Pauta Test N° 3 - Universidad de Concepción

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA
DEPTO. DE AGROINDUSTRIAS
Juan Carlos Sandoval Avendaño
PAUTA TEST Nº 3 CÁLCULO INTEGRAL + EDO
INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL  INGENIERÍA
AMBIENTAL  INGENIERÍA EN ALIMENTOS
NOMBRE :___________________________________________ PTOS. :________
TIEMPO MÁXIMO : 30 MINUTOS
FECHA : Vi 04/04/14
1) Obtenga el valor medio de 0 ÐBÑ œ -9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ con B − ’!ß 1# “
(30 puntos).
Solución:
Recordemos que el valor medio Z Q de una función 0 ÐBÑ en el intervalo +ß ,‘
está dado por
"
Z Q œ ,+
'+, 0 ÐBÑ .B
Luego el valor medio de 0 ÐBÑ œ -9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ con B − ’!ß 1# “ es
ZQ œ
"
1
!
#
'!
1
#
#
-9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ .B œ 1# '! -9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ .B
Calculemos ahora
1
'
-9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ .B
Para resolver esta integral es necesario recordar la identidad trigonométrica À
-9=Ð!Ñ =/8Ð" Ñ œ "# ’=/8Ð!  " Ñ  =/8Ð!  " Ñ“
Luego con ! œ #B y
" œ $Bß se tiene que À
1
"
#
'
=/8Ð&BÑ .B  "# ' =/8ÐBÑ .B œ  Š "# ‹Š "& ‹ -9=Ð&BÑ  Š "# ‹-9=ÐBÑ  - œ
"
 "!
-9=Ð&BÑ  #" -9=ÐBÑ  -
Volviendo al valor medio se tiene que:
ZQ œ
# "
1 ’ "!
#
1
'!
1
#
-9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ .B œ
#
"
"
1 ’  "! -9=Ð&BÑ  #
1
#
-9=ÐBÑ“ œ
!
 "# “ œ 1# ’ $& “ œ &'1
Finalmente el valor medio de
'
Z Q œ &1
0 ÐBÑ œ -9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ con
B − ’!ß 1# “ es
ú
2) Muestre que À
'!
1
%
=/- $ Ð)Ñ . )  !
(30 puntos).
' =/-$ Ð)Ñ .)
Solución:
œ ' =/- # Ð)Ñ =/-Ð)Ñ . )
Usando integración por partes
: w œ =/- # Ð)Ñ Ê : œ >1Ð)Ñ
; œ ? œ =/-Ð)Ñ Ê ; w œ =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ
' =/-$ Ð)Ñ .) œ =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ  ' =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ >1Ð)Ñ .) œ
=/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ 
=/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ 
=/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ 
' =/-Ð)Ñ >1# Ð)Ñ .) œ
' =/-Ð)Ñ’=/-# Ð)Ñ  "“.) œ
' ’=/-$ Ð)Ñ  =/- Ð)Ñ“.) œ
2
=/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ 
' =/-$ Ð)Ñ .)  ' =/- Ð)Ñ .)
Pero, usando la sustitución ? œ =/- Ð)Ñ  >1Ð)Ñ se obtiene:
Ð)Ñ  >1Ð)Ñ
' =/- Ð)Ñ .) œ ' =/- Ð)Ñ’ =/' .?? œ 68Ð?Ñ œ 68’=/- Ð)Ñ  >1Ð)Ñ“
=/- Ð)Ñ  >1Ð)Ñ “ . ) œ
Pues
? œ =/- Ð)Ñ  >1Ð)Ñ Ê .? œ ’=/- Ð)Ñ>1Ð)Ñ  =/- # Ð)Ñ“. )
.? œ ’>1Ð)Ñ  =/- Ð)Ñ“=/- Ð)Ñ . )
Así
' =/-$ Ð)Ñ .) œ =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ  ' =/-$ Ð)Ñ .)  68’=/- Ð)Ñ  >1Ð)Ñ“ Ê
#' =/- $ Ð)Ñ . ) œ =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ  68’=/- Ð)Ñ  >1Ð)Ñ“ Ê
' =/-$ Ð)Ñ .) œ "# =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ  "# 68’=/- Ð)Ñ  >1Ð)Ñ“  Luego
' =/-$ Ð)Ñ .) œ "# =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ  "# 68’=/- Ð)Ñ  >1Ð)Ñ“  - ,
con - una constante real cualquiera.
Calculemos ahora
'!
1
%
$
=/- Ð)Ñ . ) œ
'!
1
%
=/- $ Ð)Ñ . )
"
# =/-Ð)Ñ
>1Ð)Ñ 
"
# 68’=/- Ð)Ñ  >1Ð)Ñ“ º
1
%
œ
!
"È
# #
 "# 68’È#  "“  !  "# 68’"“ œ "# È#  "# 68’È#  "“  !  ! œ
"È
# #
 "# 68’È#  "“ ¸ "Þ"%()  !
ú
3