PROBLEMAS PARA EL TEMA” ECUACIÓN DE HAMILTON –JACOBI”

PROBLEMAS PAEA PREVIO III MECANICA TEORICA II 2008
ECUACIONES DE HAMILTON
1. Hállese Hamiltoniana (6ptos)y ecuaciones canónicas (4ptos) para un sistema que tiene Lagrangiana:
L  q1  q 2 q12  2q1q 2 q 22  4q12  3q 22  5q1q 2
Solución:
p1  L q1  2q1  q 2  q1 ; p 2  L q 2  4q1q 2 q 2 ;  q1  p1 / 2q1  q 2 ; q 2  p 2 / 4q1q 2
H  q1 p1  q 2 p 2  L  q1 p1  q 2 p 2  q1  q 2 q12  2q1 q 2 q 22  4q12  3q 22  5q1 q 2 ;
H   p1 / 2q1  q 2 p1   p 2 / 4q1 q 2 p 2  q1  q 2  p1 / 2q1  q 2 2  2q1 q 2  p 2 / 4q1 q 2 2  4q12  3q 22  5q1 q 2 ;
Respuesta:
H  p 12 /4q 1  q 2   p 22 /8q1q 2  4q 12  3q 22  5q 1q 2 ;
q 1  H p 1  p 1 /2q 1  q 2 ;
q 2  H p 2  p 2 /4q 1 q 2 ;
p 1   H q 1  p 12 /4q 1  q 2 2  p 22 /8q 1 2 q 2  8q 1  5q 2
p 2   H q 2  p 12 /4q 1  q 2 2  p 22 /8q 1 q 2 2  6q 2  5q 1
2.
Para un sistema presentado en la Fig.1 que consiste de una nasa M conectada
resorte con el coeficiente de elasticidad k y un péndulo matemático con masa m y de
L hállese Lagrangiana (5pts) Hamiltoniana (3pts) y ecuaciones canónicas (2pts) .
Solución:
Coordenadas generalizadas, q1 el aumento de la longitud de la resorte y q 2 el ángulo
péndulo matemático. Siendo l 0 la longitud de la resorte en equilibrio, las coordenadas
cartesianas están relacionadas con las coordenadas generalizadas como:
x1  0; y1  l 0  q1 ; x 2  L sin q 2 ; y 2  y1  L cos q 2  l 0  q1  L cos q 2
Las velocidades cartesianas son:
x1  0; y1  q1 ; x 2  Lq 2 cos q 2 ; y 2  q1  Lq 2 sin q 2





Mq12 m 2
M 2
m 2
x1  y12 
x 2  y 22 

q1  L2 q 22  2 Lq1 q 2 sin q 2
2
2
2
2
La energía potencial es: V  Mgy1  mgy 2  M  mg l 0  q1   mgL cos q 2  kq12 / 2
La energía cinética es: T 

con una
longitud
del


Mq12 m 2

q1  L2 q 22  2Lq1 q 2 sin q 2  M  mg l 0  q1   mgL cos q 2  kq12 / 2
2
2
En la aproximación de las oscilaciones pequeñas hay que dejar solo los términos hasta el segundo orden respecto q1 y q 2 ,
La función de Lagrange: L  T  V 
poner cos q 2  1  q 22 / 2 y despreciar el término  2Lq1q 2 sin q 2 como de tercera orden. Por eso
M  mq12


mL2 q 22
 M  mg l 0  q1   mgL 1  q 22 / 2  kq12 / 2
2
2
Momentos lineales conjugados:
p1  L q1  M  m q1 ; p 2  L q 2  mL2 q 2 ;  q1  p1 / M  m; q 2  p 2 / mL2
Hamiltoniana:
M  mq12 mL2 q 22
H  q1 p1  q 2 p 2  L  q1 p1  q 2 p 2 

 M  mg l 0  q1   mgL 1  q 22 / 2  kq12 / 2;
2
2
Sustituyendo (2) en (1) tenemos Respuestas:
M  mq 12 mL2 q 22
L

 M  m gl 0  q 1   mgL 1  q 22 /2  kq 12 /2
2
2
p 12
p 22
H

 M  m gl 0  q 1   mgL 1  q 22 /2  kq 12 /2
2M  m  2mL2
q 1  H p 1  p 1 / M  m ;
p 1   H q 1  M  m g  kq 1
L  T V 




q 2  H p 2  p 2 /mL2 ;



p 2   H q 2   mgLq 2
3.
Lagrangiana de un sistema mecánico es: L  q12 / 2  q 22 / 2  q 32 / 2  q32
¿Cuáles coordenadas son cíclicas (2pts)? Hállese la Routhiana (4pts ) y ecuaciones de Routh (4pts)
(1)
(2)
Solución:
Las coordenadas q1 y q 2 son cíclicas y sus momentos lineales conjugados son:
p1  L q1  q1 ; p 2  q 2 ;  q1  p1 ; q 2  p 2
La función de Routh:
R p1 , p 2 , q3 , p3   q1 p1  q 2 p 2  L  q1 p1  q 2 p 2  q12 / 2  q 22 / 2  q 32 / 2  q32  p12 / 2  p 22 / 2  q 32 / 2  q32
Ecuaciones de Routh:
p 1   R q1  0  p1  const  p10 ; p 2   R q 2  0  p 2  const  p 20
d  R

dt  q 3
 R


 q  0  q 3  2q 3  0
3

Respuestas: Rp 1 , p 2 , q 3 , p 3   p 12 /2  p 22 /2  q 23 /2  q 23 ;
4.
 3  2q 3  0
q
Hállese Hamiltonianas y ecuaciones canónicas para los sistemas que tienen Lagrangianas siguientes:
1 2 5 2
q12 q1q2 (4pts)
q1
q2 q1 q2 q12 q22
q12 q22 (6pts); b) L q22 q12 q 2 q22 cos q1 q2
2
2
Vx2 4Vy2 cos x2 y 2
x2Vy
y 2Vx (5pts)
a) L
c) L
5.
a) H
Hállese Lagrangianas para los sistemas que tienen Hamiltonianas siguientes:
p12 p22
p1 p2 q1q2 (4pts); b) H
a q12 q22 (4pts)
2
2
2 q1 q2
1 2 1 2 1 2 1 2
q1
q2
q3
q2 sin q2 .¿Cuáles coordenadas son cíclicas y
8
2
4
2
que ventajas da la existencia de estos coordenadas (2pts)? Hállese la Routhiana (4pts) y ecuaciones de Routh (4pts)
6.
Lagrangiana de un sistema mecánico es: L
7.
Hállese Hamiltoniana (6ptos) y ecuaciones canónicas (4ptos) para un sistema que tiene Lagrangiana:
5 2
L  q1  3q1q2  q22  8q12  7q22  8q1q2
2
Solución:
1) Dada Lagrangiana describe un sistema armónico y
1
L  T V;
T  5q12  3q1q2  3q2 q1  2q22 ;
V  8q12  7q22  8q1q2
2
En la forma matricial:
q 
5 3
1
T  qt tˆ q;
q   1 ;
qt   q1 q2  ;
tˆ  

2
3 2
 q2 
2) Momentos conjugados:
 5 3   q1   5q1  3q2 
p  L q  T q  tˆ q  
p1  5q1  3q2 ;
p2  3q1  2q2
(1pto)
;
   
 3 2   q2   3q1  2q2 
3) Inversión de la relación entre coordenadas y momentos;

p  tˆ q 
q  tˆ 1 p;

5 3
tˆ 1  

3 2
qt  pt tˆ 1;
1
 2 3 


 3 5 
4) Cálculo de la Hamiltoniana:
1
1
1
1
H  T  V ; T  qt tˆ q   pt tˆ 1 tˆ tˆ 1 p   pt tˆ 1 p    p1
2
2
2
2

 

 2 3   p1 
p2  
  ;
 3 5   p2 
 2 p  3 p2  1
5 2
2
p2   1
    2 p1 p1  3 p2 p1  3 p1 p2  5 p2 p2   p1  3 p1 p2  p2

3
p

5
p
2
2

1
2
5
H  p12  3 p1 p2  p22  8q12  7q22  8q1q2
2
5) Ecuaciones canónicas:
T
(2ptos)
1
  p1
2
(3ptos)
q1  H p1  2 p1  3 p2 ; q2  H p2  5 p2  3 p1;
(4ptos)
p1  H q1  16q1  8q2 ; p2   H q2  14q2  8q1
8. a) Dada Lagrangiana en Coordenadas Cartesianas L  x2  y 2  2 x  3 y  x2  7 xy encuéntrese Hamiltoniana (5ptos) y
ecuaciones canónicas (2ptos)
b) Dada Hamiltoniana H   p  3  4q 2 encuéntrese Lagrangiana (5pts) y ecuación de Lagrange (2ptos).
Solución:
1) px  L x  2 x  2, p y  L y  2 x  3;
2) x   px  2  2; y  p y  3 2;
2






2
3) L  x 2  y 2  2 x  3 y  x 2  7 xy   p x  2  2    p y  3 2   2  p x  2  2  3 p y  3 2  x 2  7 xy





L   px  2  px  2  / 4  p y  3 p y  3 / 4  x 2  7 xy;
a)

(5ptos)




4) H  xpx  yp y  L  px  px  2  2  p y p y  3 2   px  2   px  2  / 4  p y  3 p y  3 / 4  x 2  7 xy

H   px  2  4  p y  3
2

2
4  x 2  7 xy


x  H  px   px  2  2; y  H  p y  p y  3 2;
(2ptos)
px   H  x  2 x  7 y; p y  H  y  7 x
q  H p  2 p  6  p   q  6  2; H   p  3  4q 2    q  6  2  3  4q 2  q 2 / 4  4q 2 ;
2
2
b)
L  qp  H  q  q  6  2  q 2 / 4  4q 2  q 2 / 4  3q  4q 2
d L L
1

 0  q  8q  0
dt q q
2
(5ptos)
(2ptos)
9.
Dos partículas unidas con un resorte de longitud l0 y coeficiente de elasticidad k están
cayendo hacia la tierra a lo largo de un tubo. Encuéntrese: a) la energía cinética del sistema,
energía potencial y Lagrangiana (3ptos); b) Hamiltoniana (5ptos) y c) ecuaciones canónicas
(2ptos)
Solución:
a) T  m1x12 2  m2 x22 2; V  k  x1  x2  l0  / 2  m1gx1  m2 gx2 ; L  T  V
2
p1  L x1  T x1  m1 x1;
b) x1  p1 / m1; x2  p2 / m2 ;
(3ptos)
p2  L x2  T x2  m2 x2
T  m1 x12 2  m2 x22 2  p12 2 m1  p22 2 m2 ;
(5ptos)
H  T  V  p12 2 m1  p22 2 m2  k  x1  x2  l0  / 2  m1gx1  m2 gx2
2
c)
x1  H p1  p1 / m1;
x2  H p2  p2 / m2 ;
p1  H x1  k  x1  x2  l0   m1g ; p2  H x2  k  x1  x2  l0   m2 g
(2ptos)
10.
Lagrangiana de un sistema mecánico es: L  q12  q22  q32  q22 ¿Cuáles coordenadas son cíclicas (2pts)? Hállese la
función de Routh (4pts) y ecuaciones de Routh (4pts)
Solución:
Las coordenadas q1 y q3 son cíclicas (2ptos) y sus momentos lineales conjugados son:
p1  L q1  2q1;
 q22
 q32
 q22
p3  L q3  2q3 ; 
L

La función de Routh:
q12
p12
/ 4  q22

p32
q1  p1 / 2;
q3  p3 / 2
/ 4  q22
R  p1 , q2 , p2 , p3   q1 p1  q3 p3  L  p12 / 2  p32 / 2  p12 / 4  q22  p32 / 4  q22
R  p1 , q2 , p2 , p3   p12 / 4  p32 / 4  q22  q22
Ecuaciones de Routh:
p1   R q1  0  p1  const  p10 ; p3   R q3  0  p3  const  p30
q1  R p1  p1 / 2  p10 / 2  q1  p10t / 2;
q3  R p3  p3 / 2  p30 / 2  q3  p30t / 2
(4ptos)
d  R  R
 0  2q2  2q2  0  q2  q2  0


dt  q2  q2
(4ptos)
Dada Lagrangiana relativista para una partícula libre L  m0 c 2 1   x c  deduzca las formulas para momento
2
11.
lineal y energía de una partícula relativista. (5ptos)Demuéstrese que la Hamiltoniana de una partícula libre es igual a
H  c p 2  m02 c 2 (3ptos). Demuéstrese que la masa de fotón es igual a cero y la energía E esta relacionada con el momento
lineal p como E  c  p (3ptos). Encuéntrese la corrección para expresión de Hamiltoniana clásica hasta términos de orden
p 4 c 4 (2ptos)
CORCHETES DE POISSON
Formulas
n

V U V  dU U
;


 U , H ;
q i p i p i qi 
dt
t

i 1
1.
Escríbase en términos de corchetes de Poisson las ecuaciones canónicas de Hamilton. (5pts)
q  q, H ; p   p, H 
U , V     U
2.
Demuéstrese que las funciones  1 p12  q22 ,  2 p22  q12 ,  3 1 ,  2  ( 1 ,  2  son corchetes de Poisson),
todas son integrales del movimiento de un sistema con la Hamiltoniana H  p1 p2  q1q2 . (10pts)
Solucion
  H 1 H   1 H 1 H 
d

   2 p1q2   2q2 p1   0;
1 1  1, H    1


 

dt
 q1 p1 p1 q1   q2 p2 p2 q2 
  H  2 H    2 H  2 H 
d 2

  2q1 p2    2 p2q1   0;
  2 , H    2


 

dt
 q1 p1 p1 q1   q2 p2 p2 q2 
  
     
  
 3  1 ,  2    1 2  1 2    1 2  1 2    2 p1 2q1   2q2 2 p2   4q2 p2  q1 p1 ;
 q1 p1 p1 q1   q 2 p2 p2 q2 
  H  3 H    3 H  3 H
d 3
  
  3 , H    3


dt
 q1 p1 p1 q1   q 2 p 2 p 2 q 2

   p1 p 2  q1q 2    p 2 p1  q 2 q1   0

 


3.
Calcúlese los corchetes de Poisson a) M x , y  y M x , z  (3pts) ; b) p x2 , x 2 y p x2 , x  (3pts); c) M x ,U ( y ) (4pts),
donde p x , p y , p z son tres componentes del impulso y M x , M y , M z son tres componentes del momento angular
Solucion
1. M x , y  yp z  zp y , y   zp y , y  z p y , y  z ;
M x , z  yp z  zp y , z  yp z , z  y p z , z   y ;
p x2 , x 2     p x2  p x   x 2  x  4xp x ; p x2 ,  x    p x2  p x    x  x  4x ' x :
M x , U  y   yp z  zp y , U  y    zp y , U  y    zp y , U  y   zU '  y 

 
 

4.
Demuéstrese que para una partícula en un campo central (Hamiltoniana en este caso es
H  p x2 2m  p x2 2m  p x2 2m  V r  ) componente M z del momento angular y el cuadrado de modulo del momento angular
M 2  M x2  M y2  M z2 son integrales del movimiento (10ptos)

Calcúlese los corchetes de Poisson M x , H  , M y , H , M z , H  de tres componentes del momento angular M con


la función de Hamilton H  SM , producto escalar del vector S  S x , S y , S z con tres componentes constantes, y del vector


dM  
M  M x , M y , M z (7ptos). Demuéstrese que la ecuación del movimiento para momento angular es
 S  M (4pts)
dt

5.





6.
Utilizando el teorema de Poincaré demuéstrese que si para una función de Hamilton los componentes M x y M y del
momento angular son las Integrales del Movimiento entonces M z también es la Integral del Movimiento (6ptos). Explíquese
para que se necesiten corchetes de Poincaré (3ptos)
7.
Demuéstrese que las funciones A  4 p12  q 22 , B  4 p 22  q12 , C  A, B ( A, B son corchetes de Poisson), todas
son integrales del movimiento de un sistema con la Hamiltoniana H  12 p1 p 2  3q1q 2 . (10pts) Explíquese como está
relacionado este resultado con la identidad de Jacobi. (3ptos)
Solución:
 A H A H   A H
dA
A H 
  
   8 p1 3q 2   2q 2 12 p1   0;
1
 A, H   


dt
 q1 p1 p1 q1   q 2 p 2 p 2 q 2 
 B H B H   B H
dB
B H
  
 B, H   


dt
 q1 p1 p1 q1   q 2 p 2 p 2 q 2

  2q112 p 2    8 p 2 3q1   0;

 A B A B   A B A B 
  
   8 p1 2q1   2q2 8 p2   16q2 p2  q1 p1 ;
C  A, B  


 q1 p1 p1 q1   q2 p2 p2 q2 
 C H C H   C H C H
dC
  
 C , H   


dt
 q1 p1 p1 q1   q 2 p 2 p 2 q 2
 

   16 p112 p 2  16q1 3q 2   16 p 2 12 p1  16q 2 3q1   0

Demuéstrese que a, a  0, a, b 2  2ba, b (2ptos). Calcúlese los corchetes de Poisson para tres componentes del


momento angular M , M x , M y , M y , M z , M z , M x  (3ptos). Demuéstrese que M z , M 2  0 (3ptos). Demuéstrese que la
 
ecuación del movimiento para momento angular para un sistema con la función de Hamilton H  SM  M 2 , donde en el


dM  
producto escalar el vector S  S x , S y , S z tiene tres componentes constantes, es
 S  M (7ptos).
dt
8.

 

9.




Utilizando la identidad de Jacobi demuéstrese que si para una función de Hamilton los componentes M x y M y del
momento angular son las Integrales del Movimiento entonces M z también es la Integral del Movimiento (6ptos).
10.






Calcúlese los corchetes de Poisson ; a) p x , x 2 , p y , x 2  y 2  z 2 , sin( x  y  z ), p z2 (3ptos); b) L x , p 2y , L2x , p 2y

(3ptos)
11
Calcúlese los corchetes de Poisson a) M x , y  y M x , z  (3pts) ; b) p x2 , x 2 y p x2 , x  (3pts); c) M x ,U ( y ) (4pts),
donde p x , p y , p z son tres componentes del impulso y M x , M y , M z son tres componentes del momento angular

 

12
Demuéstrese que las ecuaciones canónicas de Hamilton para una función de Hamilton
H  q1 , q2 , , qn , p1 , p2 , , pn 
dada se puede escribir en términos de corchetes de Poisson como
qi   qi , H  ;
pi   pi , H  . (5ptos)
Solución
 qi , H  
13
qi H H

 qi ;
qi pi pi
 pi , H   
pi H
H

 pi
pi qi
pi

Para tres componentes del vector de momento angular M  M x , M y , M z calcúlese siguientes corchetes de


Poisson:

a)  M x , M y  ,  M y , M z  ,  M x , M z  (10ptos); b) M x , H  , M y , H y M z , H  si la función de Hamilton es H  SM ,

donde el vector S  S x , S y , S z tiene todos tres componentes constantes (5ptos) y demuéstrese que la ecuación del

dM  
 S  M (10ptos)
movimiento para momento angular en este caso es
dt
Solución
a)  M x , M y    ypz  zp y , zpx  xpz    ypz , zpx    zpy , xpz   ypx  pz , z   xpy  z, pz   xpy  ypx  M z




b)  M x , H   M x , S x M x  S y M y S z M z  S y M x ,M y  S z M x ,M z
 S y M z
S z M y  S M  ,
x
 M y , H    M y , S x M x  S y M y  S z M z   S x  M y , M x   S z  M y , M z   S x M z  S z M x  S  M  ,

y
 M z , H    M z , Sx M x  S y M y  Sz M z   Sx  M z , M x   S y M z , M y   Sx M y  S y M x  S  M  z ,
c)
14
dM y
dM x
dM z
  M x , H    S  M  ;
  M y , H    S  M  ;
  M z , H    S  M 
x
y
z
dt
dt
dt
Demuéstrese que para un sistema mecánico dos componentes del vector de momento angular M x y M y son
integrales de movimiento, entonces la tercera componente M z también es integral de movimiento (5ptos).
Solución
 M x , M y    ypz  zp y , zpx  xpz    ypz , zpx    zpy , xpz   ypx  pz , z   xpy  z, pz   xpy  ypx  M z
dM y
dM x
dM z
  M x , H   0;
  M y , H   0;
  M z , H     M y , M z  , H   0
dt
dt
dt