Filtros Analógicos

Filtros
Analógicos
Introducción
Amplitud
f1
f2
f
vi
vo
FILTRO
v o (s)
v i (s)
f1
f2
Espectro de salida
Espectro de entrada
H(s) 
Amplitud
vo
vi
s = j
H(jω)  H(jω)  ω
polos, raíces y orden
f
Clasificación tecnológica
Pasivos

Activos

De capacidades conmutadas

Digitales

Funciones de transferencia
Filtros pasivos RC
paso baja y paso alta (orden 1)
|H| (dB)
R
+
0
+
C
vi
vo
H(jω) 
1
1  jω RC
-20 dB/dec
-
-
ω
ωc
1
ωc =
RC
C
|H| (dB)
+
R
vi
-
0
+
vo
-
jωRC
H(jω) 
1  jω RC
20 dB/dec
ωc
ω
Filtros activos de orden 1
Vi
R1
+
Vo
-
C1
R2
H (ω )=
1+ ( R2 / R3 )
1+ jω R1 C 1
R3
paso de baja no inversor
R2
C1
vi
R1
+
vo
H (ω )=
paso de alta inversor
−R 2 / R1
1
1+
jω R1 C 1
Los filtros paso de alta se obtienen intercambiando C1 y R1.
Filtro pasivo RCL
paso de banda (orden 2)
H ( ω )=
R
=
jωRC
1 +jωRC−ω ² LC
1
+R+jωL
jωC
(R / L) S
R
H ( S)=
=
1
+R+SL 1 / ( LC ) + ( R / L ) S+S ²
SC
El denominador de los filtros de orden 2 suele escribirse en la forma
ω0
1
1
ω0=
Q= √ L /C
S ²+ S+ω 0 ² En este caso
R
Q
√ LC
Ganancia máxima en ω=ω0 (frecuencia natural/ de resonancia)
ω0 es la media geométrica de las frecuencias de corte.
La diferencia entre las frecuencias de corte es B=R/L (ancho de banda).
Q=ω0/B (factor de calidad).
Se define ζ=1/(2Q) (relación de amortiguamiento).
Relación de amortiguamiento
El módulo de S ²+
ω0
Q
S+ω 0 ² =S ²+2 ζω 0 S+ω0 ²
1
tiene un mínimo local en cierta frecuencia si ζ⩽
√2
(su inversa tendrá un máximo local)
Filtros activos paso baja orden 2
C2
R1
R2
C1
R2
+
Vi
Vo
-
C1
R4
Vi
R3
R1
-
C2
Vo
+
R3
Sallen-Key
H ( S )=
K
R1 R 2 C 1 C 2 S ²+ [ C1 ( R1 +R 2 ) + ( 1− K ) R 1 C 2 ] S+1
K= 1+
Rauch/MFB
K
H ( S )=
(
R 2 R3 C 1 C 2 S ² +C 1 R 2 + R 3 +
R4
R3
K=−
R2
R1
R2 R3
S+1
R1
)
Filtros activos paso alta orden 2
C2
R2
R1
C1
C2
+
vi
R1
C3
C1
vo
-
vi
R2
-
vo
+
RA
RB
Sallen-Key
H ( S )=
K
1 1
1
1
1
−1
−2
1+[ ( + )+(1−K )
]S +
S
R1 C 1 C 2
C1 C 2
C1C2 R1 R2
K= 1+
RA
RB
Rauch/MFB
K
H ( S )=
1+
C1
1 1
1
1
( + +
) S−1 +
S−2
R1 C 2 C 3 C 2 C 3
R1 R2C2C3
K=−
C1
C2
Filtros activos paso banda
C1
R2
vi
C2
R1
-
v0
+
R3
KS
H ( S )=
S²+
1 1
1
1
1
1
+
S+
+
R2 C1 C2
C 1 C 2 R 2 R1 R 3
(
)
K=−
(
R2C2
R1
)
Filtros activos rechazo de banda
C1
R2
vi
C2
R1
R3
-
vi
v0
+
Ra
Rb
H ( S )=
Rb
R1 R 2 C1 C 2 S ²+ ( R1 C 1 +R 1 C 2 −R 2 C 2 Ra / Rb ) S+1
R a +Rb
R1 R 2 C1 C 2 S ² + ( R 1 C1 +R 1 C2 ) S+1
Filtros de orden superior
vi
Filtro
1er orden
vi
Filtro
2º orden
Filtro
2º orden
Filtro
2º orden
Filtro
2º orden
Filtro
2º orden
vo
vo
Elección de coeficientes
en filtros paso baja y alta
Supongamos se requiere un filtro paso de alta/baja de orden n
de ganancia K y frecuencia de corte ωc
 ¿Como se determinan las frecuencias naturales ω
0
y las relaciones de amortiguamiento ζ de los subfiltros?
―
Criterio de Butterworth: Se toman de forma que los polos
tienen módulo unidad.
―
Criterio de Bessel: Se toman de forma que el denominador
de la función de transferencia sea un polinomio de Bessel.
―
Otros criterios (Chebyshev, Legrende, Cauer, ..): Usan
distintos polinomios para el denominador.

Se usan tablas para determinar los coeficientes de acuerdo
a estos criterios.

Tabla de denominadores de
orden n entre 1 y 8 para el criterio
de Butterworth
n
1
2
3
4
5
6
7
8
Polinomio normalizado
X+1
X²+1.4142X+1
(X+1)(X²+X+1)
(X²+0.7654X+1)(X²+1.8478X+1)
(X+1)(X²+0.6180X+1)(X²+1.6180X+1)
(X²+0.5176X+1)(X²+1.4142X+1)(X²+1.9319X+1)
(X+1)(X²+0.4450X+1)(X²+1.2470X+1)(X²+1.8019X+1)
(X²+0.3902X+1)(X²+1.1111X+1)(X²+1.6629X+1)(X²+1.9616X+1)
X=S/ωc=jω/ωc en filtros paso de baja
X=ωc/S=ωc/jω en filtros paso de alta
Elección de componentes
pasivos en filtros de orden 2
Supongamos se requiere un filtro paso de alta/baja de orden 2
de frecuencia natural ω0 y relación de amortiguamiento ζ.

¿Como se establecen los valores de las impedancias de los
elementos pasivos?

Se introducen restricciones para reducir el espacio de diseño.
Por ejemplo exigir que todas las resistencias/condenadores
sean iguales, exigir ganancia máxima unitaria, etc.

Ejercicio
Diseñe un filtro paso de baja siguiendo la estructura Sallen-Key
y el criterio de Butterworth con las siguientes características:
Tmax = 20 dB (ganancia máxima en la banda de paso)
 T
= - 20 dB (ganancia máxima en la banda filtrada)
min
 ω = 250 rad/seg (frecuencia de corte)
c
 ω
= 1500 rad/seg (inicio de la banda filtrada)
min

Nota: la función de transferencia en un filtro de Butterworth
2
de orden n paso de baja cumple
T max
|H ( ω )|2 =
1+ ( ω/ ω c )2 n
Repita cambiando Tmax = 0 dB manteniendo la atenuación en la
banda filtrada (Tmin = - 40 dB).