Funciones constantes, lineales y afines1.

Funciones constantes, lineales y afines1.
1.- Rectas horizontales y verticales.
Ej.1.- A continuación tienes la
gráfica de la recta y = 0.
¿Qué puntos de corte tiene con los
ejes?
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¿Qué posición tiene respecto a los ejes?
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Ej. 2.- Cambia el valor de k y observa
cómo cambia la gráfica de la recta
correspondiente. Dibuja las rectas que
obtienes para 4 valores de k diferentes,
anota sus ecuaciones, sus puntos de corte
con los ejes y cuál es su posición respecto
a ellos.
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Documento basado en la unidad didáctica “Funciones constantes, lineales y afines” de Mª Carmen Moreno Hornero y
que puede verse en http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/funciones_primer_grado_mcmh/inicio.htm
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La ecuación de una recta horizontal es y = k, siendo k la ordenada del punto en el que la
recta corta al eje Y. Representa a una función constante porque para cualquier valor de la
variable independiente x, la variable dependiente y es siempre la misma.
En particular, la ecuación del eje de abscisas X es y = 0.
Ej.3.- A continuación tienes la gráfica
de la recta x = 0.
¿Qué puntos de corte tiene con los
ejes?
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¿Qué posición tiene respecto a los ejes? Para el valor de x=0, ¿cuántos valores diferentes toma y?
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Ej. 4.- Cambia el valor de k y observa cómo
cambia la gráfica de la recta
correspondiente. Dibuja las rectas que
obtienes para 4 valores de k diferentes,
anota sus ecuaciones, sus puntos de corte con
los ejes y cuál es su posición respecto a ellos.
En cada una de ellas, para el valor de x=k,
¿cuántos valores diferentes toma y?
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La ecuación de una recta vertical es x = k, siendo k la abscisa del punto en el que la recta
corta al eje X. No es una función, porque para el valor x = k existen infinitos valores de y.
En particular, la ecuación del eje de ordenadas Y es x = 0.
2.- Función lineal o de proporcionalidad directa.
Una función es lineal o de proporcionalidad directa si al multiplicar la variable
independiente x por un número, la variable dependiente y queda multiplicada por dicho
número.
Su ecuación es y = mx, siendo m cualquier número distinto de 0 ( m#0 ).
m es la constante de proporcionalidad directa.
Ej. 5.- Varía el valor de m y
observa las correspondientes
representaciones gráficas.
¿Qué forma tienen?
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¿Por qué punto pasa siempre la
representación gráfica de una
función lineal? _____________________________________________________________
Ej. 6.- Asigna a m 5 valores diferentes y comprueba, moviendo el punto P, que siempre se cumple
que la ordenada y es igual a la abcisa x por la pendiente m ( y = m·x ).
Por ejemplo : y=__x pasa por A( , ), B( , ), D( , ), D( , )
La representación gráfica de una función lineal es una recta que pasa por el origen de
coordenadas O(0,0).
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Ej. 7.- Asigna a m al menos 10 valores diferentes, la mitad positivos y la mitad negativos y fíjate en
la inclinación respecto al eje X
de las rectas correspondientes
¿Para qué valores las rectas
están más inclinadas?
__________________
¿Y menos?
__________________
¿Para qué valores las rectas son
crecientes?
__________________ ¿Y decrecientes? _________________________________________
La pendiente de la recta es la inclinación que tiene respecto al eje X (las unidades que sube
o baja la ordenada y por unidad de x). En las funciones lineales coincide con el valor de m.
Si la pendiente es positiva ( m>0 ) la recta es creciente; si la pendiente es negativa ( m<0 ),
es decreciente.
Ej. 8.- Fíjate en los puntos P y Q. Su abcisa se diferencia en 1 unidad. Trasládalos a lo largo de la
recta, moviendo el punto P. ¿Cuál es la diferencia entre sus ordenadas?
P1( ,
)
Q1(
,
)
P2( ,
)
Q2(
,
)
P3( ,
)
Q3(
,
)
P4( ,
)
Q4(
,
)
P5( ,
)
Q5(
,
)
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Ej. 9.- Asigna 5 valores diferentes a m y fíjate en los puntos P y Q. Su abcisa se diferencia en 1
unidad. Trasládalos a lo largo de la recta, moviendo el punto P.
¿Cuál es la diferencia entre sus ordenadas?
m=
P( ,
)
Q(
,
)
m=
P( ,
)
Q(
,
)
m=
P( ,
)
Q(
,
)
m=
P( ,
)
Q(
,
)
m=
P( ,
)
Q(
,
)
¿Qué conclusión puedes sacar?
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Cuando la abcisa x avanza 1 unidad, la ordenada y avanza m unidades (si m>0, las sube; si
m<0, las baja). Puedes usar este resultado para dibujar de forma rápida funciones lineales.
Ej. 10.- Representa ràpidament
les següents funcion lineals
y=x
y=2x
y=3x
y=4x
y=-3x
y=-x
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Ej. 11.- Escribe la ecuación de la función lineal. Despeja m de ella.
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Si una función lineal viene dada por una tabla o una gráfica, para hallar su ecuación (y = mx)
se tiene en cuenta que m es el cociente de cualquier valor de y dividido entre el valor de x
correspondiente, siempre que x#0.
Ej. 12.- Halla la ecuación de las 5 funciones lineales de la siguiente gràfica
3.- Función afín.
Una función es afín si su ecuación es del tipo y = mx + n , siendo m y n números reales
distintos de 0 ( m#0, n#0 ).
Ej. 13.- Para un valor fijo de m, varía el valor de n y observa las correspondientes representaciones
gráficas.
¿Qué forma tienen?
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¿Cuál es la posición de dichas
rectas entre sí?
________________
¿Qué punto de corte con los
ejes tiene cada una de ellas?
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La representación gráfica de una función afín es una recta que tiene de pendiente m y
corta al eje Y en el punto P(0,n). A n se le llama ordenada en el origen.
Recuerda que la pendiente de una recta es la inclinación respecto al eje X. Por lo tanto, la
representación gráfica de funciones afines que tienen la misma pendiente son rectas
paralelas.
Ej. 14.- Para un valor fijo
de n, varía el valor de m
y observa las
correspondientes
representaciones
gráficas.
¿Qué forma tienen?
________________
¿Cuál es la posición de
dichas rectas entre sí?
________________
¿Qué punto de corte con los ejes tiene cada una de ellas?
Recuerda que la pendiente de una recta es la inclinación respecto al eje X. Por lo tanto, la
representación gráfica de funciones afines que tienen la diferentes pendientes y la misma
ordenada en el origen es un haz
de rectas que pasa por (0,n).
Ej. 14.- ¿Recuerdas cómo
representábamos funciones
lineales sin necesidad de hacer una
tabla de valores? Adapta el
método para poder dibujar
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funciones afines y dibuja las siguientes funciones:
y = 2x + 3.
y=-3x+1
y=2x-5
Corta al eje Y en el punto P(0,n).
Cuando la abcisa x avanza 1 unidad, la ordenada y avanza m unidades (si m>0, las sube; si
m<0, las baja). Luego tambien pasa por Q(1,m+n)
Si una función afín viene dada por una tabla o una gráfica, para hallar su ecuación ( y = m·x
+ n ) se tiene en cuenta que n es la ordenada del punto de corte con el eje Y y que, elegidos
dos puntos cualesquiera de la recta, m es el cociente de la diferencia entre sus ordenadas
dividida entre la diferencia de sus abscisas.
Para hallar la ecuación de la recta que pasa por A(x1,y1),B(x2,y2)
m=
y2 − y1
x2 − x1
y n se halla a partir de y1=mx1+n
Ej. 15.- Halla la ecuación de la recta que pasa por A(1,6) y B(2,9)
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