Implementación, Uso e Interpretación del “Fan Chart”

Implementación, Uso e Interpretación del “Fan
Chart”∗†
Juan Manuel Julio‡
Mayo de 2005
Abstract
El “Fan Chart” representa la funcion de probabilidades de los valores futuros de una variable, condicional a la informacion conocida en el presente.
En el caso del Informe de Inflacion el “Fan Chart” cumple con dos objetivos:
Primero, comunicar al publico las previsiones de la autoridad monetaria sobre
la evolucion futura de la inflacion con base en el “mejor conocimiento” actual de
la economia. Este proposito esta relacionado con la transparencia del esquema
de metas de inflacion y con la credibilidad de las políticas para alcanzar dichas
metas. Y segundo, organizar la forma como la autoridad monetaria aborda
el problema de pronosticar la inflacion, lo cual tiene que ver con el desarrollo
del Informe de Inflación y su distribución temática. En esta nota se describe
en detalle la implementacion actual del “Fan Chart” que utiliza el Banco de
la Republica para su Informe de Inflacion, se presentan ejemplos que ilustran
adecuada utilizacion, se describe la manera como este se debe interpretar y se
describe el uso de un programa que facilita su aplicacion. Con esto, se persigue
explicitar el uso e interpretacion del “Fan Chart”.
1
Introducción
El ”Fan Chart” representa la función de probabilidades de los valores futuros de una
variable, condicional a la información conocida en el presente. En contraste con la
senda de pronósticos puntuales de la variable, el Fan Chart provee más información
∗
Las opiniones y conclusiones contenidas en este documento son responzabilidad exclusiva del
autor y en consecuencia no compromenten la visión del Banco de la República ni de su junta
Directiva. El autor agradece los valiosos comentarios y sugererencias de los doctores Norberto
Rodríguez y Luisa Charris del Banco de la República.
†
Para obtener la macro en Visual Basic para Excel haga cklick aquí.
‡
Departamento de Modelos Macroeconomicos, Banco de la Republica y Departamento de Estadistica, Universidad Nacional de Colombia.
E-mail address: [email protected]
1
ya que este describe la densidad condicional del pronóstico, marginal en cada uno de
los periodos del horizonte. A partir de esta densidad se puede conocer la probabilidad
condicional de que la variable asuma valores en intervalos particulares en cualquier
periodo del horizonte de pronóstico. Estas probabilidades se interpretan como ”el
riesgo” de que la variable asuma ciertos valores en un horizonte de pronostico dado.
El termino ”Fan Chart” proviene del Banco de Inglaterra, quienes lo vienen publicando desde 1977 en su Informe de Inflación. Véase [2]. En el caso del ”Informe de
Inflación” el ”Fan Chart” cumple con dos propósitos: Primero, comunicar al publico
las previsiones de la autoridad monetaria sobre la evolución futura de la inflación con
base en su ”mejor conocimiento” actual de la economía. Este propósito esta relacionado con la transparencia del esquema de metas de inflación y con la credibilidad
de las políticas para alcanzar dichas metas. Y segundo, organizar la manera como la
autoridad monetaria aborda el problema de pronosticar la inflación, lo cual tiene que
ver con el desarrollo del Informe de Inflación y su distribución temática.
En el caso Colombiano, desde 1999 el Banco de la República, BR, realiza un
esfuerzo considerable en la determinación de los factores que podrían presionar la inflación en el mediano plazo. Una vez identificados estos factores, el Banco cuantifica
su efecto sobre la distribución de probabilidades del pronostico de la inflación, es decir, el “Fan Chart”. De acuerdo con la mecánica del esquema de metas de inflación, la
Junta Directiva del Banco de la República, JDBR, emite señales monetarias que minimizan la distancia entre el pronóstico puntual de la inflación y la meta establecida,
llevando en consecuencia la inflación futura hacia su meta. El resultado del ejercicio anterior conforma el núcleo del “Informe sobre la Inflación” (que el Banco de la
República hace público desde 1999), y la distribución de probabilidades condicional
de la inflación futura se plasma en el reconocido “Fan Chart”, uno de los elementos
centrales del citado informe.
Debido a la necesidad de que los miembros de la autoridad monetaria realicen sus
propios ejercicios, la implementación del “Fan Chart” se restringe a que sea flexible,
sencilla, formal y a que sea independiente de modelos particulares. Esto obedece a
diferentes factores: Primero, en Inglaterra el “Monetary Policy Committee”, MPC1 ,
tiene una gran ingerencia en la producción del “Informe de inflación”, particularmente
en la producción del “fan Chart”. Segundo, el pronóstico de inflación no proviene
de un modelo particular sino que surge del análisis de los pronósticos de una “suite”
de modelos. Tercero, aunque la mayoría de los insumos para la producción del “Fan
Chart” provienen del Modelo de Mecanismos de Transmisión, MMT, en ocasiones
muy especiales estos podrían provenir de trabajos específicos comisionados para responder preguntas muy puntuales. Finalmente, la implementación debería permitir
la introducción de información a priori o experta en la producción del “Fan Chart”.
En comparación con otras metodologías, el “Fan Chart” no solo es mas sencillo
de aplicar sino que presenta varias ventajas; Primero, refleja riesgos asimétricos de
1
El MPC es un comite encabezado por los miembros de la Junta directiva del Banco de Inglaterra,
en el cual se definen los elementos primordiales del Informe de Inflacion.
2
que la inflación futura asuma valores por encima o por debajo del pronostico puntual,
los cuales reflejan la asimetría en el riesgo de que los factores que la afectan asuman
valores por encima o por debajo del supuesto en que se basa la senda central de pronostico de la inflación. Segundo, el “Fan Chart” incorpora multiplicadores subjetivos de
la incertidumbre sobre los valores futuros de los factores y la inflación, permitiendo
no solo mayor flexibilidad en su aplicación sino también mayor adaptabilidad en un
entorno en que la inflación esta en descenso. Y tercero, permite la introducción de
una variedad muy amplia de factores que podrían afectar a la inflación futura.
En el “fan Chart” se pueden incluir factores que se pueden clasificar en alguno
de los siguientes grupos: 1) Innovaciones a los residuos asociados a ecuaciones que
determinan el comportamiento de variables endógenas. 2) Choques a los procesos
que determinan la evolución de variables exógenos. Y 3) Choques a parámetros clave
de la economía.
En esta nota se describe en detalle la implementación actual del ”Fan Chart” que
utiliza el Banco de la Republica para su Informe de Inflación, se presentan ejemplos
que ilustran adecuada utilización, se describe la manera como este se debe interpretar y se describe el uso de un programa en Visual Basic para Excel que facilita su
aplicación. Con esto, se persigue desmitificar la implementación del ”Fan Chart” y
de paso clarificar su interpretación. El escrito se divide en tres secciones aparte de
esta corta introducción. En la primera se discute la interpretación del ”Fan Chart”.
En la segunda se describe la econometría y supuestos detrás de la implementación
actual, las cuales se utilizan en el programa adjunto, y se describen la implementación
computacional. En la tercera se describen varios ejemplos que ayudan a entender su
utilización práctica.
2
Interpretación
El gráfico 1 muestra un ejemplo de ”Fan Chart” calculado con información histórica
hasta 2005Q1. La línea sólida hasta esta fecha es la inflación total observada, y desde
2005Q2 es la senda que con mayor probabilidad puede asumir la inflación. Es decir, es
el pronostico modal en el sentido del valor que maximiza la función de probabilidades
marginal de pronostico en cada periodo de tiempo del horizonte. A partir de 2005Q2
se abre un abanico con distintas densidades de color, las cuales representan las franjas
de probabilidad desde 5% hasta 95% a intervalos de de 5%. El abanico se calcula,
por defecto, para nueve periodos t = 1, 2, ..., 9, a partir del último dato observado tal
como se muestra en el gráfico.
Para entender más claramente este gráfico, nos referimos a la tabla 1 que contiene
las estadísticas descriptivas de las distribuciones de pronostico para los t = 1, 2, ..., 7
periodos iniciales del horizonte. Las tres primeras columnas muestran las sendas que
definen las medidas de tendencia central; la moda o valor que maximiza la densidad
marginal de pronóstico en cada periodo del horizonte, la mediana o valor que divide la
densidad en dos partes iguales y la media o pronóstico esperado. La cuarta columna
3
"Fan Chart" Inflación Total
8
7
6
5
4
3
2002 Q2
2003 Q2
2004 Q2
2005 Q2
2006 Q2
2
2007 Q2
Figure 1: “Fan Chart” Inflacion Total con Info. Hasta 2005Q1
contiene la meta de inflación fijada por la JDBR. La quinta contiene la senda de las
varianzas de dicha distribución, y la sexta contiene el sesgo o tercer momento de esta.
La senda modal (µπt para t = 1, 2, ..., 7), la meta de inflación (
π t para t = 1, 2, ..., 7)
2π
y la varianza del error de pronóstico de la inflación (σ t para t = 1, 2, ..., 7) son insumos para el calculo del “Fan Chart”. La media (E0 (π t ) para t = 1, 2, ..., 7), mediana
(M0e (πt ) para t = 1, 2, ..., 7) y sesgo (S0 (π t ) para t = 1, 2, ..., 7) son resultados del
ejercicio.
La senda modal, µπt para t = 1, 2, ..., 9, es un insumo para el calculo del ”Fan
Chart”, y corresponde al pronostico mas probable, en el sentido que maximiza la
densidad marginal del pronostico de la inflación en cada periodo de tiempo del hort
1
2
3
4
5
6
7
Fecha
2005Q2
2005Q3
2005Q4
2006Q1
2006Q2
2006Q3
2006Q4
Moda
4.81
4.80
4.75
4.92
4.71
4.25
4.10
Mediana
4.81
4.79
4.74
4.92
4.70
4.26
4.14
Media
4.81
4.80
4.74
4.92
4.70
4.25
4.11
Meta
5.25
5.12
5.00
4.88
4.75
4.63
4.50
Varianza
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.56
0.61
Table 1: Estadisticas Descriptivas Densidad de Pronostico
4
Sesgo
0.00
0.00
0.00
-0.01
-0.01
0.00
0.01
izonte de pronostico. La evolución de esta senda se explica por diferentes factores
como los mecanismos de transmisión, los valores históricos de las variables que componen los diferentes modelos y las sendas modales (pronosticadas o supuestas) de
variables que aparecen como exógenos en los modelos de pronostico.
Un punto importante que se debe tener en cuenta al interpretar la senda modal
es que en su calculo se supone que se esta realizando una política monetaria activa
que lleva el pronóstico de inflación a su meta en el mediano plazo. Es decir, este
sería el pronóstico de inflación consistente con una política monetaria activa en todo
periodo del horizonte. Al comparar la senda modal con la senda de metas lo único
que se observa son movimientos que reflejan condiciones de corto plazo, pero como
se esta pronosticando con política monetaria activa, en el mediano a largo plazo
el pronostico llega a la meta dado un horizonte suficientemente largo de tiempo.
Desafortunadamente esta senda no es fácilmente interpretable ya que no se presenta
la senda de tasas de interés que llevan a la inflación proyectada hacia su meta.
La senda de varianzas es también un insumo para el cálculo del ”Fan Chart” y
tiene tres componentes. El primer componente es la estimación histórica (no basada
en modelos) de la desviación estándar del error de pronóstico a horizontes de 4 y 9
trimestres, σ
π4 y σ
π9 . El segundo componente son multiplicadores, ω π4 y ω π9 , que ajustan
la incertidumbre histórica de pronóstico por información a priori sobre incrementos
o reducciones de esta. La varianza reportada en las filas 4 y 9 de la columna 5
corresponden a la desviaciones estandar ajustadas σ π4 = w4π σ
π4 y σ π9 = w9π σ
π9 . El
tercer componente son los factores de distribución de la incertidumbre a lo largo del
horizonte δ t , t = 1, 2, ..., 9 y cumplen con la restriccion de que Σ4t=1 δ t = 1 y Σ9t=5 δ t = 1,
de tal forma que σ π1 = δ 1 σ π4 , σ π2 = (δ 1 + δ 2 ) σ π4 , σ π3 = (δ 1 + δ 2 + δ 3 ) σ π4 , σ π5 = δ 5 σ π9 ,
σ π6 = (δ 5 + δ 6 ) σ π9 , ..., y σ π8 = (δ 5 + ... + δ 8 ) σ π9 .
El sesgo es un resultado del calculo del “Fan Chart”. En la tabla 1 se puede
observar que el sesgo es cero en los periodos de tiempo en que los pronósticos medios,
modales y medianos son iguales (descontanto la aproximación de los decimales).
Como la mediana es el valor que divide la densidad en dos partes iguales; tenemos
que P [π t ≤ M0e (π t )] = P [π t ≥ M0e (π t )] = 0.5, y entonces es claro que el balance de
riesgos, medido como P [π t ≤ M0e (π t )] es neutro. En 2006Q2 el sesgo es -0.1, lo cual
indica que la moda es superior a la mediana y esta es a su vez superior a la media.
Esto implica que P [π t ≤ M0e (π t )] > 0.5, con lo cual el balance riesgos indica que es
más probable que en este periodo particular la inflación tienda a estar por debajo de
la senda modal que por encima. En 2006Q2 el sesgo es positivo y ocurre lo contrario.
El cuadro 2 contiene en las primeras siete columnas las probabilidades de que
la inflación asuma valores en diferentes intervalos disjuntos y en la columna final el
balance de riesgos, P [π t ≤ M0e (π t )]. Estos valores son más precisos que los de la
tabla anterior en donde hay un efecto importante de redondeo. Se observa que entre
mas largo el horizonte, mayor es la incertidumbre en pronóstico, lo cual hace que las
probabilidades estén menos concentradas. Se observa adicionalmente que durante los
primeros cinco periodos del horizonte el balance de riesgos esta por debajo (es mas
5
t
Fecha
<4
1
2
3
4
5
6
7
2005Q2
2005Q3
2005Q4
2006Q1
2006Q2
2006Q3
2006Q4
0.00
0.00
0.73
1.18
8.26
32.42
42.66
4,4.5 4.5,5 5,5.5 5.5,6 6,6.5 >6.5
0.12
7.22
20.46
13.92
26.26
34.76
30.95
97.30
77.73
59.51
43.23
38.15
23.88
18.91
2.58
15.03
18.78
34.63
22.01
7.69
6.25
0.00
0.02
0.53
6.74
4.89
1.16
1.11
0.00
0.00
0.00
0.30
0.41
0.08
0.11
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
0.00
0.01
Balance
Riesgos
50.88
50.88
50.88
50.88
50.88
49.90
49.90
Table 2: Distribucion de Probabilidades del Pronostico
probable que la inflación sea inferior al valor de la senda modal), mientras que en
los dos siguientes trimestres el balance de riesgos esta por encima, es decir es mas
probable que la inflación observada sea superior al valor de la senda modal a que esta
sea inferior. Desafortunadamente estos sesgos son muy pequeños para ser observados
a simple vista en el ”Fan Chart”.
El balance riesgos de la distribución de pronostico de la inflación se explica por
cuatro insumos de la distribución de del factor i-esimo que afecta a la inflación,
i = 1, 2, ..., n1 ; Primero, los balances de riesgo a un horizonte de 4 y 9 trimestres, los
cuales denotamos pi4 y pi9 para el i-esimo factor. Segundo, las desviaciones estandar
históricas (no de modelos) de los factores a los mismos horizontes, σ
i4 y σ
i9 para el
i-ésimo factor. Tercero, multiplicadores de la incertidumbre a los mismos horizontes,
ω i4 y ω i9 , para el factor i-ésimo, las cuales ajustan la incertidumbre histórica por
información a priori sobre incrementos o reducciones de esta. Cuarto, la respuesta
contemporánea y luego de cuatro trimestres de la inflación a una innovación de una
unidad en el factor i-ésimo, φi0 y φi4 para i = 1, 2, ..., n1 .
El procedimiento para el cálculo del balance de riesgos de la inflación a partir de
los insumos anteriores es sencillo. El siguiente esquema, aunque no exacto, describe
a grandes rasgos el proceso:
• A partir de las desviaciones estándar históricas y los multiplicadores de la incertidumbre, se determina para cada factor la desviación estándar definitiva del
factor, σ i4 = ω i4 σ
i4 y σ i9 = ω i9 σ
i9 para i = 1, 2, ..., n1 .
• Se mapea la dupleta (σ i4 , pi4 ) al sesgo de la distribución del factor i-esimo a los
horizontes de cuatro y nueve trimestres, S4i y S9i para i = 1, 2, ..., n1 . De acuerdo
con las ponderaciones de distribución de la incertidumbre δ t para t = 1, 2, ..., 9 se
calculan los sesgos para cada factor en cada periodo del horizonte de pronóstico,
Sti para t = 1, 2, ..., 9 e i = 1, 2, ..., n1 .
• Con las ponderaciones de respuesta de la inflación a los factores, se mapea
dinámicamente el sesgo de cada factor a la inflación y estos se suman para dar
6
DISTRIBUCION LUEGO 4 TRIMESTRES
INCERTIDUMBRE
DESV.
MULTIPLICADOR
ESTANDAR
INCERTIDUMBRE
HISTORICA
Consumo Privado
0.0060
1.1000
Inversión Total
0.0019
1.1000
Consumo Público
0.0019
1.1000
Exportaciones
0.0019
1.1000
Importaciones
0.0017
1.1000
Inflación de Alimentos
0.0430
0.7000
Expectativas de Inflación
0.0042
0.8000
Precios de los Importados 0.0270
1.1000
Inflación Básica
0.0120
0.7000
Expec Depreciación
0.0900
1.1000
NOMBRE DE LOS
FACTORES
DISTRIBUCION LUEGO 9 TRIMESTRES
INCERTIDUMBRE
BALANCE DE
RIESGOS
0.4000
0.4000
0.5000
0.6000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.5000
0.7000
DESV.
MULTIPLICADOR
ESTANDAR
INCERTIDUMBRE
HISTORICA
0.0072
1.1000
0.0022
1.1000
0.0022
1.1000
0.0023
1.1000
0.0021
1.1000
0.0516
0.7000
0.0050
0.8000
0.0324
1.1000
0.0144
0.7000
0.1080
1.1000
BALANCE DE
RIESGOS
0.5000
0.5000
0.4000
0.5000
0.4000
0.5000
0.5000
0.6000
0.5000
0.6000
FUNCION DE IMPULSO RESPUESTA
RESPUESTA DE LA INFLACION
ANUAL A INNOVACIONES DE UNA
UNIDAD DE LOS FACTORES
CONTEMPORANE
O
0.1657
0.0377
0.0375
0.0344
-0.0380
0.7633
0.2947
0.0497
0.7277
0.0070
LUEGO DE 4
TRIMESTRES
0.3007
0.0685
0.0681
0.0625
-0.0689
-2.3126
0.1844
0.0661
0.4554
0.0028
Figure 2: Propiedades Factores Afectan Inflacion
la respuesta de la inflación al sesgo, el cual denotamos Stπ para t = 1, 2, ..., 9.
• Para cada periodo de tiempo se determina la densidad a partir de los paramentros (µπt , Stπ , σ πt ) y se dibuja.
El cuadro que se presenta en el grafico 2 muestra los insumos necesarios para
los pasos descritos anteriormente. En la siguiente sección se muestra en detalle la
econometria detrás del cálculo “Fan Chart”.
3
Entendiendo el “Fan Chart”
En esta sección se describen la racionalidad econométrica y cómputo del “Fan Chart”,
demostrando entonces la razón por la cual este surge de un proceso formal pero
sencillo. El “Fan Chart” se construye bajo el supuesto de que tanto la distribución
condicional de los factores que afectan a la inflación como la distribución condicional
de esta son normales de dos piezas. En la primera sub-sección describimos la densidad
normal de dos piezas y enumeramos sus propiedades. En la segunda demostramos
que esta se puede caracterizar alternativamente por las tres tripletas mencionadas en
la introducción. En la tercera sub-sección describimos el mapeo de las tripletas que
determinan la densidad de los factores a la tripleta que determina la densidad del
pronóstico de la inflación.
3.1
La Distribución Normal de dos piezas
Se dice que una variable aleatoria tiene una densidad normal de dos piezas si su
función de densidad de probabilidades tiene la forma:

 C exp − 1 2 (x − µ)2
para x ≤ µ
2σ1
(1)
fX (x; µ, σ 1 , σ 2 ) =
 C exp − 1 2 (x − µ)2
para
x
>
µ
2σ
2
7
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
-4,0
-3,2
-2,4
-1,6
-0,8
0,0
(0,1,1)
0,8
(0,1,0.5)
1,6
2,4
3,2
4,0
(0,1,1.5)
Figure 3: Densidades Normales de dos Piezas
donde -∞ < µ < ∞ es la moda o valor más probable de la distribución,
σ1 > 0 y
2
σ 1 > 0 son dos parámetros indicadores de la incertidumbre, y C = π (σ 1 + σ 2 )−1
es un valor que garantiza que 1 sea una función de probabilidades. De esta ecuación
es claro que la distribución normal es un caso particular cuando σ 1 = σ 2 , y que
la densidad queda completamente especificada si se conoce el valor de la tripleta
(µ, σ 1 , σ 2 ).
El gráfico 3 muestra tres de estas densidades para (µ, σ 1 , σ 2 ) = (0, 1, 1), (µ, σ 1 , σ 2 ) =
(0, 1, 0.5) y (µ, σ 1 , σ 2 ) = (0, 1, 1.5). En este se puede observar que cuando σ 1 > σ 2 la
densidad se sesga a la izquierda y entonces el “balance de riesgos” P [X ≤ µ] > 0.5
está por debajo. Cuando σ 2 > σ 1 ocurre lo contrario, pero cuando σ 1 = σ 2 la
densidad se reduce a una normal y se dice que el riesgo esta balanceado.
Apartir de la ecuación 1 podemos determinar la probabilidad de cualquier evento
a partir de
L2
P [L1 ≤ X ≤ L2 ] =
fX (x) dx
(2)
L1

L2 −µ
L1 −µ
2σ1

Φ
−
Φ
si L1 < L2 ≤ µ
 σ1 +σ2

σ1 σ1 
2σ 2
Φ L2σ−µ
− Φ L1σ−µ
si µ ≤ L1 < L2
=
σ 1+σ 2 2
2


L2 −µ
L1 −µ
σ1 −σ 2

 2 σ2 Φ σ2 −σ1 Φ σ1 + 2
si L1 ≤ µ < L2
σ 1 +σ 2
8
donde Φ (x) es la distribución normal estándar acumulada, y por lo tanto el “balance
de riesgos” toma el valor
σ1
p = P [X ≤ µ] =
(3)
σ1 + σ2
Adicionalmente, la media y varianza de la distribución están dadas por
2
(σ 2 − σ 1 ) + µ
(4)
µ
= E [X] =
π
y
2
2
σ = V [X] = 1 −
(σ 2 − σ 1 )2 + σ 1 σ 2
(5)
π
y el sesgo o coeficiente de “asimetría” toma el valor
2
4
2
3
(σ 2 − σ 1 )
− 1 (σ 2 − σ 1 ) + σ 1 σ 2
(6)
E (X − µ
) =
π
π
el cual es proporcional a
2
(σ 2 − σ 1 )
(7)
π
Por otra parte, para un valor 0 < α < 1, el percentil α-ésimo de la distribución
normal de dos piezas es el valor k tal que P [X ≤ k] = α. De la ecuación 2 sabemos
que

k−µ
2σ 1

para k ≤ µ
Φ
σ1
σ1 +σ2
P [X ≤ k] =
k−µ
σ 1 −σ 2
 2
σ 2 Φ σ2 + 2
para k > µ
σ1 +σ2
ξ=µ
−µ=
de donde obtenemos

1 +σ 2 )

+ µ para α ≤ p = P [x ≤ µ]
σ 1 Φ−1 a(σ2σ
1
k=
 σ 2 Φ−1 (σ1 +σ2 )a − σ1 −σ2 + µ para α > p = P [x ≤ µ]
2σ 2
2σ2
3.2
(8)
Equivalencia Entre Conjuntos De Parámetros
De la sección anterior vimos que la densidad queda completamente especificada si se
conoce la tripleta
(µ, σ 1 , σ 2 ). En esta sección
probamos que esta tripleta es equivalente
a conocer µ, p = P [X ≤ µ] , σ = V (X) , lo cual a su vez es equivalente a conocer
la tripleta (µ, ξ, σ), donde ξ es una aproximación al sesgo de la densidad.
En efecto, si σ 1 y σ 2son conocidos, las ecuaciones 3 y 5 determinan el valor de
p = P [X ≤ µ] y σ = V (X). Ahora, si p y σ son conocidos, estas ecuaciones
definen un sistema en las incognitas σ 1 y σ 2 de la forma
σ1
(9)
p =
σ + σ2
1
2
σ2 =
1−
(σ 2 − σ 1 )2 + σ 1 σ 2
π
9
que resolvemos para obtener los valores de σ 1 y σ 2 como
√
σ2
p πσ 2
σ1 = p
=
1−p
3πp2 − 3πp + π − 8p2 + 8p − 2
√
(1 − p) πσ 2
σ2 = 3πp2 − 3πp + π − 8p2 + 8p − 2
(10)
Para encontrar la equivalencia con la tercera tripleta, podemos escribir la densidad
1 como
1
x−µ
2
2
fX (x; µ, σ, γ) = C exp − 2 (x − µ) + γ
(x − µ)
(11)
2σ
|x − µ|
la cual depende de la tripleta (µ, γ, σ) de donde es claro que
σ2
σ 1 = 1−γ
σ2
σ 2 = 1+γ
(12)
lo cual soluciona el problema de determinar σ 1 y σ 2 cuando σ y γ son conocidas.
De otra parte, de la primera ecuación de 10 combinada con 12 encontramos que
γ se expresa como
1 − 2p
γ=
(13)
1 − 2p + 2p2
el cual depende solamente del balance de riesgos. Sin embargo, a partir de esta última
ecuación podemos determinar la aproximación al sesgo de la ecuación 7 como
2
ξ = µ
−µ =
(σ 2 − σ 1 ) =
(14)
π
2
σ2
σ2
=
−
π
1−γ
1+γ
la cual depende de σ y γ.
Ahora, si conocemos ξ y σ 2 , tenemos que
π
β = 2 ξ2 =
2σ
de donde
es decir,
1
−
1−γ
1
1+γ
β(1 − γ 2 ) = 2 − 2 1 − γ 2
βy 2 = 2 − 2y
10
2
podemos resolver primero esta ecuación para y y luego para γ, de donde hallamos la
solución,
 √
2

1−2β−1

 1−
si ξ > 0
β
(15)
γ=
√
2

1−2β−1

 − 1−
si ξ < 0
β
la cual depende de ξ y σ.
Las demás ecuaciones necesarias para completar la equivalencia se obtienen directamente de las anteriores.
3.3
Transformando la Densidad de los Factores a la Densidad
de la Inflación
Suponga que queremos realizar el “Fan Chart” de la inflación anual a un horizonte
de h = 9 trimestres. Es decir, queremos hallar la densidad condicional de π t para
t = 1, 2, 3, ..., 9, donde el trimestre actual es t = 0.
Suponga que identificamos un total de n = n1 + n2 factores que afectan a la
inflación, los cuales denotamos como Xti para i = 1, 2, 3, ..., n y t = 1, 2, 3, ..., h.
Suponemos que los primeros n1 factores se caracterizan porque su balance de riesgos
en algún periodo de tiempo del horizonte no es 0.5, es decir, pit = 0.5 para algún
t = 1, 2, 3, ..., h y para i = 1, 2, 3, ..., n1 . Suponemos adicionalmente que el valor más
probable del factor i-ésimo en el periodo t está dado por µit y su varianza en el periodo
i i
i
t es σ 2i
t . Con esto completamos el valor de la tripleta (µt , pt , σ ) que determina la
densidad condicional de cada Xti en cada periodo de tiempo en el horizonte.
Finalmente, supongamos que los valores de los factores Xti para t = ..., −3, −2, −1, 0
se conocen sin incertidumbre.
9
Nuestro trabajo consiste en transformar la secuencia de tripletas {(µit , pit , σ 2i
t )}t=1
9
para i = 1, 2, 3, .., n1 , en una secuencia de tripletas {(µπt , pπt , σ 2π
t )}t=1 . Este proceso
se realiza de la siguiente manera.
3.3.1
La Senda Central µπt
La senda central de la inflación es la secuencia µπ1 , µπ2 , µπ2 , ... µπ9 de valores más
probables de la inflación en el horizonte de pronóstico. Es decir, es la senda más
probable de pronóstico condicional al “mejor conocimiento” del funcionamiento de
la economía, su estado actual y su desempeño futuro más probable. Esta senda se
obtiene al unir las modas de las densidades de pronóstico condicional o incondicional
a las sendas modales de los diferentes factores.
El “mejor conocimiento” sobre el funcionamiento de la economía es un conjunto
de ideas o de funciones de impulso respuesta que representan el efecto dinámico de
las diferentes innovaciones sobre las variables macroeconómicas clave. Por excelencia,
11
Notación
h=9
Significado
Horizonte de pronóstico
Factor o variable que afecta a π t
Xti
i = 1, 2, 3, ..., n = n1 + n2
i
µt
Valor más probable factor i periodo t
pit = P [Xti ≤ µit ] Balance riesgos factor i periodo t
σ it
Desv. estándar factor i periodo t
n2
Número de Xti tales que pit = 0.5
πt
Inflación en el periodo t
π
µt
Valor más probable inflación en t
π
pt
Balance riesgos Inflación en t
2π
σt
Varianza Inflación en t
φij
Respuesta π t+j a impulso Xti
ξ it
Aprox. sesgo factor i tiempo t
π
ξt
Aprox. sesgo π tiempo t
i
γt
Indicador sesgo factor i tiempo t
γ πt
Indicador sesgo π tiempo t
Table 3: Notación
esta ideas o funciones de impulso respuesta se derivan del llamado “Modelo de mecanismos de Transimsión”, MMT, el cual es una caracterización de los hechos empíricos
estilizados de la economía en un marco estructural macroeconómico. Véase [5], [7],
[6] y [4].
El estado actual de la economía se obtiene de los valores observados de las variables
y factores, sean o no observables, hasta el periodo t = 0 de nuestra notación. Es decir,
Xti para i = 1, 2, 3, ..., n y t = ..., −3, −2, −1, 0. Si hay algún factor no observable,
este se estima a partir de la información histórica o del criterio de expertos. Los
factores son en general las variables que componen los diferentes modelos, y si hay
alguno no contemplado en por lo menos un modelo, sería necesario el desarrollo de un
modelo satélite que incluya este factor hasta que este se pueda incluir en los modelos
más grandes como el MMT. Sin embargo, si esto no es posible, siempre se puede
considerar el criterio de expertos 2 para suponer los valores o parametros necesarios.
El desempeño futuro más probable de la economía se compone de las sendas,
supuestas, previstas o pronosticadas, más probables en el sentido de la moda, de los
factores Xti . Es decir, el conjunto de valores µit para i = 1, 2, 3, ..., n y t = 1, 2, 3, ..., 9.
Los valores de la senda central de la inflación se obtienen como la moda
de la distribución de la inflación, condicional a que los factores asuman sus
2
El criterio de expertos es una metodología estadística muy convencional en ciencias puras y de
la salud, la cual ha sido de gran utilidad en casos de gran incertidumbre. En principio esta es una
metodología Bayesiana y el criterio experto se incluye en las densidades a priori de los parámetros
sobre los cuales pesa la incertidumbre.
12
valores más probales, Xti = µut y a los valores de las variables contenidos
en el conjunto de información ̥0 , que contiene toda la información de la
economía hasta el periodo actual, t = 0. Es decir,
µpt = M π t |̥0 , Xti = µut ´para 1 = 1, 2, .., n y t = 1, 2, ..., h
(16)
o también como la moda de la densidad conjunta codicional al conjunto de información
hasta el trimestre actual ̥0
µpt = M [π t |̥0 ]
(17)
o algún intermedio de las dos, en el que se supone que algunos factores asumen sus
valores más probables pero otros no.
El BR cuenta con un conjunto extenso de modelos a partir de los cuales se puede
obtener la densidad de pronóstico condicional o incondicional a las sendas modales
de los factores, o condicional a algunos pero incondicional a otros factores. Cada uno
de estos modelos enfatiza diferentes aspectos de la economía, y el desempeño de sus
pronósticos cambia en la medida que estos factores sean más o menos relevantes en el
periodo particular. Entre el conjunto de los pronósticos se selecciona el más adecuado
de acuerdo con su comportamiento histórico, el conocimiento actual de la economía
y su funcionamiento a través de una regla Bayesiana de criterio experto.
En conclusión, la senda más probable de la inflación es unión de las modas de las
densidades de la inflación en el horizonte de pronóstico, condicionales a que todos los
n factores asuman su valor “más probable” o modal.
Para la realización de esta transformación de las modas de los factores a la moda
de la inflación, realizamos tres supuestos
• La distribución de los factores es normal en dos piezas.
• La densidad condicional de la inflación es normal en dos piezas.
• La senda más probable de la inflación depende solamente de las sendas más
probables de los n factores y no de otras características de la distribución de
los factores.
3.3.2
El Balance de Riesgos
En la sección anterior se describió la forma como se obtiene la senda más probable
de la inflación futura a partir de la distribución condicional a las sendas más probables de los n factores. En esta describimos la manera como el balance de riesgos e
incertidumbre de los factores se traduce en el balance de riesgos de la inflación.
El proceso consiste en determinar para cada periodo de tiempo el sesgo aproximado 14 para cada uno de los n1 factores que tienen un balance de riesgos distinto a
un medio en algún periodo de tiempo. A tavés de una función de respuesta de
13
t
1
2
..
.
t
..
.
9
Respuesta del Sesgo
Factor 1
Factor 2
1 1
φ0 ξ 1
φ20 ξ 21
φ10 ξ 12 + φ11 ξ 11 φ20 ξ 22 + φ21 ξ 21
..
..
.
.
t−1 1 1
t−1 2 2
j=0 φj ξ t−j
j=0 φj ξ t−j
..
..
.
.
8
8
1 1
2 2
j=0 φj ξ t−j
j=0 φj ξ t−j
Aprox. de πt a Sesgo
···
Factor n1
···
φn0 1 ξ n1 1
· · · φn0 1 ξ n2 1 + φn1 1 ξ n1 1
..
.
t−1 n1 n1
···
j=0 φj ξ t−j
..
.
8
n1 n1
···
j=0 φj ξ t−j
Aprox. de:
Todos ξ π
n1 i ti
φ0 ξ 1
n1 i=1
i i
i i
i=1 φ0 ξ 2 + φ1 ξ 1
..
.
n1 t−1 i i
j=0 φj ξ t−j
i=1
..
.
n1 8
i i
j=0 φj ξ t−j
i=1
Table 4: Respuesta del Sesgo de la Inflación a sesgo de factores
la inflación anual a impulsos de una unidad en cada uno de los factores,
se traduce el sesgo de cada factor en un sesgo de la inflación explicado por el factor
particular. Al sumar los sesgos de la inflación explicados por los n1 factores, se genera
el sesgo de la densidad de la inflación explicado por los factores para cada periodo de
tiempo.
No se tienen en cuenta los factores con balance de riesgos igual a un medio en
todos los periodos de tiempo porque estos tienen densidades simétricas que generan
respuestas nulas sobre el sesgo de la inflación.
Más precisamente, sea
ξ it = µ
it − µit
para t = 1, 2, 3, ..., 9 y i = 1, 2, 3, ..., n1
(18)
la aproximación del sesgo correspondiente a cada uno de los n1 factores para los 9
trimestres de la ecuación 14, y sea φis para i = 1, 2, 3, ..., n1 y s = 0, 1, 2, ..., 8 la
respuesta de la inflación anual π t a un impulso de una unidad del factor i-ésimo s
periodos antes.
Bajo el supuesto de que el sesgo de la inflación ξ πt se explica de manera exclusiva y
linealmente por los sesgos de los diferentes factores, ξ it . Se puede generar fácilmente la
respuesta del sesgo de la inflación a los sesgos de cada factor de acuerdo con la tabla
4 como la respuesta acumulada en el sentido convencional de la función de impulso
respuesta.
Las funciones de impulso respuesta son un insumo del “Fan Chart” y provienen en
general del modelo central, MMT, pero para algunos casos muy particulares pueden
provenir de modelos satélite diseñados específicamente para este propósito.
En resumen, para el cálculo de la respuesta del sesgo aproximado de π t , ξ πt , a
los sesgos aproximados de los factores, ξ it , se necesitan como insumos los siguientes
valores:
• La respuesta φis de la inflación anual a un impulso de una unidad en el factor
i-ésimo para cada horizonte s = 0, 1, 2, ..., 8 y para cada factor i = 1, 2, 3..., n1
14
• El balance de riesgos pit para cada factor en cada periodo de tiempo del horizonte.
• La incertidumbre σ it de cada factor para cada periodo de tiempo del horizonte.
A partir del segundo y tercer insumos se calcula en cada periodo de tiempo el
sesgo aproximado del factor i-ésimo, ξ it , de acuerdo con la ecuaciones 13 y 14. Al
combinar este resultado con el primer insumo se halla ξ πt tal como lo describe la tabla
4.
En adición a los tres supuestos anteriores, el cálculo de la senda de sesgos aproximados de la inflación futura con base en los sesgos aproximados de los factores
supusimos que:
• El sesgo aproximado de la distribución futura de la inflación se explica exclusivamente por el sesgo aproximado de los factores y no por otras características
de su distribución.
• El sesgo aproximado de la distribución futura de la inflación es una función
lineal de los sesgos aproximados de los diferentes factores cuyas ponderaciones
son los coeficientes de la función de impulso-respuesta.
• El sesgo aproximado de la distribución futura de la inflación en un periodo
de tiempo particular del horizonte es la suma de los sesgos aproximados de la
inflación explicados por cada factor.
3.3.3
La Incertidumbre σ π2
t
La varianza de la inflación para un periodo particular del horizonte de pronóstico,
σ π2
t , se estima con base en los errores de pronóstico históricos del informe de inflación.
3.3.4
El “Fan Chart”
Una vez se han obtenido las tripletas (µπt , ξ πt , σ π2
t ) que contienen las sendas de los
π
valores más probables de la inflación, µt , el sesgo aproximado, ξ πt , y la incertidumbre,
σ πt , se puede determinar el valor de la tripleta equivalente (µπt , σ π1t , σ π2t ). A partir de
esta tripleta podemos obtener los percentiles α1 , α2 , ...., αm ésimos de la densidad de
la inflación en cada periodo de tiempo, los cuales denotaremos kltπ , y que se definen de
acuerdo con la ecuación 8 como el valor kltπ tal que P [π t ≤ kltπ ] = αl para l = 1, 2, ..., m.
Al unir las sendas {kltπ }9t=1 para cada l = 1, 2, 3, ..., m se obtiene el gráfico del “Fan
Chart”.
15
4
Usando el “Fan Chart”
En la sección anterior explicamos los supuestos y derivamos las fórmulas para el
cómputo del “Fan Chart”. En esta se presentan algunas consideraciones prácticas
para su uso, las cuales se relacionan con la implementación computacional del archivo
en Excel adjunto.
4.1
El Multiplicador de la Incertidumbre
Uno de los resultados del ejercicio que lleva a producir el “Fan Chart” es la determinación subjetiva del grado de incertidumbre en el horizonte de pronóstico relativa a
la incertidumbre histórica. Esto aplica para las distribuciones de los factores como
para la de la inflación.
En cualquier ejercicio de pronóstico es tentador pensar que el grado actual de incertidumbre sobre el pronóstico es superior a su incertidumbre histórica. Sin embargo,
esto no necesariamente es verdad en todos los casos. Por ejemplo, si se identifica que
un factor importante en la determinación de la inflación futura es un posible incremento de los impuestos sobre los combustibles, en el presente se tiene un mayor grado
de incertidumbre sobre el valor del impuesto y su efecto sobre la inflación futura. Sin
embargo, una vez haya sucedido este incremento, la incertidumbre sobre el valor del
incremento se reduce a cero y la incertidumbre con respecto al efecto sobre la inflación
disminuye.
De igual manera, el multiplicador sirve para ajustar la incertidumbre de una
inflación que tiene tendencia decreciente, consistente con una incertidumbre también
decreciente.
Es importante anotar que el multiplicador de la incertidumbre es una medida
relativa a la incertidumbre histórica, y que este multiplicador es “subjetivo” pero
derivado de un proceso formal.
4.2
Información Anual en Vez de Trimestral
Realizar supuestos, pronósticos o escenarios de los valores modales, balances de riesgo
e incertidumbre para cada uno de los factores en cada trimestre del horizonte de
pronóstico puede ser un trabajo difícil e innecesario, sobre todo si se incluyen factores
que aún no han sido considerados en los modelos.
La implementación actual del “Fan Chart” se basa en que se realizan supuestos
o escenarios sólo para el cuarto y novemo trimestre del horizonte de pronóstico. Por
comodidad nos referimos a ellos como “final del primer año” y “final del segundo
año”. Es decir, en lugar de suponer valores (pit , σ it ) y (pπt , σ πt ) para los 9 periodos de
tiempo del horizonte, se necesitan sólamente los valores al final del primer y segundo
año, (pi4 , σ i4 ), (pπ4 , σ π4 ), (pi9 , σ i9 ) y (pπ9 , σ π9 ).
Sin embargo, este procedimiento implica la existencia de una regla a través de la
que se llenen los valores para los periodos intermedios. En la implementación actual
16
Símbolo
πt
µπt
π
t
σ π4 y σ π9
w4π y w9π
σ i4 y σ i9
w4i y w9i
pi4 y pi9
φi0 y φi4
δt
Lj
αj = 0.05 × j
Nombre
Inflación Observada
Senda más probable Inflación
Meta de Inflación
Desv. Estándar Histórica
Pronóstico Inflación
Multiplicador Incertidumbre
Pronóstico Inflación
Desv. Estándar Histórica
i = 1, 2, ..., n1
del factor i-ésimo
Multiplicador Incertidumbre
i = 1, 2, ..., n1
del factor i-ésimo
Balance de Riesgos
i = 1, 2, ..., n1
del factor i-ésimo
Resp. de π t a impulso
i = 1, 2, ..., n1
1 unidad del factor i-ésimo
Ponderaciones Intra Año
Rangos Presentación Tabla
Probabilidades para el dibujo del “Fan Chart”
Periodos
t = −20, −19, ..., 0
t = 1, 2, 3, ..., 9
t = 1, 2, 3, ..., 9
t=4y9
t=4y9
t=4y9
t=4y9
t=4y9
t=0y4
t = 1, 2, 3, ..., 9
j = 1, 2, 3, .., 6
j = 1, 2, 3, .., 18
Table 5: Insumos Para la Construcción del “Fan Chart"
suponemos que la distribución de los valores al final de cada año es uniforme a lo
largo de los trimestres, y que la transición del primer a segundo año se interpola
linealmente.
Las ponderaciones de cada trimestre se conocen como “Ponderadores Intra Año”
y sus valores son 0.25 para los cuatro trimestres del primer año y 0.20 para los cinco
del “segundo año”.
4.3
Insumos
La tabla 5 contiene una lista de los insumos necesarios para la construcción del “Fan
Chart”. Los pasos necesarios se describen a continuación y la obtención de los insumos
en la siguiente sub-sección.
4.3.1
Pasos para la Costrucción del “Fan Chart”
1. Multiplique las desviaciones estándar históricas de cada variable por sus multiplicadores de incertidumbre para hallar la medida de incertidumbre futura.
2. Convierta la incertidumbre y balance de riesgos de los factores en la aproximación al riesgo correspondiente para cada factor en cada periodo de tiempo,
t = 4 y 9.
17
3. Con la ayuda de la función de impulso respuesta transforme el sesgo aproximado
de cada factor en el sesgo aproximado de la inflación explicado por cada factor.
4. En cada periodo de tiempo, t = 4 y 9, sume los sesgos aproximados explicados
por cada uno de los factores en un sesgo total aproximado de la inflación.
5. Con ayuda de las ponderaciones intra año genere la incertidumbre y aproximación total al sesgo de la inflación para los periodos t = 1, 2, 3, ..., 9.
6. Para cada periodo de tiempo convierta la incertidumbre y aproximación al sesgo
anterior en σ π1t y σ π2t .
7. Complete la tripleta (µπt , σ π1t , σ π2t ) para cada periodo de tiempo.
8. Determine los percentiles para las probabilidades determinadas y el resultado
es el “Fan Chart”.
4.3.2
Determinación de los Insumos
Como se explicó anteriormente, la senda más probable de la inflación, µπt , se obtiene a
partir de los pronósticos de los diferentes modelos, basados en los supuestos, escenarios
o pronósticos más probables, µπt de los n factores considerados. Las metas de inflación
son determinadas por la JDBR y la inflación observada es conocida de antemano. La
desviación estándar histórica de la inflación se obtiene como el RMSE del pronóstico
de inflación reportado en los informes de inflación pasados.
Los n factores Xti que se incluyen en el cómputo de la senda más probable de la
inflación son el resultado del informe de inflación.
En general estos factores son variables que entran como variables exógenas en los
modelos de pronóstico, o que son variables endógenas en modelos conjuntos como el
MMT. Sin embargo, estos no son los únicos tipos de factores que se pueden incluir.
Estos factores se clasifican en: (a) Choques a las innovaciones de alguna variable
importante del MMT, tales como innovaciones al cosumo, productividad, etc. (b)
Choques a los procesos que determinan alguna variable exógena como las tasa de
interés externa. Y (c) Choques a parámetros clave que reflejan un cambio del mecanismo de transmisión tales como los cambios en el pass-trough o en la pendiente de la
curva de Phillips debido a la pérdida de credibilidad de las politicas para alcanzar la
meta de inflación.
La senda más probable de los factores, µit , proviene de los pronósticos, supuestos
o escenarios que se discuten en el interior del informe de inflación. Estas sendas
alimentan los diferentes modelos de pronóstico de la inflación, de los cuales se obtiene
µπt .
Luego de establecer la senda central, se estudia el balance de riesgos de cada
uno de los factores con base en el conocimiento actual de la economía. El valor del
balance de riesgos para cada factor es “subjetivo” y se expresa en un conjunto de
18
valores pit = P [Xti ≤ µit ]. Estos factores se clasifican en n1 que tienen balance de
riesgos diferente a 0.5 en algún periodo de tiempo y los demás que tienen un balance
simétrico de riesgos en todos los periodos.
Para los n1 factores con balance asimétrico de riesgos se necesita la desviación
estándar histórica, la cual se calcula como la varianza residual estimada si el factor
es una innovación a una ecuación, o la desviación estándar histórica estimada de la
variable exógena que recibe la innovación, o la desviación estándar estimada de un
modelo en el que el parámetro en cuestón cambie en el tiempo. En cualquier otro
caso se puede utilizar el criterio de expertos.
Las funciones de impulso respuesta correspondientes se obtienen del MMT o de
algún modelo diseñado para el fín específico. Sin embargo hay que tener en cuenta
que estos son la respuesta de la inflación total a una innovación de una unidad en
el factor particular.El gráfico ?? describe los pasos para la construcción del “Fan
Chart” y muestra como su construcción se realciona con un esquema para pensar en
la evolución futura de la inflación.
5
Discusión
El “Fan Chart” es una herramienta muy útil para los bancos centrales que siguen el
esquema de metas de inflación. Sus usos primordiales son: Primero, comunicar al
público la visión actual del banco acerca de la evolución de la inflación, condicional al
mejor conocimiento del funcionamiento de la economía, el estado actual de esta y su
desempeño futuro. Y segundo, sirve como un esquema para pensar en la evolución futura de la inflación. Si bien podemos obtener un “Fan Chjart” de cualquier modelo de
pronóstico, la implementación que usa actualmente el Banco de la República cumple
con la condición de ser formal pero sencilla. La sencillez se deriva de la necesidad de
los miembros de la JDBR de replicar sus propios ejercicios a partir de la información
entregada por el “staff”, es decir, sin la complicación de un modelo particular.
Nuestra implementación del “Fan Chart” es similar a la del Informe de Inflación
del Banco de inglaterra el cual se basa en los supuestos descritos anteriormente en el
escrito. Si bien el “Fan Chart” es cada vez más aceptado por los bancos que siguen
el esquema de metas de inflación, este ha sido blanco de críticas por la sencillez de
sus supuestos.
En particular, se han cuestionado dos supuestos: Primero, el supuesto de que la
distribución condicional de la inflación sea normal en dos piezas dado que la condicional de los factores es también de este tipo. Y segungo, el supuesto de que el efecto
del sesgo aproximado de los factores sobre el sesgo aproximado de la inflación sea
aditivo. El primer supuesto es muy fácil de sostener ya que la densidad normal en
dos piezas es una buena aproximación para una familia extensa de funciones de densidad asimétricas y unimodales. El segundo supuesto es más dificil de sostener por
su naturaleza restricitiva.
19
Figure 4: El “Fan Chart” Como un Esquema Para Pensar en la Evolución de la
Inflación
20
Sin embargo, varios autores como [3] y [8] han realizado algunas comparaciones
que podrían servir como punto de partida para un formalización más estricta.
21
References
[1] Blix, M. y Sellin, P. (1998) “Uncertainty bands for Inflation Forectasts”, mimeo
Severiges Riksbank.
[2] Britton, E., Fisher, P. y Whitley, J. (1998) “The Inflation Report Projections:
Understanding the Fan Chart”, Bank of England Quarterly Bulletin, Feb. 1998.
[3] Cogley, T., Morozov, S. y Sargent, T. (2003) “Bayesian Fan Charts for UK Inflation: Forecasting and Sources of Uncertainty in an Evolving Monetary System”, CFS-Bundesbank Conference on xpectations, Learning and Monetary Policy, Eltville, Alemania Agosto del 2003.
[4] Hamman, F., Julio, J., Restrepo, P. y Riascos, A. (2004) “Inflation Targeting in a
Small Open Economy: The Colombian Case”, Borradores Semanales de Economía
# 308. Banco de la República, Bogotá, Colombia.
[5] Gomez, J. y Julio, J. (2001) “Transmission Mechanisms and Inflation Targeting:
The Case of Colombia’s Disinflation”, Borradorese Semanales de Economía # 168.
Banco de la República, Bogotá, Colombia.
[6] Gomez, J. y Julio, J. (2005) “Transmission Mechanisms and Inflation Targeting:
The Case of Colombia’s Disinflation”, Capítulo 6 del libro “How Monetary Policy Works”, editado por Mahadeva, L. y Sinclair, P., Central Banks Governor’s
Symposium Series, Routledge, pag. 139-168.
[7] Gomez, J., Uribe, J. y Vargas, H. (2002) “The Implementation of Inflation Targeting in Colombia”, Borradores Semanales de Economía # 202. Banco de la
República, Bogotá, Colombia.
[8] Vega, M. (2003) Reportando la Distribución de la Proyección de Inflación”; Revista de Estudios Economicos, Banco Central de la Reserva del Peru, Noviembre
de 2003.
[9] Vega, M. (2004) “Policy Maker´s Priors and Inflation Density forecasts”, Working
Paper, Banco Central de la reserva del Peru. 2004.
22