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ECUACIÓN
ECUACIÓNDE
DEESTADO
ESTADO
La ecuación de estado es la función que relaciona la presión con la
densidad, temperatura y composición química en cada punto de la
estrella. En el interior profundo de la estrella existen gases
completamente ionizados y fotones. En general, podemos escribir que la
presión consta de tres componente, debidas a iones, electrones y
fotones:
P = Pi + Pe + Pr
P = P( ρ , T , µ )
con
Si tanto iones como electrones se comportan como un gas ideal,
entonces podemos considerar ambor como una componente y usar:
Pg = Pi + Pe donde Pg viene dada por :
Pg = n k T =
ρ
ρ
kT =
µ mH
µ
T
donde n es el número de partículas por unidad de volumen, mH es
la masa del átomo de hidrógeno (o la masa eqiuivalente a 1 UAM),
k es la constante de Bolztmann y es la constante de los gases.
µ es el peso molecular medio, definido como la masa media de
una partícula en UAM :
n=
ρ
ρ NA
=
µ mH
µ
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siendo NA el número de Avogadro
Estructura estelar
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1
Si llamamos Xi al tanto por uno en masa de núcleos de tipo i, el
número de núcleos de ese tipo será:
ni =
ρ Xi
µ i mH
La presión total debida a todas las componentes será:
Pg = ∑ Pi + Pe = ∑ ni kT + ne kT
i
i
Si Zi es la carga del núcleo de la especie i y éste se encuentra
totalmente ionizado, aportará Zi electrones. Por tanto:
n = ne + ∑ ni = ∑ (1 + Z i ) ni
i
y usando
ni =
i
ρ Xi
µ i mH
ρ Xi
=
µ
m
i
i H
X
ρ T ∑ (1 + Z i ) i
µi
i
Pg = nkT = kT ∑ (1 + Z i ) ni = kT ∑ (1 + Z i )
i
=
k
X
ρ T ∑ (1 + Z i ) i =
µi
mH
i
El peso molecular medio queda pues definido como:
 X (1 + Z i ) 

µ =  ∑ i
µi
 i

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2
Además de la presión debida al gas, debemos considerar la debida a
la radiación:
1
Pr = aT 4
3
La presión total será:
P = Pg + Pr =
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ρ
1
kT + aT 4
µ mH
3
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3
CÁLCULO
CÁLCULODEL
DELPESO
PESOMOLECULAR
MOLECULARMEDIO
MEDIO
• Consideremos un gas compuesto solamente de hidrógeno ionizado.
En ese caso: XH = 1, ZH = 1 y µH = 1. Por tanto: µ= 1/2.
• En el caso de helio ionizado: XHe = 1, ZHe = 2 y µH = 4. Por tanto:
−1
µ= 4/3.

Xi 


=
µ
• Para un gas neutro: Zi = 0 y
o 

∑µ
i
i
 XZ 
µ e =  ∑ i i 
 i µi 
• Para los electrones libres:

−1
• Para la mayoría de los elementos más pesados que el helio:
Zi = µi / 2 . Llamando X = H e , Y = He
−1
2Y 1
2


+ (1 − X − Y ) =
µ e=  X +
X +1
4 2


• Para un gas completamente ionizado:
Y
Z 

µ I=  X + +

<
>
A
4


−1
Z es muy pequeño (0.02 para
la composición solar) y <A> es
del orden de 20 ⇒ Z/<A> es
despreciable y
3Y Z 

+ 
µ =X +
4
2

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−1
4
IONIZACIÓN
IONIZACIÓNPARCIAL
PARCIAL
En algunos casos, los núcleos de una determinada especie pueden
no estar completamente ionizados y el cálculo de µ requiere
conocer no sólo la composición química del material, sino también
su grado de ionización. Para ello hemos de utilizar la Ley de Saha.
Estrictamente la Ley de Saha es aplicable bajo condiciones de
euilibrio termodinámico. Pero, puesto que la mayor parte del interior
estelar se encuentra en ETL, en principo podemos aplicarla en la
mayoría de los casos.
Si ns es el número de átomos (o iones) en un estado excitado s y
n0 es el número de átomos (o iones) en el estado fundamental,
ns /n0 viene dado por la Ley de Boltzmann:
donde ϕs es la diferencia de energía entre los
dos niveles y gs , g0 son sus correspondientes
pesos estadísticos
ns g s −ϕ s / kT
=
e
n0 g 0
n = ∑ ns
Si
n
go
n0
= g0
∑n
s
n0
entonces :
s
s
∞
= g0 ∑
s
ns
=
n0
= g 0 + g1e −ϕ 1/ kT + g 2 e −ϕ 2 / kT +
Por tanto :
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= Z (T ) ≡ función de partición.
ns
g
= s e −ϕ s / kT
n Z (T )
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Se puede aplicar esta fórmula para calcular el grado de ionización.
Para ello, consideremos un átomo que ha perdido r electrones y
está por tanto en el estado de ionización r. La energía necesaria
para arrancar el siguiente electrón al átomo es χ r . Tras la ionización
el electrón sale con una determinada energía pe2/2me .Con
respecto al estado de ionización r al que el electrón estaba ligado,
este tiene ahora una energía χ r + pe2/2me y el estado de ionización
del átomo es r +1.
Podemos considerar el estado de menor energía el correspondiente
al ion en el estado de ionización r en el estado fundamental. El
estado de mayor energía será el correspondiente al ion en el estado
de ionización r+1más un electrón libre con momento entre pe y
pe+dpe .Las correspondientes poblaciones serían: Nr y dNr+1 . El
peso estadístico del nivel superior es: gr+1 dg(pe) y la Ley de
Bolztmann ahora se escribe:
dN r +1 g r +1dg ( pe )
=
e
Nr
gr
 χ + p 2 / 2 me
− r e

kT





Por otra parte,
2dVd 3 pe
dg ( pe ) =
h3
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con d 3 pe dV = dxdydzdpx dp y dp z
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Si la densidad electrónica es Ne , dV = 1/Ne y escribiendo :
se tiene:
d 3 pe = 4π pe2 dpe
8π pe2 dpe
dg ( pe ) =
N e h3
y
dN r +1 g r +1 8π p dpe
=
e
3
Nr
gr
Neh
2
e
 χ + p 2 / 2 me
− r e
kT





Extendiendo esto a todos los electrones con todos los momentos posibles:
N r +1 g r +1 8π − χ r / kT ∞ 2 −(pe2 / 2 me kT )
=
e
pe e
dpe
3
∫
0
Nr
g r Ne h
Llamando
x 2 = pe2 / 2me kT
y tendiendo en cuenta que
se tiene la
Ecuación de Saha
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∫
∞
0
2 −a 2 x 2
xe
dx =
π
4a 2
N
g 2(2π me kT )
N e r +1 = r +1
Nr
gr
h3
3/ 2
Estructura estelar
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e − χ r / kT
7
Considerando ahora los diferentes estados de excitación:
N r = ∑ N r ,s
s
Para los iones en el estado de ionización r
N r , s g r ,s −ϕ r ,s
=
e
/ kT
N r , 0 g r ,0
g r ,0
N
−ϕ
−ϕ
N r = g r ,0 ∑ r ,s = g r ,0 + g r ,1e r ,1 + g r , 2 e r , 2 +
N r ,0
s N r ,0
≡ Z r (T )
y, finalmente, se obtiene:
N r +1
Z 2(2π me kT )
N e = r +1
Nr
Zr
h3
3/ 2
N r +1
Z 2(2π me )
Pe = r +1
Nr
Zr
h3
3/ 2
e − χ r / kT
(kT )5 / 2 e − χ r / kT
El número de electrones libres se calcula como:
ne
ni Z i
E = = ∑ ∑ ni ,r r
n
i n r =0
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Ionización
Ionizacióndel
delhidrógeno
hidrógenoyyelelhelio
helio
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Estructura estelar
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PRESIÓN
PRESIÓNDE
DEDEGENERACIÓN
DEGENERACIÓNDE
DELOS
LOS
ELECTRONES
ELECTRONES
La distribución de Boltzmann deja de ser válida para casos de
temperaturas extremadamente bajas o densidades muy elevadas.
En estos casos hay que incluir efectos mecano-cuánticos ⇒ los
electrones están degenerados
La función de distribución de momentos de un gas de electrones
libres viene dada por la distribución de Maxwell-Bolztmann:
f ( p ) dp dV = ne
4π p
e
3/ 2
(2π me kT )
2
−
p2
2 me kT
dp dV
El máximo de la distribución se encuentra en :
pmax = (2me kT )1/ 2
Si disminuye la temperatura manteniéndose la densidad electrónica
constante, el valor de pmax disminuye, con lo que [f(p)]max es más
alto ya que
∞
ne = cte. = ∫ f ( p) dp
o
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Pero los electrones son fermiones,
debido al Principo de Exclusión de
Pauli la máxima densidad de
electrones en el espacio de las
fases es:
2(4π p 2 )
f ( p ) dp dV ≤
dp dV
3
h
Los efectos mecano-cuáticos también aparecen cuando la densidad
de los electrones aumenta a temperatura constante:
La figura muestra un corte en la distribución de momentos (py=pz=0)
en que cada curva sucesiva corresponde a un aumento del número
de electrones a temperatura constante. Puesto que la forma de la
curva viene dada por la temperatura, el efecto de añadir electrones al
gas, se traduce en una deformación de la misma.
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A medida que la densidad aumenta, el número de electrones con un
determinado momento puede exceder la condición de exclusión.
Entonces, los electrones se ven forzados aaestados de momento
superior, hasta alcanzar un momento umbral: el momento de Fermi
∞
8π p 2
8π 3
=
ne dV = ∫
dp
dV
p f dV
3
h
h
3
3
0
El momento de Fermi es pf ∝ ne1/3 y la correspondiente energía,
la energía de Fermi es Ef ∝ ne2/3
DEGENERACIÓN
DEGENERACIÓNCOMPLETA
COMPLETA
Todos los electrones tienen la mínima energía posible sin violar el
Principio de Exclusión⇒ todas las celdas hasta el momento de
Fermi, pf, están ocupadas:
8π p 2
f ( p) =
h3
f ( p) = 0
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para
p≤ p
para
p > pf
f
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Si ne es suficiemntemente elevada, pf será muy grande la velocidad
de los electrones también ⇒ hay que incluir efectos relativistas:
p=
con
me v
1− v / c
E = Etot − me c 2
2
2
Etot =
me c 2
1 − v2 / c2
Ecuación
Ecuaciónde
deestado
estado
Para deducir la ecuación de estado hay que conocer la relación
entre la presión ejercida por los electrones y la densidad del gas.
Por definición de presión ≡ flujo de momento a través de la unidad
de superficie, por segundo
f ( p)dp
dΩ s
v( p)dσ cos θ
4π
Número de
electrones con
momento entre
p y p+dp
El momento total en dirección n es:
Pe =
∞
∫∫
2π 0
dΩ s 8π
f ( p )v( p) p cos 2θ dp
= 3
4π
3h
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pf
3
p
∫ v( p)dp
0
13
Sustituyendo ahora el valor de v :
8π c
Pe = 3
3h
con
x=
pf
y 4 dy
8π c 5 me4
dp =
2
2 2 1/ 2
3h 3 ∫0 (1 + y 2 )1/ 2
1 + p / me c
∫(
p / me c
pf
y=
0
me c
x
)
p
me c
e integrando
[
x
]
y 4 dy
1
−1
2
2 1/ 2
=
−
+
+
x
x
x
senh
x = f ( x)
(
2
3
)(
1
)
3
∫0 (1 + y 2 )1/ 2 8
π me4 c 5
Pe =
f ( x)
3
3h
Por tanto :
Por otra parte:
ne dV =
8π 3
p f dV
3
3h
y
ne =
ρ
8π
= 3 me3c 3 x 3
µ e mH 3h
De donde se obtiene Pe como función de la densidad, ρ, y la
composición química, µe
ρ me c 2 f ( x)
Pe =
8 µ e mH x 3
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DEGENERACIÓN
DEGENERACIÓNPARCIAL
PARCIAL
En muchos casos, cuando temperatura y densidad son elevadas,
existe sólo degeneración parcial. En estos casos, la distribución de
momentos de los electrones no es ni Maxwelliana ni degenerada.
La distribución de electrones se puede escribir como:
8π p 2
1
f ( p )dpdV =
dpdV
h 3 1 + e E / kT −ψ
Donde ψ es el parámetro de degeneración


ne h3
ψ = ln 
3/ 2 
 2(2π me kT ) 
y E es la energía cinética del electrón. ψ depende de ne / kT3/2
• Cuando ne << , ψ << 0 y f(p)→ Maxwell
• Cuando ne >> , eE/kT-ψ << 0 y f(p)→ Degenerado
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Las expresiones para Pe y ρ /µe son :
ρ
8π
= 3
µ e mH
h
∞
p2
∫0 1 + e E / kT −ψ dp
∞
p 3v ( p )
8π
Pe = 3 ∫
dp
E / kT −ψ
3h 0 1 + e
En el caso no relativista, E = p2 / 2me y v = p / me . Llamando:
η = p 2 / 2 me k T
∞
ρ
η 1/ 2
4π
3/ 2
= 3 (2me kT ) ∫
dη
η −ψ
µ e mH
h
1+ e
0
∞
η 3/ 2
4π
5/ 2
Pe = 3 (2me kT ) ∫
dη
η −ψ
3h
1+ e
0
Las integrales tienen la forma
∞
ην
Fν (ψ ) = ∫
dη
η −ψ
1+ e
0
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Integrales de Fermi-Dirac
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DEGENERACIÓN
DEGENERACIÓNIÓNICA
IÓNICA
Los iones en el interior estelar tienen en promedio la misma energía
por partícula que los electrones: 3kT/2, pero como tienen una masa
mayor, también tienen un mayor momento:
1/ 2
pion  mion 

∝ 
pe
 me 
En el espacio de momentos están distribuídos en un volumen mayor
Vion  mion 

∝ 
Ve
 me 
3/ 2
En general, mion / me ≥ 2000 ⇒ los iones disponen de
alrededor de 105 veces más celdas en el espacio de momentos
⇒ la degeneración iónica sucede a densidades 105 veces más
elevadas que la degeneración electrónica, que normalmente no
se dan en los interiores estelares.
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OTROS
OTROSEFECTOS:
EFECTOS:CRISTALIZACIÓN
CRISTALIZACIÓN
A altas densidades y bajas temperaturas hay que considerar la
interacción de Coulomb entre iones. Los iones no se mueven
libremente sino que se encuentran en los vértices de una red
cristalina. Esto sucede cuando la energía térmica 3kT/2 se hace
comparable a la energía de Coulomb por ion de carga -Ze.
Si riones la distancia media entre iones y nion es el número de iones
por unidad de volumen, el cociente:
2 1/ 3
( Ze) 2
−3 Z nion
ΓC =
= 2.7 ×10
rion kT
T
es una medida de la importancia de este efecto.
• Si ΓC << 1 ⇒ los iones siguen la distribución de Boltzmann.
• Si ΓC >> 1 ⇒ los iones forman un cristal
• ΓC ≈ 100 marca la transición
• La temperatura a la que esto corresponde es:
Tm ≈ 2.3 ×103 Z 2 µ
−1 / 3
ρ
1/ 3
Este efecto puede ser relevante en estrellas enanas blancas.
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DIAGRAMA
DIAGRAMADE
DEESTADO
ESTADOPARA
PARAEL
EL
MATERIAL
MATERIALESTELAR
ESTELAR
Ecuación general de estado
1
8π
P = Pion + Pe + Pr =
ρ kT + 3
µ I mH
3h
∞
3
p
∫ v( p )
0
dp
e E / kT −ψ
1
+ aT4
3
• Importancia de la presión de radiación
La igualdad entre Pg y Pr delimita las zonas de dominio de
cada una de las presiones en un diagrama logρ - logT
Pg = Pr
⇒
1 k
1
ρ T = a T 4 ⇒ log ρ = 3 log T + cte.
µ mH
3
• Límites de degeneración
La igualdad entre la presión de los electrones cuando se comportan
como un gas ideal y la presión de degeneración marca el límite entre
ambos comportamientos:
1 
1 k
ρ T = K1  ρ 
µ e mH
 µe 
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5/3
⇒ log ρ − log µ e =
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3
log T + cte.
2
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• Importancia de efectos relativistas
El límite entre los casos relativista y no relativista corresponde a
Igualar la presión de degeneración electrónica en ambos casos:
3
K 
1
ρ =  1  = 1.916 × 106
µe
 K2 
El primer límite nos da una línea recta en el diagrama con pendiente
igual a 3. , el segundo nos da también una recta, pero con pendiente
dependiente 3/2 y con ordenada en el origen dependiente de la
composición química. El tercero nos da una línea constante
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