graficas de funciones - Instituto Tecnológico de Apizaco

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
PRIMER CONGRESO DE CIENCIAS BÁSICAS
LA ENSEÑANZA Y APLICACIÓN DE LAS CIENCIAS BÁSICAS
Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras
M. en C. JOSÉ LUIS HERNÁNDEZ GONZÁLEZ
Alumno (a): ________________________________________________
www.itapizaco.edu.mx/~joseluis
[email protected]
Apizaco Tlax., 25, 26 y 27 de octubre de 2006
”Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras”
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ÍNDICE
BOSQUEJO DE FUNCIONES............................................................................................................ 3
Introducción ..................................................................................................................................... 3
Función............................................................................................................................................. 3
Representación ................................................................................................................................. 3
Listas ................................................................................................................................................ 4
Operaciones.......................................................................................................................................... 5
Tipos de gráficos .................................................................................................................................. 5
Tipos de marcas................................................................................................................................ 6
Gráfica de nube de puntos, editor de ecuaciones ............................................................................. 7
Evaluación de funciones (home) ...................................................................................................... 9
La ecuación de la recta que une dos puntos. ........................................................................................ 9
Gráfica de una función, editor de ecuaciones ................................................................................ 10
Definición de la función que pasa por dos puntos ......................................................................... 11
Transformaciones de funciones.......................................................................................................... 18
Desplazamientos............................................................................................................................. 18
Estiramientos y compresiones verticales........................................................................................ 19
Estiramientos y compresiones horizontales ................................................................................... 19
Reflexiones..................................................................................................................................... 19
Dominio y recorrido ........................................................................................................................... 20
Otras funciones básicas ...................................................................................................................... 21
Funciones trigonométricas ................................................................................................................. 22
Combinación de funciones ................................................................................................................. 30
Bibliografía......................................................................................................................................... 33
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BOSQUEJO DE FUNCIONES
Introducción
Aunque en la actualidad es fácil graficar una función o un conjunto de puntos por medio de software
o una calculadora graficadora, es importante que los alumnos de nivel licenciatura puedan bosquejar
una función a mano basados en algunos puntos o una serie de transformaciones de la función básica.
Función
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento,
llamado f(x), de un conjunto B.
• y = f(x)
• f(a)
x•
a•
•
•
f
A
B
Una función es
{(x, y)| x ∈ A}
Representación
La representación de una función puede ser:
a)
b)
c)
d)
Verbal
Tabular
Gráfica
Analítica
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
9
4
1
0
1
4
9
Tabular
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y = x2
Gráfica
Análitica
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Generalmente, se acostumbra bosquejar una gráfica elaborando una tabla, para lo cual se da una
serie de valores para x, con la función f(x) se procede a calcular el valor de la y, de manera tal, que
y = f(x), aunque esto ya no es necesario con un programa de computo o una calculadora graficadora.
Ejemplo. Sea la función y = x2 + 1
Es decir f(x) = (x)2 +1
Si x = -3
f(-3) = (-3)2 +1= 10
f(-2) = (-2)2 +1= 5
f(-1) = (-1)2 +1= 2
f( 0) = ( 0)2 +1= 1
f( 1) = ( 1)2 +1= 2
f( 2) = ( 2)2 +1= 5
f( 3) = ( 3)2 +1= 10
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y
10
5
2
1
2
5
10
Ese conjunto de valores lo podemos manejar de manera más apropiada mediante una lista.
Listas
Una lista es un conjunto de valores separado por comas entre llaves.
{-3}
{-3,-2,-1,0,1,2,3}
{2,1}
{a,b,c,e,d}
Podemos almacenar una lista una variable mediante la tecla §
Ejemplo.
Los siguientes datos corresponden a la función y = x2+1
En home introduzca los datos en las
variables listax, listay.
{-3,-2,-1,0,1,2,3}§listax¸
{10,5,2,1,2,5,10}§listay¸
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También es posible efectuar operaciones con las listas, tal y como se hace en aritmética o álgebra.
Operaciones
Suma
+
Listax+Listay
Resta
–
Listax-Listay
Multiplicación *
Listax*Listay
División
Listax/Listay
/
Raíz cuadrada √
√( Listax)
Valor absoluto | |
abs(Listax)
Se pueden hacer las siguientes gráficas en la calculadora:
Tipos de gráficos
Nube de
puntos
Líneas y
puntos
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Tipos de marcas
Caja
Cruz
Signo Más
Cuadro
Punto
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Gráfica de nube de puntos, editor de ecuaciones
Presione ¹#, mueva el cursor
hasta Plot 1: y presione ¸
Seleccione Plot Type …Scatter
Mark………..Box
Y escriba en x, y
x…………….listax
y…………….listay
Se muestra el tipo de gráfico y el
valor de las listas a graficar
Del menú seleccione F2:Zoom,
9:ZoomData y presione ¸
La gráfica será ajustada al conjunto
de valores de las listas.
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La función más sencilla corresponde a una constante.
Dibuje la función de una constante y elabore una tabla xy
x
y
x
y
x
y
y = ____
Otra función sencilla corresponde a:
y=x
Elabore la gráfica de:
y = x2
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Evaluación de funciones (home)
A estas funciones les denominaremos funciones básicas, y también las podemos almacenar en
alguna variable para poder evaluarlas tal y como se hace a mano.
Sea la función f(x) = x2, almacenarla en la variable f(x)
x^2§f(x)
Si se quiere evaluar cuando x = 2,
entonces debemos escribir
f(2) ¸
Si x = c
f(c) ¸
Si x = c + 1
f(c+1) ¸
Si el valor de x es una lista entonces
f(listax) ¸
Actividad: Definir algunas funciones y evaluarlas.
Se pueden definir funciones más complicadas tales como f(x1, x2, … xn), donde x1, x2, …, xn se
denominan parámetros.
Ejemplo.
Defina como una función llamada fuerza con la fórmula F = ma y evalúe cuando m = 3 y a = 2
m*a§fuerza(m,a)¸
fuerza(3,2)¸
La ecuación de la recta que une dos puntos.
y
B
• (x2, y2)
A
•
(x1, y1)
m = tan( θ )
x
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (1, 1)
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Gráfica de una función, editor de ecuaciones
Antes que nada, es necesario ajustar
la ventana donde se visualizarán las
gráficas, presionado ¹$
En el editor de ecuaciones, grafique
la función y = x.
Presione ¹#
Mueva el cursor hasta y1 =
Presione ¸ y escriba x
Presione ¹%
Ajuste la ventana de forma que x y
y sean del mismo tamaño
presionando F2 Zoom,
5:Zoomsqr
El resultado es:
Actividad: Graficar algunas funciones.
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Puede hacer una gráfica de puntos escribiendo en home la función newplot n,tipo,listax,listay
Donde
Corresponde al número de gráfico
(del 1 al 10)
tipo Es un número de 1 al 4
listax Es la lista con los valores de x
listay Es la lista con los valores de y
n
tipo:
1 = Nube de puntos
2 = Gráfica de líneas xy
3 = Gráfica de cajas (estadística)
4 = Histograma (estadística)
Primero defina el conjunto de puntos
a graficar y almacénelos en listax,
listay.
{0,1}§listax¸
{0,1}§listay¸
Newplot 1,1,listax,listay¸
Después presione ¹%
Nota: Recuerde que si el punto A(0, 0) equivale a A(x1, y1) y B(1, 1) es B(x2, y2), las listas para
almacenar los valores de x corresponde a {x1,x2}§listax y para {y1,y2}§listay, esto es
{0,1}§listax y {0,1}§listay
Definición de la función que pasa por dos puntos
¿Se podrá definir una función que encuentre la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y que
los puntos (x1, y1) y (x2, y2) sean los parámetros?
______________________________
Defina
la
función
como:
e2puntos(px1,py1,px2,py2)
y use la función de la calculadora
drawfunc, para mostrarla.
Pruébela con (2,2), (4,8) para obtener y = __________
Lo que indica que la ecuación de la recta la podemos escribir como: ________________
y
Donde:
b = pendiente
a = El valor donde la ecuación corta
con el eje y.
b = La pendiente de la recta.
a
x
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Si pudo definir su función, úsela para resolver los siguientes problemas. Si no, hágalos a mano.
(1, 1), (2,2)
y = __________
(0, 1), (1,2)
y = __________
(0, 2), (1,3)
y = __________
(0,-1),(1,0)
y = __________
(0,-2)(2,0)
y = __________
Significa que si deseo _____________ la gráfica
______________una _______________, es decir __________
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hacia
_______________,
debo
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Observe que sucede si trabajamos con la misma modificación en f(x) = x2, grafique las funciones:
y = x2 + 1
y = x2 + 2
y = x2 – 1
y = x2 – 2
Entonces, si deseamos _______________ la gráfica
______________una _______________, es decir _________
hacia
_______________,
debo
¿Qué otro movimiento podré hacer? __________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
¿Cómo deberé modificar la función original? ___________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
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Trabajemos nuevamente con f(x) = x2, a partir de la gráfica, construya la tabla de valores y observe
que sucede.
f(x ) = (
f(x ) = (
f(x ) = (
)2 = ______
)2 = ______
)2 = ______
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
Nota: Tome el cero como punto de referencia, además del primer punto a evaluar.
Entonces, si deseamos _______________ la gráfica
______________una _______________, es decir _________
hacia
_______________,
debo
Y si deseamos _______________ la gráfica hacia _______________, debo ______________una
_______________, es decir _________
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Encuentre las ecuaciones de las siguientes rectas y observe qué sucede con ellas graficando las
función correspondiente, con respecto a función base y = x. (describa lo que sucede)
(0,0), (1,2)
y = __________
(0,0), (1,3)
y = __________
(0,0), (2,1)
y = __________
(0,0), (3,1)
y = __________
¿Qué se puede concluir?
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Observe que sucede si trabajamos con la misma modificación para la función base f(x) = x2,
grafique las funciones y describa que sucede.
y = 2x2
y = 3x2
y=
1 2
x
2
y=
1 2
x
3
¿Qué se puede concluir?
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Encuentre la ecuación de las siguientes rectas y observe qué sucede con ellas graficando las
funciones correspondientes, con respecto a la función base y = x, y descríbalo.
(-1,1), (0,0)
y = __________
(-1,2), (0,0)
y = __________
(-1,3), (0,0)
y = __________
(-3,1), (0,0)
y = __________
Haga lo mismo para y = -x2
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Transformaciones de funciones
Las transformaciones que sufre una función básica son las siguientes:
Desplazamientos
Estiramiento
Reflexiones
A partir de las funciones básicas, podemos obtener otras gráficas de funciones relacionadas,
permitiéndonos trazar gráficas de numerosas funciones rápido (sin necesidad de utilizar la
calculadora).
Desplazamientos
Los desplazamientos pueden ser sobre el eje x o sobre el eje y.
Translación hacia arriba
f(x) + c
f(x)
f(x + c)
f(x – c)
Translación a la Izquierda
f(x) – c
Translación a la derecha
Translación hacia abajo
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Si c es un número positivo, entonces tenemos los siguientes desplazamientos
y = f (x) + c, se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia
y = f (x) – c, se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia
y = f (x – c), se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia
y = f (x + c), se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia
arriba
abajo
derecha
izquierda
Estiramientos y compresiones verticales
f(x)
cf(x)
1
f(x)
c
Estiramiento vertical
Compresión vertical
y = cf(x), estírese la gráfica de y = f(x) verticalmente en su factor de c
1
y = f(x), comprímase la gráfica de y = f (x) verticalmente en su factor de c
c
Estiramientos y compresiones horizontales
f(x)
f(cx)
⎛1 ⎞
f⎜ x⎟
⎝c ⎠
Compresión horizontal
Estiramiento horizontal
y = f(cx), comprímase la gráfica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c
1
y = f( x), estírese la gráfica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c
c
Reflexiones
f(x)
-f(x)
Reflexión en x
f(-x)
Reflexión en y
y = –f (x), refléjese la gráfica de y = f (x) respecto al eje x
y = f(-x), refléjese la gráfica de y = f (x) respecto al eje y
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Dominio y recorrido
El dominio de f es el conjunto A, y su recorrido o imagen es f(x)
y
y = f(x)
•
Recorrido
•
x
Dominio
En realidad, una función nueva parte de la función básica y = x, es decir, si consideramos por
ejemplo a y = x2, es una modificación de la básica x, es decir si realizamos la tabla de valores para
algunos puntos podemos ver que:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x) = x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x) = x2
(-3)2 = 9
(-2)2 = 4
(-1)2 = 1
(0)2 = 0
(1)2 = 1
(2)2 = 4
(3)2 = 9
Observe cómo los valores que toma el recorrido nunca serán negativos, es decir, se puede observar
cómo la parte de las x, en la función f (x) = x devuelve valores positivos; imagine si es posible
proyectar la información de la variable x a la nueva función x2.
NOTA: A partir de este momento, ya no usar la calculadora
para hacer la gráfica de las funciones, sólo para evaluar
algunos puntos.
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Otras funciones básicas
Otras funciones que podemos considerar básicas son las siguientes:
1
y = |x|
y = x2 = x
Dominio
Dominio
Recorrido
Recorrido
y=
1
x
y = ex
Dominio
Dominio
Recorrido
Recorrido
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y = ln(x)
Evalúa algunos puntos cercanos a cero,
tanto positivos como negativos, describe
que observas.
Dominio
Recorrido
Funciones trigonométricas
Considérese un círculo de radio r = 1 y ángulo θ, por trigonometría sabemos que:
senθ =
y
x
; cos θ =
1
1
entonces
x = cosθ
y = senθ
θ y
x x
Si medimos el ángulo θ en radianes tenemos
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y = sen(x)
y = cos(x)
Dominio
Dominio
Recorrido
Recorrido
Cómo se comportan las funciones de la forma
y = f(x) + c
donde f(x) es una de las funciones anteriores y c es una constante
Propón una función y una constante y realiza lo que describiste.
y = __________
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y = __________
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Cómo se comportan las funciones de la forma
y = f(x-b)
donde f(x) es una de las funciones anteriores y b es una constante.
y = __________
y = __________
¿Qué efecto produce en cualquiera de las funciones anteriores el multiplicarlas por un número a?
esto es, cuál es el comportamiento de funciones de la forma:
y = a f(x)
donde f(x) es una de las funciones anteriores y a es una constante, en cualquiera de los siguientes
casos:
i) a > 1
ii) 0 < a < 1
iii) a < 0
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y = ___________
y = ___________
a>1
0<a<1
y = ___________
a<0
En general, cómo se comportan las funciones de la forma
y = af(x-b) + c
donde f(x) es una de las funciones anteriores y a, b y c son constantes.
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y = ____________
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y =____________
En cada una de las siguientes funciones determinen cuál es la función básica y describan el efecto
que le producen cada uno de los parámetros. Luego bosquejen las gráfica correspondiente.
y=x–3
y=
2
x −3
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y =1−
y=
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2
x −3
1
( x + 3) 2 − 1
2
y = 4 − 2 ln(x + 3)
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Bosqueje las funciones, si cree que es necesario evalúe algunos puntos.
y= − x
y=
y= − 2
− x
1 − x
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y=
x−2
y = 1− x
y= 4 − 2
1 − x
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Sabiendo que la gráfica de la figura corresponde a la función y = f(x),
bosqueje la gráfica de cada una de las siguientes funciones: (use algunos puntos para hacerlo)
y = f(x) – 5
y = f(x – 2)
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y=
1
f(x)
2
y = 10 – f(x)
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y = f(x)
y = 5 − f ( x + 3)
Combinación de funciones
Estos primeros problemas deben haberle permitido precisar el efecto que sobre una función
cualesquiera y = f(x), tienen los parámetros a, b y c (constantes) que aparecen en funciones de la
forma
y = af(x – b) + c
Tales efectos, pueden explicarse fácilmente teniendo claro que en la expresión y = f(x), f(x)
representa los valores de la variable y, que se obtienen a partir de los valores de la variable x al
efectuar sobre ellos las operaciones representadas por la regla f; ya que, en ese caso, en una
expresión de la forma
y = f(x) + c
f(x) + c representa los valores de la y de la nueva función y, por tanto, es evidente que éstos se
obtienen, en cada caso, al sumarle c unidades a los valores de la y de la función inicial. Una
consecuencia inmediata de esto, es el hecho de que para cualquier valor dado de la x, los valores
correspondientes de las y de las dos funciones, y = f(x) y y = f(x) + c, difieren en el valor
constante, c. Geométricamente, esto hace que la gráfica de y= f(x)+c sea igual a la gráfica de y =
f(x), sólo que está c unidades más arriba o más abajo según que c sea un número positivo o
negativo.
De igual forma, en funciones de la forma y = af(x), los valores de la y se obtienen multiplicando por
a los valores de la y de la función y = f(x), de tal manera que, si a>1, los valores de la y, de la
función y = af(x) tendrán un valor absoluto mayor que los correspondientes valores de la y de la
función y = f(x), excepto cuando y = 0, en cuyo caso serán iguales. En el caso de que a sea una
fracción entre cero y uno, es decir, en el caso de que 0 < a < 1, resultará que los valores de la y, de
la función y = af(x) tendrán un valor absoluto menor que los correspondientes valores de la y de la
función y = f(x), excepto, como en el caso anterior, cuando y = 0.
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Gráficamente, lo anterior se refleja en el hecho de que las gráficas de y=f(x) y y=af(x), coinciden
cuando y = 0 y cuando y ≠ 0 se separan más o menos dependiendo del valor de y de la función
y=f(x) y del valor de a (mientras mayores son los valores absolutos de y, la separación de las
gráficas es mayor; lo mismo sucede para los valores de a, cuando son mayores que uno y lo
contrario cuando son menores que uno).
Por último, si a < 0, af(x) y f(x) tendrán signos diferentes, esto es, cuando f(x) > 0, af(x) < 0 y
viceversa.
Consideremos ahora el caso en el que a y/o c fueran también variables dependientes de x; esto es
consideremos a = A(x) y c = C(x) de tal manera que tendremos ahora funciones de la forma
i) y = f(x) + C(x)
ii) y = A(x)f(x)
o la combinación de ambos, que dan lugar a funciones de la forma
y = A(x)f(x) + C(x)
(desde luego que los casos anteriores son ahora casos particulares de esta nueva forma y
corresponden, precisamente, a los casos en los cuales A(x) y C(x) son funciones constantes).
Entonces, se pueden combinar dos funciones f y g para formar nuevas funciones f+g, f-g, fg, f/g de
manera semejante a las operaciones básicas con los números reales.
Si definimos la suma f + g por la ecuación
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
Entonces, el segundo miembro de la ecuación tiene sentido si tanto f(x) como g(x) están definidas;
es decir, si x pertenece al dominio de f y también al de g. Si el dominio de f es A y el de g es B,
entonces el dominio de f+g es la intersección de ambos, es decir A B.
Sean f y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones se definen como
sigue:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
dominio = A ∩ B
(f – g)(x) = f(x) – g (x)
dominio = A ∩ B
(fg)(x) = f(x)g(x)
dominio = A ∩ B
⎛f ⎞
f (x )
⎜⎜ ⎟⎟( x ) =
dominio = {x ∈A ∩ B | g(x) ≠ 0}
g( x )
⎝g⎠
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Ciencias Básicas
Si f ( x ) = x y g ( x ) = 4 − x 2 , la suma de f(x) y g(x) es
Dominio A = {x | x ≥ 0}
Dominio B = {x | -2 ≤ x ≤ 2}
El nuevo dominio es A ∩ B = { x | 0 ≤ x ≤ 2}
Seleccione algunos puntos para bosquejar la función resultante, por ejemplo los extremos del nuevo
dominio, así como algún o algunos puntos interiores de ese dominio.
Como la operación que se realiza es la suma,
Para el primer extremo se tienen que:
0 + 2 = 2,
para el siguiente punto x = 1,
entonces y2 = 4 – 1, y = 3
3 + 1 =2.73
Para el otro extremo
2 +0=
2
”Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras”
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Ciencias Básicas
Bosqueje las funciones resultantes de:
f(x) * g(x)
f(x) – g(x)
f (x)
g( x )
Bibliografía
Curso de Cálculo, MEEC2, Ciidet, mayo 2005
Cálculo de una variable, James Stewart, Edit. Thomson. 2001
Manual de la calculadora Voyage 200, Texas Instruments. 2006
Las gráficas fueron generadas en Winplot,
Parris Richard, Peanut software, tomado de http://math.exeter.edu/rparris octubre de 2006.
”Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras”
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