestreo de la respuesta en frecuencia del
canal en f=k’W/N, es decir, en la k-ésima frecuencia de portadora:
donde G(f) es la trasformada de Fourier de g(t). Usando la notación de salida
para el banco de filtro del receptor puede simplificarse a
donde
ortogonales,
Siendo los filtros del transmisor Φk(t)
donde δ[k] es la función delta de Kronecker. Simplificando se obtiene
yk = hk xk + nk,
donde nk es ruido blanco aditivo y Gaussiano (AWGN).
El beneficio del prefijo cíclico es doble: evita la creación de ISI (actuando como
espacio de guarda) y de ICI (manteniendo la ortogonalidad de las subportadoras).
Reintroduciendo el índice de tiempo podemos ver el sistema OFDM como un conjunto
de canales paralelos Gaussianos, como en la figura 2.4.
Figura 2.4: Sistema OFDM en tiempo continúo interpretado como canales
Gaussianos en paralelo.
Un efecto a tener en cuenta es que la energía trasmitida se incrementa con la
longitud del prefijo cíclico, mientras que la expresión de la señal muestreada recibida
se mantiene inalterada. La energía transmitida por subportadora es
, y la pérdida de SNR, causada al desechar en prefijo
cíclico en el receptor, llega a ser
donde γ=Tcp/T es la longitud relativa del prefijo cíclico. A mayor longitud del prefijo
cíclico, mayor es la perdida en la razón SNR. Normalmente, la longitud relativa del
prefijo cíclico es pequeña y la transmisión queda libre de ICI e ISI motivando una
perdida en SNR (menor de 1 dB para γ<0.2).
Figura 2.5: Representación de un subcanal individual para un sistema OFDM
con N tonos con un ancho de banda W.
En la figura 2.5 se muestra el esquema de la respuesta en frecuencia de un
subcanal individual en un símbolo OFDM. Los subcanales individuales del sistema
están separados. El enventanamiento rectangular de los pulsos transmitidos resulta de la
respuesta en frecuencia de cada canal muestreado. Así, la potencia espectral del sistema
OFDM decae como f-2. En algunos casos esto no es suficiente y otros métodos se han
propuesto para formar el espectro. Usando un pulso coseno-alzado donde la región
rizado actúa como espacio de guarda, ver figura 2.6. Si la parte plana es el símbolo
OFDM , incluyendo el prefijo cíclico, se evitan tanto ICI como ISI.
Figura 2.6: Pulso formado usando la función coseno-alzado. La parte sombreada de la
señal indican las extensiones.
El espectro con este tipo de pulsos se aprecia en la figura 2.7, donde se compara
con un pulso rectangular. El aumento introducido por un espacio de guarda extra con un
rizado puede ser una buena inversión ya que la caída del espectro es mucho más rápida
y reduce la interferencia con bandas de frecuencia adyacentes.
Figura 2.7: Espectro con pulso rectangular y con coseno-alzado.
2.1.1.2
Modelo de tiempo discreto.
Se muestra un modelo completo en tiempo discreto OFDM en la figura 2.8.
Comparado con el modelo de tiempo continuo, la modulación y la demodulación son
remplazadas por una transformada de Fourier directa (DFT) y otra inversa (IDFT),
respectivamente, y el canal es una convolución discreta en el tiempo. El prefijo cíclico
opera de la misma manera en el sistema y los cálculos se realizan siguiendo los mismos
pasos. La principal diferencia es que todas las integrales se sustituyen por
acumuladores.
Figura 2.8: Sistema OFDM en tiempo discreto.
Desde el punto de vista de los receptores, el uso de un prefijo cíclico más largo
que el canal transformará la convolución lineal en el canal en una convolución cíclica.
Se puede describir el sistema OFDM como
donde yl contiene los N datos recibidos, xl la constelación de N puntos transmitidos, g
representa la respuesta impulsiva del canal (relleno con ceros para obtener una longitud
N), y nl es el ruido del canal. Si el ruido del canal se asume blanco y Gaussiano, el
término nl =DFT(nl) representa ruido incorrelado Gaussiano. Ahora usaremos que la
DFT de dos señales convolucionadas cíclicamente es equivalente a el producto de sus
DFTs individuales. Podemos escribir
donde hl = DFT (gl) es la respuesta en frecuencia del canal. Así se obtiene el mismo tipo
de canales paralelos Gaussianos que se obtuvo para el modelo de tiempo continuo. La
única diferencia es que la atenuación del canal hl está dada por los N puntos de la DFT
del canal discreto en tiempo, en lugar del muestreo de la respuesta en frecuencia.
2.1.1.3
Interpretación tiempo-frecuencia.
Los modelos descritos son dos modelos clásicos OFDM con prefijo cíclico. Un
modelo más general es viendo OFDM como transmisión de datos en una estructura
Lattice en el plano tiempo-frecuencia. Consideramos primero una señal s(t) transmitida
donde las funciones Φk,l(t) son translaciones en tiempo por τ0 y en frecuencia por υ0 de
la función prototipo p(t), es decir,
Se crea un enrejado bidimensional en el plano tiempo-frecuencia, ver figura 2.9.
Normalmente como función prototipo se elige una ventana
.
Figura 2.9: Enrejado en el plano tiempo-frecuencia. Los símbolos de datos xk,l son
trasmitidos en el enrejado de puntos.
El espaciado en frecuencia es entonces
,
donde Tcp es la longitud del prefijo cíclico. Cada símbolo de dato trasmitido en el
enrejado experimenta una vibración, la cual simplifica la ecualización y estimación del
canal. La atenuación del canal en los puntos del enrejado son correlados y conociendo
los símbolos transmitidos en algunos puntos, la atenuación del canal puede ser estimada
con un filtro de interpolación.
2.1.1.4
Imperfecciones de los sistemas OFDM.
Dependiendo de la situación analizada, las imperfecciones en un sistema real
OFDM pueden ser ignoradas o explícitamente incluidas en el modelo. Vamos a
mencionar algunas imperfecciones y sus efectos correspondientes:

Dispersión
La dispersión tanto en tiempo como en frecuencia del canal puede acabar con la
ortogonalidad del sistema, introduce tanto ICI como ISI si estos efectos no son
suficientemente mitigados por un prefijo cíclico y un gran espacio entre portadoras,
por lo que estos deben ser incluidos en el modelo. Una solución para modelar estos
efectos es incrementar el ruido aditivo.

No linealidades y distorsión truncada.
Los sistemas OFDM tienen una gran razón de promedio de potencia y grandes
demandas en amplificadores lineales. Las no linealidades de los amplificadores
pueden causar ISI e ICI en el sistema. Especialemente, si el amplificador no está
diseñado con un apropiado OBO, la distorsión puede causar una grave degradación
del sistema. Se han sugerido estrategias especiales de codificación con el mismo
nivel de potencia.

Interferencia externa.
Tanto en sistemas inalámbricos como con hilos se sufre la interferencia proveniente
del exterior. En sistemas inalámbricos esta interferencia normalmente procede de
transmisores de radio y otros tipos de equipos electrónicos de los alrededores del
receptor. En sistemas con hilos el factor limitante suele ser la interferencia debida al
cruce de señales. La interferencia puede ser incluida en el modelo como ruido
coloreado.