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PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
PROBLEMAS ALGEBRAICOS
1) La suma de un número y su cuadrado es 42. Calcula dicho número.
Sea x dicho número
2
La suma del nº y su cuadrado es 42: x + x = 42
−1 + 13

x =
=6
−1 ± 1 − 4·(− 42) −1 ± 13  1
2
x + x – 42 = 0 ⇒ x =
=
=
2
2
 x = −1 − 13 = −7
 2
2
2
El número es 6.
2) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 71. Calcula dichos
números.
Sean x, x + 1 dichos números.
2
2
La diferencia entre sus cuadrados es 71: (x+1) – x = 71
2
2
x + 2x + 1 – x = 71 ⇒ 2x = 70 ⇒ x = 35
Los números son 35 y 36.
3) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 85. Calcula dichos números.
Sean x, x + 1 dichos números.
2
2
La suma de sus cuadrados es 85: (x+1) + x = 85
2
2
2
x + 2x + 1 + x = 85 ⇒ 2x + 2x – 84 = 0
−1 + 13

x =
=6
−1 ± 1 − 4·1· (−42) −1 ± 13  1
2
x + x – 42 = 0 ⇒ x =
=
=
2·1
2
 x = −1 − 13 = − 7
 2
2
2
Los números son los pares (6, 7) y (-7, - 6).
4) Halla dos números consecutivos cuyo producto es 380.
Sean x, x + 1 dichos números.
El producto es 380: x(x + 1) = 380
−1 + 39

x1 =
= 19

−
1
±
1
−
4·1·
(
−
380)
−
1
±
39
2

2
x + x – 380 = 0 x =
=
=
2·1
2
 x = −1 − 39 = − 20
 2
2
Los números son los pares (19, 20) y (-20, -19).
Luisa Muñoz
1
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
5) Halla dos números cuya suma es 20 y su producto 84.
Sean x e y ambos números
La suma es 20 : x + y = 20 ⇒ y = 20 – x
Planteamos la ecuación: (20 – x) x = 84
Su producto es 84 : xy = 84
2
x – 20x + 84 = 0 ⇒ x =
20 ±
20 + 8

x =
= 14 ⇒ y1 = 20 − 14 = 6
202 − 4·84 20 ± 8  1
2
=
=
2
2
 x = 20 − 8 = 6 ⇒ y = 20 − 6 = 14
1
 2
2
Los números son 14 y 6.
6) Halla dos números cuya suma es 11 y la de sus cuadrados 65.
Sean x e y ambos números
La suma es 11: x + y = 11 ⇒ y = 11 – x
2
2
2
2
2
Planteamos la ecuación: (11 – x) + x = 65
2
La suma de sus cuadrados es 65: x + y =
65
2
121 + x – 22x + x = 65 ⇒ 2x – 22x + 56 = 0
11 + 3

x =
= 7 ⇒ y1 = 11 − 7 = 4
11 ± 112 − 4·28 11 ± 3  1
2
x – 11x + 28 = 0 ⇒ x =
=
=
2
2
 x = 11 − 3 = 4 ⇒ y = 11 − 4 = 7
1
 2
2
2
Los números son 7 y 4.
7) Halla dos números positivos cuya diferencia sea 7 y la diferencia de sus cuadrados 63.
Sean x e y ambos números
La diferencia es 7: x – y = 7 ⇒ y = x – 7
2
2
2
La diferencia de sus cuadrados es 63: x – y
= 63
2
2
Planteamos la ecuación: x – (x – 7) =
63
2
x – x + 14x – 49 = 63 ⇒ 14x = 112 ⇒ x = 8
Los números son 8 y 1.
2
8) Un rectángulo tiene una superficie de 30 m y su perímetro 22 m. Calcula las dimensiones de
dicho rectángulo.
Sean x = altura ; y = base
Perímetro es 22: x + y = 11 ⇒ y = 11 – x
Planteamos la ecuación: x(11 – x) = 30
Área es 30: xy = 30
2
2
11x – x = 30 ⇒ x – 11 x + 30 = 0
11 + 1

x =
= 6 ⇒ y = 11 − 6 = 5
11 ± 112 − 4· 30 11 ± 1  1
2
x=
=
=
2·1
2
 x = 11 − 1 = 5 ⇒ y = 11 − 5 = 6
 2
2
Las dimensiones son 7 x 4 m
Luisa Muñoz
2
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
2
9) Para vallar una finca rectangular de 750 m se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las
dimensiones de la cerca.
Sean x = ancho ; y = largo
Perímetro es 110: x + y = 55 ⇒ y = 55 – x
Planteamos la ecuación: x(55 – x) = 750
Área es 750: xy = 750
2
2
55x – x = 750 ⇒ x – 55x + 750 = 0
x=
55 + 25

x =
= 40 ⇒ y = 40 − 15 = 25
552 − 4· 750 55 ± 25  1
2
=
=
2·1
2
 x = 55 − 25 = 15 ⇒ y = 40 − 25 = 15
 2
2
55 ±
Las dimensiones son 25 x 15
10) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la
2
longitud de cada lado sabiendo que el área es 24m .
Sean 3x, 4x y 5x los tres lados del triángulo
Área es 24:
2
3x · 4x
= 24
2
2
12x = 48 ⇒ x = 4 ⇒ x = 2
Las medidas de los lados son 6, 8 y 10 m.
2
11) Un cuadrado tiene 33 m más que otro y éste 1 m menos de lado que el primero. Halla los lados
de los cuadrados.
Sea x = medida del lado del cuadrado pequeño
x + 1 = medida del lado del cuadrado grande
Área cuadrado grande = área cuadrado pequeño + 33
2
2
Planteamos la ecuación: (x + 1) = x + 33
2
2
x + 2x + 1 = x + 33 ⇒ 2x = 32 ⇒ x = 16 m
x
1m
Los lados miden 16 y 17 m
2
12) Un campo rectangular tiene 2400 m de superficie y 20 metros de longitud más que de anchura.
Halla las dimensiones.
Sea x = largo el rectángulo
x + 20 = ancho del rectángulo
2
Área del campo es 2400 m : x (x + 20) = 2400
2
x + 20x – 2400 = 0 ⇒ x =
−20 ±
−20 + 100

x =
= 40
202 − 4· (−2400) −20 ± 100  1
2
=
=
2·1
2
 x = −20 − 100 = −60 !!!!
 2
2
Las dimensiones del rectángulo son 60 x 40 m
Luisa Muñoz
3
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
13) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y la suma de los catetos 14 cm. Halla el
valor de los catetos.
Sea x = medida de un cateto
14 – x = medida del otro cateto
2
2
La hipotenusa mide 10 cm : 10 = x + (14 – x)
2
2
2
2
100 = x + 196 – 28x + x ⇒ x – 14x + 48 = 0
14 + 2

x =
= 8
14 ± 142 − 4· 48 14 ± 2  1
2
x=
=
=
2·1
2
 x = 14 − 2 = 6
 2
2
La medida de los catetos son 6 y 8 cm.
14) Un triángulo isósceles tiene 160 cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual
mide 40 cm. Calcula los lados del triángulo y el área.
Sea x = la mitad de la medida del lado desigual
40 cm
y = medida del lado igual
y
Perímetro es 160: 2x + 2y = 160 ⇒ 80 = x + y ⇒ y = 80 – x
2
2
Altura es 40: y = 40 + x
2
2
2
Planteamos la ecuación: (80 – x) = 40 + x
x
2
2
2
6400 + x – 160x = 1600 + x ⇒ 160 x = 4800 ⇒ x = 30 cm
Los lados miden 60 cm y 50 cm
Área =
40 · 60
2
= 1200 cm
2
15) Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13
años. Calcula su edad.
Edad dentro de 11 años: x + 11
Edad actual: x
Edad hace 13 años: x - 13
Dentro de 11 años, su edad será la mitad del cuadrado de la que tenía hace 13 años:
(x − 13)2
x + 11 =
2
2
2
2x + 22 = x – 26x + 169 ⇒ x – 28x + 147 = 0
x=
28 ±
28 + 14

x =
= 21
282 − 4· 147 28 ± 14  1
2
=
=
2·1
2
 x = 28 − 14 = 7
 2
2
La edad de pedro es 21 años.
Luisa Muñoz
4
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
16) Una persona compra una pieza de tela por 100 €. Con el mismo dinero podría haber comprado
otra pieza de tela que medía 30 metros más y costaba 3 € menos por metro. ¿Cuántos metros
mide la pieza que ha comprado?
Sea x = nº metros de tela
y = precio del metro de tela
La pieza cuesta 100 €: x · y = 100
La otra pieza de 30 m más cuesta 100 €: (x + 30) (y – 3) = 100
 xy = 100
Planteamos el sistema: 
(x + 30)(y − 3) = 100
 xy = 100
 xy = 100
⇒ 
⇒ x = 10y – 30

 x − 10y = −30
 xy − 3x + 30y − 90 = 100
2
(10y – 30)y = 100 ⇒ (y – 3)y = 10 ⇒ y – 3y – 10 = 0
y=
3±
3+7

y =
= 5 ⇒ x1 = 20
32 − 4· (−10) 3 ± 7  1
2
=
=
2·1
2
y = 3 − 7 = − 2
 2
2
La pieza mide 20 metros.
17) Un grupo de amigos van de viaje en vacaciones; los gastos ascienden a 4.000 €, a pagar entre
todos. Como hay tres niños en el grupo, los gastos los pagan los mayores, correspondiendo
300 € más a cada uno de los mayores. ¿Cuántas personas formaban el grupo?
Sea x = nº personas del grupo
y = precio a pagar por persona
Los gastos son 4000 €: x · y = 4000
Los 3 niños no pagan, los demás pagan 300 € más: (x - 3) (y + 300) = 4000
 xy = 4000
Planteamos el sistema: 
(x − 3)(y + 300) = 4000
 xy = 4000
 xy = 4000
⇒ 
⇒ y = 100x – 300

xy
−
3y
+
300x
−
900
=
4000
 y − 100x = −300

2
(100x – 300) x = 4000 ⇒ (x – 3) x = 40 ⇒ x – 3x – 40 = 0
x=
3±
3 + 13

x =
= 8 ⇒ y1 = 500
32 − 4· (−40) 3 ± 13  1
2
=
=
2·1
2
 x = 3 − 13 = − 2
 2
2
El grupo está formado por personas
Luisa Muñoz
5
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
18) La suma de las edades de tres personas es de 112 años, la mediana tiene 8 años más que la
más joven y la mayor tiene tantos como las otras dos juntas. ¿Qué edad tiene cada una?
Sean x: edad más joven
x + 8: edad de la mediana
x + 8 + x = 2x + 8: edad de la mayor
La suma de las edades es 112. x + x + 8 + 2x + 8 = 112 ⇒ 4x = 96 ⇒ x = 24
Las edades son 24, 32 y 56 años.
19) Dos ciclistas salen al mismo tiempo para una ciudad que dista 224 Km. Uno de ellos anda 2 Km
más por hora que el otro y llega al punto donde se dirigen 2 horas antes que el otro. ¿Cuáles
son las velocidades?
Sea x = velocidad del segundo ⇒ x + 2 = velocidad del primero
Sea y = tiempo del segundo ⇒ y – 2 = tiempo del segundo
 xy = 224
Planteamos el sistema: 
(x + 2)(y − 2) = 224
 xy = 224
 xy = 224
⇒ 
⇒y=x+2

 y−x = 2
 xy + 2y − 2x − 4 = 224
2
(x + 2) x = 224 ⇒ x + 2x – 224 = 0
x=
−2 ±
−2 + 30

x =
= 14 ⇒ y1 = 16
(−2)2 − 4· (−224) −2 ± 30  1
2
=
=
2·1
2
 x = −2 − 30 = − 16
 2
2
Las velocidades son 16 km/h y 18 km/h
20) Hallar una fracción tal que si se le añade 1 al numerador se convierte en un tercio y añadiendo
1 a su denominador sea igual a un cuarto.
Sea x = numerador de la fracción
y = denominador de la fracción
Si se añade 1 al numerador la fracción es un tercio:
x +1 1
= ⇒ 3x + 3 = y
y
3
Si se añade 1 al denominador la fracción es un cuarto:
x
1
= ⇒ 4x = y + 1 ⇒ y = 4x – 1
y +1 4
Planteamos la ecuación: 3x + 3 = 4x – 1 ⇒
4x – 3x = 3 + 1 ⇒ x = 4 ⇒ y = 12 + 3 = 15
La fracción es
Luisa Muñoz
4
.
15
6