Radiación y radiocomunicación

PARAMETROS DE UNA ANTENA TIPO
DIPOLO DE LONGITUD FINITA
Resumen
Definición del problema
El problema al que se le desea dar solución en el siguiente articulo científico consiste en realizar los cálculos
de los parámetros de las antenas tipo dipolo de longitud finita, como es el caso de las graficas del campo
radiado normalizado, la densidad de potencia radiada, intensidad de potencia radiada, potencia radiada,
directividad máxima, área efectiva y resistencia de radiación, para esto se va a demostrar y sustentar
conceptualmente todos los pasos que llevan a las expresiones analíticas utilizadas para los cálculos de los
mismos.
Metodología usada para la solución del problema
La metodología que vamos emplear para la solución de dicho problema es la creación de un programa
realizado en matlab el cual nos realice los cálculos de los parámetros de las antenas tipo dipolo de longitud
finita y nos muestre las graficas del campo de radiación normalizado para lo cual se debe ubicar el dipolo en
cualquier punto del plano XY [es decir para los z = 0], con dirección paralela al eje X. Para esto se debe
primero de obtener analíticamente las ecuaciones correspondientes a los distintos parámetros.
Resultados obtenidos
Al obtener analíticamente las formulas necesarias, pudimos elaborar el programa requerido en este articulo
científico para calcular los distintos parámetros de una antena tipo dipolo de longitud finita, pudiendo obtener
así las graficas requeridas para analizar el campo radiado por el dipolo.
Conclusiones
Los valores hallados con el programa de matlab que hicimos para los distintos parámetros de antenas
requeridos de análisis en este articulo, no son muy distinto de lo esperado, pero las graficas tienen unas
pequeñas modificaciones respecto a las estudiadas en las distintas bibliografías mencionadas al final del
articulo.
Introducción
Definición del problema
El problema al que se le desea dar solución en el siguiente articulo científico consiste en realizar los cálculos
de los parámetros de las antenas tipo dipolo de longitud finita, como es el caso de las graficas del campo
radiado normalizado, la densidad de potencia radiada, intensidad de potencia radiada, potencia radiada,
directividad máxima, área efectiva y resistencia de radiación, para esto se va a demostrar y sustentar
conceptualmente todos los pasos que llevan a las expresiones analíticas utilizadas para los cálculos de los
mismos.
Enlaces con conocimientos previos
Campo de radiación de una antena
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El campo eléctrico, magnético o la densidad de potencia radiada son magnitudes vectoriales que se pueden
representar con el módulo o la fase de sus componentes.
Las formas de representación pueden ser tridimensionales o bidimensionales, en escalas lineal o logarítmica.
Dada la dificultad de representar gráficamente el diagrama tridimensional se opta por representar cortes del
diagrama en coordenadas polares o cartesianas. Los cortes corresponden a la intersección del diagrama 3D
con planos.
Para hallar el campo de radiación de una antena consideremos primero las características de radiación de un
alambre conductor muy corto (comparado con la longitud de onda de operación) y fino, de longitud , por el
que circula una corriente con una dependencia armónica con el tiempo:
Para determinar el campo electromagnético de un dipolo elemental se siguen los siguientes tres pasos:
1. Determinar el potencial Magnético A de una distribución de corriente J
siendo J una distribución de corriente conocida o supuesta en la antena.
2. Encontrar el campo magnético H a partir de A
3. Encontrar el campo eléctrico a partir de H
Donde
Donde
Este potencial magnético A se debe pasar a coordenadas esféricas:
Después de hallado el potencial magnético podemos hallar el campo magnético:
Después de hallado el campo magnético podemos hallar el campo eléctrico:
Estas ecuaciones de campo magnético y campo eléctrico corresponden a un dipolo de longitud finita. Estas
expresiones son bastante complicadas, sin embargo en los problemas de antenas lo que mas nos interesa son
los campos a distancias muy lejanas de la antena, es decir, regiones donde R >> o . En estas circunstancias (en
las zonas lejanas) podemos despreciar los términos y ya que tienden a cero, así que podemos escribir el campo
lejano, o campo de radiación del dipolo elemental como:
2
También se pueden despreciar las otras componentes del campo.
Pero cuando se trata de analizar los parámetros de un dipolo lineal de longitud finita se siguen los mismos
pasos que para el dipolo elemental. Si se conoce la distribución de corriente por la antena, podemos hallar su
campo de radiación debido a un dipolo elemental sobre toda la longitud de la antena. La determinación de la
distribución de la corriente en esta configuración geométrica que parece tan sencilla es sin embargo, es un
problema muy difícil de valor en la frontera. Para nuestros fines asumiremos una distribución de corriente con
una variación espacial senoidal en un dipolo recto y muy delgado. Esta distribución de corriente que
constituye una especie de onda estacionaria en el dipolo como puede verse en la siguiente figura:
Como el dipolo se alimenta en el centro, las corrientes en las dos mitades son simétricas y se anulan en los
extremos. Escribimos el factor de corriente como:
Solo nos interesan los campos lejanos. La contribución al campo lejano del elemento de corriente diferencial
es, a partir de las ecuaciones del campo eléctrico y del campo magnético del dipolo elemental:
R' en la ecuación anterior es un poco distinto de R medida al origen de las coordenadas esféricas, que
coinciden con el centro dl dipolo. R>>h en la zona lejana
La diferencia en magnitud entre es insignificante, pero hay q conservar la relación aproximada de la ecuación
anterior en el termino de la fase. Por lo que en definitiva la ecuación del campo eléctrico de un dipolo lineal
de longitud finita va a ser:
El integrando en la ecuación anterior es el producto de una función par de z, y , donde es una función par de z.
Al integrar entre límites simétricos −h y h, sabemos que únicamente la parte del integrando que contiene el
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producto de dos funciones pares de z, , se genera un valor distinto de cero, entonces la ecuación del campo
eléctrico se reduce a:
El factor de configuración es la función de configuración en el plano E de una antena dipolar lineal. La forma
exacta del diagrama de radiación representado por en la ecuación anterior depende del valor de = y puede
variar bastante para distintas longitudes de antenas. No obstante, el diagrama de radiación siempre es
simétrico con respecto al plano .
Estas ultimas expresiones para campo eléctrico y campo magnético son validas solo cuando el vector corriente
se encuentra en dirección del eje z, pero el problema que se nos da a resolver en este laboratorio es cuando esa
distribución de corriente se encuentra en el eje x, es decir que tiene coordenadas [x,0,0]. Para darle solución
ha este problema solo debemos cambiar la expresión para el ángulo , ya que es la única magnitud que varia
cuando hacemos la traslación del vector corriente, puesto que este ángulo es el que se encuentra entre el
vector corriente y el vector radio, o sea que este ángulo se puede hallar con un producto punto. Cuando la
corriente se encuentra en el eje z:
y
Pero como la corriente se encuentra en el eje x la expresión para quedara como:
De aquí en adelante cuando utilicemos este ángulo en las formulas generales, para poder hacer los cálculos
respectivos, debemos reemplazar por el valor hallado en la ecuación anterior.
Vector poynting
Las ondas electromagnéticas transportan energía electromagnética. La energía se transporta por el espacio a
puntos receptores distantes a través de ondas electromagnéticas. Una relación entre la razón de transferencia
de tal energía y las intensidades de campos eléctricos y magnéticos asociados con la onda electromagnética
que se propaga se puede dar a relacionar donde la integral sobre el volumen que nos interesa viene dada por:
El primero y segundo términos del lado derecho de la ecuación anterior representan la razón de cambio
temporal de la energía almacenada en los campos eléctrico y magnético, respectivamente. El ultimo termino
es la potencia óhmica disipada en el volumen como resultado del flujo de la densidad de corriente de
conducción en presencia de un campo eléctrico E. Podemos entonces interpretar el lado derecho de la
ecuación anterior como la razón de reducción de las energías eléctrica y magnética almacenadas, menos la
potencia óhmica disipada en forma de calor en el volumen V. esto debe ser igual a la potencia que sale del
volumen a través de su superficie, para se consistentes con la ley de la conservación de la energía. Por
consiguiente, la cantidad es un vector de densidad de potencia asociado con el campo electromagnético que
representa el flujo de potencia por unidad de área.
()
Densidad de Potencia Radiada
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El vector poynting equivale a la densidad instantánea de potencia que suministra una antena. Esta densidad
instantánea de potencia se compone de una parte real (densidad promedio de potencia radiada) y una parte
imaginaria (densidad promedio de potencia reactiva). La densidad de potencia radiada es la que efectivamente
radia la antena, y corresponde al flujo de potencia que atraviesa una unidad de área esférica, mientras que la
reactiva corresponde a aquella que se disipa alrededor de la antena en forma de calor. Las unidades son watios
por metro cuadrado. Se puede calcular a partir de los valores eficaces de los campos como
La relación entre el módulo del campo eléctrico y el módulo del campo magnético es la impedancia
característica del medio
Por lo tanto, la densidad de potencia radiada también se puede calcular a partir de las dos componentes del
campo eléctrico.
Para el caso de los dipolos, en la zona lejana, los campos radiados solo tienen componentes en y y por lo tanto
la densidad de potencia radiada por los dipolos finitos estaría dada por:
Donde se considero para la última expresión que y al desarrollar obtenemos:
y reemplazando en la ecuación anterior el valor dado en la ecuación de campo eléctrico para zonas lejanas,
tenemos en definitiva que:
Intensidad de potencia radiada
Es la potencia radiada desde una antena por unidad de ángulo sólido en una determinada dirección. Mientras
que la densidad de potencia radiada equivale a la cantidad de potencia radiada que atraviesa una unidad de
área esférica, la intensidad de potencia radiada equivale a la cantidad de potencia radiada concentrada en el
cono de haz de radiación por unidad de ángulo sólido. Las unidades son watios por estereorradián. Dicho
parámetro es independiente de la distancia a la que se encuentre la antena emisora.
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La potencia total radiada se puede calcular integrando la intensidad de radiación en todas las direcciones del
espacio.
La intensidad de potencia radiada para el dipolo finito esta dada por la expresión
teniendo en cuenta que y haciendo el reemplazo en la ecuación anterior se puede graficar el patrón de
radiación del dipolo finito para las diferentes longitudes eléctricas
Potencia radiada
Se puede obtener como la integral de la densidad de potencia en una esfera que encierre a la antena.
A partir de la intensidad de potencia radiada también se puede calcular la potencia total radiada para una
antena:
Teniendo en cuenta que d
Pero para una antena isotrópica U entonces:
Por lo tanto
Ahora, cuando se reemplaza el valor de en la ecuación general de potencia radiada para el dipolo finito, dado
según la ecuación , en su valor de magnitud y desarrollando esta doble integral tenemos como resultado final
que la potencia de radiación para este dipolo se puede expresar de la siguiente manera:
donde C=0.772 que es la constante de Euler; Si: es el seno integral de Fresnel; Ci: coseno integral de Fresnel.
Por comodidad de expresión a todo lo indicado dentro de las llaves se le denomina Q de lo cual nos queda que
la potencia radiada de un dipolo finito es:
Directividad máxima
La directividad de una antena se define como la relación entre la densidad de potencia radiada en una
dirección, a una distancia, y la densidad de potencia que radiaría a la misma distancia una antena isotrópica, a
igualdad de potencia total radiada.
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Si no se especifica la dirección angular, se sobreentiende que la Directividad se refiere a la dirección de
máxima radiación
La directividad se puede obtener en general a partir del diagrama de radiación de la antena
Simplificando términos, resulta
Se define como el ángulo sólido equivalente.
Para antenas directivas, con un solo lóbulo principal y lóbulos secundarios de nivel despreciable, se puede
obtener una directividad aproximada considerando que se produce radiación uniforme en el ángulo sólido
definido a partir de los anchos de haz a −3dB en los dos planos principales del diagrama de radiación.
Según la IEE: Equivale a la relación entre la intensidad de radiación en una dirección dada desde la antena y
la intensidad promedia radiada en todas la direcciones expresado en formula queda así:
Como ya teníamos que
Entonces al reemplazar el valor en la directividad tenemos que
Y por ende la directividad máxima seria
Ahora partiendo de esta formula y aplicándola para un dipolo de longitud finita tenemos:
Para el dipolo de longitud finita la Potencia radiada es
Y conociendo que la intensidad de potencia radiada que es
Ahora para calcular la máxima intensidad de radiación para este caso hacemos;
Ahora reemplazamos en la formula y tenemos
Cancelando tenemos:
Área efectiva
El área efectiva de las antenas se define como la relación entre la potencia que entrega la antena a su carga y
la densidad de potencia de la onda incidente.
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Físicamente esta relación representa la fracción del frente de onda que la antena intercepta y drena a través de
este frente toda la potencia contenida hacia la carga.
Por otra parte podemos decir que el área efectiva para una antena isotrópica esta dad por:
donde:
: longitud de onda
: directividad de la antena
: debido a que las antenas radian en todas las direcciones
Teniendo presente que para toda antena el área efectiva máxima esta dada por y reemplazando en esta
expresión el valor de la directividad máxima indicada anteriormente obtenemos:
Resistencia de radiación
Es una resistencia ideal que agregada a circuito resonante equivalente a la antena, disipa la misma potencia
calórica que la antena radia realmente en el espacio. Esta alcanza un valor máximo cuando el conductor es
resonante. Se representa así (Rr)
Teniendo presente que para cualquier antena la potencia de radiación se puede relacionar como y comparando
esta expresión con la de potencia radiada se puede despejar la resistencia de radiación para un dipolo finito:
Las ondas que son reflejadas directamente hacia arriba por la tierra al pasar por ella, inducen corriente en la
antena y, de acuerdo con la altura de la misma, la relación de fase entre esta corriente inducida y la original
puede ser como para reforzar en unos casos y debilitar en otros la corriente total que circula por la antena. Por
lo tanto, la impedancia de la antena varía de acuerdo con la altura.
Metodología usada para la solución del problema
La metodología que vamos emplear para la solución de dicho problema es la creación de un programa
realizado en matlab el cual nos realice los cálculos de los parámetros de las antenas tipo dipolo de longitud
finita y nos muestre las graficas del campo de radiación normalizado para lo cual se debe ubicar el dipolo en
cualquier punto del plano XY [es decir para los z = 0], con dirección paralela al eje X. Para esto se debe
primero de obtener analíticamente las ecuaciones correspondientes a los distintos parámetros.
Materiales y metodología
Las ecuaciones finales resultantes son:
• Para campo eléctrico:
• Para campo magnético:
• Para densidad de potencia radiada:
• Para intensidad de potencia radiada:
• Para potencia radiada:
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• Para directividad máxima:
• Para área efectiva:
• Para resistencia de radiación:
Todas estas ecuaciones se han ingresado a un programa de matlab para su fácil obtención, ya que solo es
necesario saber el radio al cual se desea saber los diferentes parámetros, la longitud del dipolo y la longitud de
onda. También con el mismo programa hemos podido sacar varias graficas relacionadas con el campo de
radiación del dipolo de longitud finita, una en 3D y otras dos en 2D, donde estas dos últimas son los cortes
polares de la grafica de 3D en diferentes planos para poder observar algunas características especiales que se
pueden identificar en estos cortes.
A continuación se presenta el programa realizado:
(el programa es realizado en matlab y no se encuentra disponible en este documento)
El cual muestra como salida las graficas de campo en 3D y los cortes polares en los planos*XY y YZ
respectivamente.
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Resultados
Para R=0.5
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Para R=5
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Para R=50
Análisis de resultados
Las graficas del campo radiado, tanto la grafica en 3D como las graficas en 2D, no tienen variaciones cuando
se les varía los radios, esto debido a que en el programa realizado en matlab para poder graficar el campo,
primero se debe normalizar, lo que hace que aunque los valores numéricos cambien, la forma del campo no
varia, es decir, que nos podemos hacer una idea de como será este a cualquier radio supuesto.
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Los valores numéricos obtenidos para los distintos parámetros estudiados en este articulo, tiene relación, ya
que estos se relacionan numéricamente según lo observado en las formulas obtenidas analíticamente, ya que
dependen de los mismos valores.
Conclusiones
• El campo radiado por una antena tipo dipolo de longitud finita no es uniforme n todas las direcciones
ya que se hace nulo en la dirección del vector corriente, lo que hace que la grafica en 3D tenga unos
espacios vacios en la dirección del eje x, esto debido a que la corriente por su naturaleza cosenoidal se
anula en los extremos del dipolo.
• Los parámetros de una antena no dependen solamente de las condiciones del medio en cual se
encuentre, sino también de los valores físico (corriente, radio, longitud de onda, ubicación en el
espacio) que componen la misma.
• La variación de la longitud de onda produce unos cambios considerables en los valores de los
parámetros de las antenas, en cambio al variar el radio no se producen grandes cambios.
• Es más intensa en direcciones que se encuentran a ángulos reducidos con respecto al conductor y nulo
a lo largo de la dirección del mismo.
Graficas utilizadas
Grafica 1. Intersección de los ejes utilizados en coordenadas esféricas.
Grafica 2. Dipolo lineal alimentado en el centro con distribución de corriente senoidal.
Grafica 3. Muestra del ángulo solido para hallar la intensidad de potencia radiada.
Grafica 4. Patrones de radiación de un dipolo lineal L=1.25 en tres y dos dimensiones
Grafica 5. Grafica en 3d del campo
Grafica 6. Corte polar en 2d del campo radiado en el plano
Grafica 7. Corte polar en 2d del campo radiado en el plano
Bibliografía
Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. David K. Cheng. Capitulo 10 pág. 426−438.
Antenna theory. Analysis and design. Second edition. Constantine A. Balanis. Chapter 4 pág. 151−177
Anexos entregados en la clase de Ondas y líneas de transmisión. Universidad Tecnológica de Bolívar. Agosto
2007. Ing. William Cuadrado Cano
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Grafica 1
Intersección de los ejes utilizados en coordenadas esféricas
Grafica 2
Dipolo lineal alimentado en el centro con distribución de corriente senoidal
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Grafica 3
Muestra del ángulo solido para hallar la intensidad de potencia radiada
La anterior presenta los patrones planares de radiación del dipolo lineal finito para diferentes longitudes de
distribución
Grafica 4
Patrones de radiación de un dipolo lineal L=1.25 en tres y dos dimensiones
Grafica 5
Grafica en 3d del campo
Grafica 6
Corte polar en 2d del campo radiado en el plano XY
Grafica 7
Corte polar en 2d del campo radiado en el plano YZ
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