GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Matemática Programa Entrenamiento Combinatoria y probabilidad Desafío Sea N un número natural múltiplo de 10. Si se escoge al azar un número natural menor o igual que N, ¿cuál es la probabilidad de que el número escogido sea par o múltiplo de 5? A) B) C) D) E) 0,2 0,5 0,6 0,7 Depende del valor de N. Mis observaciones GUICEN035MT22-A16V1 Resolución 1 Programa Entrenamiento - Matemática Marco teórico Combinatoria Permutación Combinación Sin repetición Con repetición Sin repetición Con repetición Se ordenan un total de n elementos distintos. Se ordenan un total de n elementos, siendo a de un tipo, b de otro, c de otro, etc. De un total de n elementos distintos, se escogen k elementos, sin importar el orden. De n tipos de elementos, se escogen k elementos que pueden repetirse, sin importar el orden. PRna,b,c... = Por ejemplo, ordenar las letras de la palabra MATEMATICA. De un total de n elementos distintos se escogen k elementos, importando el orden. Vn,k = n! (n – k)! Por ejemplo, determinar el 1er, 2do y 3er lugar en un concurso de 7 personas. 2 n! (n – k)! • k! Por ejemplo, escoger 3 personas de un total de 7. CRn,k = (n + k – 1)! k! • (n – 1)! Por ejemplo, escoger 3 bolitas de una bolsa con bolitas de 2 colores. Triángulo de Pascal: se utiliza en experimentos dicotómicos reiterados. Indica la cantidad de combinaciones con un cierto resultado. Variación o arreglo Sin repetición Cn,k = Con repetición De un total de n elementos, se escogen k elementos, pudiendo repetirse e importando el orden. VRn,k = nk Por ejemplo, formar un número de 3 cifras. Por ejemplo, si se lanza una moneda 5 veces. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 2 caras / 3 sellos 1 cara / 4 sellos 0 caras / 5 sellos Por ejemplo, ordenar las letras de la palabra MURCIELAGO. n! a! • b! • c! •... 5 caras / 0 sellos 4 caras / 1 sello 3 caras / 2 sellos Pn = n! GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Probabilidad clásica Experimento aleatorio: es aquel en que el resultado no se puede predecir. Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Evento o suceso (A): es un subconjunto del espacio muestral, definido por alguna condición. La cantidad de elementos del espacio muestral se conoce como “casos totales” o “casos posibles” del experimento. La cantidad de elementos del evento o suceso se conoce como “casos favorables” del evento. 0 P=0 P=1 P 1 evento imposible. evento seguro. La probabilidad de que ocurra A es el cuociente entre los casos favorables de A y los casos posibles del experimento. Regla de Laplace P(A) = casos favorables casos posibles Probabilidad de que no ocurra A: P(A) = 1 – P(A) 3 Programa Entrenamiento - Matemática Tipos de probabilidades Excluyentes: no es posible que ocurran simultáneamente. Dependientes: la probabilidad de uno está influida por la ocurrencia del otro. Tipos de eventos No excluyentes: es posible que ocurran simultáneamente. Independientes: la probabilidad de uno NO está influida por la ocurrencia del otro. Tipos de probabilidades Producto de probabilidades: probabilidad de que ocurra A y B. Probabilidad condicional: probabilidad de que ocurra B, dado que ocurrió A. Suma de probabilidades: probabilidad de que ocurra A o B. Sucesos independientes: P(A B) = P(A) P(B) Sucesos independientes: P(B/A) = P(B) Sucesos excluyentes: P(A B) = P(A) + P(B) Sucesos dependientes: P(A B) = P(A) P(B/A) Sucesos dependientes: Sucesos no excluyentes: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(B/A) = P(A/B) = 4 P(B/A) P(A) P(B) P(A B) P(A) Teorema de Bayes GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Ejercicios PSU 1. De un curso, se han elegido 4 alumnos para formar la directiva y se decide sortear los siguientes cargos: presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. ¿De cuántas maneras distintas puede quedar constituida la directiva? A) B) C) D) E) 2. ¿De cuántas maneras distintas pueden ordenarse 4 personas dentro de un auto sabiendo que solo una de ellas maneja? A) B) C) D) E) 3. 256 24 16 10 4 6 9 16 24 27 Se dispone de dos tarjetas con la letra A, dos tarjetas con la letra B y cuatro tarjetas con la letra C. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las tarjetas en una fila? A) 8! B) 8! 3! C) 8! 16 D) 8! 2! • 4! E) 8! 2! • 2! • 4! 5 Programa Entrenamiento - Matemática 4. Para asistir a un gimnasio, una persona debe escoger dos días cualesquiera, de lunes a sábado. ¿De cuántas formas distintas puede realizar esta selección? A) B) C) D) E) 5. 6. 6 15 21 30 360 720 En una urna se tienen n tarjetas numeradas de 1 a n, todas de igual peso y tamaño, con n un número natural distinto de 1. Al extraer una tarjeta al azar, la probabilidad de extraer el número (n – 1) es A) 1 n B) 1 n–1 C) n–1 n D) 1 E) n n–1 Sobre una mesa se encuentran tres cajas idénticas y en cada una de ellas se encuentran cinco tarjetas, todas de igual peso y tamaño, con una vocal distinta escrita en cada una. Si se escoge una caja al azar, y de ella se escoge una tarjeta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que en la tarjeta escogida esté escrita la vocal O? A) 1 125 B) 1 15 C) 1 5 D) 1 3 E) 8 15 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 7. Un experimento consiste en lanzar dos dados comunes y una moneda, y su resultado se determina de la siguiente manera: • Si en la moneda sale cara, se suman los números que hayan salido en los dados. • Si en la moneda sale sello, se multiplican los números que hayan salido en los dados. Al realizar el experimento una vez, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de este sea 6? 8. A) 5 72 B) 1 9 C) 1 8 D) 5 36 E) 5 18 En una urna solo hay fichas de tres colores: azules, rojas y verdes, todas de igual peso y tamaño. Al escoger una ficha al azar, la probabilidad de que esta no sea roja es que no sea verde es 19 y la probabilidad de 30 17 . ¿Cuál es la probabilidad de que, al escoger una ficha al azar, esta NO 30 sea azul? A) 1 5 B) 3 10 C) 7 10 D) 4 5 E) Faltan datos para determinarla. 7 Programa Entrenamiento - Matemática 9. 10. 8 Si se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número impar mayor que 5? A) 0 B) 1 12 C) 1 6 D) 1 2 E) 2 3 En un curso de 40 estudiantes, los alumnos pueden inscribirse a teatro o atletismo, teniendo la posibilidad de integrase a una, a ambas o a ninguna de esas actividades. Luego de las inscripciones, 16 alumnos del curso se han inscrito en el grupo de teatro, 18 alumnos se han inscrito en el grupo de atletismo y 12 alumnos han decidido no inscribirse en ninguna de las dos actividades. Si se escoge una persona del curso al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dicho alumno esté inscrito solo en atletismo? A) 1 4 B) 3 10 C) 3 8 D) 2 5 E) 9 20 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 11. 12. En una caja hay 150 figuras entre esferas y cubos, pintadas cada una de ellas de un color: verde o rojo; 70 de las figuras de la caja son cubos y 60 de las figuras de la caja son verdes. Si un 20% de las figuras de la caja son cubos verdes entonces, al extraer una figura al azar, la probabilidad de que esta sea una esfera roja es A) 2 15 B) 5 15 C) 8 15 D) 9 15 E) 12 15 Si se lanzan simultáneamente dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 7 o 12? A) 4 36 B) 7 36 C) 4 6 D) 7 6 E) Ninguna de las probabilidades anteriores. 9 Programa Entrenamiento - Matemática 13. 14. 15. Al lanzar un dado común una vez, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor o igual que 2 o mayor que 3? A) 1 3 B) 1 2 C) 2 3 D) 5 6 E) 5 3 Se lanzan dos dados comunes, siendo P la suma de sus resultados. ¿Cuál(es) de los siguientes eventos tiene(n) una probabilidad de ocurrir mayor que 40%? I) II) III) Que P sea un número primo. Que P sea menor que 5 o mayor que 9. Que P sea 6, 7 u 8. A) B) C) D) E) Solo III Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III En una caja solo hay tarjetas de tres colores: 30 son amarillas, 25 verdes y 20 rojas, todas de igual forma y tamaño. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) 10 Al escoger una tarjeta al azar, la probabilidad de obtener una tarjeta amarilla es mayor que la probabilidad de no obtenerla. Al escoger una tarjeta al azar, hay un 45% de probabilidad de obtener una tarjeta roja o una tarjeta verde. Si luego de (n – 1) extracciones sin reposición, con n entero mayor que uno, solo se han obtenido tarjetas verdes y amarillas, entonces la probabilidad de obtener una tarjeta roja al azar en la enésima extracción es mayor que en la primera extracción. Solo I Solo III Solo I y III Solo II y III Ninguna de ellas. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 16. 17. 18. Al lanzar dos dados comunes simultáneamente, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 1 . 4 I) La probabilidad de obtener dos números impares es II) La probabilidad de que la suma de sus caras sea 5 es III) La probabilidad de obtener dos números distintos es A) B) C) D) E) Solo I Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III 1 . 9 5 . 6 En un examen de seis preguntas, un alumno debe contestar verdadero o falso en cada una de ellas. Si un alumno contestó todas las preguntas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente las cinco primeras si acertó en la última? A) 1 64 B) 1 32 C) 1 5 D) 1 2 E) 5 6 Al lanzar dos dados comunes al mismo tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de las caras superiores sea un número primo? A) 0 B) 1 12 C) 1 9 D) 1 6 E) 7 36 11 Programa Entrenamiento - Matemática 19. 20. En una jaula se introducen cuatro ratones de una misma especie: una hembra negra, una hembra blanca, un macho negro y un macho blanco. En esa especie, si dos ratones del mismo color se reproducen, entonces la cría siempre nace del mismo color de los padres. En cambio, si uno de los padres es de color blanco y el otro de color negro, entonces la cría siempre nace de color gris. Luego de dos semanas, los ratones de la jaula han formado dos parejas al azar y se han reproducido, teniendo cada pareja una cría. En ese momento, al escoger un ratón al azar de la jaula, ¿cuál es la probabilidad de que el ratón escogido sea de color gris? A) 1 12 B) 1 6 C) 1 4 D) 1 3 E) 1 2 Al lanzar tres monedas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan al menos dos sellos? A) 1 B) 1 2 C) 1 4 D) 1 8 E) 12 Ninguna de las probabilidades anteriores. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 21. 22. 23. Al lanzar cuatro monedas a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan exactamente tres sellos? A) 3 4 B) 3 8 C) 3 16 D) 1 8 E) 1 4 Al lanzar simultáneamente 5 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas tenga un resultado distinto de las demás? A) 1 32 B) 1 16 C) 3 8 D) 5 8 E) 15 16 El segmento AB de la figura mide 7 metros. Una persona que se encuentra en el punto A realiza el siguiente procedimiento: lanza una moneda y, si sale cara, avanza un metro hacia B. En caso de que salga sello, la persona no se mueve. Luego de lanzar la moneda seis veces, ¿cuál es la probabilidad de que la persona haya superado la mitad del camino de A a B? A) 1 16 B) 15 64 C) 11 32 D) 4 7 E) 1 A B 13 Programa Entrenamiento - Matemática 24. 25. En un experimento de dos partes, la probabilidad de que la primera parte sea exitosa es 2m, con 0 < m < 0,25. Si eso ocurre, la probabilidad de que la segunda parte sea exitosa es m. En cambio, si la primera parte no es exitosa, la probabilidad de que la segunda parte no sea exitosa es 4m. Si la segunda parte del experimento no fue exitosa, entonces la probabilidad de que la primera parte haya sido exitosa se expresa siempre como A) 1–m 3 – 5m B) m 2 – 3m C) 2m 1–m D) 2–m 1 – 3m E) un valor constante que no depende de m. Una niña, cuando va a la casa de su abuela, la mitad de las veces utiliza un camino A, un tercio de las veces utiliza un camino B y el resto de las veces utiliza un camino C. En su viaje, a veces se encuentra con un lobo, lo que ocurre una de cada nueve veces en el camino A, una de cada cinco veces en el camino B y una de cada cuatro veces en el camino C. Si la niña va a la casa de su abuela y se encuentra con el lobo, entonces la probabilidad de que haya sido en el camino B está más cercana al A) B) C) D) E) 26. 14 20% 30% 10% 40% 50% En la figura se muestran tres bloques formados por cuadrados iguales, que pueden ser blancos o grises. Si entre todos los cuadrados se escoge uno al azar y este resulta ser gris, entonces la probabilidad de que provenga del bloque 3 es A) 5 9 B) 1 4 C) 3 5 D) 1 2 E) 9 20 Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 27. 28. 29. 30. Se tiene una caja con plumones rojos y negros, todos de igual forma, peso y tamaño. Se puede determinar la probabilidad de extraer un plumón rojo si: (1) (2) 7 . La probabilidad de extraer un plumón negro es 15 El número total de plumones es 15. A) B) C) D) E) (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional. Se tiene una bolsa con bolitas azules y amarillas, todas de igual peso y tamaño. Se puede determinar la cantidad de bolitas azules que hay en la bolsa si: (1) (2) El total de bolitas es 20. 3 La probabilidad de extraer una bolita amarilla es . 10 A) B) C) D) E) (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional. En una caja solo hay cubos azules, rojos y verdes, todos de igual peso y tamaño. Al escoger de la caja un cubo al azar, se puede calcular la probabilidad de que el cubo sea azul o rojo si: (1) (2) Los cubos verdes corresponden a la quinta parte del total. La cantidad de cubos rojos es igual a la cantidad de cubos azules. A) B) C) D) E) (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional. Se tiene una lista con diez números naturales, ninguno de ellos repetido. Al extraer de la lista dos números al azar, uno tras otro y sin reposición, se puede determinar la probabilidad de que ambos sean pares si: (1) (2) El menor de los números es 5. Los números son consecutivos. A) B) C) D) E) (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional. 15 Programa Entrenamiento - Matemática ü Tabla de corrección Ítem Alternativa Habilidad 1 Aplicación 2 ASE 3 Comprensión 4 Aplicación 5 Comprensión 6 Aplicación 7 ASE 8 ASE 9 Comprensión 10 ASE 11 ASE 12 Aplicación 13 Aplicación 14 ASE 15 ASE 16 ASE 17 ASE 18 Aplicación 19 ASE 20 Aplicación 21 Aplicación 22 Aplicación 23 Aplicación 24 Comprensión 25 Aplicación 26 Comprensión 27 ASE 28 ASE 29 ASE 30 ASE Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial. 16