to get the file

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
TEMA 2
Ejercicio de Aplicación 2.1 (Trigonometría)
Sobre una colina se eleva una torre AB. En un terreno llano al pie de la colina se sitúan dos
puntos C y D en un mismo plano vertical con AB. Calcular la altura de dicha torre sabiendo
que la distancia entre C y D es de 200m. y los ángulos de elevación del pie y del extremo
superior de AB son:
Medidos desde D:
25º 10,2’ y 31º 4,8’ respectivamente.
Medidos desde C:
12º 57,6’ y 17º 32,3’ respectivamente.
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
Es muy conveniente realizar un esquema gráfico que ayude a relacionar los datos que se
ofrecen con la longitud que queremos calcular .
B
A
C
D
H
Se nos pide la longitud AB y los datos que se han podido medir con un aparato topográfico
(teodolito) son :
CD=200m
Ángulo ADH= 25º 10,2’
Ángulo BDH= 31º 4,8’
Ángulo ACH= 12º 57,6’
Ángulo BCH= 17º 32,3’
La longitud AB= BH – AH, y podemos calcular BH y AH, a partir de los datos:
Matemáticas de Punto de Inicio -
Lección 2: Trigonometría
Página 1
1. Cálculo de BH:
En el triángulo BCH: tg17º 32,3’ =
En el triángulo BDH: tg31º 4,8’ =
BH
⇒BH=200· tg17º 32,3’ + DH· tg17º 32,3’
200 + DH
BH
BH
⇒ DH=
DH
tg31º4,8'
y sustituyendo en la expresión anterior :
BH=200· tg17º 32,3’ +
BH
· tg17º 32,3’= 63,206900+0,524310·BH ⇒
tg31º4,8'
BH=
63,206900
=132,874 m
1- 0,524310
2. Cálculo de AH:
En el triángulo ACH: tg12º 57,6 =
AH
⇒ AH=200· tg12º 57,6 + DH· tg12º 57,6
200 + DH
En el triángulo ADH: tg25º 10,2’ =
AH
BH
⇒ DH=
DH
tg25º 10,2 '
y sustituyendo en la expresión anterior :
AH=200· tg12º 57,6 +
BH
tg12º 57,6= 46,026593+0,489723 AH ⇒
tg25º 10,2 '
AH=
46,026593
=90,199 m.
1- 0,489723
3. Longitud de AB:
AB ≈132,874 – 90,199=42,675m
Nota:
Los resultados finales son, realmente, valores aproximados por no ser exactas las medidas
que proporcionan los aparatos (aunque actualmente alcanzan gran precisión. Por esta razón
el estudio de errores es una parte muy importante de la titulación.
Matemáticas de Punto de Inicio -
Lección 2: Trigonometría
Página 2
Ejercicio de Aplicación 2.2 (Trigonometría)
Se necesita conocer las distancias desde un punto C, inaccesible, hasta los puntos A y B.
Resuélvelo con los datos proporcionados por la siguiente triangulación AB= 300m,
AE=175m, BE=326m, BF=225 y EF=488
SOLUCIÓN
La situación podría ser la de la siguiente fotografía:
E
A
C
B
F
Se nos pide las longitudes CA y CB. La triangulación efectuada ha consistido en tomar el
punto E alineado con C y A, y el punto F alineado con C y B y medir las longitudes que se
dan como datos. Para la alineación y el cálculo de las medidas se han utilizado los aparatos
topográficos adecuados obteniéndose:
AB=300m; AE=175m; BE=326m; BF=225m; EF=488m
1. Con la triangulación efectuada y utilizando el teorema del coseno podemos calcular
los ángulos CAB, CBA y BCA:
Matemáticas de Punto de Inicio -
Lección 2: Trigonometría
Página 3
En el triángulo AEB calculamos los ángulos EAB y EBA:
3262 =1752 + 3002 -2·175·300·cosEAB ⇒ cosEAB =
luego
EAB=82º 09’ 02’’
1752 = 3262 + 3002 -2·326·300·cosEBA ⇒ cosEBA =
Luego
175 2 + 300 2 − 326 2
= 0,1366571
2·175·300
326 2 + 300 2 − 175 2
= 0,8468865
2·326·300
EBA=22º 07’ 32’’
En el triángulo BEF calculamos el ángulo EBF:
4882 = 3262 + 2252 -2·326·225·cosEBF ⇒ cosEBF =
Luego
3262 + 2252 − 4882
= - 0,5538037
2·326·225
EBF = 123º 37’ 42’’
Por lo tanto:
CAB = 180º - 82º 09’ 02’’ = 97º 50’ 58‘’
CBA = 180º - 22º 07’ 32’’-123º 37’ 42’’= 24º 14’ 46‘’
BCA= 180º - CAB – CBA = 57º 54’ 16’’
2. Aplicando el teorema del seno en el triángulo ABC calculamos CA y CB
CA
AB
AB·senCBA
=
⇒ CA =
≈ 145,42m.
senCBA senBCA
senBCA
CB
AB
AB·senCAB
=
⇒ CB =
≈ 350,80m.
senCAB senBCA
senBCA
Nota: Los resultados finales son, realmente, valores aproximados por no ser exactas las
medidas que proporcionan los aparatos (aunque actualmente alcanzan gran precisión). Por
esta razón el estudio de errores es una parte muy importante de la titulación.
Matemáticas de Punto de Inicio -
Lección 2: Trigonometría
Página 4