2da Parte - Universidad Tecnológica Nacional

Problema Nº2:
Teoría especial de la relatividad. Paradoja del mesón (μ)
Enunciado:
Los mesones se crean en la alta atmósfera y son partículas inestables que se desintegran en un
término promedio de 0,000002 seg., alcanzando el nivel del mar en grandes cantidades. Su velocidad
característica es de 299400 Km/s, es decir 0,998 de la velocidad de la luz c. En su vida media de
0,000002 seg puede recorrer una distancia y = v . t = 600 m, cuando en realidad comienza a existir a
alturas 10 veces superiores que este valor.
Reseñar la historia del descubrimiento de esta partícula y explicar la paradoja del mesón
utilizando los conceptos de la dilatación del tiempo y de la contracción de longitud desarrollados por
la teoría especial de la relatividad.
Resolución:
2.1.- Breve reseña histórica y descripción de la paradoja del mesón (μ):
En la época en la cual se descubrieron las cascadas de los rayos cósmicos, fue obvio que se
asumiera la necesidad de identificar la naturaleza de esas partículas tan penetrantes de la radiación
cósmica. Se había logrado establecer que tenían unidad de carga eléctrica y, por lo tanto, debían ser
electrones positivos, negativos o protones, ya que éstas eran las únicas partículas cargadas
individuales que se conocían entonces.
Claro está, que con la naturaleza de esa partícula sobraban las dificultades. Se objetaba que
fuese un protón dado que tendría la misma rigidez magnética de un electrón. Ahora, con respecto a
considerarla como un electrón –positivo o negativo– la objeción que se tenía era mayor. No se
habían observado pérdidas de energía por radiación de electrón alguno, lo que no coincidía en
absoluto con los cálculos de la época (Bethe y Heitler, principios de la década del 30).
En ese escenario, las partículas penetrantes de la radiación corpuscular no parecían ser ni
electrones ni protones. Muchos de los físicos de la época insistieron, sin embargo, en considerarlas
como un tipo diferente de electrones, como ser verdes y rojos; los primeros correspondían al tipo
penetrante y los segundos al absorbible, los cuales tenían una gran merma de energía al producir
radiación. Otros estudiosos de la física pensaban en la existencia de un nuevo tipo de partícula, una
que comportara una masa intermedia entre la del electrón y la del protón. Así se llegó hasta el año
1935, en que el físico japonés Hideki Yukawa (que entonces trabajaba en la Universidad de Osaka)
publicó el artículo “On the Interaction of Elementary Particles”, en el cual describía sus famosas y
fundamentales ideas sobre la naturaleza de las fuerzas nucleares.
En su artículo, Yukawa postula la existencia de un
nuevo tipo de partícula portadora de las fuerzas
nucleares, análoga al fotón, portador de las fuerzas
electromagnéticas. Claro está, que en ello, Yukawa
considera el hecho de que las fuerzas nucleares poseen,
únicamente, un pequeño rango de acción a diferencia de
las electromagnéticas. Lo anterior, significa que si las
fuerzas nucleares son descritas en términos de una
partícula portadora, ésta debe tener una masa finita, a
diferencia del fotón, cuya masa en reposo es cero.
Considerando el rango conocido de las fuerzas
nucleares, Yukawa estimó que esa partícula debía tener
una masa en reposo de aproximadamente unas 200 veces
más pesada que el electrón. También de su
Hideki Yukawa
propugnación, se desprendía que deberían existir
( 1907 - 1981 )
partículas tanto cargadas como neutras y que, cuando se
encontraban libres, éstas deberían manifestarse como
partículas inestables, es decir, debían decaer al igual como lo hacen los núcleos radiactivos. Yukawa,
en su estudio, había determinado que la vida media de estas partículas debía ser, antes de decaer, del
orden 10-6 s, y el producto del decaimiento de cada partícula sería un electrón y un neutrino, esta
última partícula con masa cero y sin carga eléctrica.
Después de la publicación del artículo de Hideki Yukawa, se inició una intensa búsqueda de la
partícula que había predicho y hasta se le bautizó con el nombre de mesotrón o mesón, que viene del
griego Mesos y que significa medio. El interés que se concitó por hallar la partícula de Yukawa llevó
primero a descubrir otra que tenía características muy semejantes a la que predijo el físico japonés.
En efecto, análisis efectuados de trazas de rayos cósmicos en cámaras de niebla mostró evidencias de
la existencia de una partícula cargada con una masa semejante a la que había considerado Yukawa.
Aunque esa partícula no resultó ser la que se buscaba, obvio que ello incrementó el interés en
buscarla.
Por varios años, a esa nueva partícula se le conoció con nombres tan diversos como: barión,
partícula X, electrón pesado, mesotrón, o yukon (en honor a Yukawa), siendo al final bautizada en
definitiva como mesón, pero con el prefijo mu (μ), debido a que las investigaciones habían revelado
la existencia de otro tipo de mesones.
Claro está, que nos queda pendiente el hallazgo de la partícula de Yukawa. Desde que se
descubrió el mesón μ quedó claro que no correspondía a la partícula predicha por el físico japonés,
ya que esa fue propuesta para explicar las poderosas fuerzas nucleares, mientras que los mesones de
la radiación cósmica prácticamente hacían omisión de dichas fuerzas e interaccionaban con la
materia, únicamente, a través de radiaciones electromagnéticas.
En los años de la década de los 40 del siglo XX, se desarrollaron las emulsiones nucleares, las
cuales son muy similares a las placas fotográficas, pero sensibles a las partículas ionizantes. Estas
emulsiones, al ser un medio mucho más denso, presentan la ventaja, frente a la cámara de niebla
gaseosa, de la probabilidad de observar interacciones de mayor calibre. En 1947, el físico Premio
Nobel Cecil Frank Powell y su grupo, demostraron, empleando la técnica de las emulsiones, que
existían dos tipos de mesones. Uno de ellos, corresponde al ya mencionado mesón-mu (μ), conocido
hoy como muón, y que tiene una naturaleza similar a la del electrón. El otro, que fue el que en
realidad descubrió Powell, se le denominó mesón-pi (π) (actualmente pión) y se caracteriza por
frenarse rápidamente y desintegrarse convirtiéndose en otro con una masa ligeramente menor pero
de mayor poder de penetración; en consecuencia, es sensible a la interacción nuclear y es la partícula
de Yukawa.
Después del hallazgo del pión, hubo una seguidilla de descubrimientos de toda una multitud de
partículas que han dejado de manifiesto lo extremadamente complejo del carácter de las fuerzas
nucleares, un problema aún sin dilucidar completamente.
Por otro lado, tanto el descubrimiento del muón como el del pión, seguido de avances en el
entendimiento de las interacciones nucleares permitieron despejar, en gran medida, el camino para
poder comprender mejor las incógnitas representadas por los rayos cósmicos. Sabemos ahora, que la
radiación observada en la superficie terrestre es debida al constante bombardeo de núcleos atómicos
carentes de electrones a que se encuentra sometida la Tierra. Al penetrar en la atmósfera, cada uno
de estos rayos cósmicos primarios produce una cascada bastante semejante a la de los electrones y
fotones, pero debido a la distinta naturaleza de los procesos que tienen lugar, se crean una gran
variedad de partículas elementales.
Cuando un rayo cósmico primario
penetra la atmósfera terrestre se produce
una cascada de partículas elementales, de
las cuales muchas de ellas pueden
alcanzar la superficie de la Tierra.
Como se menciona en el párrafo anterior, la cascada se inicia cuando el núcleo primario
colisiona con el núcleo atmosférico, ya sea de nitrógeno, oxígeno, ozono, etc. provocándose en ello
una reacción nuclear en la que parte de la energía se transforma en materia, lo que desemboca en la
creación de nuevas partículas, sobre todo piones. El núcleo incidente o los fragmentos resultantes
después de esas colisiones siguen viajando a gran velocidad en dirección a la superficie, en cuyo
trayecto de nuevo tiene lugar otra reacción nuclear en la que se generan nuevas partículas y, así,
sucesivamente. En ciertas ocasiones, algunos de esos fragmentos, llegan hasta el suelo terrestre. En
ese suceso, los piones neutros πº que se han creado se desintegran casi instantáneamente,
convirtiéndose en dos rayos gamma. Mientras que los piones cargados π+ π- pueden colisionar con
otros núcleos atmosféricos produciendo nuevas partículas o desintegrándose en un muón y un
neutrino. El muón posee una vida media de una millonésima de segundo tras lo cual se desintegra
convirtiéndose en un electrón y dos neutrinos. Pero a raíz de lo anterior, no se piense que ninguno de
los muones puede llegar con vida al suelo de la Tierra. Estas partículas viajan a una altísima
velocidad (muy cercana a la de la luz) por lo cual son afectadas por la dilatación relativista del
tiempo y, dado nuestro sistema de referencia, su vida media es mucho mayor (desarrollado en punto
2.2). De hecho, el número de muones que alcanza la superficie es mucho mayor que el que se podría
pensar. Son tan penetrantes, que muchos de ellos traspasan el suelo terrestre llegando a
profundidades de cientos de metros, pero, como se trata de partículas cargadas, van dejando huellas
de ionización fácilmente detectables. Por ese motivo, gozan del “privilegio” de haber sido las
primeras partículas secundarias detectadas. Ahora, en cuanto a los neutrinos que se crean en la
desintegración de los muones y piones, pese a ser muy numerosos, su interacción con la materia es
extremadamente pequeña; sin embargo, su poder de penetración es tan grande que pueden atravesar
completamente la Tierra.
En el párrafo anterior se hizo mención de la media de vida de las partículas que son
transportadas por los rayos cósmicos que llegan a la Tierra. Se enunció también que esas partículas
colisionan con los átomos de la alta atmósfera terrestre y se desintegran, generando otras partículas
secundarias que llegan hasta el suelo. Ahora, de la naturaleza y energía de los rayos incidentes
dependerá la clase de partícula que se produzcan en esos choques. Detectando el tipo, energía y
velocidad esas partículas secundarias se dan las posibilidades de deducir la composición y energía de
un rayo cósmico. Entre los años 40 y 60 del siglo XX, se usaron experimentos en esta área, dado que
era la única forma de poder estudiar las partículas elementales de altas energías, producidas en la
naturaleza. Hoy, la situación ha cambiado, el desarrollo tecnológico con que se cuenta para hacer
ciencia permite realizar esos experimentos en aceleradores de partículas, controlar los procesos, y en
corto tiempo.
Producción de mesones μ en la alta
atmósfera, debido a la colisión de
rayos
cósmicos
con
átomos
atmosféricos. En el suelo se mide la
velocidad y dirección de los muones
incidentes en los detectores.
Ahora bien, desde que se descubrió el mesón µ o muón se ha podido detectar que se trata de
una de las partículas secundarias más comunes producida por los rayos cósmicos. Como ya
mencionamos, son muy inestables, desintegrándose espontáneamente en otras partículas después de
un corto tiempo que, en promedio, es de una millonésima de segundo (10-6 s). Esa media de vida que
hemos señalado antes y ahora, ha sido medida en laboratorios donde se han logrado reproducir. Se
sabe que los rayos cósmicos producen muones a unos 20 Km. de altura, que luego se detectan en la
superficie, donde es factible medir la velocidad en la cual se han movilizado en su recorrido, su
magnitud, y su dirección. Pero en las mediciones de esa velocidad, aparece una paradoja: viajan más
tiempo de lo que pueden vivir sin desintegrarse. En efecto, Conociendo la altura de generación y
midiendo su velocidad se puede determinar cuánto tiempo demora en llegar al suelo (t = d/v). Ese
tiempo resulta ser de 10 millonésimas de segundo.
Después de lo expuesto queda la interrogante ¿Cómo es posible que una partícula como el
muón pueda viajar más tiempo que su media de vida? La explicación es la de que la vida del muón
se extiende de acuerdo con la velocidad que imprime en su trayectoria. Se trata de un hecho que ha
sido experimentado en laboratorios. En ellos, se han producido muones a distintas velocidades, con
diferentes energías. Se ha medido el tiempo del viaje que han realizado antes de decaer, lo que ha
permitido llegar a la conclusión que, efectivamente, mientras más rápido viajan, más se alarga su
tiempo de vida. En el gráfico siguiente se intenta demostrar el tiempo de vida del muón en función
de su velocidad de desplazamiento. Si los muones se han generado en reposo, su vida media es de
una millonésima de segundo. Pero el tiempo de vida de estas partículas aumenta en la medida que se
incrementa la velocidad en que se desplazan, alcanzando altos índices a medida que ella se aproxima
a la velocidad de la luz. Ahora, si la media de vida fuera igual para todos los muones, entonces en
vez de curva, se graficaría una horizontal.
Media de vida del muón versus su
velocidad de desplazamiento. En
el eje horizontal se representan las
velocidades, en el vertical la
media de vida.
Ahora, por supuesto, salta otro interrogante ¿Cómo puede ser eso posible? De hecho, el muón
no puede conocer su velocidad y, mucho menos, decidir a que velocidad transitar para alargar o
acortar su vida en un laboratorio. La respuesta la podemos hallar si consideramos que las
velocidades son relativas al observador. En efecto, es el físico experimental quién, en el laboratorio,
le asigna al muón una velocidad, naturalmente que dentro de un marco dado por el propio científico.
Sin embargo, con ello, estaríamos considerando que el tiempo de vida de un muón depende del valor
relativo de la velocidad, o que viene a ser lo mismo, de la presencia del científico que está realizando
el experimento. Pero, como nos legó Galileo y, en general lo asume la naturaleza humana, la
duración de una vida o de un intervalo en una medida de tiempo no depende de ninguna velocidad.
En consecuencia, para entenderlo tenemos que estudiarlo desde otra perspectiva. Los intervalos de
tiempo, en este caso las vidas de los muones, dependen de la velocidad relativa con que se mueven
con respecto a algún observador.
No es reprochable en absoluto pensar cómo puede tener sentido que la duración de una vida,
un tiempo que es una cantidad absoluta, dependa de una cantidad relativa como una velocidad. Pero
si profundizamos nuestro pensamiento podemos llegar a una conclusión. Veamos si lo logramos. La
velocidad del muón tiene un valor determinado respecto al observador que realiza su medición. O
sea, si cambiamos el sistema de referencia, por ejemplo, y consideramos verlo desde un avión en
vuelo, entonces el piloto mediría una media de vida distinta para un mismo muón. Sin embargo, la
cosa no es tan sencilla. Mirémonos en función de nuestra naturaleza humana, sin siquiera
sostenernos en lo que en física se conoce como transformación galileana, y llegaremos a la
conclusión que no nos queda otra que considerar que si calculamos la velocidad del muón con
respecto al piloto, pensaríamos que deberíamos medir el mismo tiempo, porque simplemente ella no
afecta el tiempo. Pero según lo que hemos estudiado sobre el muón –el cual lo hemos tomado como
ejemplo para describir el tiempo medio de vida de las partículas– el tiempo medido por el piloto
debería ser distinto al medido en el suelo, ya que el piloto podría viajar junto al muón, en reposo
relativo, por lo cual debería medir su media de vida normal. Claro está, que no cabe duda que aquí
tenemos un serio problema, pero tanto los mesones como otras partículas inestables, presentan el
mismo fenómeno: sus vidas dependen de las velocidades por las cuales se mueven. No es una
partícula, son todas. Y, como no podemos hacer leyes distintas para cada partícula, pareciera
entonces que en estos casos las apreciaciones de nuestra naturaleza humana, como asimismo,
conceptos de la física bastante conocidos como los de Galileo, no tienen sentido, y nos llevan a una
contradicción.
Para finalizar queda por señalar que en la práctica, el descubrimiento de los muones y piones
cerró un capítulo en la historia de la investigación de los rayos cósmicos. Con ello, la naturaleza de
la radiación cósmica local, observada en la atmósfera, se clarificó: las partículas penetrantes son
mesones μ y π; las partículas que son fácilmente absorbidas corresponden a electrones, y las no
ionizantes son fotones. Aunque no dejan de aparecer otras partículas que penetran la atmósfera de la
Tierra, los mesones μ y π; los electrones; los fotones, y los neutrinos son las constituyentes
principales de la radiación que golpea con frecuencia nuestros mares y territorios.
(Fuente: internet)
2.2.- Desarrollo numérico de la explicación de la paradoja del mesón (μ):
Para este desarrollo se utilizan las fórmulas de “contracción espacial” y “dilatación temporal”
de Lorenz – Fitzgerald.
ΔL’ = ΔL
1 - v²
c²
2.2.a) Contracción espacial
Δt’
Δt =
1 - v²
c²
2.2.b) Dilatación temporal
Considerando el lapso de vida de un muón de 0,000002 seg. (para él mismo, es decir en un
sistema de referencia que lo acompañe), una velocidad del mismo de 0,998c (respecto de un
observador en la superficie de la tierra), y teniendo en cuenta 2.2.b) podemos calcular el lapso de
vida de un muón para nuestro sistema de referencia (observador en la superficie de la tierra).
Δt’
Δt =
0,000002 seg.
=
1 - v²
c²
= 0,00003164 seg.
1- 0,998² c²
c²
en el tiempo calculado anteriormente y viajando a 0,998c el mesón alcanza a recorrer en el
sistema de referencia de la tierra, una distancia de:
ΔL = v x Δt = y (distancia vertical)
299400 Km/ seg. x 0,00003164 seg. = 9,47 Km
Distancia recorrida por el mesón para un observador en la tierra = 9,47 Km
Lo cual explica la llegada de estas partículas a la superficie terrestre.
Podríamos verificar lo calculado anteriormente haciendo el siguiente análisis: la distancia
calculada en el paso anterior representa en el sistema de referencia del muón, según 2.2.a) una
distancia de
ΔL’ = 9,47 Km
1 – 0,998² c²
c²
= 0,599 Km
esta distancia la recorre en un tiempo Δt’ de
0,599 Km
= 0,000002 seg corroborando la relación y observación relativa entre los
299400 Km/ seg
sistemas de referencia, mediante la “teoría especial de la
relatividad”.
Como conclusión, podemos decir que mientras para el observador en la tierra la partícula viaja 9740
m durante un tiempo de 31,64 x 10-6 seg -casi 16 veces más que para un observador desplazándose
con el mesón-, para el sujeto en esas condiciones la partícula recorre 599 m en 2 x 10-6 seg. Esto
explica analíticamente el concepto visto en el punto anterior “sus vidas dependen de las velocidades
por las cuales se mueven”.