POTENCIAS Y RAÍCES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 1. Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
POTENCIAS Y RAÍCES
CONCEPTOS
Se llama potencia de base a y exponente el número natural n al resultado de multiplicar n veces
n veces)
an = a. a . . . . . . a
el número a y se representa
3
72 = 7.7 = 49
Ejemplo 1:
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
(-3)4 = (-3) (-3) (-3) (-3) = 81
=
1
2
.
Si el exponente es un número entero negativo la potencia se define
Ejemplo 2:
-2
6
1
=
2
-3
⎛3⎞
⎜ ⎟
⎝5⎠
1
=
36
6
3
⎛5⎞
⎜ ⎟
⎝3⎠
=
=
1
2
.
1
2
=
a−n =
1
8
1
an
125
27
n
Se llama raíz n-ésima de a al número b tal que b = a y se representa
llama índice de la raíz y al número a radicando.
n
a = b. Al número n se le
Ejemplo 3:
4
625
4
= 5 ya que 5
2
121 = 11 ya que 11
= 625
3
= 121
−0´001 = -0´1 ya que
( −0´1)3
= −0´001
Si el exponente de una potencia es un número fraccionario, la potencia se define ap / q =
Ejemplo 4:
3 2
22/3 =
2
25 -1/2 =
= 34
1
1/2
25
=
1
25
=
q
ap
1
5
CONVENIO: a0 = 1, cualquiera que sea el número real no nulo a .
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
1. Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes, es decir, an . am = an + m
Ejemplo 5:
6
-2
3
4
.6 .6 =6
-2+3+4
5
= 65
-3
7 .7 .7
1/2
=7
5-3+1/2
=7
5/2
2. Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes, es decir,
Ejemplo 6:
5
6
3
= 65-2 = 63
62
8
2
22
=
8/3
2
22
= 28/3 - 2 = 22/3 =
3
an
m
a
= an − m
22
( )
3. Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes, es decir, a
Ejemplo 7:
(5 )
3
−2
= 5-6
3
( )
5 = 51 / 3
1/2
= 51/6 =
6
n
m
= a n. m
5
4. La potencia de un producto es igual al producto de las potencias, es decir, (a.b) n = an . bn
Ejemplo 8:
(6x)3
= 63x3 = 216x3
n
an
⎛ a⎞
5. La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias, es decir, ⎜ ⎟ =
⎝b⎠
bn
Ejemplo 9:
3
⎛x⎞
⎜2⎟
⎝ ⎠
=
x3
23
=
x3
8
© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
1
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 1. Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
1. La raíz de un producto es igual al producto de las raíces (corresponde a la propiedad 4 de
n
potencias)
3
Ejemplo 10:
3
27000 =
a.b =
3
27.1000 =
n
n
a. b
27 . 3 1000 = 3.10 = 30
2. La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces (corresponde a la propiedad 5 de
potencias)
n
Ejemplo 11:
3
3
8
=
125
3
8
125
n
a
a
=
n
b
b
2
5
=
3. Al dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número el valor de la raíz
n.m
am = n a
no varía.
Esta propiedad es útil para sacar factores fuera de una raíz.
Ejemplo 12:
a)
6 15
b)
3
c)
5
=
-343 =
5 16
3
=
55
3
(se ha dividido el índice y el exponente entre 3)
(-7)3 = -7
5 15
3 .3 =
(se ha dividido el índice y el exponente entre 3)
5 15 5
3 . 3 = 33
5
3
(se ha dividido el índice y el exponente entre 5)
Aplicando las anteriores propiedades anteriores, el producto y cociente de raíces se calculan de la
siguiente forma:
n
• Si tienen el mismo índice:
3
Ejemplo 13:
5
3
0´025 =
3
n
a. b=
5. 0´025 =
3
n
n
a
= n
n
b
b
a.b
0´125 =
3
a
200
0´53 = 0´5
50
=
200
=
50
4 =2
• Si tienen distinto índice, es necesario conseguir que tengan el mismo. Para ello, previamente se
halla el mínimo común múltiplo de los índices y se consigue que todas las raíces tengan ese
índice aplicando la propiedad 3 escrita de la forma
n
a =
n.m m
a
Ejemplo 14:
a)
6
5
4
125
En primer lugar, se ha de conseguir un índice común para ambas raíces. Este será el m.c.m.(6, 4) = 12. Aplicando la
propiedad 3, se tiene
Por tanto,
b)
3
6
6
5
4
125 =
6
5 =
6.2 2
12 2 12
5
=
12 2
1253 =
12 2
5
5
4
y
125 =
5 1253 =
12 52
4.3
1253 =
(5 )
3
3
=
12
1253 .
12 2 9
5 5 =
12 11
5
7
14
Como m.c.m.(6, 3) = 6, se tiene
3
6
7
14
=
3.2 2
7
6
14
=
6
49
=
14
6
7
2
© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
2
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 1. Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
FUNCIÓN POTENCIAL Y FUNCIÓN EXPONENCIAL
(Para más información ver Unidad didáctica 7: Funciones reales de variable real)
Se llama función potencial a cualquier función de la forma f(x) = x a , siendo a un número real
fijo.
Ejemplo 15:
Son funciones potenciales: f(x) = x 2 , g(x) = x −1 , h(x) = x1 / 2 .
El dominio, gráfica y características de una función potencial depende del número a que figura en el
exponente.
Ejemplo 16: Los dominios y gráficas de las funciones potenciales del ejemplo anterior son:
f(x) = x 2 con D = (-∞, +∞)
g(x) = x −1 con D = R - {0}
h(x) = x1 / 2 con D = [0, +∞)
Se llama función exponencial de base a , con a > 0, a la función f(x) = aX . También de denota
f(x) = expa x.
La función exponencial más utilizada es la que tiene por base el número e, de hecho cuando
hablemos de la “función exponencial” sin especificar la base, entenderemos que es la que tiene por
base dicho número.
Ejemplo 17:
⎛1⎞
Son funciones exponenciales f(x) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
x
y g(x) = e x
El dominio de las funciones exponenciales es R y las gráficas son similares, dependiendo del valor de
la base a:
• Si 0 < a < 1, la función f(x) = aX es estrictamente decreciente y su gráfica es del tipo:
© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
3
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 1. Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
x
• Si a = 1, se obtiene la función constante f(x) = 1 = 1, cuya gráfica es:
• Si a > 1, la función f(x) = aX es estrictamente creciente y su gráfica es del tipo
Ejemplo 18:
Las gráficas de las funciones exponenciales del ejemplo anterior son:
⎛1⎞
f(x) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
x
g(x) = e x
© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
4