solucion prueba final matematicas basico

Problema 1
En la siguiente figura se tienen castillos de cartas de 1, 2 y 3 pisos, para los cuales se
han usado 2, 7 y 15 cartas respectivamente. ¿Cuántas cartas se necesitarán para
formar un castillo de 10 pisos?
Guayaquil 21 de Octubre de 2011
Problema 2
Cuantos números de cuatro cifras distintas se pueden armar con los dígitos a, b, c, d
que cumplan las siguientes condiciones:
𝑎 ≠ 0 ;𝑏 = 𝑎 + 2 ;𝑐 = 𝑏 + 2 ;𝑑 = 𝑐 + 2
Guayaquil 21 de Octubre de 2011
Problema 3
Sea ABC un triángulo equilátero y BCDE un cuadrado construido externamente al
triángulo. Demostrar que el circunradio del triángulo ADE es igual al lado del
cuadrado.
Guayaquil 21 de Octubre de 2011
Problema 4
Los números 12 , 22 ,32 ,..., 20102 están escritos en una pizarra. Alfonso y Beatriz juegan
con estos números de la siguiente manera, por turnos, cada uno de ellos borra un
número de la lista hasta que queden solamente dos números. Si la diferencia de estos
dos números restantes es múltiplo de 2011 Beatriz es la ganadora, caso contrario el
ganador es Alfonso. Alfonso comienza el juego. Determinar cuál de los dos jugadores
tiene una estrategia ganadora y explicarla.
Guayaquil 21 de Octubre de 2011
Problema 5
La mamá de Juan le envía a que cuente cuantos autos de color Rojo, Verde, Amarillo,
Azul y Negro, hay en el parqueadero de su casa. Juan es muy despistado y al llegar de
vuelta a casa no recordaba las cantidades. Al preguntarle su mamá cuantos carros
habían de cada color respondió:
-
Si sumaba las cantidades o las multiplicaba daba el mismo resultado.
Había más de un carro verde.
Habían mas azules que verdes.
Puede la mamá de Juan saber cuántos autos de cada color habían?
Guayaquil 21 de Octubre de 2011
Problema 6
En los vértices de un cubo hay que escribir con azul los números enteros de 1 a 8
inclusive, sin repeticiones. A continuación, en cada arista se escribe con rojo la
diferencia de los números azules de sus dos extremos (el mayor menos el menor).
Distribuir los números azules para que la cantidad de números rojos distintos sea la
menor posible.
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Problema 7
Reemplazar cada una de las cinco letras por un dígito distinto, para que la siguiente
multiplicación sea correcta.
D
A
Ñ
O
X
S
4
S
O
Ñ
A
D
Guayaquil 21 de Octubre de 2011
SOLUCION PRUEBA FINAL
MATEMATICAS BASICO
Problema 1
En la siguiente figura se tienen castillos de cartas de 1, 2 y 3 pisos, para los cuales se
han usado 2, 7 y 15 cartas respectivamente. ¿Cuántas cartas se necesitarán para
formar un castillo de 10 pisos?
SOLUCIÓN:
Se observa fácilmente que en el piso base del castillo de 1 piso hay una figura en forma
de V invertida, que consta de dos cartas. En el castillo de 2 pisos hay dos de estas
figuras en el piso base y una en el piso encima. En el castillo de 3 pisos hay tres de
estas figuras en el piso base, en el piso encima dos figuras y en el piso superior una
figura. Para un castillo de 10 pisos habrán 10 de estas figuras en el piso base y para
cada piso superior una menos que en el piso anterior, esto es 10  9  8  ...  1 de estas
figuras (dos cartas por figura). Además para cada piso excepto el piso base, cada una
de estas figuras debe tener una carta apoyándola por debajo, es decir 9  8  7  ...  1
cartas de apoyo.
En total entonces tendremos 2 1  2  3  ... 10  1  2  3  ...  9  110  45  155
cartas en un castillo de 10 pisos.
Guayaquil 21 de Octubre de 2011
Problema 2
Cuantos números de cuatro cifras distintas se pueden armar con los dígitos a, b, c, d
que cumplan las siguientes condiciones:
𝑎 ≠ 0 ;𝑏 = 𝑎 + 2 ;𝑐 = 𝑏 + 2 ;𝑑 = 𝑐 + 2
SOLUCIÓN:
Si a=1, los cuatro dígitos son 1, 3, 5, 7. Con estos dígitos podemos formar 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 =
24 números de cuatro cifras.
Si a=2, los cuatro dígitos son 2, 4, 6, 8. Con estos dígitos podemos formar 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 =
24 números de cuatro cifras.
Si a=3, los cuatro dígitos son 3, 5, 7, 9. Con estos dígitos podemos formar 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 =
24 números de cuatro cifras.
Si a=4, los cuatro dígitos son 4, 6, 8, 10. Lo cual no sería admisible, puesto que el 10
usa más de un digito, y con esto concluimos que a no puede ser mayor o igual a 4.
Por tanto podemos formar
indicadas.
24 ∙ 3 = 72 números diferentes con las condiciones
Problema 3
Sea ABC un triángulo equilátero y BCDE un cuadrado construido externamente al
triángulo. Demostrar que el circunradio del triángulo ADE es igual al lado del
cuadrado.
SOLUCIÓN:
Guayaquil 21 de Octubre de 2011
El lado del cuadrado BCDE es igual al lado del triángulo ABC , ya que cada figura
tiene sus respectivos lados iguales y tienen el lado BC en común. Por lo tanto el
triángulo ACD es isósceles. Además el ángulo DCA  60  90  150 , de lo que se
concluye que CAD  ADC  15 , análogamente deducimos lo mismo en el
triángulo ABE . Por lo tanto DAE  CAB  CAD  EAB  60  15  15  30 .
Sea O el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo AED . Por relación del
ángulo inscrito tenemos que DOE  2DAE  60 . Pero el triángulo ODE es
isósceles, ya que OD  OE (radios de la circunferencia circunscrita). Por lo tanto el
triángulo ODE es equilátero y tendremos que el lado del cuadrado BCDE es igual al
radio de la circunferencia circunscrita del triángulo ADE , como se pedía demostrar.
Problema 4
Los números 12 , 22 ,32 ,..., 20102 están escritos en una pizarra. Alfonso y Beatriz juegan
con estos números de la siguiente manera, por turnos, cada uno de ellos borra un
número de la lista hasta que queden solamente dos números. Si la diferencia de estos
dos números restantes es múltiplo de 2011 Beatriz es la ganadora, caso contrario el
ganador es Alfonso. Alfonso comienza el juego. Determinar cuál de los dos jugadores
tiene una estrategia ganadora y explicarla.
SOLUCIÓN:
Beatriz tiene una estrategia ganadora y es la siguiente:
Supongamos que Alfonso borre el número x 2 , entonces bastaría que Beatriz elija el
número  2011  x  , es decir un número cuya raíz sumada a la raíz del otro de igual a
2
2011 , esto siempre se puede hacer, basta considerar la siguiente lista:
Guayaquil 21 de Octubre de 2011
1
2010
2
3
2009
2008
1004 1007
1005 1006
Para el cuadrado de cualquiera de los números que estén en la lista que elija Alfonso,
Beatriz elige el cuadrado del número que esté al frente del primero en esta lista y
asegurará su victoria, esto es, debido a que luego de un cierto número de pasos solo
quedarán dos números que estarán uno frente a otro en la lista. Es decir algún número
x2
y
 2011  x 
2
,
la
diferencia
de
estos
cuadrados
será
x 2   2011  x   2011 2 x  2011 , claramente un múltiplo de 2011 .
2
Problema 5
La mamá de Juan le envía a que cuente cuantos autos de color Rojo, Verde, Amarillo,
Azul y Negro, hay en el parqueadero de su casa. Juan es muy despistado y al llegar de
vuelta a casa no recordaba las cantidades. Al preguntarle su mamá cuantos carros
habían de cada color respondió:
-
Si sumaba las cantidades o las multiplicaba daba el mismo resultado.
Había más de un carro verde.
Habían mas azules que verdes.
Puede la mamá de Juan saber cuántos autos de cada color habían?
SOLUCIÓN:
Tenemos que buscar 5 enteros positivos que multiplicados sean igual que sumados.
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 los enteros positivos de satisfacen
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒
Ordenados de menor a mayor
𝑎≤𝑏≤𝑐≤𝑑≤𝑒
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒
=1
𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒
1
1
1
1
1
+
+
+
+
=1
𝑏𝑐𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑐𝑒 𝑎𝑏𝑐𝑑
Notemos que todas estas fracciones son menores o iguales que la última
como la suma de 5 fracciones menores que 1/5 es menor que 1.
Guayaquil 21 de Octubre de 2011
1
𝑎𝑏𝑐𝑑
, Luego,
1
1
≥
𝑎𝑏𝑐𝑑 5
Tenemos así que
𝑎𝑏𝑐𝑑 ≤ 5
De estas dos desigualdades se deduce que 𝑎 = 1 y 𝑏 = 1.
Para 𝑐 = 1
1 + 1 + 1 + 𝑑 + 𝑒 = 1.1.1. 𝑑. 𝑒
Si 𝑑 = 1 no hay solución porque se eliminan las e
Si 𝑑 = 2, tenemos 5 + 𝑒 = 2𝑒 de lo que resulta 𝑒 = 5
Si d = 3, tenemos 6 + 𝑒 = 3𝑒 y el valor de 𝑒 = 3
Si d=4, tenemos 7 + 𝑒 = 4𝑒 y el resultado no es entero.
Se observa también que como 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≤ 5 entonces no puede ser 𝑑 ≥ 5
Para 𝑐 = 2
1 + 1 + 2 + 𝑑 + 𝑒 = 1.1.2. 𝑑. 𝑒
Si 𝑑 = 2, tenemos 6 + 𝑒 = 4𝑒 y el valor de 𝑒 = 2
Si d = 3, tenemos 7 + 𝑒 = 6𝑒 y el valor de 𝑒 no es entero
Si d=4, tenemos 88 + 𝑒 = 8𝑒 y el resultado no es entero.
De igual manera que el caso anterior como 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≤ 5 entonces no puede ser 𝑑 ≥ 5. Y
tampoco 𝑐 puede ser mayor que 2
De este análisis se encuentra tres conjuntos que cumplen esa condición:
{1,1,1,2,5}, {1,1,1,3,3}, {1,1,2,2,2}
Como hay más de un carro verde, Pueden ser 2,3 o 5. Pero como hay más azules que verdes.
Deben haber 5 azules, 2 verdes, 1 Amarillo, 1 Negro y 1 Rojo.
Problema 6
En los vértices de un cubo hay que escribir con azul los números enteros de 1 a 8 inclusive, sin
repeticiones. A continuación, en cada arista se escribe con rojo la diferencia de los números
azules de sus dos extremos (el mayor menos el menor). Distribuir los números azules para que
la cantidad de números rojos distintos sea la menor posible.
SOLUCIÓN:
En alguno de los vértices esta el número 1, y los tres conectados a éste producen 3 diferencias
distintas: 𝑎 − 1, 𝑏 − 1 𝑦 𝑐 − 1, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son los números de los vértices vecinos del 1.
Por lo tanto hay por lo menos 3 diferencias distintas.
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Es posible distribuir los números para que haya sólo 3 números distintos en las aristas. Hay
varias maneras de lograrlo y una de ellas es la siguiente.
8
7
8
1
2
2
6
4
5
1
4
4
4
2
1
1
2
2
4
3
1
Problema 7
Reemplazar cada una de las cinco letras por un dígito distinto, para que la siguiente
multiplicación sea correcta.
D
A
Ñ
O
X
S
4
S
O
Ñ
A
D
SOLUCIÓN:
Como 𝑆𝑂Ñ𝐴𝐷 es un múltiple de 4, su último dígito, 𝐷, debe ser par. Por otro lado,
4. 𝐷𝐴Ñ𝑂𝑆 tiene 5 dígitos, por lo que 4. 𝐷 < 10, de donde 𝐷 ≤ 2.
Para 𝐷 = 0 entonces 𝑆 = 5, pero si 𝐷 = 0 entonces 𝐷𝐴Ñ𝑂𝑆 < 9999 y 𝑆𝑂Ñ𝐴𝐷 >
50000, lo que es imposible, pues 4.𝐷𝐴Ñ𝑂𝑆 = 𝑆𝑂Ñ𝐴𝐷. Por lo tanto, 𝐷 = 2.
Si miramos las posibilidades para el último dígito de 𝐷𝐴Ñ𝑂𝑆, obtenemos que 𝑆 puede
ser 3 u 8. Si en cambio, miramos las posibilidades para el primer dígito de 𝑆𝑂Ñ𝐴𝐷,
obtenemos que 𝑆 puede ser 8 o 9. Por lo tanto 𝑆 = 8.
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Como 𝐷 = 2 y 𝑆 = 8, en la multiplicación 4ª no hay acarreo. Luego, A puede ser 0,1 o
2. Por otro lado, 𝑆𝑂Ñ𝐴𝐷 es un múltiplo de 4 que termina en 2, opciones serían 12, 32,
52, 72, 92 por lo que 𝐴 = 1, y 4. 𝑂 + 3 debe terminar en 1, puede ser 2 o 7, pero
como el 2 ya se uso, 𝑂 = 7.
El segundo dígito de 𝑆𝑂Ñ𝐴𝐷 se obtiene sumándole a 4. 𝐴 = 4.1 = 4 el acarreo
correspondiente. Entonces, como 𝑂 = 7, dicho acarreo es 3. Los valores de Ñ que
pueden producir ese acarreo igual a 3 son 7,8 y 9. Como 7 y 8 ya se usaron Ñ = 9
Entonces 𝐷𝐴Ñ𝑂𝑆 = 21978 y 𝑆𝑂Ñ𝐴𝐷 = 87912.
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