Introducción a los sistemas dinámicos Actividad 3 Hiperbolicidad

Introducción a los sistemas dinámicos
Actividad 3
Hiperbolicidad
Sea p un punto periódico de perı́odo primo n. El
punto p se llama hiperbólico si |f ′ (p)| ̸= 1. El número
f ′ (p) se llama el multiplicador del punto periódico.
Proposición. 0.1. Sea p un punto fijo hiperbólico
con |f ′ (p)| < 1. Entonces existe un intervalo abierto
U alrededor de p tal que si x ∈ U , entonces
lı́m f n (x) = p
n→∞
Observación. 0.2.
1. Se sigue que U ⊂ W s (p).
2. Un resultado similar se cumple para puntos
periódicos hiperbólicos de perı́odo n. En este caso, obtenemos un intervalo abierto U alrededor
de p tal que f n (U ) ⊂ U . Por supuesto, la suposición en este caso es |(f n )′ (p)| < 1.
Sea p un punto periódico hiperbólico de perı́odo
n con |(f n )′ (p)| < 1. El punto p se llama un punto
periódico atractor o un pozo. Los puntos periódicos
atractores de perı́odo n tienen entonces vecindades
que f n enviá dentro de sı́ mismas. Tal vecindad se
s
llama el conjunto estable local y se denota Wloc
Ejercicios
1. Haga dibujos de retratos fase cerca de un punto
fijo atractor p en los casos
a) 0 < f ′ (p) < 1.
b) f ′ (p) = 0.
c) −1 < f ′ (p) < 0.
2. Sea p un punto fijo hiperbólico con |f ′ (p)| > 1.
Demuestre que existe un intervalo abierto U
alrededor de p tal que, si x ∈ U , x ̸= p, entonces
existe k > 0 tal que f k (x) ∈
/ U.
Un punto fijo p con |f ′ (p)| > 1 se llama un punto
fijo repulsor o una fuente. El conjunto descrito en el
ejercicio 2 se llama el conjunto inestable local y se
u
.
denota Wloc
Ejercicios
1. Analizar el comportamiento cerca del 0 en las
siguientes funciones:
a) f (x) = x + x3 .
b) f (x) = x − x3 .
c) f (x) = x + x2 .
2. Sea Fµ (x) = µx(1 − x) con µ > 1.
a) Pruebe que la función Fµ tiene dos puntos
fijos: uno en 0 y otro en pµ = µ−1
µ .
b) Demuestre que 0 es un repulsor para µ > 0
y pµ es un atractor para 1 < µ < 3.
c) Bosqueje las gráficas para Fµ2 para valores
de µ cerca de µ = 3. Observe que dos puntos
fijos para Fµ2 aparecen cuando µ pasa de 3.
Este es un ejemplo de lo que se conoce como
bifurcación.
3. Suponga que f es un difeomorfismo. Pruebe que
todos los puntos periódicos hiperbólicos son aislados.
4. Muestre con un ejemplo que los puntos periódicos hiperbólicos no son necesariamente aislados.
5. Encuentre un ejemplo de un difeomorfismo de
clase C 1 con un punto fijo no hiperbólico que es
punto de acumulación de puntos fijos hiperbólicos.
6. Discuta la dinámica de la familia fα (x) = x3 −αx
para −∞ < α ≤ 1. Encuentre todos los valores
del parámetro α donde ocurren bifurcaciones.
Describa como los retratos fase de fα cambian
en estos puntos.