12.1.1. Superficie de Revolución 12.1.2. Cilindro Circular Recto

En general, si una recta se traslada continuamente en forma paralela a su posición inicial, a
lo largo de una curva plana, se genera una superficie llamada superficie cilíndrica.
En la figura (b) a la recta
directriz.
se le denomina generatriz y a la curva plana BDE se le llama
Si la directriz es una circunferencia la superficie engendrada se llama superficie cilíndrica
circular.
Se dice que Galileo Galilei dejó caer dos bolas
de cañón de diferente masa desde lo alto de la
Torre de Pisa para demostrar que la velocidad
de descenso era independiente de la masa. La
historia, aunque descrita por un estudiante del
propio Galileo, se considera un mito.
Pocos años después de finalizada la torre el
daño en su estructura se hizo manifiesto y muchos de los elementos de piedra originales realizados en mármol de San Giuliano fueron sustituidos, cambiándose por mármol blanco de
Carrara pero sin perder la forma de cilindro.
12.1.1. Superficie de Revolución
12.1.1A. Definición
Se llama superficie de revolución a aquella superficie engendrada por la rotación de alguna línea. La línea que al girar
engendra una superficie de revolución se llama generatriz de
dicha superficie. La recta respecto de la cual se realiza el giro
se llama eje de rotación o eje de giro.
Cada punto de la generatriz describe una circunferencia situada en un plano perpendicular al eje de rotación. Estas circunferencias se llaman paralelos de la superficie y pueden
considerarse como secciones producidas en la superficie por
planos perpendiculares al eje de giro. Los meridianos son todas las secciones producidas por planos que pasan por el eje.
La superficie cilíndrica es, en rigor, ilimitada porque también lo es la recta generatriz que lo
genera. Si queremos limitar con ella un cuerpo, es preciso trazar otras superficies.
12.1.2. Cilindro Circular Recto
12.1.2A. Cilindro
El cilindro es el cuerpo geométrico que se determina al intersectar la superficie cilíndrica,
con dos planos paralelos entre sí.
Las secciones determinadas por los planos paralelos
en la superficie cilíndrica se llaman bases del cilindro y los segmentos determinados, que son parte de
las generatrices de la superficie cilíndrica, son las generatrices del cilindro.
Un cilindro se llama cilindro recto si sus generatrices son perpendiculares a sus bases como
se observa en la figura (a) y si las generatrices son oblicuas con relación a las bases, el
cilindro se llama cilindro oblicuo, tal como la figura (b).
12.1.2B. Definición
Se llama Cilindro Circular Recto o Cilindro de Revolución al cuerpo geométrico limitado
por una superficie de revolución circular y dos planos perpendiculares a su eje.
En un cilindro circular recto las bases son círculos y las generatrices son perpendiculares a
sus correspondientes bases. Fig. (a)
En un cilindro circular recto la sección producida por un plano secante y no paralelo a sus
bases se llama Elipse que en la figura está representado por S. Fig. (b)
12.1.1B. Superficie cilíndrica de revolución
Se llama superficie cilíndrica de revolución, a la superficie engendrada por la rotación de
una recta paralela al eje.
Un plano P es tangente al cilindro si éste contiene a la generatriz
. El eje del cilindro
recto u oblicuo es el segmento OO' que une los centros de sus bases.
748 Geometría
Und. 12 – Cuerpos Redondos
749
La sección axial del cilindro recto es el rectángulo ABCD y si éste es un cuadrado entonces
el cilindro se llama equilátero.
12.1.3. Área y Volumen de un Cilindro Circular Recto
Conociendo la longitud «R» del radio básico y la longitud «g» de la generatriz, o altura del
cilindro recto, se verifican las siguientes relaciones:
12.1.4. Desarrollo del Cilindro Recto
El desarrollo del cilindro recto está compuesto de un rectángulo y dos círculos.
La base de este rectángulo es la circunferencia de la base del cilindro y su altura es igual a la
generatriz o altura del cilindro.
12.1.5. Tronco de Cilindro Recto
12.1.3A. Área lateral del cilindro recto (SL )
Es igual al perímetro de la base (2R) multiplicado por su generatriz (g).
Si conocemos el radio «R» de la base circular, la generatriz media o longitud del eje «g», la
generatriz mayor g1 y la generatriz menor g2 , como se muestra en la figura, se cumplirá que:
SL  2Rg
g=
12.1.3B. Área total del cilindro recto (ST )
Es igual al área de la superficie lateral más la suma de las áreas de las bases.
g1  g2
2
A1. Área Lateral (AL )
AL  2Rg
ST  2R(g  R)
A2. Volumen (V)
12.1.3C. Volumen del cilindro recto (V)
Es igual al área de la base multiplicada por la longitud de la generatriz:
V  R2g
2
V  R g
Ejemplo.- El volumen de un cilindro circular recto es numéricamente igual al doble del área
lateral. Si su altura mide 5, calculemos el área total y su volumen.
Ejemplo.- En un tronco de cilindro circular recto se cumple que la generatriz mayor mide el
triple de la generatriz menor y el radio de la base circular mide 4. Si el volumen mide 96,
calculemos el área lateral.
Elaboramos un esquema en el cual indicamos el dato:
Sean «x» y «3x» las longitudes de la generatriz menor y la mayor respectivamente.
De la condición planteamos que:
V = 2SL

ST  2 · 4(5  4)  ST  72
2
V·4 ·5

750 Geometría
V  80

2
  4  x  3x  96
2
Luego el área total (ST ) estará dado por:
Finalmente el volumen (V) será:
V  96
De la condición tenemos que:
 · R2 · 5 = 2 · 2 · R · 5 R = 4
 2x  6  x  3
Luego el área lateral (AL) se rá:
AL  2  4 x  3x
2

Reemplazando:
AL  8(6)

Und. 12 – Cuerpos Redondos

AL  48
751
12.1.6. Cilindro Oblicuo
Se llama cilindro oblicuo a aquel cuyas bases son Elipses
y sus generatrices no son perpendiculares a sus bases
como el mostrado en la figura. En un cilindro oblicuo
es fácil notar que la altura «h» es menor que la generatriz y que la sección axial es un paralelogramo tal
como ABCD.
En el cilindro oblicuo la sección producida por un
plano perpendicular a sus generatrices es un círculo
llamado Sección Recta.
Asimismo debemos notar que la inclinación del cilindro viene dado por el ángulo que
forman su generatriz CD con el plano de la base.
Cumpliéndose que:
01.- Completar las siguientes proposiciones:
c. Volumen del cilindro.
(
) 8
a. Un cilindro puede ser .................. u ..................
d. Área total del cilindro.
(
) 4
b. Las bases de un cilindro circular recto son
......................................................................
04.- El gráfico muestra un cilindro circular recto y
el desarrollo de su superficie lateral.
c. Las generatrices de un cono circular recto son
......................................................................
d. La sección producida en una esfera, por un
plano secante es un ....................................
02.- Para un cilindro circular recto, complete el
siguiente cuadro:
h  g sen 
Además en una elipse como se muestra en la figura adjunta se verifica que:
a  Longitud del semieje mayor
b  Longitud del semieje menor
Área de la Región Elíptica  ab
De acuerdo a esto, complete el siguente cuadro:
12.1.7. Área y Volumen de un Cilindro Oblicuo
Siendo «g» y «h» las longitudes de la generatriz y la altura del cilindro
oblicuo mostrado a continuación y «S» el área de su base elíptica se
verifican las siguientes relaciones.
12.1.7A. Área de la Superficie Lateral (SL )
Es igual al perímetro de la sección recta multiplicado por la longitud
de la generatriz.
SL  2Rg
03.- En el gráfico se muestra una esfera inscrita
en un cilindro circular.
05.- Se sabe que dos cilindros de revolución son
semejantes, cuando sus radios y alturas están en
la misma proporción.
En el gráfico se muestran dos cilindros semejantes:
12.1.7B. Área de la Superficie Total (ST )
Es igual al área de la superficie lateral más la suma de las áreas de sus bases.
ST  2Rg  2S
12.1.7C. Volumen (V)
Es igual al área «S» de la base multiplicada por la longitud de su altura «h» o el área de la
sección recta multiplicada por la longitud de la generatriz.
2
Según esto, correlacione las columnas coherentemente.
a. Volumen de la esfera .
b. Área de la superficie de la esfera. (
V  S · h  R g
752 Geometría
(
Und. 12 – Cuerpos Redondos
) 2
) 4
3
Completar la siguiente tabla:
753
a. Si el volumen del cilindro equivale a 24 veces
el volumen del cono, ¿cuál es la relación H ?
d
......................................................................
06.- En el gráfico se muestra un cilindro de revolución, en el cual su base está contenido en el
plano «P» y «C» pertenece al plano.
b. Si: H = 3d y el volumen del cilindro es 72,
¿cuál es el volumen del cono?
......................................................................
c. Si: 2H = 3d y el volumen del cono es 4, ¿cuál
es el volumen del cilindro?
......................................................................
«L» es una recta secante al cilindro en los puntos
de «A» y «B».
Calcular el área de la superficie lateral de un
cilindro recto si el radio de su base mide 4 y su
generatriz mide 8.
Graficando y considerando los datos del
problema:
Luego su volumen V = R2g será:
V = · 22· 4
Se sabe que el área de la superficie lateral
SL es:
c. «A» pertenece a la superficie lateral del cilindro. ...................................................... ( )
Un cilindro de revolución está circunscrito a
una esfera cuyo radio mide «R». Calcular el
volumen del cilindro.
SL = 2Rg
donde: R = 4 y g = 8
d. AB está incluido en la superficie lateral del
cilindro. ................................................ ( )
Luego:
......................................................................
......................................................................
SL = 64
Prob. 02
Calcular el volumen de un cilindro equilátero
cuyo radio básico es 2.
c. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?
......................................................................
Al circunscribir el cilindro reconocemos
que este es equilátero.
SL = 2(4)(8)

a. ¿Cuánto mide «a» y «b»?
b. ¿Qué sólido se obtiene en cada caso?
754 Geometría
 V = 16 
Prob. 03
)
07.- En el gráfico, se muestra un cilindro de revolución y un cono de revolución donde «d» es la
distancia del vértice del cono a la base superior
del cilindro.
En el cilindro equilátero se cumple que:
g = 2R = 2(2)  g = 4
08.- El gráfico muestra un rectángulo
 de lados
«a» y «b». Cuando gira en torno a L el volumen

generado es 300 y cuando gira en torno a L 1 el
volumen generado es 720.
Escribe vedadero (V) o falso (F) en las siguientes
proposiciones:

a. AB está incluido en el cilindro. .............. ( )
b. AB está incluido en el cilindro. ............. (
Prob. 01
Sea «V» el volumen del cilindro, luego:
Esquematizando el problema construimos
este gráfico:
Und. 12 – Cuerpos Redondos
2
V = R g
Como:
g = 2R
 V = 2R3
755
Prob. 04
Luego:
El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro circular recto es una región rectangular cuyas dimensiones son 4 y 8. Calcule el área de
la superficie del cilindro.
En el
BE = CD = 6 y ED = 2R
AED de 45º: 2R = 4  R = 2
Luego el volumen del tronco será:

2
VT   R  10  6
2
Elaborando el gráfico correspondiente a las
condiciones del problema, tenemos:

En el triángulo rectángulo OCB de 15º y
75º la altura CH es la cuarta parte de OB
es decir:
CH  OB  2
4
Además por relaciones métricas:
gR = (8)(2)
2
VT = (2) · 8
Graficando y considerando datos:

Se sabe que el área de la superficie lateral
(SL) del cilindro es igual al área de la región rectangular (S) es decir:
SL = S

SL = 4· 8

VT = 32
ABC: 2R = 8  R  4

Prob. 06
Del
Calcular el área de la superficie lateral de un
cilindro de revolución, si el área de la región
rectangular que lo genera es 20.
Luego el volumen del cilindro será:
Graficando el cilindro y su rectángulo generador, tenemos:
 SL = 32

V   4 6

 V = 96

Prob. 08
Nos piden:
gR = 16
SL = 2Rg = 2(16)
 SL = 32
Prob. 09
El área total de un cilindro recto es 60 y la suma
de las inversas del radio básico y de su generatriz es 1/4. Calcular el volumen del cilindro.
Calcular el área de la superficie lateral del cilindro, si «O» es centro y OB = 8.
Graficando y considerando los datos del
problema:
Prob. 05
En un tronco de cilindro recto, sus generatrices
miden 10 y 6. Calcular su volumen si sus bases forman un diedro de 45º.
Elaboramos un gráfico adecuado en donde trazamos DE  AB .
Se sabe que:
SL = 2Rg
. . . (1)
Por dato:
gR = 20
. . . (2)
Sustituyendo (2) en (1): SL = 2(20)

En primer lugar, trazamos el radio OC
(OC = R)
SL = 40
ST = 60 = 2R(g + R)
. . . (1)
Por condición del problema:
Prob. 07
111
R g 4
El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro circular recto, es una región rectangular
cuya diagonal mide 10. Si la altura del cilindro
es 6, calcular su volumen.
756 Geometría
El área total (ST) está dado por:
 gR 
Und. 12 – Cuerpos Redondos
Rg
4
. . . (2)
757
Prob. 11
Sustituyendo (2) en (1):
 Rg 
60  2 R 

 4 
2
 R g = 120
2
Como el volumen:
V = R g
 V = 120
Prob. 13
Un recipiente cilíndrico de radio básico 2, se
encuentra con cierta cantidad de agua. Se introduce, en dicho recipiente, un bloque de volumen «Vx» y el nivel de agua se incrementa en
2. Calcular «Vx».
Esquematizando las condiciones del problema se tiene:
a) Calcular la altura del cilindro en términos de
«K» y «r».
b) Calcular el volumen del cilindro en términos
de «K» y «r».
Prob. 10
Graficando y considerando datos:
Calcular el volumen de un cilindro circular recto, cuyo desarrollo de su superficie lateral es
un cuadrado de lado «a».
a) Como los cilindros son semejantes, entonces:
h  r
. . . (1)
H R
Graficando y considerando que: g = a y
2R = a, se tiene:
En un cilindro circular recto, se cumple que el
área de la sección axial es «K» veces el área de
la base. Si el radio de la base es «r».
Del dato:
2r(h + r) = 18
. . . (2)
También:
2R(H + R) = 50
. . . (3)
Graficando y ubicando los datos correspondientes, tenemos:
Dividimos (2) y (3):
r( h  r )
 9
R( H  R ) 25
. . . (*)
De (1) hacemos: h = rK  H = RK
a) La sección axial de un cilindro se determina al trazar un plano perpendicular a
la base y que contenga a uno de sus diámetros: como ABCD.
Luego reemplazamos en (*):
2
De la igualdad: 2R = a
 R a
2
Como el volumen «V» del cilindro es:
Vx = (2)2· 2
2
V = R g
Luego, reemplazando valores, tenemos:
2
  a
V  a
2
Desarrollando: V 
a
2
4
2
3

758 Geometría
V
a
a
4
Ya que el bloque de volumen «Vx» desplaza agua hacia la parte superior tomando
ésta la forma de un cilindro de radio 2 y
generatriz 2 se tiene:
 Vx = 8 
Prob. 12
r (K  1)
 9
25
2
R (K  1)
r 3
R 5
De donde:
. . . (4)
b) Sean V1 y V2 los volúmenes de los cilindros, se tiene:
2
V1  r h  V2  R H
Dividimos:
a) Calcular la razón en que se encuentran sus
radios.
Reemplazamos (1) y (4) en esta última expresión:
V1
 r
V2
R
2
  
V1
 3
V2
5

A(ABCD) = KA(Base)
H· (2r) = K· r2
H  Kr
2

2
Se tienen dos cilindros circulares rectos semejantes, los cuales tienen por áreas totales 18 
y 50 respectivamente.
b) Calcular la razón en que se encuentran sus
volúmenes.
Por dato:
h
H
3

. . . (1)
b) El volumen del cilindro (V) está dado
por:
V = r2· g  V = r2· H
V1 27
=
V2 125
Und. 12 – Cuerpos Redondos
Reemplazando (1):
2
V  r · K r
2
2 3
 V r K
2
759
Prob. 14
El área total (ST) está dado por:
En un cilindro de revolución, la longitud de la
generatriz es el triple de la longitud del radio
de la base. En una de las bases se traza la cuerda AB de 2 3 cm de longitud y dista del
centro de dicha base 3 cm.
a) Calcular el radio de la base del cilindro.
ST = 2R(g + R)
 ST = 96 cm
c) El volumen (V) está dado por:
2
Prob. 16
2
V = R · g  V  (2 3) · 6 3
 V  72 3  cm
Graficamos el tronco del cilindro e inscribimos en él la esfera:
 V = 360 
2
3
Prob. 15
Construimos el gráfico y ubicamos los datos del problema:
2
2
V  R  g  V  (6)  10
 ST  2(2 3)(8 3)
b) Calcular el área de la superficie total del cilindro.
c) Calcular el volumen del cilindro.
b) Como sabemos que el volumen del cilindro (V) está dado por:
Un cilindro recto se encuentra inscrito en un
prisma recto de base cuadrada, cuyas bases
están contenidas en las bases del prisma. Si la
altura del prisma mide 10 y la diagonal de la
base mide 12 2 .
Un cilindro de 30 cm de radio y 50 cm de altura
está completamente lleno de agua si dentro de
él se introduce un trozo de madera labrado en
forma de prisma de base cuadrada de 10 cm de
lado y cuya altura es de 20 cm, el agua se derrama. Calcular la cantidad de agua que se queda en el recipiente.
a) Sea «R» el radio de la base del tronco de
cilindro.
En el
ABCD, por el teorema de Pitot:
AB + CD = BC + AD
a) Calcular el radio de la base del cilindro.
2 + 8 = BC + 2R  BC = 10 – 2R
b) Calcular el volumen del cilindro.
Trazamos BE  CD  BE = 2R y CE = 6
En el
Construimos el gráfico según condiciones
del problema:
Efectuando:
Sea: VH
a) En la base inferior trazamos la cuerda AB .
2O
VH
Por el dato: AB  2 3
También del dato: OM = 3
VH
Como «M» es punto medio, entonces:
2
2
(AO)   3   3
AMO:

R2 3
Es decir:
b) Por otro lado por condición del problema, tenemos:
AC = 3R  AC  6 3
760 Geometría
 VCILINDRO  VPRISMA
VT  R
2
 (30)  50  10  20  139, 372 cm
 


2
3
a) Como la base del prisma recto es un cuadrado y su diagonal mide 12 2 , entonces
deducimos que: L = 12.
Sea «R» el radio de la base del cilindro,
entonces:
R  L  R  12  6
2
2
2O
 139,372 L
2
T
 VT  64 
5
1 Lt = 1000 cm
 VH
R8
5
 AB 2 CD   V   85  ·  2 2 8 
3
2
AO  2 3
2O
(10 – 2R)2 = (2R)2 + 62
b) El volumen del tronco (VT) está dado por:
el volumen de agua, luego:
2
2O
AM  MB  3
En el
BCE:
Prob. 18
Se tiene un tronco de cilindro de revolución
cuyas generatrices mínima y máxima miden 2 y
8, que está circunscrita a una esfera.
En la figura mostrada se tiene un prisma recto
ABC-A’B’C’ cuyas bases son triángulos rectángulos rectos en B y B’. El semicilindro está
inscrito en el prisma, siendo O y O’ los centros
de las bases. Si: AB = 3, BG = 4 y OO’= 7.
a) Calcular el radio de la base del tronco.
a) Calcular el radio de la base del semicilindro.
b) Calcular el volumen del cilindro.
b) Calcular el volumen del semicilindro.
Prob. 17
Und. 12 – Cuerpos Redondos
761
Prob. 19
Si una persona consume 12 litros diarios,
entonces 5000 personas consumirán:
La curva de longitud mínima trazada entre «A»
y «B» (sobre una misma generatriz) que da una
vuelta completa en torno a un cilindro recto de
radio 1 y de altura 2, tiene por medida «L».
Calcular su longitud.
Consideremos que sea «O» el centro de la
base semicircular:
5000· 12 = 60000 litros
El 25% de 60000 es: 25  60000  15000 L
100
Graficamos el cilindro recto y su desarrollo lateral:
a) La sección determina la cuerda AD en
el círculo de la base y como es perpendicular a dicha base, entonces:
CD  AD
Al desarrollar la superficie lateral del cilindro se obtiene el rectángulo ADBC, donde la diagonal AB = L, es la mínima longitud de la curva AB.
a) En la base superior ABC trazamos:
En el
ACB:
ON  BC y OM  AB
Como:
BC = 4 y AB = 3
Sea: ON = OM = R, entonces: AM = 3 – R
AMO:
R  4  R  12
3R 3
7
b) Sea «V» el volumen del semicilindro, entonces:
2
V  1   R  (AA')
2
En el
2
L 2 1 
2
Se tiene un cilindro de resolución cuyo radio
de la base mide 40 cm y la altura es de 30 cm. Se
traza un plano paralelo al eje y que pasa a
24 cm del eje.
a) ¿Qué figura es la sección obtenida por dicho plano?
b) Calcular el área de la sección obtenida.
 
762 Geometría
Elaboremos el gráfico que represente las
condiciones del problema:
2
AMO: (AM) + 24 = 40
Pero sabemos que:
Luego el pozo deberá tener un volumen de:
2
V = 60000 + 15000
 AM = 32
AM = MD

Prob. 20
V  1 · 12 · 7
2
7
 V  72
7
2
4  4
2

b) Por dato OM = 24 (Distancia del eje a la
sección).
(Dato)
 mCAB = 53º
En el

L=
Análogamente AB  AD , y como AB = CD,
entonces la figura ABCD será un rectángulo.
AD = 64
V = 75000 L
Como:
V = R2 . 8R = 8R3

Finalmente: A(ABCD)  64  30
 A(ABCD)  1920 cm
Donde:
2
8R3 = 75000 L = 75 m3
 R  1 3 75 m
2 
Nota.- 1000 L = 1 m3
Prob. 21
Una población tiene 5000 habitantes que consumen en promedio por persona 12 litros de
H2O diariamente, determinar el radio de la base
de un pozo cilíndrico que abastezca a la población y que tenga además capacidad para una
reserva de 25% del consumo diario y tal que la
altura sea 4 veces el diámetro.
Und. 12 – Cuerpos Redondos
Prob. 22
En un cilindro de revolución se encuentra inscrito un hexaedro regular, calcular el volumen
del cilindro; si la distancia del punto medio de
una de la generatrices que pertenece al hexaedro hacia la diagonal de dicho hexaedro que
no se intersecta con dicha generatriz es 2.
763
Sean R y h; el radio de la base y la altura
del cilindro, veamos en el gráfico:
Entonces el volumen del cilindro:
VC = R2h
. . . (1)
Sea «a» la arista del octaedro y «R» el radio de la base del cilindro.
Prob. 24
Prob. 25
En un octaedro circular recto regular E-ABCD-F;
se inscribe un cilindro circular recto de modo
que sus bases estén contenidas en dos caras
opuestas del octaedro. Si la arista del octaedro
es «L», calcular el volumen del tronco de cilindro que determina el plano BED.
En un vaso que tiene la forma de un cilindro
recto de revolución, la altura es el doble del
diámetro de la base; si el vaso contiene un
líquido que ocupa las 3/4 partes de su capacidad. Determinar el ángulo que debe inclinarse
desde su posición normal hasta el instante en
que el líquido esté por derramarse.
La arista del octaedro es «L», entonces por
L 6
propiedad; OQ =
, ya que «O» y «Q»
3
son centros de dos caras opuestas.
Asumiendo que el diámetro es 2R, entonces la altura será: 4R.
Y al ser inclinado el cilindro «» la parte
no ocupada por H2O toma la forma de un
tronco de cilindro recto.
Sabemos que: OB = a 3 = PQ
6
AQ = a 3
3
También:
Del gráfico se observa que:
La parte no ocupada por H2O es: V/4
AP = AQ – PQ

MN = AO = R
Por dato:
MN =
2
De donde:
R=
2
En el

En el cuadrado ABCD:
Es decir:
AD = 2
Además:
h = AD = 2
Reemplazando en (1):

AD = R 2
Luego por la simetría de la figura a partir
del plano diagonal BEDF, deducimos que:
APB:
2
2
h  AB  AP 
VC = ( 2 )2· 2
VC = 4
Un octaedro regular está inscrito en un cilindro
de revolución; de tal manera que dos de sus
caras opuestas están inscritas en las circunferencias que limitan las bases del cilindro, calcular la razón de volumen de ambos sólidos.
 
a 3
2
2


 a 3 
 6 
2
OP = PQ =
AF = 2R 3
Luego el volumen del octaedro es:
Vo  a
3
3

2
R=
3
V  R 2  a
4
2
Pero:
V =R2· 4R = 4R3
2 3
VTC = R2· OP
3
Reemplazando:
4R 3
R 2 a
=
4
2
Luego:
L
Luego el volumen del tronco de cilindro:


2
Vc    R  H    a 3   a 6  a 6
3
9
 3 
Vo
= 3
Vc

Luego:
L = 2R 3
2
Y el volumen del cilindro es:

L 6
6
Ahora en el ABF equilátero:
h a 6
3

Prob. 23
764 Geometría
AP = a 3
6
VTC  L 
12 6
Und. 12 – Cuerpos Redondos
Simplificando:
Finalmente en el
a = 2R
ABC, como:
AB = BC
 = 45º
765
766 Geometría
Und. 12 – Cuerpos Redondos
767
01.- Calcular el área de la superficie lateral de
un cilindro recto cuyo radio básico mide 4 y su
altura 6.
A) 48
B) 84
C) 72
D) 81
E) 100
02.- Calcular el área total y volumen de un cilindro recto de 15 de radio y 45 de altura.
A) 900; 10125
B) 1800; 9125
C) 1800; 10125
D) 900; 528
E) 1800; 8125
03.- De la figura: AB es diámetro de la base del
cilindro de revolución que mide 10 y su generatriz mide 8. Calcular el área lateral del cilindro.
A) 40
C) 2
D) 2/3
E) 3
07.- De la figura, calcular el volumen del cilindro de revolución, si: OO1  10 3 , AB es
diámetro de la base.
A) 150
B) 1000 3 
C) 400
E) 200 3 
C) 20
08.- Calcular el volumen de un cilindro equilátero de altura «a».
D) 80
E) 100
04.- Calcular el volumen de un cilindro recto, si
su generatriz es el doble del radio de la base
siendo éste de longitud 3.
B) 54
C) 60
D) 64
E) 72
A) a
2
3
A) 125
A) 12
C) 100
B) 18
C) 24
D) 30
E) 36
Und. 12 – Cuerpos Redondos
B) a
3
3
C) a
4
3
D) a
5
3
E) a
6
3
09.- De la figura, calcular el volumen del cilindro de revolución, si AB y CD son diámetros
de las bases del cilindro, OC  5 2 .
05.- El radio de la base de un cilindro circular
recto mide 2 y es la tercera parte de la medida
de su altura. Calcular el volumen del cilindro.
06.- Calcular el volumen del cilindro mostrado,
si: AB  2 2 .
768 Geometría
B) 2/
D) 250 3 
B) 160
A) 52
A) 
B) 250
D) 100 2 
E) 50 2 
769
10.- El desarrollo de la superficie lateral de un
cilindro circular recto es un rectángulo de dimensiones 4 y 6. Calcular el área lateral del
cilindro.
A) 8( 3  2) 
A) 12
D) 8(3 2  2) 
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
11.- El desarrollo de la superficie lateral de un
cilindro recto es un cuadrado de diagonal 4 2.
Calcular el área lateral del cilindro
A) 8
B) 16
C) 32
D) 24
E) 64
12.- Calcular el área lateral de un cilindro recto,
si el área de su rectángulo generador es «A».
A) 2A B) A
C) 1 A D) 3A E) 1 A
2
3
13.- Calcular el volumen de un cilindro circular
recto; de altura «h» y la longitud de la circunferencia de la base «L».
2
2
2
2
2
A) L h B) L h C) L h D) L h E) L h

2
3
4
5
14.- Calcular el volumen de un cilindro recto en
el cual la longitud de su circunferencia es «L»
y el área del rectángulo generador es «S».
A) S · L B) S  L C) S  L D) S  L E) S  L
3
2
4
5
15.- De la figura, evaluar el área de la superficie
lateral del cilindro de revolución, si su generatriz mide 8 y AC = 3. ( AB es diámetro de su
base).
B) 8( 2  3) 
C) 8(2 3  3) 
E) 8( 5  1) 
17.- ¿Qué volumen de tierra tendrá que extraerse
para hacer un túnel de 100 m de largo, siendo su
sección recta un semicírculo de diámetro 10 m?
A) 1250m3
3
D) 5000m
B) 250m3
18.- Calcular el volumen de un cilindro de revolución si su altura mide 20 y el desarrollo de la superficie lateral del cilindro tiene un área de 200.
19.- Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 y 24. La circunferencia inscrita es
la base de un cilindro de altura igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo. Calcular el volumen del cilindro.
A) 215 B) 225 C) 220 D) 230 E) 600
20.- Un vaso cilíndrico cuyo diámetro mide 20
y su altura 40, está lleno de agua. Si se vierte
esta agua en otro vaso, cuyo diámetro mide 40,
¿a qué altura llegará el agua?
A) 5
B) 8
C) 10
D) 20
E) 40
D) 32 3 
22.- Se tiene un recipiente cilíndrico, cuya base
tiene un radio igual a 4 u. El recipiente tiene una
cierta cantidad de agua. Al introducir un bloque metálico se observa que el nivel del agua
sube 2 u. Calcular el volumen del bloque.
A) 24
B) 6
B) 26
C) h
4
D) h
12
E) h
16
3
B) 10cm
24.- Calcule el área de la superficie lateral del
cilindro mostrado.
C) 8
C) 28
D) 12
D) 30
E) 16
E) 32
C) 6cm3
D) 18cm3
3
E) 20cm
2
A) a
A) 250 B) 450 C) 500 D) 550 E) 600
A) 4
770 Geometría
A) 4cm3
B) h
6
3
C) 24 3 
16.- Calcular el área total del cilindro de revolución, si: AC = 4, OO1 = 6 («O» y «O1» son
centros de su base).
A) h
2
E) 500m
B) 16 3 
E) 12 3 
28.- En el cilindro de revolución mostrado
BO1  101 cm, O2 M  26 cm, PM = MQ.
Calcular el volumen del cilindro.
C) 2500m3
21.- En un recipiente cilíndrico se introduce un
cuerpo y el nivel de agua que contiene se eleva
en 4. Si el radio de la base del recipiente es 2,
calcular el volumen del cuerpo.
A) 8 3 
23.- Un vaso cilíndrico de diámetro «d» y altura «h» está lleno de agua. Si se vierte esta agua
en otro vaso de diámetro «2d», ¿hasta qué altura «H» subirá el agua?
B) a
2
2
C) a
3
2
D) a
4
2
2
E) a
16
25.- Calcular (en u3) el volumen de un cilindro
recto de revolución de 64 u2 de área total si:
1  1  1 , siendo r: radio de la base y h: altura
r h 4
A) 100
B) 112
C) 128
D) 136
E) 140
26.- En la figura se muestra un cilindro donde
AB es su generatriz. «O» es el centro de la base.
AC = 17 y AO  241 . Calcular el área total
del cilindro.
29.- En un cilindro de revolución las generatrices AB y CD son diametralmente opuestas (B y C en una misma base), en el arco BC se
ubica el punto «P». Si: 2(AB)2 + (BC)2 = 20,
2
2
calcule: (AP) + (PD)
A) 5
B) 10
A) 81 3 u
E) 25
3
B) 60 3 u
3
C) 50 3 u
3
E) 20 3 u
B) 144
D) 20
30.- En el gráfico se muestra un cilindro de revolución. Si se cumple: AH = 2(HB) = 6u, además. EB = BC, calcular el volumen del cilindro.
D) 30 3 u
A) 148
C) 15
3
3
D) 150
31.- En un cilindro de revolución se inscribe un
prisma cuadrangular regular. Calcular la razón
de volúmenes de dichos sólidos.
E) 152
A) 2

27.- Se tienen dos cilindros circulares rectos
semejantes, los cuales tienen por volúmenes:
54 y 128. Calcular la relación en que se encuentran sus áreas laterales.
32.- Un cilindro circular recto está inscrito en
un prisma triangular regular. ¿Qué relación existe entre las áreas de las superficies laterales de
dichos sólidos?
A) 9
4
A)
C) 146
B) 3
4
C) 9
16
D) 9
7
Und. 12 – Cuerpos Redondos
E) 3
16
B) 3

C) 4

D) 5

E) 7

9 3
3 3
6 3
3 3
B) 2 2 C)
D)
E)



2

771
33.- Calcular la relación entre los volúmenes de
un cilindro de revolución y un prisma triangular regular, si los desarrollos de sus superficies
laterales son congruentes.
3 3

A) 3 2 
B)
D) 3

E) 2 3

C) 3 3 
A)
3
B) 5 3 75

D) 1 3 75
2 
C)
3
75

E) 1 3 25
2 
35.- Un tanque cilíndrico cuyo diámetro mide
4 3 y su altura 12, tiene sus cinco sextas partes con vino. Desde su posición inicial se inclina el tanque hasta que el vino esté a punto de
caer por el borde. Calcular la medida del ángulo
de inclinación.
A) 30º
B) 45º
C) 53º
D) 37º
B) 
2
C) 
3
D) 2
E) 2
37.- Un cilindro recto de radio «R» y altura «H»
que contiene un líquido, se pone en posición
horizontal sobre el suelo. Si el líquido alcanza
una altura «h» (desde el suelo), determinar el
área de la capa superior del líquido.
772 Geometría
C) 2h 2 RH  H
2
E) 2 R 2hH  H
2
A) 100
B) 50
D) 50 2
E) 60
B) 2h 2 RH  h
2
D) 2R 2 Hh  h
2
C) 50 3
39.- Un tronco de cilindro circular recto está circunscrito a una esfera; si las generatrices máxima y mínima miden 6 y 3 respectivamente, calcular el área de la superficie lateral del tronco.
A) 24
B) 26
D) 18
E) 36
C) 27
40.- Calcular el volumen de un cilindro oblicuo
cuya generatriz forma un ángulo que mide 60º
con la base y la altura mide el doble de lo que
mide el radio de la sección recta, siendo este
igual a 4 3 .
A) 383
B) 400
D) 540
E) 349
E) 60º
36.- Calcular el volumen de un cilindro circular
recto circunscrito a un octoedro regular cuya
arista mide 2 . Además dos vértices opuestos de dicho octoedro están ubicados en los
centros de las bases del cilindro.
A) 
2
38.- Calcular el área de la sección recta de un
cilindro oblicuo, si el área de la base es 100 y la
generatriz forma con la base un ángulo de 60º.
34.- Una población tiene 5000 habitantes que
consumen en promedio por persona 12 litros
de agua diariamente. Determinar el radio de la
base de un pozo cilíndrico que abastezca a la
población y que tenga capacidad para una reserva de 25% del consumo diario y tal que la
altura del pozo sea cuatro veces el diámetro de
la base.
25

A) 2H 2Rh  h
C) 768
CLAVES
01
A
02
C
03
D
04
B
05
C
06
C
07
B
08
C
09
A
10
E
11
B
12
A
13
D
14
C
15
B
16
D
17
A
18
C
19
B
20
C
21
E
22
E
23
C
24
B
25
C
26
E
27
C
28
B
29
D
30
A
31
A
32
E
33
B
34
D
35
E
36
D
37
A
38
C
39
D
40
C