TEMA 2 ÓPTICA ONDULATORIA y ELECTROMAGNÉTICA

Apuntes de Óptica
Fundamentos de Óptica
Curso 2010/11
TEMA 2
ÓPTICA ONDULATORIA
y ELECTROMAGNÉTICA
Prof. Dr. E. Gómez González
Departamento de Física Aplicada III
E.S.Ingenieros - Universidad de Sevilla
2º
2º Ing.
Ing. Telecom.
Telecom. CAMPOS
CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
ELECTROMAGNÉTICOS –– ÓPTICA
ÓPTICA (TEMA
(TEMA 22 –– Óptica
Óptica Ondulatoria
Ondulatoria yy Electromagnética)
Electromagnética)
1
©©E.G.G.
E.G.G.DFA
DFAIII-ESI
III-ESI2010/11
2010/11
UNIVERSIDAD
UNIVERSIDADDE
DESEVILLA
SEVILLA
Tema 2: Óptica Ondulatoria y
Electromagnética
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Repaso: perturbación ondulatoria, velocidad de fase y velocidad de grupo
Solución ondulatoria de las ecuaciones de Maxwell
Ondas tridimensionales. Principio de Huyghens
Rayo y frente de onda
Energía, potencia e irradiancia
Cantidad de movimiento y presión de radiación
Polarización
Coeficientes de reflexión y transmisión
Interferencia
Recubrimientos antirreflectantes
Difracción
Límite de resolución
Red de difracción
Óptica de Fourier
Estos Fundamentos de Óptica han sido específicamente adaptados como Apuntes para el Curso de Óptica que imparte el autor
en la asignatura Campos Electromagnéticos de Ingeniería de Telecomunicación de la E.S.Ingenieros de la Universidad de Sevilla.
Se recomienda su utilización combinada con los demás materiales y referencias de la asignatura.
Propiedad Intelectual
Estos Apuntes, así como el material contenido en ellos, están protegidos por las normas vigentes de Propiedad Intelectual y únicamente pueden
destinarse al estudio personal. Para citar la información contenida en los mismos debe indicarse:
Gómez González, E.: Fundamentos de Óptica, Universidad de Sevilla 2009.
así como los datos específicos de cada obra detallados en las Referencias indicadas entre corchetes [].
Portada: Visualización de la aerodinámica de un modelo de transbordador en un túnel de viento. NASA s.XX.
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ψ ( x) = f ( x) → ψ ( x, t ) = f ( x − vt )
Repaso: Perturbación Ondulatoria
• ec. del perfil Ψ(x, t=0) = f(x)
• ec. diferencial
∂ 2ψ
1 ∂ 2ψ
=
∂x 2 v 2 ∂t 2
• si el perfil es sinusoidal → onda armónica → Síntesis de Fourier
ψ ( x, t ) = A sen [ k ( x − vt ) ] = A sen ( kx − ωt )
ψ ( x, t ) = ψ ( x ± λ , t ) → k =
ψ ( x, t ) = ψ ( x, t ± τ ) → τ =
v=λ f, ω=
2π
τ
2π
λ
λ
v
Fase: ϕ = kx m ωt + ε
∂ϕ
ϕ ( x, t ) = cte →
=0
∂t
• k = número de propagación (número de onda)
• A = amplitud
La función de onda se repite al cabo de una
distancia λ (longitud de onda) y al cabo de un
tiempo τ (periodo)
r r
r r
En 3D: ψ = f (u ⋅ r ) → ϕ = u ⋅ r − vt
r
u = vector unitario en la dirección de propagación
r r
→ frente de ondas ϕ = u ⋅ r − vt = cte
( ∂ϕ ∂t ) x ω
∂ϕ
∂ϕ ∂x ∂ϕ
∂ϕ
v →v=−
+
=
+
=±
k
∂t x ∂x t ∂t
∂t x ∂x t
( ∂ϕ ∂x ) t
Frente de ondas: lugar geométrico de los puntos con fase constante → la velocidad de propagación de la
condición de fase constante es la velocidad de fase v (ó vf)
rr
r r
r r
r r
r r r
r
r
i ( k ⋅r m ω t )
planas condición : ( r − ro ) ⋅ k = 0 → k ⋅ r = cte ↔ ec. plano // ψ (r ) = A sen k ⋅ r → ψ (r , t ) = A sen k ⋅ r m ωt = A e
(
esféricas condición : r = cte → ψ (r , t ) =
)
(
)
A
A
sen(k ( r m vt ) ) = e ik ( r m vt )
r
r
Principio de Huyghens: La propagación de una onda a través del espacio puede
describirse considerando que cada punto de un frente de onda primario es un foco
emisor de ondas elementales secundarias que avanzan con velocidad y frecuencia
iguales a las de la onda primaria, y cuya envolvente al cabo de un cierto tiempo
define la nueva posición del frente de onda primario.
Rayos: Son las trayectorias ortogonales a los frentes de onda
[1]
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Repaso: Velocidad de fase y velocidad de grupo
suma de componentes
Transmisión de información ↔ pulso → VELOCIDAD DE GRUPO
Supongamos sólo dos componentes de frecuencias próximas: ψ1(ω) y ψ2(ω’)
ψ ( x) = ψ 1 +ψ 2 = A sen ( kx − ωt ) + A sen ( k ' x − ω ' t ) = ...
⎧1
⎫
⎛1
⎞
= 2 A cos ⎨ ⎣⎡( k '− k ) x − (ω '− ω ) t ⎦⎤ ⎬ sen ⎜ ⎣⎡( k '+ k ) x − (ω '+ ω ) t ⎦⎤ ⎟
⎩2
⎭
⎝2
⎠
Envolvente (modulada en amplitud) propagándose con vg
En relación con las propiedades
del medio (n):
dω
→ vg = v f
dk
ω '− ω
dv f
dv f
dv f
dω
2
vg =
=
→ vg = v f + k
= vf − λ
= vf − λ
k '− k
dk
dk
dλ
dν
⎛ k dn ⎞
⎜1 −
⎟
⎝ n dk ⎠
k = 2π
ω
=
k
v
f
λ
ω = k cn
La relación ω= ω(k) es la relación de dispersión, propia del medio
vg =
• si la velocidad de fase es
independiente de la longitud de
onda ↔ medio no dispersivo
dv f
dλ
=0↔
dv f
dk
= 0 → vg = v f
• en un medio dispersivo,
la velocidad de la señal
es la velocidad de grupo
vf = λ ν
dispersión normal:
dispersión anómala:
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dv f
dλ
dv f
dλ
> 0 → vg < v f
< 0 → vg > v f
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Solución ondulatoria de las ecuaciones de Maxwell
ur ur
∇⋅E = ρ
ur
ur ur
∂B
∇× E = −
∂t
ur ur ur
∂
∇× ∇× E = −
∂t
ur ur ur
ur
∇ ∇ ⋅ E − ∇2 E
=
(
(
)
ur ur
∇⋅B = 0
ur
ur ur
ur ur
ur
∂E
∇ × B = μO J + J m + J p + ε o μ o
∂t
ur ur
∇× B
(
(
)
)
)
ur ∂ ur ur
∇ E=
∇× B
∂t
2
=
donde ∃ cargas: ρ = 0
∇⋅E
(
)
ur
donde ∃ materia: J m = 0
ur
Jp =0
ur
2
ur
∂
E
∇ 2 E = ε o μo 2 ↔ EC. de ONDA
∂t
donde
v=
1
ε o μo
ur
ur
u
r
⎛
∂
∂E ⎞
2
∇ E = ⎜ μo J + ε o
⎟
∂t ⎝
∂t ⎠
ur
donde ∃ fuentes: J = 0
= c0
• Por tanto, las ecuaciones de Maxwell tienen soluciones ondulatorias en forma de ondas
transversales (E, B, S), propagándose con velocidad en el vacío co ≈ 3·108 m/s
¾ E = vector campo eléctrico
↔ define la dirección (plano) de polarización
¾ B = vector campo magnético
¾ S = vector de Poynting
↔ dirección de propagación de la energía
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Ej. 1: Un haz de luz con longitud de onda en el vacío λo= 500 nm incide en un diamante (n = 2.4)
¿Cuál es su longitud de onda? ¿y su frecuencia?
• Frecuencia f: NO CAMBIA (!!)
• Velocidad de propagación:
c 3 ⋅108
=
= 1.25 ⋅108 m / s
vd =
2.4
nd
nd =
c λo f o λo f λo 500
=
=
=
=
= 208 nm
λf d
λf
λ 2.4
vd
Ej. 2: Una onda luminosa armónica plana desplazándose en un medio transparente está dada (en SI) por:
E x = 100 senπ ( 3 ⋅ 10 6 z − 9 ⋅ 1014 t ) , E y = 0, E z = 0
Determinar: i) las magnitudes ondulatorias ii) el índice de refracción del medio a la frecuencia de
la onda y su la longitud de onda en el vacío ¿A qué rango del espectro corresponde?
C o m p a ra n d o c o n
E x ( z , t ) = E o x se n k ( z − v t ),
re − e sc rib im o s E x c o m o
E x = 1 0 2 se n ⎡⎣ 3 ⋅ 1 0 6 π ( z − 3 ⋅ 1 0 8 t ) ⎤⎦
→ k = 3 ⋅10 6 π
→ v = 3 ⋅108
→ λ = 2π
→ f = v
λ
λ
fa se in ic ia l ϕ o = 0
m −1
E ox = 1 0 2
m/s
=L =
V /m
667 nm
= L = 4 .5 ⋅ 1 0 1 4
Hz
→ τ =
1
f
= L = 2 .2 ⋅ 1 0 − 1 5
s
O n d a d e L U Z R O J A , p o la r iza d a lin e a lm e n te e n la d ire c c ió n x ,
p ro p a g á n d o se a lo l a rg o d e l e je z .
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Energía, potencia e irradiancia
Luz: f ~ 500 THz → en 1·10-9 s, la fase varía 5·105 veces: ¡¡ demasiado rápido !!
→ los detectores [células sensibles (retina), películas químicas, electrónicos] son sensibles a un promedio
temporal, no a las variaciones del campo.
r
r
D
ado
E
=
E
por ser una onda transversal
o cos ( kx − ω t )
Como las ondas
r
r
electromagnéticas se
E o = c Bo
propagan en la dirección
r
r r
r
r
2
2
2
dada por
→
P
=
c
ε
E
x
B
=
c
ε
E
x
B
cos
( kx − ω t )
o
o
o
o
r r
ExB
la energía por unidad de
tiempo (potencia) por unidad
de área que fluye
(perpendicular) en el
espacio libre está dada por
el vector de Poynting,
cuyo módulo representa la
densidad de flujo radiante,
emergente (exitancia) o
incidente (irradiancia).
r
r r
P = c2 ε o E x B
r
P = P , [ P ] = W / m2
Recordemos que dimensionalmente
potencia = energía/tiempo
[potencia] = W
recordem os cóm o se efectúa el prom edio de una función en un T
1
< cos ( kx − ω t ) >=
T
2
t +T
∫
cos 2 ( kx − ω t ' ) dt ' =
t
1
1
⎡ sen ( 2 kx − 2ω ( t + T ) ) − sen 2 ( kx − ω t ) ⎤⎦
−
2 4ω T ⎣
si el tiem po caracteristico de var iación de la función (τ ) es
1
τ << T → ω T << 1 → < cos 2 ( kx − ω t ) > ≈
2
2
r
r
cεo 2
E 1
Eo = c ε o < E 2 >
⇒ < P >= c 2 ε o
=
2
c 2
r
Relación entre la irradiancia en el
cεo 2
frente de ondas y el campo
Eo
<P>=I =
electromagnético de la onda.
2
=
Para un emisor de potencia P siendo
I=
P
π R2
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y, por tanto, la
irradiancia = potencia/área
[irradiancia] = W/m2
- haz cilíndrico de sección circular con diámetro D = 2R:
- fuente puntual isótropa, a una distancia r:
I=
P
4π r 2
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Ej. 3: Un láser emite una potencia P en un haz colimado de diámetro D. Calcular su irradiancia si P = 100 mW,
y D = 2 mm.
100 ⋅10 −3
I=
= 31.8 ⋅103 W / m 2
Sol.:
−3 2
π (1 ⋅10 )
Ej. 4: Una onda electromagnética plana de λo=500 nm se propaga en el vacío en la dirección del eje “y”. Si el
campo eléctrico está linealmente polarizado en el plano “yz”, calcular la amplitud (valor instantáneo) del campo
magnético cuando la irradiancia es I = 53.2 W/m2
Ej. 5: Una bombilla de potencia Po se observa a una distancia d. Determinar el campo eléctrico en el detector
(suponiendo emisión isótropa). Po = 60 W, d = 2 m.
• si d>> tamaño → fuente puntual
• a una distancia r, la energía define un frente de ondas esférico cuya irradiancia (I) será
r
c εo 2
< P >=
Eo
2
Como , por otra parte ,
→
E o2
4π r 2
Po =
2c μ o
→
⎛P μ c⎞
Eo = ⎜ o o 2 ⎟
⎝ 2π r ⎠
y
1
2
c=
1
ε o μo
→ cε o =
1
I=
Po
4π r 2
cμo
= L = 30 V/m
Cantidad de movimiento y presión de radiación (i)
La relación entre la energía de un fotón (∆E) y su frecuencia (f) viene dada
por la fórmula de Planck:
∆E = h f
donde h = 6.62568·10-34 J · s
Así, en un análisis simplificado, la energía de una onda electromagnética se relaciona con su cantidad de
movimiento (p) por
p=
h f
h
ΔE h f
=
=
=
λ
c
c
λ
T
( )
y también ΔE = c Δp relacionado con la fuerza ejercida por
F=
Δp
Δt
r
r
Vectorialmente podemos escribir p = h k siendo h = h 2π
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Cantidad de movimiento y presión de radiación (ii)
Luz
presion =
Onda Electromagnética
Propiedades ondulatorias
F Δp Δt
=
A
A
energía ΔE = c Δp
→ presión de radiación
Prad =
Flujo de Fotones
Propiedades corpusculares (partícula):
cantidad de movimiento: p
1 ΔE c I
=
A Δt
c
Irradiancia ↔ Presión de radiación:
- efecto sobre circuitos
- ¿velero solar?
www.ugcs.caltech.edu/~diedrich/solarsails/
Ej. 6: Un haz colimado de irradiancia I = 3·104 W/m2 incide sobre una pantalla absorbente de área A = 1 cm2.
¿cuál es la presión ejercida sobre la misma? ¿y la cantidad de movimiento transmitida a la pantalla
durante un intervalo de tiempo de 1000 s?
Prad
I 3 ⋅104
−4
= =
=
10
c 3 ⋅108
N / m 2 → Δp = Prad A Δt = L = 10−5
kg m / s ¿ velero espacial ?
Ej. 7: Una fuente emite una potencia luminosa Po con longitud de onda λ. ¿Cuántos fotones por segundo
están saliendo de la fuente? Po = 100 W, λ = 500 nm.
Po Δ t = E pero, también, la energia total emitida por la fuente ( E ) se relaciona con el número
de fotones emitidos y la energia de cada uno de ellos ( Δ E ) com o E = N Δ E = N h f = N h
→ N h
c
λ
= Po Δ t → N =
Po λ
= L = 25 ⋅ 1019 fotones/s
hc
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c
λ
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Polarización
El vector campo eléctrico de la luz emitida por las fuentes ordinarias (p.ej. la luz solar)
tiene una orientación aleatoria respecto a la dirección de propagación (OX),
denominándose luz no polarizada ó con polarización aleatoria. Cuando este vector
muestra una orientación preferente (vectores alineados paralelos a una dirección
dada), se denomina luz polarizada.
La polarización puede ser parcial o completa. Cuando el vector campo E describe una
trayectoria helicoidal al propagarse (la componente Y o la Z tienen un retraso de 45º),
se dice que presenta polarización circular. Según el sentido de la rotación del vector
(visto desde el “extremo” de la dirección de propagación) puede ser dextrógira o
levógira. La luz que no está perfectamente polarizada circularmente se dice que
presenta polarización elíptica. Un polarizador es un dispositivo que únicamente
permite el paso de luz polarizada en una cierta dirección (eje de transmisión).
Cuando la luz incide sobre una interfase, su polarización puede
definirse respecto al plano que contiene a la luz incidente y reflejada
(plano de incidencia) y se denomina polarización p a la luz cuyo vector
campo eléctrico es paralelo (//) al plano de incidencia y polarización s
a la luz cuyo vector campo eléctrico es perpendicular (┴) al mismo.
[1]
La luz reflejada no tiene las mismas intensidades de polarizacións y –p que la luz incidente, estando sus magnitudes dadas por las
ecuaciones de Fresnel en función de los ángulos de incidencia (θi)
y de refracción (θr) en la interfase:
IS = −
sin (θ r − θi )
sin (θ r + θi )
IP = −
tg (θ r − θi )
tg (θ r + θ i )
En general, el grado de polarización de un haz es: 0 ≤ P ≤ 1
P=
I // − I + I max − I min
=
I // + I + I max + I min
Cuando la luz natural (solar) se refleja sobre superficies (dieléctricos)
especulares (agua, nieve, cristal, …) la luz reflejada (= brillos) tiene
polarización horizontal.
Para un cierto ángulo de incidencia, la intensidad (reflejada)
de la luz polarizada-p (Ip) se anula siendo, por tanto,
únicamente transmitida. Este ángulo se denomina ángulo de
Brewster (θB) y para los cristales normales es del orden de
θB ≈ 53º.
Las ventanas de Brewster se usan para controlar la
polarización de la luz emitida por sistemas láser (aunque se
desaproveche parte de la energía emitida).
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Métodos para polarizar la luz y sus aplicaciones
Por reflexión: incidencia sobre una “ventana” con el ángulo de Brewster
Por doble refracción: - materiales birrefringentes: 2 rayos, polarizados perpendiculares (calcita, cuarzo)
- combinaciones de prismas: Wollaston, Rochon, Sénarmont, …
Por absorción selectiva (dicroismo): materiales que sólo dejan pasar las componentes paralelas a una cierta dirección
característica del medio (dirección de polarización). Descubierto en 1938 por E.H. Land: material Polaroid - absorción selectiva
de luz por moléculas orientadas (hidrocarburos de cadena larga) que absorben la luz // cadenas y transmiten la luz ┴ cadenas
= eje de transmisión. También ocurre en algunas sustancias naturales: turmalina, hepatita.
Otros: - retardadores de fase / intensidad, polarizadores circulares
- medios con actividad óptica / efectos electroópticos
- efecto magnetoóptico (efecto Faraday) ↔ almacenamiento
magnetoóptico de información
comunicaciones ópticas
Medida de la Polarización: Se mide la intensidad transmitida en las
direcciones paralela y perpendicular al eje del polarizador
E ⎯⎯⎯⎯
→ EO ⎯⎯⎯→
EO cos θ
POLARIZ
ANALIZ
[17]
I o ∝ Eo2 → I ∝ Eo2 cos 2 θ → I = I o cos 2 θ
Ley de Malus
Método de análisis: Las tensiones y
deformaciones estructurales en algunos
materiales provocan cambios de propiedades
ópticas del medio y haciendo incidir luz
polarizada se pone de manifiesto su
distribución espacial: fotoelasticidad
Luz a través de
2 Polarizadores
con Ejes //
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Luz a través de
2 Polarizadores
con Ejes ┴
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Incidencia en una superficie: reflexión y refracción
Cuando se estudia la incidencia de una onda plana monocromática sobre una superficie de separación de
medios (n1 y n2) se descompone el campo eléctrico en sus componentes paralela y perpendicular al plano
de incidencia (P.I.)
• si el E está polarizado en dirección perpendicular al P.I. → modo transverso-eléctrico (TE)
• si el E está polarizado en dirección paralela al P.I.
→ modo transverso-magnético (TM)
luz natural: se refleja de manera tal que E vibra
perpendicular al plano de incidencia
↔ paralelo a la superficie
(excepto si la incidencia es normal a la superficie)
Para una onda electromagnética reflejada sobre
una superficie de separación con un medio
[1]
• de mayor índice de refracción que aquel en el que se mueve: cambio de fase de 180º
• de menor índice de refracción: no hay cambio de fase
En ambos casos, la onda transmitida no experimenta cambio de fase
[7]
Analogía con
una onda mecánica
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Coeficientes de reflexión y transmisión
Aplicando las condiciones de salto en las interfases a las ecuaciones de Maxwell se obtienen los
coeficientes de reflexión (r) y de refracción o de transmisión (t) para las componentes paralela (//) y
perpendicular (┴) de los campos: FÓRMULAS DE FRESNEL
n1 cos θ 2 − n2 cos θ1
n1 cos θ 2 + n2 cos θ1
r =
Er
r⊥ =
Er ⊥ n1 cos θ1 − n2 cos θ 2
=
Ei ⊥ n1 cos θ1 + n2 cos θ 2
Ei
=
2n1 cos θ1
n1 cos θ 2 + n2 cos θ1
t =
Et
t⊥ =
Et ⊥
2n1 cos θ1
=
Ei ⊥ n1 cos θ1 + n2 cos θ 2
Ei
=
A partir de estos coeficientes se obtienen los factores de reflexión (reflectividad, R) y de transmisión
(transmitividad, T) de la interfase para las energías, dependientes, en general, de los índices a ambos
lados de la superficie de separación, del ángulo de incidencia y de la polarización de la luz incidente. Para
luz natural (polarización aleatoria) se tiene
2
R = r ⎯⎯⎯⎯
→ RLN =
luz natural
T = 1− R =
y en incidencia “casi” normal, la
reflectividad de la interfase es:
Rθ
1
n2 cos θ 2 2
t
n1 cos θ1
⎡n − n ⎤
=⎢ 1 2⎥
⎣ n1 + n2 ⎦
1 2 2
( r + r⊥ )
2
2
Ej. 1. - Para la interfase aire (n = 1) – vidrio (n = 1.5), en incidencia normal,
R = 0.04: sólo el 4% de la luz incidente es reflejada.
- Sin embargo, para aire-AsGa (n=3.6) → R = 0.32 de modo que
se refleja el 32% de la luz.
Vemos en la figura cómo para ángulos oblicuos hay grandes diferencias en R.
[1]
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Interferencia (i)
Se produce cuando se superponen, en un punto, dos ondas de
i) la misma longitud de onda y
ii) que presentan una diferencia de fase (desfase) constante entre sí ( ↔ coherentes)
la mayoría de emisores luminosos: cambios aleatorios cada 10-8 s → no se observan
[7]
→ obtención de emisiones coherentes mediante
i) división del frente de onda:
- experimento de la doble rendija de Young
- espejo de Lloyd (posiciones invertidas por ∆φ de reflexión)
- espejo doble de Fresnel
ii) división de amplitud
- interferómetro de Michelson
- interferómetro de Mach-Zender
- interferómetro de Pohl
iii) fuentes de luz láser: véase Tema 3.
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Interferencia (ii) El experimento de doble rendija de Young (1801, Grimaldi 1655)
[7]
[7]
• en P se produce interferencia constructiva si las ondas llegan con un desfase de λ
e interferencia destructiva si el desfase es λ/2
• si L>>d → r1// r2 → la diferencia entre los rayos es δ = r2-r1= d senθ
constructiva si δ = m λ
(m = 0, ±1, ±2,…)
destructiva si δ = (m + ½) λ (m = 0, ±1, ±2,…)
m es el número de orden
- franja brillante central: máximo de orden cero m = 0
- primer máximo a cada lado: m = ±1
ybrillante = m
yoscuro
d
1 ⎞ λL
⎛
= ⎜m+ ⎟
2⎠ d
⎝
⎛ π d senθ ⎞
I = I max cos 2 ⎜
⎟
λ
⎝
⎠
• en magnitudes lineales: si L>>d y d>>λ → senθ ≈ tgθ = y/L
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λL
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Aplicaciones de los fenómenos de interferencia
¾ En ÓPTICA: multitud de tecnologías …
- interferencias de haces múltiples: en películas delgadas: → recubrimientos antirreflectantes
- interferencias de 2 haces → técnicas de metrología:
Ventajas: precisión ~ λ, sin contacto, rapidez
Inconvenientes: estabilidad, coste
• interferencias en capas de espesor variable: microscopio de interferencia
• interferómetros de medida y análisis: de Fabry-Perot, …
visualización de medios transparentes: túnel de viento, ….
• interferometría de moteado (speckle)
• otros …
- holografía: → imagen 3D
¾ En RADIACIÓN / RADIOCOMUNICACIÓN / RADAR: (según λ)
Ejs.: balizamiento, sistema de aterrizaje asistido
(Instrument Landing System, ILS)
(esquema simplificado)
El ILS sirve para guiar a los aviones en el aterrizaje aún con poca visibilidad:
las antenas A1 y A2, a ambos lados de la pista están separadas una distancia
d (40 m) y emiten una señal de radio (30 MHz) sin modular.
Las dos antenas son, para esa λ, emisores puntuales en una configuración
análoga a la de Young: Si el piloto “engancha” (y sigue) la línea de máxima
Señal correspondiente a la interferencia constructiva central, entonces
está correctamente orientado hacia la pista.
[7]
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Interferencia en películas delgadas
Rayo 1: ∆φ1: reflexión ↔ ∆φ1 = 180º → λn/2
Rayo 2: ∆φ2: recorrido 2t en el medio (λn= λ/n) → m λn
Condición de interferencia constructiva:
1⎞
1⎞
⎛
⎛
2t = ⎜ m + ⎟ λn ↔ 2 n t = ⎜ m + ⎟ λ
2⎠
2⎠
⎝
⎝
n1
( m = 0,1, 2,...)
Condición de interferencia destructiva:
n2
2nt =mλ
n3
[7]
( m = 0,1, 2,...)
¡¡ recubrimientos antirreflectantes !!
(reducción de pérdidas ~ 30% → 10%)
→ n f = ( no ⋅ ns )
12
aire/medio exterior (no) → recubrimiento (nf) → sustrato (ns)
[20]
También se diseñan filtros que refuerzan (mediante
interferencia constructiva) alguna λ transmitida: Fabry-Perot
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Ej. 1: Las células solares de Si (n2 = 3.5) suelen recubrirse de una película transparente de monóxido de
silicio (SiO, n3 = 1.45) para minimizar las pérdidas por reflexión. ¿Cuál es el grosor mínimo de la capa que
minimiza la reflexión para 550 nm?
Sol.: La condición de interferencia destructiva, teniendo en cuenta
que la reflexión en la interfase entre los medios 2 y 3 también
produce un cambio de fase por reflexión, nos da:
2t =
λn
2
=λ
2n
→t =
λ
4n
=
550
= 94.8 nm
4(1.45)
Ej. 2: Las lentes de componentes ópticos suelen recubrirse con una capa antirreflectante de fluoruro de
magnesio (MgF2 con n = 1.38).
En capas de
espesor variable
En películas delgadas:
la condición de interferencia
cons/des-tructiva depende de λ
y del espesor de la capa
negro = capa fina
rojo = capa gruesa
→ Técnicas de medida remota
de la contaminación:
análisis de imagen aérea
[7]
Película de petróleo
sobre agua
←
Análisis de calidad de
componentes ópticos:
anillos de Newton
(en lentes)
→
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[17]
18
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Filtros ópticos
Filtros Polarizadores: Dejan pasar la luz con plano de vibración (E) paralelo a la dirección
de transmisión. Habitualmente se usan para atenuar los reflejos de la luz solar en superficies como agua,
cristal, … (polarización horizontal) incrementando la saturación de los colores. Los polarizadores lineales suelen interferir con los
mecanismos de enfoque y exposición automáticos, siendo preferibles los polarizadores circulares.
Filtros de Color: Bloquean/dejan pasar un rango definido de longitudes de onda. En instrumentos ópticos, son muy usados
los “filtros UV”, transparentes en el visible que bloquean gran parte del UV (A, B), perjudicial para el ojo humano, y protegen las
lentes del instrumento de polvo y arañazos. Los filtros de color, utilizados para conseguir distintos efectos ópticos, se clasifican
según la norma ISO 8980-3 en 5 categorías, de menor a mayor protección. También apantallan parte de los rayos UVA y UVB con
más eficacia cuanto más alta es la categoría. Al fotografiar con ellos es necesario aumentar la exposición en un “factor de filtro” para
compensar la menor cantidad de energía incidente en el sensor.
Categoría del filtro Absorción (%)
0
0 a 20%
1
20 a 57%
2
57 a 82%
3
82 a 92%
4
92 a 97%
Uso
Días de poca luminosidad, nublados. Aptos para conducción diurna y nocturna.
Días de luminosidad media.
Días soleados de final de otoño, invierno y principio de primavera.
Días muy soleados, actividades al aire libre. Es la más habitual.
Nieve, altitudes superiores a 3000 m.
Filtros Neutros (filtros de densidad neutra, “filtros grises”): Disminuyen la intensidad de la luz que los
atraviesa sin alterar la distribución espectral de la energía, es decir, atenúan por igual todas las longitudes de onda visibles (pueden
fabricarse para el rango 250 nm – 2500 nm). No alteran el color ni el contraste de los objetos. Se utilizan para escenas con alta
iluminación. Permiten usar aperturas de diafragma grandes y, por tanto, reducir la profundidad de campo en las fotografías. La
atenuación se caracteriza por el valor de densidad óptica (optical density, OD) del filtro, comprendido en el rango OD = 0.04 – 4.00.
La transmisión correspondiente a un valor de OD se calcula como se indica y, por tanto, los valores de OD de varios filtros
consecutivos son aditivos: OD (1+2) = OD(1) + OD(2), siendo
− OD
T (%) = 10
⋅100
Ej.: Gafas de Sol.
Las gafas “de bajo coste” (rastros, mercadillos) suelen ser atenuadores, que reducen los reflejos molestos porque reducen la
cantidad total de luz visible que llega al ojo (normalmente, en más del 90%). Son peligrosas porque causan una dilatación de la
pupila (debido a la reducción de la luz “total” incidente) y no bloquean la luz UV perjudicial, que entra “fácilmente” en el ojo.
Las gafas “de gama media” suelen ser filtros de color adecuados para distintos usos según la categoría del filtro.
Las gafas “de gama alta” suelen ser polarizadas (con polarización vertical), bloqueando los reflejos. No reducen tanto la cantidad
de luz incidente en el ojo (transmisión ≈ 65%) , permitiendo su uso en situaciones donde no interesa perder capacidad de visión. Al
atenuar menos, la visión de los colores es más fiel y reducen el esfuerzo visual.
Uso para conducción: las normas vigentes (ECE22-05), establecen (para visores y parasoles) una transmisión mínima del 50%
en conducción diurna y del 80% en conducción nocturna.
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Interferencia: Aplicaciones industriales
Visualización de
imágenes en túnel de viento:
posible porque
n = n (P, T, …)
[17]
[4]
Interferómetro Mach-Zender
[17]
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Difracción
La difracción es la desviación (dispersión) de la luz respecto a la trayectoria rectilínea (en un medio homogéneo) al pasar a
través de una apertura o alrededor de un obstáculo. Los fenómenos de difracción se ponen de manifiesto cuando las
dimensiones características de los obstáculos / aperturas (D) son del orden de la longitud de onda (λ). Se producen en
los bordes / filos / aristas de los objetos.
Elementos
[7]
[7]
• radiación incidente (λ)
λ~D
(fuente)
d1
λ<<D
• elemento difractante (D)
d2
• pantalla de observación
El patrón (diagrama) de difracción correspondiente a una apertura dada puede
obtenerse como superposición (interferencia) de un gran número de fuentes
puntuales elementales (coherentes) mediante el Principio de Huyghens.
Condiciones (regímenes) de difracción:
• si la radiación incide sobre el obstáculo como si procediera de una fuente en el
infinito* y si la radiación difractada incide sobre la pantalla de observación de la
misma manera* → Difracción de Fraunhofer (o de campo lejano).
• si no se verifica alguna de las dos condiciones (alguna o ambas distancias son
finitas) → Difracción de Fresnel (o de campo cercano)
*Esta condición puede conseguirse mediante haces colimados ↔ d1, d2 ~ ∞
Radar: λ ≈ km
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Difracción de Fraunhofer (o de campo lejano)
i) Difracción por una rendija de anchura a: Interferencia destructiva si
a
λ
λ
sen θ = → sen θ oscuro = m
2
2
2
(m = ±1, ±2, ±3,...) → θ min =
λ
a
[7]
ii) Patrón de difracción por una abertura
circular de diámetro D situada a una
distancia d del plano (pantalla) de
observación: es un disco central brillante,
denominado Disco de Airy, rodeado de
anillos cada vez más débiles:
radio = r, diámetro = DA = 2·r
θ min = 1.22
λ
D
↔ r = 1.22
λd
D
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Límite de resolución (criterio de Rayleigh): dos imágenes
formadas por una apertura (de 2 fuentes puntuales Si) se
encuentran en el umbral de resolución si el máximo central
del diagrama de difracción de una de las imágenes coincide
con el primer mínimo de la otra:
• rendija (a): θ min = λ a ↔ debe ser θ > θmin
• apertura circular (D): disco de Airy
• cuando observamos con el ojo:
D = diámetro de la pupila
• para cualquier lente o dispositivo:
D = pupila de entrada = diámetro efectivo
d = f = distancia focal imagen
λf
= 1.22 λ f/#
D
→ D A = 2 r = 2.44 λ f/#
r = 1.22
En el espectro visible se puede hacer la aproximación:
2.44 λ ≈ 1000 nm → diámetro DA (μm) ≈ f/#
¡ muy útil en la práctica !
Potencia de Resolución (PR=s, resolving power = tamaño del mínimo ”punto”
discernible) y Ángulo de Aceptación (α) de una lente de distancia focal f y diámetro D:
s = PR = f θ min = 1.22
λf
D
= ... = 1.22
λ
2 sen α
=
0.61 λ
sen α
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Resolución
Ej. 1 El telescopio Hale del Monte Palomar tiene un diámetro de 5.08 m.
¿Cuál es su umbral de resolución para luz de 600 nm?
Sol.: θmin=1.44·10-7 rad ≈ 0.03 s de arco (realmente es ~0.1 s de arco por la dispersión atmosférica)
Ej. 2 La imagen de un punto distante formada por una cámara con una lente de f/# 1.4
sobre el plano de la película es …
Sol: una “mancha” (imagen) circular de 1.4 μm = 1.4·10-6 m
Resolución del ojo humano: limitada por varios factores, todos del mismo orden de magnitud
• es variable: mejor en la fóvea, donde el espacio entre los conos es menor (~ 3 μm)
• diámetro de la pupila: varía desde ~ 2 mm → ~ 8 mm
• máxima sensibilidad para λ = 550 nm
• aceptando la longitud del ojo ~ 20 mm
límite de difracción:
λ
θ = 1.22
D
→ R ANG O : θ ojo ≈ 8 ⋅ 10 − 5 rad → θ ojo ≈ 6 ⋅ 10 − 4 rad
→ potencia de resolución “teórica”: desde s ≈ 2 μm (pupila abierta) → s ≈ 15 μm (pupila cerrada)
• las aberraciones esférica y cromática también limitan la resolución real hasta ~ 10 μm
esto equivale a una separación angular θojo ≈ 5·10-4 rad ↔ objetos separados 1 cm situados a 20 m
• en el punto cercano típico (do = 25 cm), esta capacidad de resolución angular equivale a poder distinguir
“objetos” (punto) de un tamaño mínimo
s = d· θojo ≈ 10-4 m = 0.1 mm
• con los mejores microscopios ópticos se pueden resolver objetos de tamaño s ~ 200 nm
→ aumento útil = resolución ojo sin ayuda / resolución del microscopio = 0.1mm/200nm = 500x
En la práctica se usa un aumento de 1000x para minimizar la tensión ocular. Cualquier aumento
mayor simplemente haría visible el patrón de difracción producido por el objetivo del microscopio
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Red de difracción: Conjunto de un gran número de rendijas idénticas,
equidistantes, paralelas grabadas sobre la superficie de un material
• se caracteriza por: separación entre rendijas (d)
(ó periodo de la red (Λ) ó constante de la red) ó la
frecuencia espacial de la red (ν)
1
ν =
lin e a s / m m
[20]
Λ
• el orden de difracción (n ó m) indica los máximos del diagrama
de difracción, cada uno de los cuales sale en un ángulo
(dado por la interferencia constructiva entre los haces)
[7]
• la condición para que se produzca máxima intensidad en el
diagrama de difracción, para incidencia perpendicular, es
d sen θ brillante = m λ
(m=0, 1, 2, 3,...)
• ecuación general de la red:
m λ = d ( sen θ ± sen θ ' )
m = 0,1, 2, 3, ...
• dispersión angular de la red:
Poder de resolución de la red: siendo N el
número total de líneas iluminadas:
D =
dθ m
m
=
Λ cos θ m
dλ
R =
λ
= N m
Δλ
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Aplicaciones de las redes de difracción
1. Análisis de fuentes luminosas:
espectros de emisión / absorción
(redes de difracción en
espectrómetros)
[17]
[17]
2. Lectores de CD: (véase también el Tema 5)
Ej. Un láser de He-Ne (λ = 632.8 nm) incide normalmente sobre una red de difracción que tiene 6000 líneas/cm.
Hallar los ángulos en que salen los máximos de 1º, 2º y 3er orden.
Sol.: d = 1/6000 = 1.667·10-4 cm = 1667 nm; m = 1 → sen θ1 = λ/d = 0.3797 → θ1=22.31º,
m = 2 → θ2 = 49.41º, para m = 3 sale sen θ3 > 1 → sol. No real: sólo m = 0, 1 y 2.
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[1]
Óptica de Fourier (i)
Se puede demostrar que, en las condiciones de
difracción de Fraunhofer, la imagen (patrón de difracción)
por una lente convergente de un objeto plano situado a f es,
en el plano imagen, igual a la transformada de Fourier bidimensional
de la distribución de amplitudes del objeto. Las altas/bajas frecuencias
espaciales de la imagen originan “manchas luminosas” en la zonas
lejanas/cercanas al eje en el plano de Fourier.
Otra lente (también situada a f de este plano) realiza una transformación inversa
→ ¡¡ PROCESADO ÓPTICO DE INFORMACIÓN !!
[1]
↔ ÒPTICA DE FOURIER
• Objeto = fotografía / fotograma
• Iluminación: láser
aplicación de máscaras opacas
Filtrado de la imagen
Filtros: paso alta / baja, contornos, ruido, …
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Óptica de Fourier (ii)
Procesado “físico” de imágenes mediante difracción
Aplicación de filtros:
Imagen procesada = luna “limpia”
Imagen original = luna + franjas
Aplicación de filtro paso de baja
[1]
transparente
opaco
Aplicación de filtro paso de alta
Históricamente: utilizado para procesar imágenes
de satélite (Guerra Fría s. XX)
Ventajas
• instantáneo
• sin necesidad de
almacenamiento
• tamaño punto (↔ pixel) ~λ
Inconvenientes
• estabilidad
• necesidad de láser
En la actualidad: integración optoelectrónica
[1]
Patrón de difracción
(transformada de
Fourier 2D)
Patrón con máscara superpuesta
(“tapando” componentes espectrales
de las franjas)
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