Cap I ADH (1.4.2 Calculo redes cerradas N

REDES DE DISTRIBUCIÓN
1.4.2 Método de Newton - Raphson
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Método de Newton – Raphson
Uso del método de corrección de caudales:
Éste es un método de aproximaciones sucesivas donde la solución en
cada etapa iterativa se calcula en términos de la solución anterior, del
valor de la función y del valor de la derivada de la función.
Es útil para calcular sistemas no- lineales.
Sea f(x)=0, la función cuya solución (valor de x) se busca
f’(xn-1) = a/b
f(x)
f’(xn-1)
f(x)=0
xn
a
b
xn xn-1
j =1
Q ji + Ci = 0
∑
Verificar condición 2.
f’(xn-1)
∑
xn= xn-1 - f(xn-1)
j =1
∆H ji ≠ 0
j: cañerías en circuito i
(
n
∆H ji = 0
j =1
∆H ji = K j ⋅ Q ji + ∆Qi
)
p
f’(xn-1)
José F. Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
∑
Luego se debe cumplir que en cada circuito:
n
j =1
(
K j ⋅ Q ji + ∆Qi
)
p
=0
El método de Newton-Raphson considera f ( x ) = ∑ j =1 K j ⋅ (Q ji + ∆Qi ) = 0
n
REDES DE DISTRIBUCIÓN
La primera asignación de caudales define una condición inicial en la cual ∆Qi 0 = 0
para cada circuito i, luego la solución de Newton Raphson para la primera iteración
queda:
n
∑ K ⋅ (Q
p
∆Qi = −
Y que: xn = ∆Qi y xn −1 =, ∆Qi 0
luego:
∑ K ⋅ (Q
j
j =1
 ∂

 ∂∆Qi
ji
+ ∆Qi )
p
∆Qi 0
∑ K ⋅ (Q
n
j =1
j
ji
p
+ ∆Qi ) 
 ∆Qi 0
j
j =1
 ∂

 ∂∆Qi
Se tiene entonces que:
n
∆Qi = ∆Qi 0 −
n
iii. Introducir una corrección de caudales única para cada circuito, de
manera que se cumpla la condición 2.
xn = xn-1 - b
X
n
, a = f(xn-1)
f(xn-1)
b=
Suponer distribución de caudales inicial respetando la condición 1.
∑
ii.
entonces:
f(xn-1)
i.
ji
+ ∆Qi )
p
∆Qi = 0
(Ec A)
p
K j ⋅ ( Q ji + ∆Qi ) 
∑
j =1
 ∆Qi 0 = 0
n
∑
n
j =1
K j ⋅ (Q ji + ∆Qi )
= ∑ j =1 K j ⋅ (Q ji )
n
p
∆ Qi = 0
p
Por su parte el denominador queda:
n
 n ∂
p
p −1
⋅
+
∆
=
K
Q
Q
p ⋅K j ⋅ ( Q ji )
(
)
∑

∑
j
ji
i
 j =1 ∂∆Qi
 ∆Qi 0 = 0 j∈1
Los términos correspondientes a cañerías que no pertenecen al circuito i son nulos.
Existirán cañerías que pertenecen a dos circuitos, en cuyo caso las correcciones no se hacen cero.
José F. Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
También se puede expresar cada ecuación (Ec A) que genera un circuito como:
 ∂

 ∂∆Qi
∑ K ⋅ (Q
n
j =1
j
p
p
+ ∆Qi ) 
⋅ ∆Qi = − ∑ K j ⋅ ( Q ji + ∆Qi )
j =1
 ∆Qi 0 = 0
n
ji
∆Qi = 0
Expresando la ecuación en términos de la función:
∆H ji ( Q ji ; ∆Qi ) = K j ⋅ ( Q ji + ∆Qi )
p
la ecuación para cada circuito queda:


∂
∆H ji ( Q ji ; ∆Qi ) 
⋅ ∆Qi = − ∑ ∆H ji ( Q ji ; ∆Qi )
∑
j =1
 j =1 ∂∆Qi
 ∆Qi 0 = 0
∆Qi = 0
n
n
José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
En forma matricial, el sistema de ecuaciones que hay que resolver para n
circuitos es:
 ∂∆H j1

 ∂∆Q1

 ∂∆H j 2
 ∂∆Q
1

 ∂∆H
j3

 ∂∆Q1

∂∆H j1
∆Q1 = 0
∂∆Q2
∆Q2 = 0
∂∆H j 2
∆Q1 = 0
∂∆Q2
∆Q2 = 0
∂∆H j 3
∆Q1 = 0
∂∆Q2
∆Q2 = 0
1. Asignación de caudales Qi , i=1,10, que cumplen condición I
Q2
Q6
Q9
José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
Dado que tanto ∆Hj como ∆Qj tienen un signo asociado a la convención elegida, éste se debe
considerar al momento de evaluar ∆Hj , como al momento de corregir los caudales.
Al evaluar ∆Hj se consideran todos los caudales positivos luego las correcciones ∆Qi se deben
asignar con un signo positivo si tiene la misma dirección de Qj o un signo negativo si tienen una
dirección contraria.
Q
Q
Q
2
6
Q4
9
Q8
Q1
Q1
Q4
∆Q1
Q3
Para el circuito 1:
Q8
∆Q2
Q5
∆Q3
Q10



∆Q1=0




∆Q2 =0




∆Q3 =0 
Resolviendo el sistema se obtiene una corrección ∆Q1 , ∆Q2 , ∆Q3 aplicable
a cada circuito.
Si esa corrección cumple con las condiciones de pérdida de energía, la red
está resuelta. Si no, se vuelve a realizar la iteración.
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Ejemplo: red de 3 circuitos.
 n

  ∆Q1   −∑ ∆H j1
  j =1
∂∆Q3 ∆Q =0  
3

 


  n
∂∆H j 2
∆
Q

2
=

 =  −∑ ∆H j 2
∂∆Q3 ∆Q =0  
  j =1

3


∆Q3   n
∂∆H j 3

 



  −∑ ∆H j 3
∂∆Q3 ∆Q =0 
j =1
3


∂∆H j1
∆Q1
∆Q2
Q3
Q5
∆Q3
Q10
Q7
∆H j1 = K1 ⋅ (Q1 + ∆Q1 ) + K 2 ⋅ (Q2 + ∆Q1 ) − K 4 ⋅ (Q4 − ∆Q1 + ∆Q2 ) − K 3 ⋅ (Q3 − ∆Q1 )
p
p
p
p
Q7
Para el circuito 2:
La convención de signos es positiva en el sentido de las manecillas del
reloj y la corrección de caudales es ∆Q1, ∆Q2, ∆Q3.
Las cañerías 1, 2, 4 y 3 pertenecen al circuito 1
Las cañerías 4, 6, 8 y 5 pertenecen al circuito 2
Las cañerías 8, 9, 10 y 7 pertenecen al circuito 3
José F. Muñoz Pardo
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∆H j 2 = K 4 ⋅ ( Q4 + ∆Q2 − ∆Q1 ) + K 6 ⋅ ( Q6 + ∆Q2 ) − K 8 ⋅ ( Q8 − ∆Q2 + ∆Q3 ) − K 5 ⋅ ( Q5 − ∆Q2 )
p
p
p
Para el circuito 3:
∆H j 3 = K 8 ⋅ (Q8 − ∆Q2 + ∆Q3 ) + K 9 ⋅ (Q9 + ∆Q3 ) − K 10 ⋅ (Q10 − ∆Q3 ) − K 7 ⋅ (Q7 − ∆Q3 )
p
José F. Muñoz Pardo
p
p
p
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p
REDES DE DISTRIBUCIÓN
las derivadas resultantes
evaluadas en ∆Q1= ∆Q2=∆Q3 =0
∂∆H j1
∑ ∂∆Q
Ejemplo de cálculo de red con método Newton-Raphson
p −1
1
= p ⋅ K1 ⋅ Q
p −1
2
+ p ⋅ K2 ⋅ Q
p −1
3
+ p ⋅ K3 ⋅ Q
p −1
4
+ p ⋅ K4 ⋅ Q
Para la red de la figura, se tiene la asignación inicial siguiente:
1
∂∆H j1
∑ ∂∆Q
REDES DE DISTRIBUCIÓN
∂∆H j1
∑ ∂∆Q
= − p ⋅ K 4 ⋅ Q4p −1
2
=0
90 lt/s
55 lt/s
3
1
A
∑
∂∆H j 2
∂∆Q1
∂∆H j 2
∑ ∂∆Q
∂∆H j 2
∑ ∂∆Q
= − p ⋅ K 4 ⋅ Q4p −1
= − p ⋅ K8 ⋅ Q8p −1
∑
∂∆Q1
∂∆H j 3
∑ ∂∆Q
= p ⋅ K 4 ⋅ Q4p −1 + p ⋅ K 5 ⋅ Q5p −1 + p ⋅ K 6 ⋅ Q6p −1 + p ⋅ K 8 ⋅ Q8p −1
+1
30 lt/s
∂∆H j 3
∑ ∂∆Q
35 lt/s
6
3
+2
5
60 lt/s
4
F
=0
C
20 lt/s
3
E
5 lt/s
D
25 lt/s
= − p ⋅ K8 ⋅ Q8p −1
2
= p ⋅ K 7 ⋅ Q7p −1 + p ⋅ K8 ⋅ Q8p −1 + p ⋅ K 9 ⋅ Q9p −1 + p ⋅ K10 ⋅ Q10p −1
José F. Muñoz3 Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
( )
Datos:
Ecuación de pérdida de energía ∆ H ji = K j ⋅ Q ji
Coeficiente de cada cañería
10,67 ⋅ L
∆h f = 1.85 4.87 ⋅ Q1.85
CH D
Para 2 circuitos, el sistema es de 2x2
 ∂∆H j1
∑
∂∆Q1

 ∂∆H j 2
∑ ∂∆Q
1

B
35 lt/s
7
2
∂∆H j 3
2
35 lt/s
p
Coeficiente K
1
1011
2
3012
3
2512
4
12324
5
18486
6
3012
7
18486
José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
Los términos de la ecuación
matricial de 2x2 son:
− ∑ ∆H j1
p = 1,85
Cañería j
∂∆H j1 
∑ ∂∆Q   ∆Q1   − ∑ ∆H j1 ∆Q =0 
2 
1

⋅
=
∂∆H j 2  ∆Q2  − ∑ ∆H j 2

∆Q2 = 0 

∑ ∂∆Q 
2 
José F. Muñoz Pardo
∂∆H j1
j∈1
= p ⋅ ∑ K j ⋅ Q jp1−1
1 ∆Q1 = 0
∂∆H j 2
∂∆Q1
∆Q1 = 0
n
∑ ∂∆Q
∑
n
= −∑ K j ⋅ Q jp1
j∈1
n
∆Q2 = 0
= −∑ K j ⋅ Q jp2
j∈2
∂∆H j1
∑ ∂∆Q
−1
= − p ⋅ ∑ K j ⋅ Q jp(1,2
)
2 ∆Q2 = 0
−1
= − p ⋅ ∑ K j ⋅ Q jp(1,2
)
∆Q1 = 0
− ∑ ∆H j 2
j∈1,2
∂∆H j 2
∑ ∂∆Q
2
j∈1,2
n
= p ⋅ ∑ K j ⋅ Q jp2−1
∆Q2 = 0
j∈2
Finalmente, el sistema a evaluar queda:
 p ⋅ ∑ K j ⋅ Q jp1−1

j∈1
− p ⋅
−1
K j ⋅ Q jp(1,2
∑
)

j∈1,2

José F. Muñoz Pardo
−1

 −∑ K j ⋅ Q jp1 
− p ⋅ ∑ K j ⋅ Q jp(1,2
)
  ∆Q1   j∈1

j∈1,2
⋅
=

p −1  
p 
p ⋅ ∑ K j ⋅ Q j 2   ∆Q2   −∑ K j ⋅ Q j 2 
j∈2

 j∈2

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REDES DE DISTRIBUCIÓN
Iteración N°1
Circuito 1
La ecuación matricial a resolver en la primera iteración queda:
Kj
Qj
1,85 ⋅ K j Q 0ji,85
K j Q 0ji,85
K j Q 1ji.85
j
Tramo
1
AB
1011
0,055
85,92
158,94
4,73
5
BE
18485
0,020
664,83
1229,94
13,30
6
EF
12323
-0,005
136,41
252,36
-0,86
7
FA
2512
-0,035
145,37
268,93
-5,09
1910,18
12,26
∑
Circuito 2
REDES DE DISTRIBUCIÓN
K jQ
1,85 ⋅ K j Q
0 , 85
ji
0 , 85
ji
K jQ
1 .85
ji
j
Tramo
Kj
Qj
2
BC
3011
0,035
174,29
322,44
6,1
3
CD
18485
0,035
1069,78
1979,09
37,44
4
ED
3011
-0,025
130,93
242,22
-3,27
5
EB
18485
-0,020
664,83
1229,94
-13,30
3773,69
26,97
∑
 1910,18 −1229,94   ∆Q1   −12, 26 
 −1229,94 3773, 69  ⋅  ∆Q  =  −26, 07 

  2 

De donde se obtienen:
∆Q1 = −0, 014 m
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90 lt/s
41 lt/s
1
A
Circuito 1: Q AB = Q AB + ∆Q1 = 0, 055 + ( −0, 014 ) = 0, 041
QBE = QBE + ∆Q1 − ∆Q2 = 0, 020 + ( −0, 014 ) − ( −0, 012 ) = 0, 018
QEF = QEF + ∆Q1 = −0, 005 + ( −0, 014 ) = −0, 019
QFA = QFA + ∆Q1 = −0, 035 + ( −0, 014 ) = −0, 049
Circuito 2 Q = Q + ∆Q = 0, 035 + ( −0, 012 ) = 0, 023
BC
BC
2
QCD = QCD + ∆Q2 = 0, 035 + ( −0, 014 ) = 0, 023
QED = QED + ∆ Q2 = −0, 025 + ( −0, 014 ) = −0, 037
3
s
5
6
F
José F. Muñoz Pardo
2
C
18 lt/s
∆Q1 = −14
30 lt/s
23 lt/s
B
49 lt/s
7
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Al evaluar los nuevos caudales se debe considerar su signo:
∆Q2 = −0, 012 m
s
Y la corrección de caudales:
23 lt/s
3
∆Q2 = −12
60 lt/s
4
E
19 lt/s
José F. Muñoz Pardo
3
D
37 lt/s
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
1.4.3 Extensión métodos de Hardy Cross y Newton Raphson a redes
complejas ( varios estanques, bombas, válvulas).
Los métodos de H-C y N-R permiten resolver redes que contienen un
sólo estanque (sólo el nivel energético del punto de alimentación de la red es
fijo).
Sin embargo el sistema se puede acondicionar de tal forma que exista
una solución para redes con más de un estanque, con singularidades y/o
bombas interconectadas entre algunos nodos.
Veremos ahora el procedimiento para la resolución de problemas con
presencia de varios estanques, bombas y singularidades.
QEB = QEB + ∆Q2 − ∆Q1 = −0, 020 + ( −0, 012 ) − ( −0, 014 ) = −0, 018
José F. Muñoz Pardo
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José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
En una red con dos estanques, la diferencia de energía entre A y F
siempre será la misma al recorrer la red por cualquier camino y será
igual a la diferencia de energía entre los estanques 1 y 2.
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Esta condición se puede representar por una pseudo-cañería que tenga una
pérdida de energía igual a la diferencia entre los dos estanques y cuyo caudal
represente el flujo de entrada y/o salida de ellos.
Z1
∆H AF = E1 − E 2 = z1 − z 2
A
B
C
D
E
F
José F. Muñoz Pardo
Z2
Se reemplaza el estanque de menor energía por una pseudo cañería conectada al estanque de
mayor energía y se asigna el signo positivo al nuevo circuito en la dirección del estanque de
mayor energía hacia el de menor energía.
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José F. Muñoz Pardo
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Redes que incluyen cañerías con bomba:
La energía que proporciona la
bomba se obtiene de la curva
característica de la bomba:
HB
• ηmax
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
Redes que incluyen cañerías con válvulas:
La pérdida de energía por fricción más por singularidades para la cañería
j queda:
∆H j = K j ⋅ Q jp + K S ⋅ Q 2j
Q
La pérdida de energía en la cañería j, que tiene
una bomba se puede expresar como:
H B = A − B ⋅ Q j − C ⋅ Q 2j
∆H j = Pérdida por friccion - H B
∆H j = K j ⋅ Q jp − H B
Luego, la pérdida y ganancia de energía en la cañería j es
(
∆H j = K j ⋅ Q jp − A − B ⋅ Q j − C ⋅ Q 2j
José F. Muñoz Pardo
)
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José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
Cálculo del caudal correctivo en un circuito con bombas y válvulas
∆Qi = −
∑ [K ⋅ Q ] =
p ⋅ ∑ [K ⋅ Q ]
j =1
n
p
ji
j
j =1
j
p −1
ji
n
- Suma algebraica de pérdidas
Derivada de suma algebraica
∑ [K
n
j =1
j
]
[
(
⋅ Q jip − H b = ∑ j =1 K j ⋅ Q jip − A − B ⋅ Q ji − C ⋅ Q 2ji
n
p −1
∆Qi
+ B j + 2 ⋅ C j ⋅ Q ji + 2 ⋅ K S ⋅ Q ji
∑ K ⋅Q − (A − B ⋅Q − C ⋅Q ) + K
=−
+ B + 2 ⋅C ⋅ Q + 2 ⋅ K
p⋅∑ K ⋅ Q
n
j =1
p
ji
j
j
j
ji
2
ji
j
S
⋅ Q 2ji
S
⋅ Q ji
p −1
n
j =1
Suma algebraica de pérdidas ( roce + bomba – pérdidas singulares):
Bomba:
Derivada de la suma algebraica de pérdidas + bomba + pérdidas singulares:
p ⋅ ∑ j =1 K j ⋅ Q ji
De acuerdo al método de Hardy Cross:
n
REDES DE DISTRIBUCIÓN
j
j
j
j
ji
)]
En pseudo-cañerías la pérdida de energía es constante luego : p ⋅ K j ⋅ Q ji
Válvula:
∑ [∆H ] = ∑ [K
n
j =1
n
ji
j =1
j
⋅ Q jip + K S ⋅ Q 2ji
]
En cañerías sin bombas:
p −1
=0
Aj, Bj, Cj = 0
En cañerías sin válvulas: KS = 0
José F. Muñoz Pardo
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José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Ejemplo red compleja con Gasto en Camino
1° Iteración con Hardy Cross, cálculo de caudales correctivos:
Se tiene un sistema industrial con la siguiente red y la distribución
inicial de caudales que se muestra; cota estanque E1 105m, cota estanque
E2 95m, cota de la bomba B1 200m.
Circuito 1:
Tramo
2
3
E1-E2
r
76,49
458,9
-----
Q(l/s) ∆H (m)
180
-3,21
111,5
-7,93
10
----∑ -1,133
q1 = −
1,85 * r * Q 0,85
32,94
131,54
----164,49
∑ ∆H
∑1,85* r * Q
0,85
= 0, 0069
* En la columna r del tramo E1-E2 corresponde a la diferencia de cota entre estos estanques.
**El caudal en el tramo 3 corresponde al caudal de diseño: 111,5 l/s
3 mallas, sistema 3x3
José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
1° Iteración con Hardy Cross, cálculo de caudales correctivos:
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
1° Iteración con Hardy Cross, cálculo de caudales correctivos:
José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
1° Iteración con Newton Raphson, cálculo de caudales correctivos:
1° Iteración con Newton Raphson, cálculo de caudales correctivos:
Circuito 1:
Circuito 3:
Tramo
r
Q(l/s)
∆H (m)
dH/dq1
dH/dq2
2
76,49
180
-3,21
32,94
-32,94
3
458,9
111,5
-7,93
131,54
EA-EB
-----
-----
10
∑
-1,13
164,49
dH/dq3
-131,54
-32,94
-131,54
* En la columna r del tramo E1-E2 corresponde a la diferencia de cota entre estos estanques.
**El caudal en el tramo 3 corresponde al caudal de diseño: 111,5 l/s
Q(l/s) ∆H (m)
111,5
7,93
Tramo
r
3
458,9
6
382,41
55
-1,79
60,12
7
133,85
5
0,01
2,74
6,15
194,40
∑
dH/dq1
dH/dq2
131,54
-131,54
dH/dq3
-60,12
-131,54
-60,12
La Matriz de Newton Raphson queda:
Resolviendo, se tiene que los caudales correctivos de cada malla son:
Circuito 2:
q1= -0,0558 m3/s
q2= -0,0161 m3/s
q3= -0,0744 m3/s
José F. Muñoz Pardo
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José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
1° Iteración con Newton Raphson, cálculo de caudales correctivos :
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Ejemplo Redes Cerradas- Hardy-Cross
La red cerrada de la figura permite abastecer la demanda puntual de
dos industrias, y además, permite abastecer la demanda de riego de un predio
agrícola (80 l/s), mediante un sistema tipo gasto en camino.
La cañería que abastece de riego al predio agrícola tiene un largo de 80m. y un
diámetro de 200mm.
Tramo
1-2
2-3
3-4
1-5
5-2
4-2
A-1
José F. Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
r
2500
2000
1700
1500
1200
2000
500
José F Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Considerando que las demandas se mantienen constantes en el tiempo se pide:
a) Determinar el caudal total que aportan los estanques. ¿Es posible saber a “priori” cuánto
caudal aporta cada estanque?
b) Realizar una iteración por el método Hardy-Cross y calcular los caudales corregidos en cada
tubería.
c) Determinar la perdida singular que se produce en la válvula y la potencia que consume la
bomba, luego de realizada la primera iteración.
d) Determinar la altura de energía (carga hidráulica) en el punto F considerando que en dicho
punto el caudal saliente es nulo.
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Se realiza primero un balance de caudales iniciales, para determinar las
condiciones iniciales antes de iterar. De esta forma se sabe que el caudal que aportan
ambos estanques debe ser 100 l/seg, ya que las únicas salidas del sistema son los 80 l/s del
gasto repartido y los 10 l/s puntuales en los nodos 2 y 5.
De forma preliminar no se puede determinar cuánto caudal aporta cada estanque,
ya que aún no se conoce cómo funciona la red del sistema, sólo se sabe que entre los dos
aportan 100 l/seg.
q1+
200 l/s
100 l/s
140 l/s
Considere:
- Pérdida por fricción: ∆H f = rij *Q1,85
q2+
- Pérdida singular: ∆H s = 8000 * Q
- Curva característica de la bomba: H B = 90 − 400 * Q − 1200 * Q 2
- Eficiencia de la bomba: η B = 80%
- γ = 10.000kg / m2. s2
- Caudal saliente en el punto F igual a cero.
- Factor de fricción tramo 4-F: f = 0,02
José F Muñoz Pardo
q3+
150 l/s
2
PF
γ
40 l/s
= Patm
g = 9,8m 2 / s
π = 3,14
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José F Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
Método Hardy Cross.
Circuito 1
B-A
1-2
2-3
r
2500
2000
Q
0,05
0,14
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Se tienen 3 circuitos cerrados.
r·Q1,85
600-400·Q-1200·Q2
8000·Q2
1,85·r·Q0,85
∆Hf
100
9,8
52,6
∆HB
-10,48
∆HK
-
|∆Hf'|
362,44
695,68
Método Hardy Cross.
-400-2400·Q 16000·Q
|∆HB'|
736
|∆HK'|
-
En el circuito 1, se tiene una pseudo-cañería que reemplaza al estanque de menor
valor. Se estima que la pérdida a través de la pseudo-cañería corresponde a la diferencia de
cotas de los dos estanques.
Con respecto a las pérdidas introducidas por la bomba, se consideran negativas,
ya que en el sentido del caudal correctivo la energía del circuito va disminuyendo debido a
las pérdidas, sin embargo la bomba inyecta energía. De esta forma la pérdida introducida
por la bomba sería negativa dentro del circuito.
Para evaluar las pérdidas se utilizan los caudales en valor absoluto, los signos se
anteponen sólo por ser consistentes con la convención inicial para poder corregir los
caudales.
José F Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
Circuito 2
1-2
2-5
5-1
r
2500
1200
1500
Q
0,05
-0,14
-0,15
Se tienen 3 circuitos cerrados.
r·Q1,85
600-400·Q-1200·Q2
8000·Q2
1,85·r·Q0,85
∆Hf
9,8
-31,59
-44,86
∆HB
-
∆HK
-156,8
-
|∆Hf'|
362,44
417,4
553,27
-400-2400·Q 16000·Q
|∆HB'|
-
|∆HK'|
2240
-
En este circuito se incluye una válvula. De la misma forma que la bomba, el
tratamiento que se le da al signo tiene relación con el sentido del flujo. El caudal correctivo
indica que la energía disminuye del nodo 2 al nodo 5, sin embargo la posición de la válvula
indica que la pérdida se da en sentido contrario, por lo que la pérdida se considera negativa.
Circuito 3
2-3
3-4
4-2
r
2000
1700
2000
Q
0,14
0,04
-0,04
r·Q1,85
600-400·Q-1200·Q2
8000·Q2
1,85·r·Q0,85
∆Hf
52,65
4,41
-5,19
∆HB
-10,48
-
∆HK
-
|∆Hf'|
695,68
203,88
239,86
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-400-2400·Q 16000·Q
|∆HB'|
736
-
|∆HK'|
-
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
De esta manera los caudales correctivos tras la primera iteración son:
q1 = −
∑ ∆H = − 151,92 = −0,0847 m
∑ ∆H ′ 1794,12
∑ ∆H = 0,0625 m
q =−
seg
∑ ∆H ′
∑ ∆H = −0,022 m
q =−
seg
∑ ∆H ′
3
seg
3
q1+
115,3 l/s
15,3 l/s
27,8 l/s
2
33,3 l/s
3
3
87,5 l/s
q2+
q3+
Finalmente los caudales corregidos quedan:
77,5 l/s
Q1′−2 = Q1−2 + q1 + q2 = 0,05 + (−0,0847) + 0,0625= 0,0278
Q2′−3 = Q2−3 + q1 + q3 = 0,14 + (−0,0847) + (−0,022) = 0,0333
Q3′−4 = Q3−4 + q3 = 0,018
Q4′−2 = Q4−2 − q3 = 0,062
Q2′−5 = Q2−5 − q2 = 0,0775
Q1′−5 = Q1−5 − q2 = 0,0875
José F Muñoz Pardo
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José F Muñoz Pardo
18 l/s
62 l/s
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
c) Determinar la pérdida singular que produce la válvula y la potencia que consume la
bomba, luego de realizada la primera iteración.
d) Determinar la altura de energía en el punto F, considerando que en dicho punto el caudal
que sale es nulo.
La pérdida singular que produce la válvula se evalúa de la expresión dada:
Para determinar la carga hidráulica en el punto F se realiza Bernoulli entre el estanque A y
el punto F.
2
2
Z A = ZF +
∆H S = 8000 ⋅ Q 2 = 48,05
PF
γ
+
VF
f ⋅ L V4 Dis
+ Λ A−1 + Λ1−2 + Λ 2−4 +
⋅
2⋅ g
D 2⋅ g
El caudal de diseño o equivalente para determinar la pérdida de energía en la tubería 4-f se
determina mediante:
3
Q4 D = 0,55 ⋅ D + 0 = 44 lt
La potencia consumida por la bomba se determina mediante el cálculo de la altura de
elevación y luego la potencia:
Y la velocidad queda:
∆H B = 90 − 400 ⋅ Q − 1200 ⋅ Q 2 = 75,35
Pot =
José F Muñoz Pardo
= 0,044 m
seg
3
QD
= 1,4 m
seg
A
Z F = 100 − 3,3 − 11,67 − 9,19 − 0,8 = 75,04
V2
100 = Z F + r ⋅ Q12 + r ⋅ Q22 + r ⋅ Q32 + 8 ⋅ 4 Dis
2⋅ g
Reemplazando en el balance de energía:
γ ⋅ HB ⋅Q
= 31.364,4Watt
η
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V4 D =
seg
H F = 75,04
José F Muñoz Pardo
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