Tema 4: Combinatoria

Matemática Discreta
Una (muy breve) introducción a la Combinatoria.
El objetivo principal de la Combinatoria es determinar el número de objetos pertenecientes a un conjunto dado y que verifican cierta condición o propiedad. Éste es el problema
de conteo. Otro aspecto también importante asociado al problema de conteo es el problema de enumeración en el cual no interesa tanto saber el número de objetos sino
la obtención explı́cita de dichos objetos. Ambos problemas están ı́ntimamente relacionados y la resolución de uno de ellos normalmente conlleva la resolución del otro. En toda
fórmula de tipo combinatorio subyace una algoritmo y recı́procamente en todo algoritmo
combinatorio subyace una fórmula de conteo.
Emplearemos una notación basada principalmente en conjuntos. Prácticamente en todas
las propiedades asumiremos que los conjuntos que aparecen tiene cardinal finito. Como es
usual, denotamos por |X| el cardinal o número de elementos del conjunto X.
1.
Principios básicos.
Recordemos que dos conjuntos A y B se dice que son disjuntos si no tienen ningún
elemento en común, es decir, si A ∩ B = ∅.
Proposición 1. (El Principio de la suma)
Si A y B son dos conjuntos disjuntos, entonces |A ∪ B| = |A| + |B|.
Ejemplo 2. Si un municipio consta de dos núcleos de población, habiendo en el primero
un total de 200 habitantes y en el segundo un total de 300 habitantes, entonces el número
de habitantes de dicho municipio es 200 + 300 = 500.
El Principio de la Suma puede presentarse de manera más general como sigue.
Proposición 3. Si A1 , A2 , . . . , An son conjuntos disjuntos dos a dos (es decir, Ai ∩Aj = ∅
para i 6= j ), entonces |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An |.
Recordemos que para dos conjuntos cualesquiera A y B, el producto cartesiano de A
y B, denotado por A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados formados por un
elemento de A y otro de B, es decir, A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Proposición 4. (El Principio del producto)
Para dos conjuntos cualesquiera A y B se verifica que |A × B| = |A| · |B|.
Ejemplo 5. Supongamos que un viajante puede ir desde un paı́s P1 hasta un paı́s P2 en
autobús, en tren o en avión, y puede ir desde P2 hasta un tercer paı́s P3 en barco o en
avión. Entonces el número de posibilidades para hacer el viaje desde P1 hasta P3 pasando
por P2 es de 3 · 2 = 6.
El Principio del Producto puede presentarse de manera más general como sigue.
1
2
Proposición 6. Para conjuntos cualesquiera A1 , A2 , . . . , An se verifica que
|A1 × A2 × · · · × An | = |A1 | · |A2 | · · · · · |An |.
Ejemplo 7. Supongamos que el menú ofrecido por un restaurante consta de un primer
plato a elegir de entre 4 posibilidades, un segundo plato a elegir de entre 3 posibilidades
y postre a elegir de entre 5 posibilidades. Entonces el número de menús posibles ofrecidos
por el restaurante es 4 · 3 · 5 = 60.
Ejemplo 8. Sea un conjunto Σ = {a, b, c} al que llamaremos alfabeto. Una palabra sobre
Σ es una secuencia (ordenada) finita de letras pertenecientes a Σ. Por ejemplo abbc y babc
son dos palabras distintas sobre Σ. Admitimos además la existencia de una palabra especial
sobre Σ a la que llamaremos la secuencia vacı́a y que no contiene ninguna letra.
1. Por el Principio del Producto el número de palabras sobre Σ de longitud n ≥ 0 es
igual a 3n . Obsérvese que cuando n = 0 se obtiene 30 = 1 que se refiere a la palabra
vacı́a.
2. Por el Principio de la Suma, el número de palabras sobre Σ de longitud menor o
igual que n es 1 + 31 + 32 + · · · + 3n . Recordando que para a 6= 1 se verifica que
n+1
1 + a1 + a2 + · · · + an = a a−1−1 , el número de palabras sobre Σ de longitud menor
n+1
o igual que n es igual a 3 2 −1 .
3. El número de palabras de longitud n sobre Σ y que no empiezan por la letra b es
igual a 2 · 3n−1 .
Dado un número real x, definimos la parte entera de x como el mayor número entero z
verificando que z ≥ x. Designamos la parte entera de x por bxc.
Para dos números enteros a y b, siendo b 6= 0, se cumple que b ab c es igual al cociente de
dividir a entre b.
Obsérvese que si b y n números enteros, con n ≥ 0 y b 6= 0, el número de elementos del
conjunto {1, . . . , n} que son múltiplos de b es igual al cociente de dividir n entre b, es decir,
b nb c.
Ejemplo 9. ¿Cuántos números enteros menores o iguales que 1000 son múltiplos de 7?
La respuesta es b 1000
c = 142.
7
Ejemplo 10. ¿Cuántos números enteros x verificando que 600 < x ≤ 1000 son múltiplos
de 7?
La respuesta es b 1000
c − b 500
c = 142 − 85 = 57.
7
7
En general, si A y B son dos conjuntos cualesquiera, se verifica que
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Ejemplo 11. ¿Cuántos números enteros positivos x ≤ 1000 son múltiplos de 5 o de 7?
Sean
X = {x ∈ Z | 1 ≤ x ≤ 1000},
A = {x ∈ X | x es múltiplo de 5}
3
y
B = {x ∈ X | x es múltiplo de 7}.
Obsérvese que x ∈ A ∩ B si y sólo si x es múltiplo del mı́nimo común múltiplo de 5 y 7, es
decir, es múltiplo de 35. Por consiguiente |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = b 1000
c + b 1000
c−
5
7
b 1000
c
=
200
+
142
−
28
=
314.
35
De manera más general, si A1 , A2 , . . . , An son subconjuntos de un conjunto X, se puede
demostrar que
X
X
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | =
|Ai | −
|Ai ∩ Aj | + · · · + (−1)n+1 |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An |.
i6=j
Basta tener en cuenta el caso para n = 2 y aplicar inducción sobre n.
Nótese que en la fórmula enterior, los signos aparecen de forma alternada. Ası́ por ejemplo
para A1 , A2 y A3 , tenemos
|A1 ∪ A2 ∪ A3 | = (|A1 | + |A2 | + |A3 |) − (|A1 ∩ A2 | + |A1 ∩ A3 | + |A2 ∩ A3 |) + |A1 ∩ A2 ∩ A3 |.
Dicha fórmula se conoce con el nombre de Principio de Inclusión-Exclusión.
Otra técnica de conteo elemental consiste en definir una aplicación biyectiva entre un
conjunto A cuyo cardinal queremos determinar y un conjunto B de cardinal conocido.
Ejemplo 12. Dado un conjunto X = {x1 , . . . , xn }, vamos a probar que el número de
subconjuntos de X es igual a 2n . Como es usual, denotamos por P(X) el conjunto de las
partes de X, es decir, aquel cuyos elementos son todos y cada uno de los subconjuntos de
X. Llamamos B = {0, 1} y suponemos además que los elementos de X están ordenados
de la forma siguiente: x1 < · · · < xn . Defimos la aplicación f : P(X) → B n , como
f (A) = (a1 , . . . , an ), siendo cada
1 si xi ∈ A,
ai =
0 en caso contrario.
Obsérvese que f (∅) = (0, 0, . . . , 0) y f (X) = (1, 1, . . . , 1). Se puede justificar fácilmente que
f es una aplicación biyectiva. Ya que por el Principio del Producto |B n | = 2n , deducimos
que |P(X)| = 2n .
Cerramos esta sección sobre principos básicos mencionando la técnica basada en plantear
relaciones de recurrencia. Hay problemas cuya solución puede expresarse fácilmente
mediante una relación de recurrencia. Vimos en el Tema 1 cómo el problema de calcular
el menor número de movimientos an para resolver el juego de las torres de Hanoi con
n arandelas se resolvı́a fácilmente mediante una relación de recurrencia. Concretamente
obtuvimos que a0 = 0 y ∀n ≥ 1, an = 2an−1 + 1. Veamos otro ejemplo.
Ejemplo 13. ¿Cuántas secuencias binarias, es decir, formadas por sı́mbolos 0 y 1, de
longitud 20 existen de modo que en cada una de ellas no aparezcan dos (o más) ceros
consecutivos?
Sea Xn el conjunto de tales secuencias de longitud n. Podemos descomponer Xn como la
4
unión disjunta de dos conjuntos An y Bn . El conjunto An está formado por aquellas secuencias pertenecientes a Xn que empiezan por 1 mientras que Bn está formado por aquellas
secuencias pertenecientes a Xn que empiezan por 0. Si x1 x2 . . . xn es una secuencia perteneciente a An , es decir, x1 = 1, entonces x2 . . . xn es una secuencia arbitraria perteneciente
a Xn−1 . Ésto nos dice que |An | = |Xn−1 |. Si por el contrario x1 x2 . . . xn es una secuencia
perteneciente a Bn , es decir, x1 = 0, entonces necesariamente x2 = 1 y x3 . . . xn es una secuencia arbitraria perteneciente a Xn−2 , con lo cual |Bn | = |Xn−2 |. Si llamamos fn = |Xn |,
por el Principio de la Suma obtenemos que fn = |An |+|Bn | = |Xn−1 |+|Xn−2 | = fn−1 +fn−2 .
Por tanto fn verifica una relación de recurrencia lineal de orden dos, para la cual necesitamos dos condiciones iniciales. Es inmediato que f1 = 2 y f2 = 3. Utilizando los resultados
anteriores obtenemos que f20 = 17711.
Una vez que tenemos una expresión recurrente nos podemos plantear obtener una expresión no recurrente equivalente. Este problema en general no tiene solución.
2.
Selecciones de elementos
Dado un conjunto A = {a1 , . . . , an } vamos a estudiar el número de formas de elegir o
seleccionar r elementos de A atendiendo a dos criterios:
Que haya o no repetición, es decir, que un elemento de A puede ser o no elegido
más de una vez.
Que se tenga en cuenta o no el orden en el que se van eligiendo los elementos de A.
Detacamos que lo que nos interesa es el número de resultados posibles tras el proceso
de elección. De este modo obtenemos cuatro casos o situaciones distintas según haya o no
repetición y se tenga en cuenta o no el orden de elección.
2.1.
Selecciones sin repetición teniendo en cuenta el orden.
Cada selección de r elementos de A sin repetición y teniendo en cuenta el orden de
elección se denomina tradicionalmente una variación ordinaria o sin repetición de n
elementos tomados de r en r. Se suele emplear el sı́mbolo Vnr para denotar el número de
variaciones ordinarias de n elementos tomados de r en r.
Nosotros también emplearemos el término de r-permutación de n elementos para referirnos a las variaciones ordinarias de n elementos tomados de r en r, y usaremos el sı́mbolo
P (n, r) para indicar su número. Debido a que no hay repetición, ha de verificarse que
0 ≤ r ≤ n.
Determinemos el valor exacto de P (n, r). Imaginemos un casillero que hemos de completar con elementos de A sin que haya repetición:
1 2 ... r
...
La primera casilla podemos rellenarla de n formas posibles, con cualquier elemento de A.
Una vez hecho ésto, nos quedan n − 1 elementos disponibles con cualquiera de los cuales
5
podemos rellenar la segunda casilla, y ası́ hasta la casilla número r para la cual quedan
n − (r + 1) elementos posibles. Por el Principio del Producto resulta
P (n, r) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1),
valor que se suele escribir de la forma siguiente:
P (n, r) =
n!
.
(n − r)!
n!
Obsérvese que P (n, 0) = (n−0)!
= n!
= 1, valor que representa la secuencia vacı́a.
n!
Cada n-permutación de A se denomina simplemente una permutación del conjunto
n!
A. Ya que P (n, n) = (n−n)!
= n!
= n!1 = n!, obtenemos que el número de permutaciones de
0!
A es igual a n!.
Ejemplo 14. Partiendo de un alfabeto A = {a, b, c, d, e, f, g}, ¿cuántas palabras de tres
letras pueden formarse de modo que no se repita ninguna letra?
Las condiciones del enunciado indican que se trata de variaciones ordinarias de siete elementos tomados de tres en tres, cuyo número viene dado por P (7, 3) = 7 · 6 · 5 = 210.
El número de permutaciones del conjunto A es igual a P (7, 7) = 7! = 5040.
Ejemplo 15. ¿De cuántas formas pueden ocupar cuatro personas cuatro puestos de trabajo?
Se trata de permutaciones de un conjunto de cuatro elementos cuyo número viene dado
por 4! = 24.
El argumento dado más arriba sobre rellenado de casillas muestra también la siguiente
propiedad.
Proposición 16. El número de aplicaciones inyectivas que se pueden definir del conjunto {1, 2, . . . , r} en el conjunto A = {a1 , . . . , an } es igual al número de variaciones
ordinarias de n elementos tomados de r en r.
2.2.
Selecciones sin repetición y sin tener en cuenta el orden.
Una selección de r elementos de A sin repetición y sin tener en cuenta el orden de elección
se denomina una r-combinación de A. Dar una r-combinación de A es equivalente a dar
un subconjunto de A de cardinal r. Denotaremos el número de r-combinaciones de A como
C(n, r).
Todas las r-permutaciones de A pueden ser obtenidas generando previamente todas las
r-combinaciones de A y ordenando (es decir, permutando) sus objetos de todas las formas
posibles. Ésto implica que
P (n, r) = C(n, r) · P (r, r),
de donde
P (n, r)
n!
C(n, r) =
=
.
P (r, r)
r!(n − r)!
6
El número C(n,
r) se denomina número combinatorio o coeficiente binomial y se
n
denota por r . A partir de la fórmula anterior obtenemos
n
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1)
=
.
r
r!
Se les llama coeficientes binomiales porque son los coeficientes que aparecen en la fórmula
del binomio de Newton. Como es sabido, si x e y son elementos de un anillo tales que
x · y = y · x y n ∈ N, entonces
n X
n
n
(x + y) =
· xk · y n−k .
k
k=0
Proposición 17. (Propiedad de simetrı́a para los números combinatorios)
n
n
=
.
r
n−r
Esta propiedad se puede demostrar fácilmente usando la fórmula anterior, o bien observando que la aplicación f : P(A) → P(A) definida por f (B) = B transforma biyectivamente el conjunto de las r-combinaciones de A en el conjunto de las (n − r)-combinaciones
de A.
Aplicando la fórmula anterior obtenemos que n0 = 1, lo cual nos dice que existe una
única 0-combinación de A, es decir, un único subconjunto con 0 elementos que como sabemos
es el conjunto
vacı́o. También n1 = n. Por la propiedad de simetrı́a obtenemos que
n
n
= 1 y n−1
= n.
n
Los números combinatorios verifican un sin fı́n de propiedades de las cuales destacamos
las siguientes:
1. n0 + n1 + · · · + nn = 2n .
Esta propiedad se puede deducir a partir de la fórmula del binomio de Newton
haciendo x = y = 1. Otra forma de deducir la misma fórmula es teniendo en cuenta
el Ejemplo12.
n−1
+
siempre que 1 ≤ r < n.
2. nr = n−1
r
r−1
Fijado x ∈ A, el conjunto de todas las r-combinaciones de A se obtiene como la
unión de dos conjuntos disjuntos: el conjunto de las r-combinaciones de A \ {x} y
el conjunto de las r-combinaciones de A las cuales siempre contienen al elemento
x. Observamos que hay tantas r-combinaciones de A cada una de ellas conteniendo
al elemento x como (r − 1)-combinaciones de A \ {x}. Aplicando el Principio de la
Suma resulta la recurrencia anterior.
Ejemplo 18. ¿Cuántos números naturales se escriben en binario con diez dı́gitos de los
cuales siete son iguales a 1 y el resto son 0?
7
Dichos números son de la forma (1a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 )2 . Seis de los dı́gitos a8 , a7 , a6 , a5 , a4 ,
a3 , a2 , a1 , a0 han de ser iguales a 1. El número de formas de seleccionar tales dı́gitos es
9
9
9
9·8·7
=
=
=
= 84.
3!
6
9−6
3
Ejemplo 19. Queremos formar un comité de 12 personas las cuales han de ser escogidas
de entre 10 hombres y 10 mujeres.
1. ¿De cuántas formas podemos hacerlo?
Claramente la respuesta es
20
20
20 · 19 · 18 · 17 · 16 · 15 · 14 · 13
= 125970.
=
=
8!
12
8
2. ¿Y si queremos que haya igual número de hombres que demujeres?
10·9·8·7
10
El número de formas de escoger 6 mujeres de entre 10 es 10
=
= 4! = 210,
6
4
valor que representa también el número de formas de escoger 6 hombres de entre
10. Por el Principio del Producto la respuesta es
10
10
·
= 210 · 210 = 44100.
6
6
2.3.
Selecciones con repetición teniendo en cuenta el orden.
Como antes A es un conjunto de n elementos elegibles y r es un número natural que
indica el número de elecciones realizadas. Ahora r puede ser mayor que n, debido a que
permitimos repetición.
Una variación con repetición de orden r de los elementos de A es una selección
ordenada de r elementos de A.
Dos variaciones son distintas si se diferencian en algún elemento, en la posición de alguno
de éstos en la variación o en el número de veces que se repite un elemento. Por ejemplo, si
A = {1, 2, 3, 4}, son variaciones diferentes 123, 132 y 1132.
Cada variación con repetición de orden r de A podemos verla como una aplicación del
conjunto {1, 2, . . . , r} en A, con lo cual el número de variaciones con repetición de orden r
de n elementos, denotado tradicionalmente por V R(n, r) o bien por V Rnr , es igual que el
número de aplicaciones del conjunto {1, 2, . . . , r} en A, valor que es igual a nr .
La justificación es inmediata. Basta aplicar el mismo razonamiento que aplicamos para
las selecciones sin repetición teniendo en cuenta el orden, pero ahora no existe la restricción
de que la imagen asignada a cada elemento del conjunto {1, 2, . . . , r} sea exclusiva para él.
Ejemplo 20. En una quiniela hay 15 partidos de fútbol cada uno de los cuales tiene tres
resultados posibles 1, x, 2. ¿De cuántas formas distintas se puede completar una quiniela?
Son variaciones con repetición de orden 15 del conjunto {1, x, 2}, es decir, V R(3, 15) = 315 .
8
2.4.
Selecciones con repetición sin tener en cuenta el orden.
Una combinación con repetición de orden r de los n elementos de A es una selección
no ordenada de r elementos de A que pueden repetirse. El número de tales combinaciones
se denota por CR(n, r). A veces diremos r-combinación con repetición de A para
referirnos a una combinación con repetición de orden r de A.
Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de todas las combinaciones con
repetición de orden r de los n elementos de A y el conjunto de todas las soluciones de
la ecuación x1 + x2 + · · · + xn = r, donde cada incógnita xi puede tomar valores sólo en
N = {0, 1, 2, . . .}. De hecho xi representa el número de veces que elegimos al elemento ai
de A.
Por otro lado, existe otra correspondencia biyectiva entre el conjunto de soluciones para
la ecuación anterior y el conjunto de todas las secuencias de longitud n + r − 1 donde
aparece r veces el sı́mbolo • y aparece n − 1 veces el sı́mbolo |. Concretamente cada
solución (x1 , x2 , . . . , xn ) se corresponde con la secuencia
x
x
x
z }|n {
z }|1 { z }|2 {
•...•|•...•|···|•...•
Por lo tanto, buscamos el número de formas de colocar n − 1 barras en un casillero con
n + r − 1 posiciones, siendo
ocupadas las restantes
casillas por sı́mbolos •. Dicho número
n+r−1
n+r−1
viene dado por n−1 el cual es igual que
. Este resultado se recoge en la siguiente
r
proposición.
Proposición 21. El número de combinaciones con repetición de orden r de n elementos
es
n+r−1
n+r−1
CR(n, r) =
=
.
n−1
r
Ejemplo 22. ¿Cuántos resultados posibles pueden obtenerse al lanzar cuatro dados idénticos?
Un mismo valor puede aparecer en más de un dado por lo que hay repetición. Como los
dados son idénticos no importa el orden en el que aparecen los resultados.
Tenemos el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} de resultados básicos del cual elegimos con
repetición y sin tener en cuenta el orden 4 elementos. Se trata de combinaciones con
repetición de orden 4 para 6 elementos. La respuesta es
6+4−1
9
9·8·7·6
= 126.
CR(6, 4) =
=
=
4
4
4!
Ejemplo 23. Una pastelerı́a ofrece 8 tipos de pasteles distintos. Si se supone que hay al
menos una docena de cada tipo, ¿de cuántas formas se puede seleccionar una docena de
pasteles?
Nos están preguntando el número de soluciones de la ecuación x1 + x2 + · · · + x8 = 12 con
9
incógnitas sobre N. La respuesta es
8 + 12 − 1
19
19
CR(8, 12) =
=
=
= 50388.
12
12
7
Ejemplo 24. Calcúlese el número de soluciones de la inecuación x1 + x2 + x3 ≤ 7 cuyas
incógnitas se consideran sobre N.
Por el principio de la suma podemos sumar el número de soluciones de cada una de las
ecuaciones de la forma x1 + x2 + x3 = r para todo r ∈ {0, 1, . . . , 7}. Obtenemos una sumatoria de números combinatorios que puede escribirse como un sólo número combinatorio
aplicando que
m
m+1
m+k
m+k+1
+
+ ··· +
=
.
0
1
k
k
Concretamente,
3+0−1
3+1−1
3+7−1
2+7+1
+
+ ··· +
=
.
0
1
7
7
Otro método alternativo consiste en darse cuenta de que el conjunto de soluciones de
la inecuación dada está en correspondencia biyectiva con el conjunto de soluciones de la
ecuación x1 + x2 + x3 + x4 = 7, siendo x4 una nueva variable. La respuesta es
4+7−1
CR(4, 7) =
= 120.
7
Resumimos todo lo visto hasta ahora sobre selecciones en la tabla siguiente:
n objetos, se eligen r con orden
sin orden n!
n!
sin repetición
V (n, r) = (n−r)!
C(n, r) = nr = r!(n−r)!
con repetición
V R(n, r) = nr CR(n, r) = n+r−1
n−1
3.
Más sobre permutaciones
Ya hemos estudiado anteriomente el concepto de r-permutación y el de permutación de
un conjunto A como selecciones sin repetición y teniendo en cuenta el orden. Ahora consideramos las permutaciones con repetición permitiendo que haya elementos repetidos.
Supongamos n objetos, de los cuales hay r1 de un primer tipo, r2 de un segundo tipo, y
ası́ hasta rt de un tipo t, con r1 + r2 + · · · + rt = n y donde dos objetos de un mismo tipo se
consideran indistinguibles. Denotamos el número de secuencias que se pueden formar con
esos n objetos, por
n
r1 , r2 , . . . , rt ,
10
y que como mostramos a continuación es igual a
n!
.
r1 !r2 ! · · · rt !
Una forma de demostrar que esta expresión es válida consiste en imaginar un casillero de
longitud n, en el cual colocamos en primer lugar los r1 objetos de tipo 1, a continuación
los objetos de tipo 2, y ası́ hasta que en el último paso colocamos todos los objetos de tipo
t en
las casillas restantes. El número de formas de colocar los objetosn−rde1 tipo 1 es igual a
n
. El número de formas de colocar los objetos de tipo 2 es igual a r2 , pues el número
r1
de casillas libres tras colocar aquellos de tipo 1 es n − r1 . Procediendo de esta forma y
aplicando el Principio del Producto obtenemos que
n
n
n − r1
n − r1 − r 2
n − r1 − · · · − rt−1
=
···
.
r1 , r2 , . . . , rt
r1
r2
r3
rt
Substituyendo las expresiones para cada número combinatorio y simplificando, resulta
n
n!
=
.
r1 , r2 , . . . , rt
r1 !r2 ! · · · rt !
Los números r1 ,r2n,...,rt se denomian coeficientes multinomiales. La justificación se
encuentra en la propiedad siguiente.
Teorema 25. (Teorema multinomial)
Sean x1 , . . . , xt elementos de un anillo tales que xi · xj = xj · xi para cualesquiera i, j ∈
{1, 2, . . . , t} y sea n ∈ N. Entonces
X
n
n
(x1 + · · · + xt ) =
· xr11 · xr22 · · · xrt t .
r1 , r2 , . . . , rt
0 ≤ r1 , r2 , . . . , rt ≤ n
r1 + r2 + · · · + rt = n
En la sumatoria anterior hay tantos sumandos como tuplas de números naturales (r1 , r2 , . . . , rt )
tales que r1 + r2 + · · · + rt = n.
Obsérvese que cuando t = 2, el Teorema Multinomial se reduce a la fórmula del binomio
de Newton, pues al ser r1 + r2 = n, resulta
n
n!
n!
n
=
=
.
=
r1 , r2
r1 !r2 !
r1 !(n − r1 )!
r1
Ejemplo 26. ¿De cuántas formas se pueden ordenar todas las letras que aparecen en la
palabra RELEER?
Respuesta:
6
6!
=
= 60.
3, 2, 1
3!2!1!
11
Ejemplo 27. ¿Cuál es el coeficiente del término x2 y 3 z 3 en el polinomio (x + y + z)8 ?
Por el Teorema Multinomial, dicho coeficiente es
8
8!
=
= 560.
2, 3, 3
2!3!3!
En último lugar estudiamos las permutaciones circulares. Dados n y r, con r ≤ n,
una permutación circular de orden r para n objetos es una disposición de r objetos en r
posiciones igualmente espaciadas sobre una circunferencia. Dos permutaciones circulares
son iguales si una se puede obtener a partir de la otra mediante una rotación conveniente
alrededor del centro de la circunferencia.
Proposición 28. El número de permutaciones circulares de orden r de n objetos es
n
· (r − 1)!
r
Justificamos brevemente esta proposición. Sobre el conjunto de las r! permutaciones de
los r elementos seleccionados definimos una relación de equivalencia, donde dos permutaciones son equivalentes si la segunda es obtenible a partir de la primera mediante una
determinada rotación. Ya que la clase de equivalencia de una permuatación dada consta
de r elementos (que son sus r rotaciones posibles), el conjunto cociente tiene r!r = (r − 1)!
elementos, que es precisamente el número de permutaciones circulares para los r elementos
selecionados. Por tanto el número buscado es
n r!
n
=
(r − 1)!
r r
r
Ejemplo 29. Se dispone de 20 bolitas de colores diferentes en cada una de las cuales se ha
taladrado un pequeño orificio. ¿Cuántos collares diferentes pueden resultar si empleamos
sólo 15 bolitas?
Respuesta:
20
· 14!
15
Ejemplo 30. ¿De cuántas formas pueden sentarse seis personas en torno a una mesa circular?
Respuesta: 5! = 120
¿Y si dos personas no desean sentarse en asientos contiguos?
Llamemos a dichas personas A y B. El número de formas en las que A Y B no se sientan
en asientos contiguos es igual a 120 menos el número de formas en las que siempre A y B
ocupan posiciones consecutivas. Ahora bien, ¿de cuántas formas se pueden sentar seis personas A,B,C,D,E y F en torno a una mesa circular de modo que A y B ocupen posiciones
consecutivas?
Este nuevo problema se resuelve suponiendo que A y B son una misma persona, digamos
G, y sentando a G,C,D,E y F entorno a una mesa circular, lo cual puede realizarse de
4! = 24 formas posibles. Para cada una de estas disposiciones, si reemplazamos G por A,B
12
o bien por B,A obtenemos una disposición en la que A y B ocupan posiciones contiguas;
por consiguiente el número de formas en las que A y B ocupan posiciones contiguas es igual
a 2 · 4! = 2 · 24 = 48. Finalmente obtenemos que el número de formas de sentar a las seis
personas de modo que A y B no ocupen posiciones adyacentes es igual a 120 − 48 = 72.
La resolución del problema anterior ilustra otra técnica tı́pica en Combinatoria. A veces,
a la hora de calcular el cardinal de un subconjunto A de un conjunto X, resulta más fácil
calcular el cardinal del conjunto complementario A.
Ejemplo 31. ¿Cuántos números naturales se escriben en base 10 con a lo sumo cinco
cifras siendo al menos una de ellas igual a 1?
Sea A el conjunto formado por dichos números y sea X el conjunto de todos los números
naturales que en base 10 se escriben con a lo sumo cinco cifras. Entonces A = X \ A
es el subconjunto de X formado por aquellos números en cuya representación no aparece
el dı́gito 1. Por el Principio del Producto es inmediato que |X| = 105 y |X \ A| = 95 .
Finalmente obtenemos |A| = |X| − |A| = 105 − 95 = 40951.