Álvaro Begué Aguado

Solución del problema 49, por Álvaro Begué Aguado, Nueva York.
Consideremos la sucesión
C n xa n yb n zc n
Como a, b y c son las raíces del polinomio
Ÿ5
" a Ÿ5 " b Ÿ5 " c 5 3 " Ÿa b c 5 2 Ÿab bc ca 5 " abc
se tiene que
a n3 Ÿa b c a n2 " Ÿab bc ca a n1 Ÿabc a n
b n3 Ÿa b c c n2 " Ÿab bc ca b n1 Ÿabc b n
c n3 Ÿa b c b n2 " Ÿab bc ca c n1 Ÿabc c n
Multiplicando estas tres ecuaciones por x, y y z respectivamente y sumando, obtenemos la relación
de recurrencia
C n3 Ÿa b c C n2 " Ÿab bc ca C n1 Ÿabc C n
En particular,
C 3 Ÿa b c C 2 " Ÿab bc ca C 1 abcC 0
El enunciado del problema estaclece que C 0 C 1 C 2 1, así que ya podemos completar
a 3 x b 3 y c 3 z C 3 Ÿa b c " Ÿab bc ca Ÿabc 1 " Ÿ1 " a Ÿ1 " b Ÿ1 " c Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de
Matemática
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