Tema 1.- Introducción al análisis de imagen

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA
MASTER DE GEOTECNOLOGÍAS CARTOGRÁFICAS EN
INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
1. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE IMAGEN
Diego González Aguilera
Departamento de Ingeniería Cartográfica y del Terreno
Escuela Politécnica Superior de Ávila
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INDICE
1.1 Fundamentos básicos de la imagen digital
1.2 Jerarquía en el Análisis de Imagen
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Tema 1:
Introducción al
Análisis de Imagen
La disciplina del Análisis de Imagen constituye un amplio campo de estudio e investigación en
diversas disciplinas con múltiples aplicaciones. En este sentido, cartógrafos, fotográmetras,
matemáticos, físicos, informáticos y demás, continúan investigando en cuestiones que van desde
la aplicación de simples filtros lineales hasta la automatización del reconocimiento semántico de
objetos. Los tres primeros temas de la asignatura pretenden ser un recorrido de carácter teóricopráctico desde los fundamentos y técnicas más contrastadas en el procesamiento digital de
imágenes hasta los últimos avances del Análisis de la Imagen en el contexto de la Geomática.
Este primer tema tiene como objetivo proporcionar una introducción a los conceptos y
fundamentos básicos del Análisis de la imagen.
1.1 Fundamentos básicos de la imagen digital
Imagen Digital
La siguiente figura es un diagrama esquemático de la obtención de una imagen digital a partir
del escaneado o digitalización de una fotografía. De esta manera la fotografía puede describirse
como una función continua F(x,y), denominada imagen, donde las coordenadas x, y son
variables espaciales y la función valor (amplitud) es la densidad. Esta función es además el
producto de dos funciones separadas: Una función es la de iluminación I, mientras que la otra
función describe las propiedades del objeto que está siendo iluminado, conocida como reflexión
R. En realidad para poder obtener la imagen digital la función continua debe estar discretizada,
tanto en las variables espaciales como en la amplitud. La función discreta resultante f(x,y) se
denomina imagen digital. El proceso de discretizar las variables espaciales ∆x, ∆y se conoce
como muestreo y la discretización de la amplitud g como cuantificación. El elemento discreto
∆x, ∆y es el píxel (de las palabras inglesas picture x element) y ∆g es un nivel de gris,
denominado informalmente brillo. Así pues una imagen digital puede expresarse por f (∆x⋅i,
∆y⋅j, i=0,…,N-1;j=0,….,M-1) siendo i, j la dirección del píxel, N el número de filas y M el
número de columnas. La función imagen se escribe normalmente como f(x,y). Hay que tener en
cuenta que las variables espaciales son valores discretos, usualmente valores enteros. La
cuantización de la imagen asignará a cada localización discreta (x,y) un valor entero 2b, con b
siendo valores de: 2, 4, 8, 12, 16 o 32 bits por píxel. De esta forma la resolución radiométrica
describirá el número de bits por píxeles en una imagen.
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Un píxel es interpretado generalmente como una entidad cuadrada o rectangular a pesar de que
el sensor que ha capturado la imagen tenga un campo de vista que no se corresponde con esas
dimensiones. Sin embargo, una imagen digital es casi siempre presentada como un conjunto de
píxeles homogéneos de igual tamaño.
Finalmente, también podemos definir el concepto de imagen digital como: el archivo
informático resultante de una discretización de una imagen, natural o sintética, en elementos de
imagen, llamados píxeles.
Media y desviación estándar
El nivel de gris medio¸ ga, de una imagen y su desviación estándar o típica se determinan
fácilmente mediante las expresiones:
F −1
C −1
1
g ( x, y )
∑
∑
F ⋅ C x =0 y = 0
F −1
C −1
1
σ=
( g ( x, y ) − g a ) 2
∑
x = 0 ∑ y =0
F ⋅C
ga =
La media ga indica el brillo o luminosidad de una imagen mientras que la desviación estándar es
la medida del contraste, o lo que es igual la variación de la información en la imagen. Un valor
pequeño indica una imagen plana con poco contraste, es decir, una imagen con un contenido de
información reducido, mientras que un valor alto será indicativo de una imagen con grandes
variaciones de contraste.
Resolución geométrica
Obviamente, cuanto más pequeñas sean las variables discretas ∆x, ∆y (tamaño del píxel), mejor
será la resolución geométrica de la imagen, mayor será el número de píxeles de la imagen y por
lo tanto mejor será su aproximación a la función continua de la imagen original. Según el
teorema de muestreo se establece que el tamaño más pequeño del píxel puede ser algo menor
que la mitad de la frecuencia más alta de la función continua. Si se satisface esta condición, la
función continua se puede recomponer a partir de la función discreta, lo que equivale a decir
que no hay pérdida de información durante el proceso de discretización.
Por tanto, la resolución geométrica de la imagen (tamaño del píxel) estará directamente
relacionada con el concepto de número de píxeles de una imagen. De forma que a mayor
resolución geométrica mayor número de píxeles de una imagen.
La siguiente tabla resume las necesidades de almacenamiento de las imágenes digitales para
varios tamaños de píxeles, así como el número de píxeles que representa una fotografía aérea
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(230x230mm). Los ejemplos se basan en que la cuantificación de las imágenes se ha efectuado a
256 niveles diferentes de gris, es decir un píxel requiere un byte (8 bits).
Tamaño de píxel (micras)
Número de píxeles
960
480
240
120
60
30
15
7.5
240x240
480x480
960x960
1920x1920
3840x3840
7680x7680
15360x15360
30720x30720
Almacenamiento necesario
(sin comprimir) [Mb]
0.058
0.230
0.922
3.686
14.476
58.982
235.931
943.721
Tabla 1-1. Tamaño del píxel (precisión geométrica), número de píxeles (resolución espacial) y
requerimientos de memoria para una imagen digital correspondiente a una fotografía aérea.
El tamaño de memoria que ocupa una imagen digital en binario viene dado por:
Nº bits = M x N x p con G = 2p
Unidades múltiplo: 1 byte= 8 bits, Kilobyte, Megabyte, Gigabyte…
Si la imagen fuese en color deberíamos triplicar el tamaño de la Tabla 1-1 por tres (3 luces RGB
para cada píxel)
Hay que advertir que las necesidades de almacenamiento disminuyen substancialmente con las
técnicas de compresión existente hoy en día. Los niveles de gris de imágenes de escenas
naturales no son completamente aleatorios. De hecho existe una dependencia muy considerable
de los píxeles vecinos. Por ejemplo, el algoritmo de compresión JPEG puede reducir la
capacidad de almacenamiento a 1/3 sin pérdida apreciable de la calidad de la imagen.
Resolución radiométrica
La resolución radiométrica describirá el número de bits por píxeles en una imagen. La
cuantización de una imagen ha de responder a la pregunta de ¿cuántos niveles de gris son
necesarios para representar el brillo?. La solución está muy condicionada por consideraciones
prácticas. Una variable que ocupa un byte (8 bits) alcanza 256 valores diferentes (28). Es más
que suficiente para representar los niveles de gris en fotografías en blanco y negro.
Normalmente el ser humano no puede discriminar más allá de 50 tonos de gris. Sin embargo, no
es conveniente usar seis bits para representar los niveles de gris. Teniendo en cuenta todas las
consideraciones prácticas, un byte es mucho más adecuado para almacenar el valor de gris de un
píxel.
Muestreo y Cuantización
El proceso de conversión de una representación continua en una discreta se conoce como
digitalización o barrido. La función discreta es una imagen digital. Se obtiene por el muestreo
de las variables espaciales y la cuantización de los niveles de gris (amplitud).
El método habitual para digitalizar una imagen es barrer la misma fila por fila, y muestrear cada
una de las filas. El número de filas que se barran (m) y el número de píxeles que se muestreen
por fila (n) determinarán la resolución de la imagen digital (mxn), que viene a ser el grado de
discernibilidad de detalles en la imagen. Obviamente, cuanto mayor es la resolución de una
imagen digital más se aproxima esta al original.
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El siguiente punto a tener en cuenta es la cuantización de cada una de las muestras. Si el
muestreo representaba una digitalización en el espacio, la cuantización viene a ser una
digitalización en la amplitud, entendiendo por amplitud el nivel de intensidad luminosa en cada
punto. Al cuantificar cada píxel, por el simple hecho de limitar el número de bits, se reduce el
número de valores existentes desde infinito hasta, en principio 2p posibles valores. Este es el
proceso de conversión de una variable continua a otra discreta, donde entra cada dos valores
consecutivos ya no hay otros infinitos entre medias.
La calidad de la cuantización viene dada, fundamental mente, por el número de bits que se
asignan a cada una de las muestras. Dado que los ordenadores digitales suelen trabajar, no con
bits aislados sino con agrupaciones de ellos (bytes, kilobyte, megabyte, etc.), suele ser práctico
utilizar un valor menor o igual de ellos, evitando que un píxel desborde, por ejemplo, de un byte
en otro.
Una vez definido el número de bits por píxel (llamémosle p), la imagen final queda representada
por un mapa tridimensional, de orden mxnxp, que a cada punto del espacio (mi,ni) le hace
corresponder un nivel de intensidad luminosa definido por pi.
Para ser utilizable para el análisis de imagen por medio de un ordenador, una función imagen
f(x,y) debe ser digitalizada tanto espacialmente como en su amplitud. La digitalización de las
coordenadas espaciales (x,y) se denomina muestreo de la imagen y la digitalización de la
amplitud se conoce bajo el nombre de cuantización del nivel de gris.
Se supone que una imagen continua f(x,y) se describe de forma aproximada por una serie de
muestras igualmente espaciadas organizadas en forma de una matriz NxM como se indica en la
siguiente ecuación, donde cada elemento de la matriz es una cantidad discreta:
⎡ f (0,0)
⎢ f (1,0)
⎢
⎢
.
f ( x, y ) = ⎢
.
⎢
⎢
.
⎢
(
− 1,0)
f
N
⎣⎢
f (0,1)
.
.
.
f (1,1)
.
.
.
f ( N − 1,1)
.
.
.
f (0, M − 1) ⎤
f (1, M − 1) ⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
f ( N − 1, M − 1)⎦⎥
A cada elemento de la matriz se le puede denominar elemento de la imagen, píxel. La resolución
(el grado de detalle discernible) en una imagen de pende estrechamente de estos dos parámetros:
muestreo y cuantificación.
Aunque no suele ser habitual, existe la posibilidad de mejorar la apariencia de la imagen a
través del empleo de un muestreo no uniforme o adaptativo, de forma que la resolución espacial
del muestreo varíe en función de las características de la imagen. Por ejemplo realizando un
muestreo fino en las proximidades de transiciones o detalles y un muestreo tosco en regiones
suaves. Esto daría como resultado una malla de píxeles irregula y adaptativa.
Convolución
Existen operaciones que tan sólo se basan en la aplicación de una función, más o menos
sencilla, sobre el valor de luminancia de cada uno de los píxeles de la imagen (o zona de la
misma) a manipular. A continuación se introducirá el uso de la operación de convolución como
herramienta básica para las operaciones de filtrado y extracción de características de la imagen
(tema 2).
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Así, la operación de convolución se define matemáticamente, para un caso bidimensional
continuo como:
∞ ∞
g ( x , y ) = h ( x , y ) ⊗ f ( x, y ) =
∫ ∫ h( x − x' , y − y' ) ⋅ f ( x' , y' )dx' dy'
−∞−∞
mientras que en el caso discreto (imágenes digitales) las integrales se transforman en sumatorios
de la manera siguiente:
y (m, n) = h(m, n) ⊗ x(m, n) = ∑m '=−∞ ∑n '=−∞ h(m − m' , n − n' ) ⋅ x(m' , n' )
∞
∞
La convolución se aplica realizando el producto ponderado de la matriz de convolución con el
entorno de un píxel, para cada píxel de la imagen (exceptuando, quizás aquellos que estén sobre
el borde de la imagen). Gráficamente el procedimiento se muestra en la siguiente figura, cuando
se aplica al caso de la convolución con una máscara de 3x3 elementos:
∑ K ×P
=
∑ K
9
Pix = P'5
i =1
9
i =1
i
i
i
Posibles aplicaciones de la convolución y que se estudiarán en el tema 2 son: el suavizado,
gradientes y derivadas para la mejora o realce de una imagen y por supuesto su aplicación para
la extracción de características.
Histograma
El histograma de una imagen es, básicamente, una herramienta visual para el conocimiento de la
misma. Con un simple vistazo puede proporcionarnos una idea muy aproximada de la
distribución de niveles de gris de la misma, el contraste que presenta, y algún método óptimo
para su mejora o compresión.
Se define el histograma de una imagen como la curva que a lo largo de uno de sus ejes
representa cada uno de los posibles niveles de gris, y en el otro la frecuencia relativa de
aparición del mismo en la imagen.
Que la frecuencia de aparición de cada nivel de gris se muestre en forma relativa (en porcentaje)
se debe, fundamentalmente, al hecho de que el valor absoluto varía fuertemente en función del
tamaño de la imagen, y a que también lo hacen los valores absolutos máximos en función de ese
valor. Así, por ejemplo, para una imagen de 32x32 píxeles el máximo valor absoluto sería de
1024, mientras que en una de 256 x 256, el mismo ascendería hasta 65536.
Un vistazo al histograma ofrece una idea rápida de cuánto distribuidos se encuentran los niveles
de gris en la imagen, aspecto asociado al concepto de contraste.
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Cálculo del histograma. Calcular el histograma de una imagen es algo tan sencillo como contar
el número de apariciones de cada uno de los posibles niveles de gris presentes en la misma. Para
ello, simplemente hay que contar la aparición de cada nivel de gris y almacenar la cuenta en un
vector.
Modificaciones del histograma. Supóngase que g1(x,y) es una imagen en la que se quieren
modificar sus niveles de gris por medio de una transformación T para obtener una imagen nueva
g2(x,y). Se tiene
g 2 ( x , y ) = T [g 1 ( x , y ) ]
Ampliación del contraste. En esta operación, se modifican los niveles de gris para que tengan el
rango más amplio de valores posibles. Una ampliación lineal, por ejemplo, viene definida por
g 2 ( x, y ) = [g1 ( x, y ) + t1 ]t 2
Los parámetros de transformación t1, t2 pueden escogerse de tal modo que los niveles de gris en
g2 estén comprendidos en los intervalos <g2min, g2max>. Sean g1min y g1max los niveles de gris
mínimo y máximo de la imagen g1 (determinados a partir de su histograma). Los coeficientes de
transformación serán entonces:
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t1 = g 2
min
− g1
g2 − g2
max
min
g1 − g1
max
t2 =
min
min
No es necesario que la función de ampliación sea lineal. Algunas veces, una ampliación
logarítmica es más conveniente para el observador. Sirva como ejemplo que el sistema de visión
del ser humano percibe las diferencias de brillo según una escala logarítmica.
Ecualización del histograma. La ecualización del histograma define una transformación de
niveles de gris g1 a niveles de gris g2 de tal manera que la distribución de g2 es uniforme. La
siguiente figura ilustra el procedimiento.
Supóngase por un momento que la distribución de los niveles de gris es continua. La figura
anterior muestra el histograma de g1 en su posición normal. El histograma de g2, h(g2) en la
parte izquierda de la figura está girado 90º. Se busca una función de transformación tal que
h(g2)=(FC)/n, donde F,C son el número de filas y columnas, y n el número de niveles de gris.
Para lograrlo se divide el área comprendida por debajo de la curva del histograma en n/(FC)
‘partes’ iguales. La ecuación siguiente expresa la condición para la ecualización del histograma:
1
h( g 2 ) =
n
h(r )dr
F ⋅ C ∫0
siendo r la variable muda de integración. La integral es una función de distribución acumulada.
De lo que se deduce que la función de transformación necesaria para obtener un histograma
constante es la función de distribución acumulada.
En las imágenes digitales, los niveles de gris son discretos. La forma discreta de la función de
distribución acumulativa se obtiene simplemente sumando todos los niveles de gris.
La figura siguiente muestra el efecto de la ecualización del histograma. La imagen original de la
figura (a) tiene un contraste pobre, expresado claramente por el histograma (c). El histograma
ecualizado (d) produce una representación mejorada de la imagen, como se aprecia en (b).
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Aunque el método de la ecualización el histograma es muy útil, no conduce por sí mismo a las
aplicaciones interactivas de mejora de la imagen. La razón de ello es que este método sólo es
capaz de generar un único resultado: una aproximación a un histograma plano.
Umbralización del histograma. Una solución sencilla para segmentar una imagen consiste en
definir rangos de valores de brillo que supuestamente correspondan a zonas importantes o
significativas en la escena. Ha de acompañarse con la elección adecuada de unos valores de
umbral acordes con los niveles de gris del histograma, seguido por la división de la imagen en
regiones.
La utilidad de la umbralización del histograma se demuestra más adelante en la siguiente figura,
la Figura (a) muestra una marca fiducial de esquina en una fotografía aérea. Para la realización
de la orientación interna es muy conveneiente la detección automática de las marcas fiduciales.
En un principio, se trata de detectar aquellos píxeles que contengan las marcas fiduciales. El
histograma de la Figura (b) muestra tres grupos: los píxeles negros del fondo; los píxeles
blancos de la marca fiducial y su entorno y los grises que conforman la escena circundante. La
umbralización del histograma alrededor del valor 128 incluye las marcas fiduciales así como los
píxeles de la escena (campo helado). Los píxeles del fondo de las marcas fiduciales, sin
embargo, pueden umbralizarse fácilmente. La imagen segmentada en (c) se obtiene en dos
pasos. En primer lugar se separan los píxeles negros del fondo del resto de la imagen y a
continuación se hace una segmentación, pero ahora sólo dentro de la región oscura del fondo. El
resultado mostrado en la Figura (c) contiene tres zonas. Tonos grises correspondientes al
contenido de la escena, negro al fondo de la marca fiducial y blanco a la propia marca.
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Especificación del histograma. Aunque la aplicación de una transformación de entre las
mostradas conlleva importantes modificaciones, beneficiosas en principio para la visualización
de la imagen, el método mostrado adolece de una cierta falta de versatilidad. Hay casos en que
puede ser deseable especificar de forma interactiva la forma del histograma resultante, por
ejemplo con el fin de resaltar determinados niveles de gris de la imagen. Esto es, precisamente,
lo que se persigue con la operación de especificación del histograma.
1.2 Jerarquía en el Análisis de Imagen
Antes de pasar a analizar los diferentes niveles en el Análisis de Imagen conviene tener presente
que el primer paso es la Adquisición de la imagen digital, habitualmente realizado mediante
cámaras digitales. Obtenida la imagen digital, el siguiente proceso sería el Preprocesamiento de
la imagen con el objetivo básico de mejorar la imagen de forma que se aumente las
posibilidades de éxito en los procesos posteriores. Tareas como mejorar el contraste, eliminar
ruido o aislar regiones son algunos ejemplos. En una fase posterior estaría la Segmentación que
consistiría en extraer de una imagen sus partes más representativas. La última etapa conllevaría
el Reconocimiento o la Interpretación. El Reconocimiento es el proceso que asigna una etiqueta
a un objeto basándose en la información proporcionada por sus descriptores. El Reconocimiento
implica asignar significado a un conjunto de objetos reconocidos. Esta última tarea es la más
sofisticada y la que de hecho se encuentra en continua investigación en lo que se ha dado en
denominar como análisis semántico de la imagen.
Podemos dividir los diferentes procesos y tareas del Análisis de Imagen en cuatro categorías
resumidas en la Tabla 1-2. La clasificación sigue el paradigma de la Visión Computacional. La
Visión Computacional es la disciplina que se centra en la descripción de la escena u objeto a
partir de imágenes.
Categoría
Procesos, Algoritmos
Almacenar, acceder, presentar
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Tareas
Manipular imágenes digitales
NIVEL DE SISTEMA
BAJO NIVEL
MEDIO NIVEL
imágenes en pantalla
Mejorar o realzar imágenes
Corresponder imágenes
Agrupar, segmentar imágenes
Comprender imágenes
ALTO NIVEL
Procesamiento de imágenes
Extraer características simples
Reconocimiento de objetos,
Interpretación de imágenes,
Detección semántica
Tabla 1-2. Clasificación de los niveles en el análisis de imagen.
Nivel de sistema
La manipulación de las imágenes digitales es una tarea básica en cualquier disciplina. El tamaño
de las imágenes digitales que suelen usarse en disciplinas como la Fotogrametría y
Teledetección plantea un reto a la hora de resolver adecuadamente las tareas de manipulación
como son el almacenamiento, la recuperación y la visualización de imágenes. Por ejemplo, una
fotografía aérea digitalizada con una resolución de 10 µm requiere una capacidad de
almacenamiento de 450 Mb (sin comprimir).
Nivel bajo
El nivel de sistema proporciona la funcionalidad necesaria para que un ordenador pueda
gestionar las imágenes. La funcionalidad básica necesaria para las operaciones del procesado de
imágenes se proporciona en el siguiente nivel, denominado aquí nivel bajo, en clara analogía
con la visión primaría ó de nivel bajo. Las tareas de procesamiento de imágenes permiten
mejorar la apariencia de las mismas, por ejemplo, las modificaciones del histograma tales como
la reducción de contraste, mejora de la imagen etc.
Nivel medio
Tal y como se indica en la Tabla 1-2 las tareas típicas de nivel medio son las encargadas de la
extracción de características básicas de los objetos, tales como líneas, curvas o primitivas
simples.
Tareas como la agrupación y la segmentación pertenecen a este nivel y sirven como base de
entrada para el siguiente nivel de reconocimiento de objetos.
Nivel alto
Para que una persona pueda responder adecuadamente a su entorno debe analizar, interpretar y
comprender los estímulos visuales. Idealmente, esta misma hazaña puede ser llevada a cabo por
un robot ó un vehículo autónomo. Para recoger algo de un recipiente ó moverse en medio de una
aglomeración, el robot debe reconocer el entorno por medio de los datos que le llegan del sensor
y del contenido almacenado en la memoria. El resultado de la comprensión de la imagen es una
interpretación total de la escena. Por tanto la comprensión ó interpretación de la imagen
depende de la aplicación.
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