Generalización del orden de eliminación en k[x1,...,xn]

Generalización del orden de eliminación en k[x1 , . . . , xn ]
Vı́ctor Marı́n1
2
Departamento de Matemáticas y Estadı́stica, Universidad del Tolima,
Ibagué, Colombia.
Resumen
Para el cálculo de las bases de Gröbner se necesita establecer un orden en las
variables y un orden en los monomios. Algunos órdenes de términos: lex, deglex,
degrevlex ; se utlizan para calcular dicha base. Otro orden que se presenta es el
orden de eliminación de variables. Dicho método permite determinar, además de
calcular la base de Gröbner, la intersección de dos ideales. Se generaliza el método
de eleminación de variables y se presenta un resultado que permite calcular la
intersección de más de dos ideales.
Palabras y frases clave: Bases de Gröbner, eliminación de variables, ideales,
monomios, orden de términos.
Abstract For the calculation of the Gröbner bases is needed to establish an order
in the variables and order in the monomials. Some orders of terms: lex, deglex,
degrevlex ; are using it for calculating the base. Another order that arises is the
elimination order. This method enables also to compute the Gröbner basis, the
intersection of two ideals. We generalize elemination order and a result is presented
for calculating the intersection of more than two ideals.
Key words and phrases: Gröbner bases, elimination order, ideals, monomials, term
orders.
1.
Introducción
El orden de eliminación permite encontrar una base de Gröbner para un ideal
I del anillo de polinomios k[x1 , . . . , xn ]. Dicho orden resulta un orden de términos.
Además, éste permite encontrar generadores para la intersección de dos ideales.
Consideramos {x1 , . . . , xn } y {y1 , . . . , ym } conjuntos de variables y, X y Y productos de potencias con órdenes <X y <Y respectivamente.
Definición 1.1. Para X1 , X2 producto de potencias en las variables x y Y1 , Y2
producto de potencias en las variables y, se define


X1 <X X2
X1 Y1 < X2 Y2 ⇐⇒ ó


X1 = X2 y Y1 <Y Y2 .
Este orden de términos se denomina un orden de eliminación con las variables x
más grandes que las variables y.
Proposición 1.1. El orden de eliminación es un orden de términos.
Proposición 1.2. Sea I un ideal no cero de k[y1 , . . . , ym , x1 . . . , xn ] y sea ¡un
orden de eliminación con las variables x más grandes que las variables y. Sea
G = {g1 , . . . , gt } una base de Gröbner para I. Entonces, G ∩ k[y1 , . . . , ym ] es una
base de Gröbner para el ideal I ∩ k[y1 , . . . , ym ].
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Proposición 1.3. Sean I,J ideales en k[x1 , . . . , xn ] y w una nueva variable. Considere el ideal ⟨wI, (1 − w)J⟩ en k[x1 , . . . , xn , w]. Entonces,
I ∩ J = ⟨wI, (1 − w)J⟩ ∩ k[x1 , . . . , xn ].
1.1. Método para calcular generadores para I ∩ J.
(i) Calcular una base de Gröbner G para el ideal
⟨wI, (1 − w)J⟩ ⊆ k[x1 , . . . , xn , w],
usando un orden de eliminación con x1 , . . . , xn más pequeñas que w.
(ii) Se obtiene una base de Gröbner para I ∩ J calculando G ∩ k[x1 , . . . , xn ].
Ejemplo 1.1. Hallar generadores para I ∩ J, donde I = ⟨x, y⟩, J = ⟨x − 1, y⟩
ideales de Q[x, y].
(i) Calcular una base de Gröbner G para el ideal
⟨wx, wy, (1 − w)(x − 1), (1 − w)y⟩ ⊆ Q[x, y, w]
G = {y, w + x − 1, x2 − x}.
(ii)
I ∩ J = ⟨x, y⟩ ∩ ⟨x − 1, y⟩
= G ∩ Q[x, y]
= ⟨y, w + x − 1, x2 − x⟩ ∩ Q[x, y]
= ⟨y, x2 − x⟩.
2.
Resultados
Definición 2.1 (Definición generalizada del orden de eliminación). Sean S y T
subconjuntos de {x1 , . . . , xn } tales que S ∪ T = {x1 , . . . , xn }. Para
∏ un αproducto
α1
αn
i
(resp.
de potencias
X
=
x
·
·
·
x
∈
k[x
1 , . . . , xn ] se define XS =
n
1
xi ∈S xi
∏
αi
XT = xi ∈T xi ). Sean <S y <T órdenes de términos sobre las variables en S y
T respectivamente. Se define el orden <. Para producto de Potencias X y Y en
k[x1 , . . . , xn ],


XS <S YS
X < Y ⇐⇒ ó


XS = YS y XT <T YT .
Proposición 2.1. El orden < definido arriba es un orden de términos.
Proposición 2.2. Sean I1 , I2 , . . . , Im ideales de k[x1 , . . . , xn ]. Para cada i = 1, . . . , m
considere una nueva variable wi . Si J = ⟨1−(w1 +w2 +· · ·+wm ), w1 I1 , . . . , wm Im ⟩ ⊆
k[x1 , . . . , xn , w1 , . . . , wm ]. Entonces,
I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ Im = J ∩ k[x1 , . . . , xn ].
2.1. Método para calcular generadores para I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ Im .
(i) Calcular una base de Gröbner G para el ideal
J = ⟨1 − (w1 + w2 + · · · + wm ), w1 I1 , . . . , wm Im ⟩ ⊆ k[x1 , . . . , xn , w1 , . . . , wm ]
usando un orden de eliminación con x1 , . . . , xn más pequeñas que w1 , . . . , wm .
(ii) Se obtiene una base de Gröbner para I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ Im calculando G ∩
k[x1 , . . . , xn ].
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3.
conclusiones
(i) La generalización del orden de eliminación es un orden de términos.
(ii) El orden de eliminación generalizado permite encontrar generadores para la
intersección de más de dos ideales.
Bibliografı́a
[1] Williiam W. Adams and Philippe Loustaunau, An Introduction to Gröbner Bases,
American Mathematical Society, 1994.
[2] B. Buchberger, A note on the complexity of constructing Gróbner bases, Lectures
Notes in Comput. Sci. vol. 162. Springer Verlag, New York, 1983, 137-145.
[3] D. Cox, J. Little, and D. O´Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction
to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer Verlag,
New York, 1992.
[4] T. W. Hungerford, Algebra, Springer Verlag, New York, 1974.