INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA
El concepto de integral
definida está relacionado
con el valor que determina
el área bajo la curva dada
por una función f (x) en el
intervalo [a, b] . (vea la
gráfica)
B
B
B
B
Uno de los primeros pasos para llegar a este concepto fue
desarrollado por Riemann, quien abordo el cálculo del área con
particiones rectangulares, como se muestra en la siguiente gráfica.
El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas
rectangulares de igual ancho ∆x , y por la función f(x), esta dada por
B
B
n
A = ∑ f (ci )∆x
B
i =1
B
Con la animación podemos observar que el área exacta bajo la
curva se da por la suma de infinitas particiones rectangulares.
Luego el área exacta es el límite de estas sumas, llamadas sumas
de Riemann,
n
A = lim ∑ f (ci )∆x
n→∞
B
i =1
B
En general (f positiva o negativa), se da la siguiente definición.
DEFINICIÓN: La integral definida de f des a hasta b es
B
∫
b
n
∑ f (ci )∆x
f ( x)dx = lim
n →∞
i =1
a
B
para cualquier función f definida en [a,b] para la cual existe el límite.
La letra griega Σ indica suma; esto mismo hace la “s” alargada, ∫ ,
que se usa como símbolo para la integral. Los límites de
integración, inferior a y superior b, indican el intervalo en el que se
está integrando.
B
B
B
Nota: Si f es continua y f ( x) ≥ 0 en [a,b], entonces
B
B
Área bajo la
B
B
∫
b
a
curva en [a,b]
f ( x)dx =
B
En otras palabras, la integral es definida por que da como resultado
un valor numérico.
Propiedades de la integral definida
Sean f, g funciones integrables definidas en el intervalo [a, b]. Entonces se
cumplen las siguientes propiedades:
1. Propiedades de linealidad:
U
i)
B
∫
b
a
ii) Si c ∈ R, entonces
B
iii)
B
∫
( f ( x) + g ( x))dx =
∫
b
a
B
B
∫
b
a
b
a
f ( x)dx +
∫
b
a
g ( x)dx
B
b
c f ( x)dx = c ∫ f ( x)dx
a
B
a
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b
B
2. Propiedad de aditividad respecto del intervalo:
U
Si a < c < b , entonces
B
B
B
∫
b
a
f ( x)dx =
∫
c
a
f ( x)dx +
∫
b
c
f ( x)dx
B
En la gráfica se puede interpretar:
a
f ( x)dx = 0
3. ∫a
Esta propiedad se puede interpretar como la no existencia de área en el
mismo punto.
B
B
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
Este teorema permite calcular la integral definida de una función utilizando la
antiderivada de la función a ser integrada. Este se divide en dos partes y cuya segunda
parte también es llamado segundo teorema fundamental del cálculo o también se le
llama la Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.
Teorema:
Parte I : Sea f una función integrable en el intervalo [a, b] , se define una nueva
función
U
U
B
B
B
B
x
F ( x) = ∫ f (t )dt
a
Entonces F es continua en [a, b] . Tal que
F ' ( x) = f ( x)
Es más, si f es continua en un punto c del intervalo (a, b ) , entonces F es derivable en
cy
F ' ( c ) = f (c )
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Parte II : Si F es una antiderivada de f, entonces
U
U
B
∫
b
a
f ( x)dx = F (b) − F (a)
B
Esta parte indica como evaluar la integral definida de una función f(x). Entonces
primero se halla la antiderivada de la función y luego esta se evalúa en el límite
superior y se resta el valor en el límite inferior.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Algunas veces es necesario encontrar la media (valor medio) de una función f(x)
continua en un intervalo [a,b], entonces existirá un punto c en este intervalo donde se
alcanza este valor. El siguiente teorema permite determinar el valor medio:
Teorema:
Dada una función continua f definida en [a,b], existe un valor c tal que:
b
1
f ( x)dx = f (c)
(b − a ) ∫a
B
B
Interpretación gráfica
Ejercicios resueltos:
Ejemplo 1: Teorema fundamental (parte II)
Evaluar la siguiente integral
B
∫
2
0
x 2 dx
B
Nota : la interpretación que le podemos dar a esta integral es hallar el área bajo la
curva de la parábola dada entre x = 0 y x = 2
U
U
B
B
B
2
Solución: primero hallamos la antiderivada de x y la evaluamos en x = 2 y en
x=0
U
B
B
U
B
B
B
B
∫
2
0
x 2 dx =
B
x 3 2 23 03 8
=
−
3 0 3
3 =3
B
Ejemplo 2: Utilizando el método de sustitución
Evaluar al siguiente integral
3x
dx
−1 ( x + 1) 3
∫
2
2
Solución: Hacemos cambio de variable
u = ( x 2 + 1) (1)
B
B
B
⎧si x = −1 ⇒ u = 2
Cambiamos los limites de integración ⎨
⎩si x = 2 ⇒ u = 5
Derivando la expresión (1)
du = 2 xdx
Sustituyendo, la nueva integral queda,
∫
5
2
3
du
2u 3
De otra forma podemos escribir,
2 5 −3
u du
3 ∫2
Resolviendo la integral,
=
2 u −2 u = 2
3 −2 u =5
Reemplazando y simplificando,
1 1
1
=− ( 2 − 2)
3 2
5
1 25 − 4
=− (
)
3 100
7
=−
100
Ejemplo 3: Teorema fundamental (parte I)
x
Sea la función integral f ( x) = ∫ (t 2 − t )dt , hallar f ´(x ) y luego evaluar f ´(−1)
1
Solución:
Utilizando el teorema fundamental en su parte I, dice que la derivada de una
función integral es,
d x 2
(t + t )dt
dx ∫1
f ´(x) = x 2 + x
f ´(x) =
Ahora la hallamos en el punto dado x = −1 , esto es,
f ´(−1) = (−1) 2 + (−1) = 0 .