Razón de cambio relativa

1
APLICACION DE CÁLCULO EN ECONOMIA
Repaso de derivadas
𝑥
𝑌 = 𝑥−1
1)
𝑑𝑦 (𝑢) 𝑣𝑢′ − 𝑢𝑣′
=
𝑑𝑥 (𝑣)
𝑣2
(𝑥 − 1) − 𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)2
𝑑𝑦
−1
=
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)2
2) f(x)= (3x-𝑥 2 )(3-x-𝑥 2 )
𝑑𝑦
(𝑢. 𝑣) = (𝑣𝑢′ + 𝑢𝑣 ′ )
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= (3 − 𝑥 − 𝑥 2 )(3 − 2𝑥) + (3𝑥 − 𝑥 2 )(−1 − 2𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 9 − 6𝑥 − 3𝑥 + 2𝑥 2 − 3𝑥 2 + 2𝑥 3 − 3𝑥 − 6𝑥 2 + 𝑥 2 + 2𝑥 3
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 9 − 12𝑥 − 6𝑥 2 + 4𝑥 3
𝑑𝑥
3) y=
y=
y=
(2𝑥−1)(3𝑥+2)
4−5𝑥
6𝑥 2 +4𝑥−3𝑥−2
4−5𝑥
6𝑥 2 +𝑥−2
u’=12x+1
4−5𝑥
𝑣𝑢′ − 𝑢𝑣 ′
𝑑𝑦 (𝑢)
𝑑𝑥 (𝑣)
=
𝑑𝑦
(4−5𝑥)(12𝑥+1)−(6𝑥 2 +𝑥−2)(−5)
𝑑𝑥
=
Roberto
u= 6𝑥 2 + 𝑥 − 2
𝑣2
(4−5𝑥)2
v= 4-5x
v’= -5
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(48𝑥+4−60𝑥2 −5𝑥)−(−30𝑥 2 −5𝑥+10)
(4−5𝑥)2
𝑑𝑦 −30𝑥 2 + 40𝑥 − 6
=
(4 − 5𝑥)2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
6(5𝑥 2 − 8𝑥 + 1)
=−
(4 − 5𝑥)2
𝑑𝑥
APLICACIONES
El costo marginal, el ingreso marginal, la ganancia marginal es la derivada de la función, costo,
ingreso o ganancia.
RAZON DE CAMBIO PROMEDIO
Es la diferencia entre el incremento de la función menos la función, todo esto dividido para el
respectivo incremento.
En símbolos:
Δ𝑦 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥)
=
Δ𝑥
𝛥𝑥
EJEMPLOS

Suponga que la posición de un objeto que se mueve lo largo de una línea recta es:
Δ𝑠
S = f(t) = 𝑡 3 + 𝑡; donde t esta en seg. y S en metros. Encuentre la velocidad media Δ𝑡 sobre el
intervalo [1; 1 + Δt] donde Δt está dado en la tabla.
Δt
Δ𝑠
Δ𝑡
Roberto
1
0.5
0.2
0.1
0.01
0.001
8
5.75
4.64
4.31
4.0301 4.003001
3
Para Δt=1
Δ𝑠 𝑓(1 + 1) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
1
Δ𝑠
𝑓(2) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
1
Δ𝑠
10 − 2
=
Δ𝑡
1
𝚫𝒔
=𝟖
𝚫𝒕
Para Δt = 0.2
Δ𝑠 𝑓(1 + 0.2) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
0.2
Δ𝑠 𝑓(1.2) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
0.2
Δ𝑠 2.928 − 2
=
Δ𝑡
0.2
𝚫𝒔
= 𝟒. 𝟔𝟒
𝚫𝒕
Para Δt=0.01
Δ𝑠
𝑓(1 + 0.01) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
0.01
Δ𝑠 𝑓(1.01) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
0.01
Δ𝑠 2.040301 − 2
=
Δ𝑡
0.01
𝚫𝒔
= 𝟒. 𝟎𝟑𝟎𝟏
𝚫𝒕
Roberto
4
𝚫𝒔
= 𝟒. 𝟑𝟏
𝚫𝒕
Para Δt = 0.5
Δ𝑠
𝑓(1 + 0.5) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
0.5
Para Δt=0.001
Δ𝑠
𝑓(1 + 0.5) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
0.5
Δ𝑠 𝑓(1 + 0.001) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
0.001
Δ𝑠 4.875 − 2
=
Δ𝑡
5.75
Δ𝑠 𝑓(1 + 0.001) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
0.001
𝚫𝒔
= 𝟓. 𝟕𝟓
𝚫𝒕
Δ𝑠 𝑓(1.001) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
0.001
Δ𝑠 2.004003001 − 2
=
Δ𝑡
4.003001
Para Δt= 0.1
Δ𝑠
𝑓(1 + 0.1) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
0.1
𝚫𝒔
= 𝟒. 𝟎𝟎𝟑𝟎𝟎𝟏
𝚫𝒕
Δ𝑠
𝑓(1,1) − 𝑓(1)
=
Δ𝑡
0.1
Δ𝑠
2.431 − 2
=
Δ𝑡
0.1
RAZON DE CAMBIO
Razón de cambio relativa: Para encontrar la razón de cambio relativo, aplicamos
𝑓 ′ (𝑥)
𝑓(𝑥)
.
Razón de cambio porcentual
𝑓 ′ (𝑥)
∗ 100
𝑓(𝑥)

Determinar la razón de cambio relativo y porcentual de f(x) = 3𝑥 2 -5x+25 cuando x = 5.
Razón de cambio relativa =
𝑓 ′ (𝑥)
𝑓(𝑥)
6𝑥−5
Razón de cambio relativa = 3𝑥 2 −5𝑥+25
Cuando x = 5
Roberto
5
6(5)−5
Razón de cambio relativa = 3(5)2 −5(5)+25
25
1
Razón de cambio relativa = 75 = 3
Razón de cambio relativa = 0.3333
Razón de cambio porcentual = 0.3333 x 100
Razón de cambio porcentual = 33.33 %

Un fabricante de bicicletas de montaña encontró que cuando se producen 20 bicicletas
por día, el costo medio es de 150 dólares y el costo marginal es de 125 dólares. Con base
a esta información, determine el costo total de producir 21 bicicletas por día.
q= 20 bicicletas
C = c. q
c = 150 dólares
C = 150q
c’ = 125 dólares
C = c .q
C = 150.q
Cuando q = 21
C = 150(21)
C = 3150 dólares

Si la función de costo total es C =
5𝑞 2
+5000. Encuentre la razón de cambio relativa y
√𝑞 2 +3
porcentual para q = 10
C’ =
C’ =
−1
1
2
√q2 +3 .10q−5q2 ( )(2q)(q2 +3) 2
(q2 +3)
𝟓𝐪(𝐪𝟐 +𝟔)
(𝐪𝟐 +𝟑)√𝐪𝟐 +𝟑
𝐶′
Razón de cambio relativo =
𝐶
5𝑞(𝑞2 +6)
=
(𝑞2 +3)√𝑞2 +3
5𝑞2 +5000√𝑞2 +3
√𝑞2 +3
=
Cuando q=10
Roberto
5𝑞(𝑞 2 +6)
5(𝑞 2 +3)(𝑞+1000√𝑞 2 +3)
6
=
5(10)(102 +6)
5(102 +3)(10+1000√102 +3)
5300
= 5231829.159
= 1.01303002 x 10−3
Razón de cambio % = (1,01303002 x 10−3) .100
Razón de cambio % = 0.1013 %
TRAZADO DE CURVAS
Para trazar curvas, procedemos de la siguiente manera:
1. Encontrar las intersecciones, las cuales obtenemos haciendo x=0 y y=0, después
de lo cual obtendremos los puntos en los cuales se interseca la curva en cada eje.
2. Analizamos si existen simetrías para lo cual sustituimos y por –y; x por –x; x por –
x ^ y por –y. si al hacer estos reemplazos la función no cambia, se dice que es
simétrica:
a) Con respecto al eje x
b) Con respecto al eje y
c) Con respecto al origen respectivamente
3. Encontramos la primera derivada.
4. Igualamos a cero la primera derivada y obtenemos los puntos críticos.
5. Estos puntos críticos reemplazamos en la ecuación original y si obtenemos el
resultado con signo positivo, se dice que la función es creciente en ese punto
caso contrario decreciente.
6. También podemos determinar si es creciente o decreciente, analizando los
intervalos que forman los puntos críticos.

EJEMPLO:
Trazar la grafica: f(x) = 2𝑥 2 -𝑥 4
Intersecciones:
1) Haciendo x = 0 y y = 0
P1 (0,0)
Haciendo y =0
O= 2x 2 − x 4
2-x 2 = 0
X=+-√2
Roberto
Pares Ordenados
7
(√2, 0)
X= ± 1,4142
(-√2, 0)
2) Simetrías
X por - X
Y=2x 2 − x 4
Y=2(−x)2 − (−x)4
Y=𝟐𝐱 𝟐 − 𝐱 𝟒
simétrica al eje y
Y por -Y
Y= 2x 2 − x 4
-y=𝟐𝐱 𝟐 − 𝐱 𝟒
no es simetrica al eje x
X por –x y Y por –Y
Y=2x 2 − x 4
-Y=2(−x)2 − (−x)4
-Y=2𝐱 𝟐 − 𝐱 𝟒
no es simetrica al origen
Análisis de intervalos
P1 (0,0)
P2 (√2, 0)
P3 (-√2, 0)
Creciente
decrece
-1
-2
−√2
3) Primera derivada
Roberto
0
1
2
√2
8
Y=2𝑥 2 − 𝑥 4
Y’=4x-4𝑥 3
Y’=4x (1-𝑥 2 )
Y’= 4(-2) (1-(−22 ))
Y’=8
4) Puntos críticos
Si y’=4x-4𝑥 3
4x (1-𝑥 2 )=0
4x=0
X=0
1-𝑥 2 =0
x= ± 1
5) Grafico
APLICACIONES DE OPTIMIZACION
En algunas aplicaciones, el dominio de una función s encuentra restringido a un
intervalo. En consecuencia, tal intervalo proporciona un máximo absoluto y un
mínimo absoluto.
EJEMPLO:

Una empresa, puede fabricar hasta 40 unidades. Expresar utilizando
intervalos.
[0,40]
0 ≤ X ≤ 40
Para encontrar el máximo y mínimo absoluto, realizamos lo siguiente:
1. Encontramos los puntos críticos.
Roberto
9
2. Asignamos los valores extremos y el punto crítico encontrado a la variable de la función,
con lo cual; se podrá determinar el máximo y mínimo absoluto.
 Encuentre los extremos absolutos de la función en el intervalo dado.
36
f(x)=4x + 𝑥 . [1,6]
1) y=4x+36𝑥 −1
puntos críticos
4𝑥 2 −36
y’=4-36𝑥 −2
𝑥2
4𝑥 2 −36
y’=
=0
4𝑥 2 = 36
𝑥2
x= ± -√9
x=3
2) f(1)=4+36
f(1)=40 máximo absoluto
36
f(6)=24+ 6
f(6)=30
f(3)=12+12
f(3)=24 mínimo absoluto
Roberto
Valor de X
Valor de f(x)
1
3
6
40
24
30
x=-3
10
APLICACIONES
Cuando el grupo soluciones cobra 600 dólares por un seminario sobre técnicas de
marketing, asisten 1000 personas. Por cada disminución de 20 dólares en el cargo, 100
personas adicionales van al seminario. Sin embargo, debido a recursos limitados, es posible
recibir a no más de 2500 personas. Encuentre el ingreso total.
P=600-20x
#personas = 1000+100x
r= p.q
1000 +100x ≤ 2500
r= (1000+100x) (600-20x)
r= -2000𝑥 2 +4000x+600000
X ≤ 15
0 ≤ x ≤ 15
r’= - 4000x + 40000
-4000(x-10) =0
X=10 P.C
VALOR X
RESULTADO
0
600000 min absoluto
10
800000 max absoluto
15
750000
Conclusion: Precio 400
#personas 2000
Roberto
11
INTEGRACIÓN DE FORMAS ELEMENTALES ORDIINARIAS
Integración.- Es el proceso de hallar la función dada la diferencial de una función.
La función f(x) que se obtiene se llama una integral de la expresión diferencial dada; la
operación se indica escribiendo el signo ∫ delante de la expresión diferencial dada; así: ∫f´(x)
dx=f(x) que se lee la integral de f´(x) dx es igual a f(x).
El signo ∫ se lee integral o integral de. La diferencial dx indica que x es la variable de
integración.
Por ejemplo:
Si f(x) = x3, entonces f´(x) dx = 3x2dx, y
∫3x2dx = x3
La diferenciación y la integración son operaciones inversas.
Constante de integración
En general, como
d(x3+C) = 3x2dx,
Siendo C una constante cualquiera, tenemos:
∫3x2dx = x3 +C
La constante arbitraria C se llama constante de integración y es una cantidad independiente de
la variable de integración. Puesto que podemos dar a C cuantos valores queramos, se sigue que
si una expresión diferencial dada tiene una integral, tiene también una infinidad de integrales
que difieren sólo en constantes. Por tanto,
∫f´(x) dx=f(x) + C
y puesto que C es desconocida e indefinida, la expresión f(x) + C se llama Integral Indefinida de
f´(x) dx
Reglas elementales para integrar las formas elementales ordinarias
Roberto
12
1. La integral de una suma algebraica de expresiones diferenciales es igual a la misma
suma algebraica de las integrales de esas expresiones.
∫ (du + dv - dw) = ∫du + ∫dv - ∫dw
2. Un factor constante puede escribirse delante del signo integral o después de él.
∫adv = a∫dv
Integrales Inmediatas
1. ∫(𝒅𝒖 + 𝒅𝒗 − 𝒅𝒘) = ∫ 𝒅𝒖 + ∫ 𝒅𝒗 − ∫ 𝒅𝒘
2. ∫ 𝒂𝒅𝒗 = 𝒂 ∫ 𝒅𝒗
3. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪
4. ∫ 𝒗𝒏 𝒅𝒗 =
5. ∫
𝒅𝒗
𝒗
𝒗𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪
= 𝒍𝒏𝒗 + 𝑪
𝒂𝒖
6. ∫ 𝒂𝒗 𝒅𝒗 =
+𝑪
𝒍𝒏𝒂
7. ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 = 𝒆𝒗 + 𝑪
8. ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒗𝒅𝒗 = −𝒄𝒐𝒔 𝒗 + 𝑪
9. ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒗𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒗 + 𝑪
10. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒗𝒅𝒗 = 𝒕𝒈 𝒗 + 𝑪
11. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒗𝒅𝒗 = −𝒄𝒕𝒈 𝒗 + 𝑪
12. ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒗 𝒕𝒈 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒄 𝒗 + 𝑪
13. ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒗 𝒄𝒕𝒈 𝒗 𝒅𝒗 = − 𝒄𝒔𝒄 𝒗 + 𝑪
14. ∫ 𝒕𝒈 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒍𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝒗 + 𝑪 = 𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄 𝒗 + 𝑪
15. ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒏 𝒗 + 𝑪
16. ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 (𝒔𝒆𝒄 𝒗 + 𝒕𝒈 𝒗) + 𝑪
17. ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 (𝒄𝒔𝒄 𝒗 − 𝒄𝒕𝒈 𝒗) + 𝑪
𝒅𝒗
𝟏
𝒗
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒂
𝒂
𝒅𝒗
𝟏
𝒗−𝒂
𝒍𝒏 𝒗+𝒂 +
𝟐𝒂
𝑪
(𝒗𝟐 > 𝒂𝟐 )
𝒅𝒗
𝟏
𝒂+𝒗
𝒍𝒏 𝒂−𝒗 +
𝟐𝒂
𝑪
(𝒗𝟐 < 𝒂𝟐 )
18. ∫ 𝒗𝟐+𝒂𝟐 =
19. ∫ 𝒗𝟐−𝒂𝟐 =
20. ∫ 𝒂𝟐−𝒗𝟐 =
21. ∫
Roberto
𝒅𝒗
√𝒂𝟐 −𝒗𝟐
+ 𝑪
𝒗
= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒂 + 𝑪
13
22. ∫
𝒅𝒗
√𝒗𝟐 ±𝒂𝟐
= 𝒍𝒏(𝒗 + √𝒗𝟐 ± 𝒂𝟐 ) + 𝑪
23. ∫ √𝒂𝟐 −𝒗𝟐 𝒅𝒗 =
𝒗
√𝒂𝟐
𝒂
24. ∫ √𝒗𝟐 ± 𝒂𝟐 𝒅𝒗 =
− 𝒗𝟐 +
𝒗
√𝒗𝟐
𝟐
𝒂𝟐
𝒗
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
𝒂𝟐
𝒂
± 𝒂𝟐 ±
𝒂𝟐
𝒍𝒏(𝒗 +
𝟐
+ 𝑪
√𝒗𝟐 ± 𝒂𝟐 ) + 𝑪
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. ∫(𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒)𝒅𝒙
= ∫ 2𝑥 3 𝑑𝑥 − ∫ 5𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 3𝑥𝑑𝑥 + ∫ 4𝑑𝑥
= 2 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 − 5 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑑𝑥
=
𝟐𝒂
𝒃
− 𝒙𝟐
√𝒙
2. ∫(
𝑥 4 5𝑥 3 3𝑥 2
−
−
+ 4𝑥 + 𝐶
2
3
2
𝟑
+ 𝟑𝒄√𝒙𝟐 )𝒅𝒙
= ∫ 2𝑎𝑥 −1/2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑏𝑥 −2 𝑑𝑥 + ∫ 3𝑐𝑥 2/3 𝑑𝑥
= 2𝑎 ∫ 𝑥 −1/2 𝑑𝑥 − 𝑏 ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 + 3𝑐 ∫ 𝑥 2/3 𝑑𝑥
𝑥 1/2
𝑥 −1
𝑥 5/3
= 2𝑎.
− 𝑏.
+ 3𝑐.
+𝐶
1/2
−1
5/3
𝑏
9
= 4𝑎√𝑥 + 𝑥 + 5 𝑐𝑥 5/3 + 𝐶
Roberto
14
INTEGRALES APLICADOS A LA ECONOMIA
𝟗
𝟗
−𝟏
−𝟏
𝐀 = ∫ [(𝐱 𝟑 − 𝟔𝐱 𝟐 + 𝟐𝟏) − (𝐱 𝟑 − 𝟓𝐱 𝟐 − 𝟖𝐱 + 𝟏𝟐)]𝐝𝐱 = ∫ (−𝐱 𝟐 + 𝟖𝐱 + 𝟗)𝐝𝐱
= (−
𝑥3
3
9
1
+ 4𝑥 2 + 9𝑥) ∫−1 = (−27 + 144 + 81) − (3 + 4 − 9) = 198 +
14
3
=
608
3
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN LA ADMINISTRACIÓN Y LA ECONOMÍA.-
A)
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR.-
𝑥
Excedente del consumidor= ∫0 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥0 𝑦0, donde
𝑦 = 𝑓(𝑥) es la función demanda o también.
𝑚
Excedente del consumidor= ∫𝑦 0 𝑔(𝑦)𝑑𝑦,donde 𝑥 = 𝑔(𝑦) es la función de demanda.
0
B)
EXCEDENTE DEL PRODUCTOR.-
𝑥
Excedente del producto = 𝑥0 𝑦0 − ∫0 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 donde
𝑦 = 𝑓(𝑥) es la función de oferta, o también como
𝑥
excedente del producto = ∫0 0 𝑔(𝑦)𝑑𝑦, donde 𝑥 =
𝑔(𝑦) es la función de oferta.
Roberto
15
C)
INGRESO FRENTE A COSTO.La utilidad máxima se determina igualando el ingreso marginal y el costo marginal
y la ganancia total es la integral de la diferencia entre el ingreso marginal y el costo
marginal desde cero hasta la cantidad para el cual la utilidad es máxima.
4.83
PROBLEMAS.-
1.
Si la función de demanda 𝑦 = 39 − 𝑥 2 , hallar el excedente del consumidor si
a)
5
𝑥0 = 2
b)
el articulo es gratis (es decir 𝑦0 = 0
Desarrollo
5
𝑥0 = 2 , 𝑦0 = 39 −
25
4
=
consumidor
5
2
= ∫ (39 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥0 𝑦0
0
Roberto
131
4
excedente del
16
= (39𝑥 −
b)
𝑥3
5
5
131
2215
4
24
) ∫02 − (2) (
3
)=
655
−
8
= 10.41
𝑦0 = 0 , 𝑥0 = √39
𝐸. 𝐶. = ∫
√39
0
5
2
𝑥3
2
(39 − 𝑥 )𝑑𝑥 = (39 − ) ∫ = 26 √39
3 0
si la función de demanda es 𝑦 = 16 − 𝑥 2 y la función de oferta es 𝑦 = 2𝑥 + 1,
2.
determinar el excedente del consumidor y el excedente del productor en situación de
competencia pura.
Desarrollo
{
𝑦 = 16 − 𝑥 2
⇒ 16 − 𝑥 2 = 2𝑥 − 1 ⇒ 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = 0 ⇒ (𝑥 + 5)(𝑥 − 3) = 0
𝑦 = 2𝑥 + 1
De donde 𝑥0 = 3, 𝑦0 = 7
Roberto
17
3
Excedente del consumidor =∫0 (16 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥0 𝑦0 = (16𝑥 −
𝑥3
3
3
) ∫0 +3(7)
= (48 − 9) − 21 = 18
Si la función de la oferta es 𝑦 = √9 + 𝑥 𝑦 𝑥0 = 7, hallar el excedente para el
3.
productor.
Desarrollo
𝑥
Excedente del productor = 𝑥0 𝑦0 − ∫0 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, donde f(x) es la función de oferta
7
2
7
Excedente del productor = 7(4) − ∫0 √9 + 𝑥𝑑𝑥 = 28 − [3 (9 + 𝑥)32 ] ∫0
= 28 − (
4.
Roberto
128
3
− 18) = 46 −
128
3
=
10
3
Si la función de oferta es 𝑦 = 4𝑐3𝑥 𝑦 𝑥0 = 3, hallar el excedente para el productor.
18
Desarrollo
Para 𝑥0 = 3 , 𝑦0 = 4𝑒
𝑥
3
Excedente del producto = 𝑥0 𝑦0 ∫0 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (4𝑒)(3) − ∫0 4𝑒3𝑥 𝑑𝑥
3
= 12𝑒 − [12𝑒3𝑥 ] ∫0 = 12𝑒 + [12𝑒 − 12] = 12
Las funciones de demanda y de oferta (en situación de libre competencia) son 𝑦 =
5.
1
4
1
(9 − 𝑥)2 y 𝑦 = (1 + 3𝑥) respectivamente, si se establece un impuesto adicional de 3
4
por cantidad unitaria sobre la mercadería, calcular la disminución en el excedente del
consumidor.
1
{
𝑦 = 4 (9 − 𝑥)2
1
𝑦 = 4 (1 + 3𝑥 =
⇒
1
4
1
(9 − 𝑥)2 = 4 (1 + 3𝑥) ⇒ (9 − 𝑥)2 = 1 + 3𝑥
𝑥 2 − 18𝑥 + 81 = 1 + 3𝑥 ⇒ 𝑥 2 − 21𝑥 + 80 = 0 ⇒ 𝑥 = 5, 𝑥 = 16
1
5
95
Excedente del consumidor= 4 ∫0 [(9 − 𝑥)2 − (1 + 3𝑥)𝑑𝑥 − 20] = 24
Roberto
19
6.
La cantidad vendida y el precio están determinados en un mercado monopólico, por las
1
funciones de demanda 𝑦 = 4 (10 − 𝑥)2 y del costo total 𝑦 =
𝑥3
4
+ 5𝑥 de tal manera que
se maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente del consumidor.
Desarrollo
𝑥
Ingreso total = 𝑥𝑦 = 4 (10 − 𝑥)2
𝐼𝑀 =
𝑦=
(10−𝑥)2
𝑥3
4
4
𝑥
− 2 (10 − 𝑥)
+ 5𝑥 costo total
𝐶. 𝑀. =
3𝑥 2
4
+ 5 costo marginal
Pero 𝐼𝑀 = 𝐶𝑀 por lo tanto
(10−𝑥)2
4
𝑥
− 2 (10 − 𝑥) =
3𝑥 2
4
+5⇒𝑥 =2
del consumidor =
Excedente
2 (10−𝑥)2
∫0
−
Roberto
(10−𝑥)3
12
2
∫0 −32 =
26
3
4
𝑑𝑥 − (2)(16) =
20
7.
La cantidad vendida y el precio en un mercado monopólico, se determina por las
funciones de demanda 𝑦 = 20 − 4𝑥 2 y de costo marginal 𝑦´ = 2𝑥 + 6, de manera que
se maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente del consumidor.
Desarrollo
Ingreso Total = 𝑅 == 𝑥𝑦 = 20𝑦 − 4𝑥 3
Ingreso Marginal= 𝐼𝑀 = 𝑅´ = 20 − 12𝑥 2
Costo Marginal = 𝐶𝑀 = 𝑦´ = 2𝑥 + 6
La ganancia máxima se obtiene cuando IM=CM
20 − 12𝑥 2 = 2𝑥 + 6 de donde 6𝑥 2 + 𝑥 − 7 = 0, factorizando
7
(6𝑥 + 7)(𝑥 − 1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1, 𝑥 = − por ser negativo
6
como 𝑦 = 20 − 4𝑥 2 para 𝑥 = 1, 𝑦 = 16,
Roberto
21
1
1
Excedente del consumidor = ∫0 (20 − 4𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥0 𝑦0 = ∫0 (20 − 4𝑥 3 𝑑𝑥 − (1)(16)
4
4
4
8
= (20𝑥 − 3 𝑥 3 ) /10 − 16 = 20 − 3 − 16 = 4 − 3 = 3
8.
Si la función de demanda corresponde a la parte de la hipérbola equilátera 𝑦 =
1
8
𝑥+1
situado en el primer cuadrante, y la función de oferta es 𝑦 = 2 (𝑥 + 3), calcule el
excedente del consumidor y el excedente del producto en un mercado de libre
competencia.
Desarrollo
8
1
En este caso se tiene: 𝑦 = 𝑥+1 − 2 = 2 (𝑥 + 3)
De donde 2(6 − 2𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) de donde 𝑥 2 + 8𝑥 − 9 = 0
Roberto
−2
22
(𝑥 + 9)(𝑥 − 1) = 0 de donde 𝑥 = −9, 𝑥 = 1
se considera el positivo 𝑥0 = 1 entonces 𝑦0 = 8
1
8
Excedente del consumidor = ∫0 (𝑥∓1 − 2) 𝑑𝑥 − 𝑥0 𝑦0 = [8𝐼𝑛(𝑥 + 1) − 2𝑥]/10 − 8
= 8𝐼𝑛2 − 2 − 8 = 8√2 − 10
𝑥2
11
Excedente del producto = 𝑥0 𝑦0 − ∫0 2 (𝑥 + 3)𝑑𝑥 = (1)(8) − ( 4 +
9.
3𝑥
) /10 =
2
1
4
3
2
8−( + )
La cantidad vendida y el correspondiente precio, en un mercado de monopolio, están
determinados por la función de demanda 𝑦 = 45 − 𝑥 2 y el costo marginal 𝑦´ = 6 +
modo que se maximice la utilidad, calcule el excedente del consumidor.
Desarrollo
Ingreso Total = 𝑅 = 𝑥𝑦 = 𝑥(45 − 𝑥 2 ) = 45𝑥 − 𝑥 3
Ingreso Marginal = 𝑅´ = 45 − 3𝑥 3
La utilidad se maximiza cuando IM = CM
Roberto
𝑥2
4
de
23
45 − 3𝑥 2 = 6 −
𝑥2
4
⇒ 𝑥 2 = 12 ⇒ 𝑥 = 2√2 para 𝑥0 = 2√3, 𝑦0 = 33
𝑥3
2 3
excedente del consumidor = ∫0 √ (45 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥0 𝑦0 = (45𝑥 − 3 ) /20√3 − (2 √3(33)
= 90√3 − 8√3 − 66√3 = 16√3
10.
Las funciones de demanda y oferta en un mercado de competencia pura son:
respectivamente 𝑦 = 14 − 𝑥 2 y 𝑦 = 2𝑥 2 + 2 ; determine:
a)
El excedente del consumidor
b)
El excedente del producto
Desarrollo
Para este caso se tiene: 𝑦 = 14 − 𝑥 2 = 2𝑥 2 + 2, de donde
Roberto
24
3𝑥 2 = 12 ⇒ 𝑥 2 = 4 ⇒ 𝑥 = ±2, se considera solamente 𝑥0 = 2, 𝑦2 = 10
𝑥3
2
Excedente del consumidor = ∫0 (14 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥0 𝑦0 = (14𝑥 − 3 ) /20 − (2)(10)
8
3
8
3
= 28 − − 20 = 8 − =
2
16
3
2𝑥 3
3
Excedente del producto = 𝑥0 𝑦0 − ∫0 (2𝑥 2 + 2)𝑑𝑥 = (2)(10) (
= 16 −
Roberto
16
3
=
32
3
+ 2𝑥)
2
0
16
= 20 − ( 3 + 4)
25
La función de demanda es 𝑦 = 20 − 3𝑥 2 y la función de oferta es 𝑦 = 2𝑥 2 ; obtenga los
11.
excedentes del consumidor y del producto en un mercado de competencia libre o pura.
Desarrollo
{
𝑦 = 20 − 3𝑥 2
, de donde 20 − 3𝑥 2 = 2𝑥 2 ⇒ 𝑥 2 = 4 ⇒ 𝑥 = ±2
𝑦 = 2𝑥 2
Se toma el positivo, 𝑥0 = 2, 𝑦0
2
2
Excedente del consumidor = ∫0 (20 − 3𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥0 𝑦0 = (20𝑥 − 𝑥 3 )
0
− (2)(8)
= (40 − 8) − 16 = 40 − 24 = 16
2
Excedente del producto = 𝑥0 𝑦0 ∫0 2𝑥 2 𝑑𝑥 = (2)(8) −
Roberto
2𝑥 3 2
/0 =
3
16 −
16
3
=
32
3
26
12.
Las funciones de demanda y de oferta, en un mercado de libre competencia son,
respectivamente 𝑦 = 32 − 2𝑥 2 y 𝑦 =
𝑦 = 32 − 2𝑥 2 =
a)
𝑥2
3
𝑥2
3
+ 2𝑥 + 5 evalué:
+ 2𝑥 + 5 donde 𝑥 = 3, 𝑥 = −
27
,
7
se considera el positivo 𝑥0 = 3, 𝑦0 = 14
3
El excedente del consumidor = ∫0 (32 − 2𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥0 𝑦0 = (32𝑥 −
2𝑥 3
3
3
0
− (3)(14)
= 96 − 18 − 42 = 96 − 60 = 36
13.
Obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad
total 𝑃𝑚𝑎𝑥 (suponiendo competencia pura) si 𝐼𝑀 = 20 − 2𝑥 𝑦 𝐶𝑀 = 4 + (𝑥 − 2)2
Desarrollo
La máxima utilidad ocurre cuando IM = CM
20 − 2𝑥 = 4 + (𝑥 − 2)2 ⇒ 𝑥 2 − 6 = 0 ⇒ 𝑥 = 0, 𝑥 = 6
𝑑
𝑑𝑥
Roberto
(𝐼𝑀 − 𝐶𝑀) =
𝑑2 𝑃
𝑑𝑥 2
= 6 − 2𝑥 de donde
𝑑2 𝑃
|
𝑑𝑥 2 𝑥=6
= 6 − 12 = −6 < 0
27
Luego la utilidad se maximiza para x = 6
6
6
Utilidad total = ∫0 (𝐼𝑀 − 𝐶𝑀) = 𝑑𝑥 = ∫0 (6𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = (3𝑥 2 −
𝑥2
3
) /𝟔0 = 36
Si la función de ingreso marginal es 𝐼𝑀 = 25 − 3𝑥 y la función de costo marginal es 𝐶𝑀 =
14.
25 − 7𝑥 + 𝑥 2 , determine la cantidad que se debe producir para maximizar la utilidad y la
correspondiente utilidad total en un caso de competencia pura.
Desarrollo
La utilidad máxima ocurre cuando IM = CM
25 − 3𝑥 = 25 − 7𝑥 + 𝑥 2 ⇒ 𝑥 2 − 4𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0, 𝑥 = 4
𝑑
𝑑𝑥
(𝐼𝑀 − 𝐶𝑀) =
𝑑2 𝑃
𝑑𝑥 2
= 4 − 2𝑥 de donde
𝑑2 𝑃
|
𝑑𝑥 2 𝑥=4
= 4 − 8 = −4 < 0
Luego la utilidad se maximiza para x = 4
4
4
Utilidad total = ∫0 (𝐼𝑀 − 𝐶𝑀)𝑑𝑥 = ∫0 [(25 − 3𝑥) − (25 − 7𝑥 + 𝑥 2 )]𝑑𝑥
4
= ∫0 (4𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = (2𝑥 2 −
Roberto
𝑥2
3
) /𝟔0 =
32
3
28
Si 𝐼𝑀 = 44 − 9𝑥 𝑦 𝐶𝑀 = 20 − 7𝑥 + 2𝑥 2 , establezca el nivel de producción que maximice la
15.
utilidad y la correspondiente utilidad total (𝑃𝑚𝑎𝑥 ) en un mercado de competencia pura.
Desarrollo
La utilidad máxima ocurre cuando IM = CM
44 − 9𝑥 = 20 − 7𝑥 + 2𝑥 2 ⇒ 𝑥 2 + 𝑥 − 12 = 0, factorizando
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 0 ⇒ 𝑥 = −4, 𝑥 = 3
𝑑
𝑑𝑥
(𝐼𝑀 − 𝐶𝑀) =
𝑑2 𝑃
𝑑𝑥 2
𝑑2 𝑃
= −2 − 4𝑥 de donde 𝑑𝑥 2 |
𝑥=3
= −2 − 12 = −14 < 0
Luego la utilidad se maximiza para x = 3
3
3
Utilidad total = ∫0 (𝐼𝑀 − 𝐶𝑀) = 𝑑𝑥 = ∫0 (24 − 2𝑥 − 2𝑥 2 )𝑑𝑥
2
(24𝑥 − 𝑥 2 − 3 𝑥 3 ) /30 = 72 − 9 − 18 = 72 − 27 = 45
Roberto
29
16.
Suponiendo un mercado de libre competencia, obtenga el nivel de producción que maximice
la utilidad y la correspondiente utilidad total si 𝐼𝑀 = 24 − 6𝑥 − 𝑥 2 𝑦 𝐶𝑀 = 4 − 2𝑥 − 𝑥 2
Desarrollo
La máxima utilidad ocurre cuando IM = CM
24 − 6𝑥 − 𝑥 2 = 4 − 2𝑥 − 𝑥 2 de donde 4𝑥 = 20 ⇒ 𝑥 = 5
𝑑
𝑑𝑥
(𝐼𝑀 − 𝐶𝑀) =
𝑑
𝑑𝑥
(20 − 4𝑥) =
𝑑2 𝑃
𝑑𝑥 2
𝑑2 𝑃
= −4 de donde 𝑑𝑥 2 |
𝑥=5
= −4 < 0
Luego la utilidad se maximiza para x = 5
5
5
Utilidad total = ∫0 (𝐼𝑀 − 𝐶𝑀)𝑑𝑥 = ∫0 (20 − 4𝑥)𝑑𝑥 = (20𝑥 − 2𝑥 2 )
5
0
= 100 − 50 = 50
Si 𝐼𝑀 = 15 − 5𝑥 𝑦 𝐶𝑀 = 10 − 3𝑥 + 3𝑥 2 , determine el nivel de producción que maximica la
17.
utilidad y la correspondiente utilidad total (𝑃𝑚𝑎𝑥 ) en un mercado de competencia pura.
Desarrollo
Roberto
30
La máxima utilidad ocurre cuando IM = CM
15 − 5𝑥 = 10 − 3𝑥 + 3𝑥 2 de donde 3x 2 + 2x − 5 = 0 , factorizando
5
(3𝑥 + 5)(𝑥 − 1) = 0 entonces 𝑥 = 1, 𝑥 = −
3
𝑑
(𝐼𝑀
𝑑𝑥
− 𝐶𝑀) =
𝑑
(5 −
𝑑𝑥
2𝑥 − 3𝑥 2 ) = (−2 − 6𝑥) =
𝑑2 𝑃
𝑑𝑥 2
de donde
𝑑2 𝑃
|
𝑑𝑥 2 𝑥=1
= −2 − 6 = −8 < 0
Luego la utilidad se maximiza para x = 1
1
1
Utilidad total = ∫0 (𝐼𝑀 − 𝐶𝑀)𝑑𝑥 = ∫0 (5 − 2𝑥 − 3𝑥 2 )𝑑𝑥 = (5𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 3 )/10 = 5 − 1 − 1 = 3
Roberto