Lugares geométricos básicos.

Unidad 1.-
Conceptos Requeridos 2
Lugares geométricos básicos.
1 – NOCIONES SOBRE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
El tema central de este archivo adjunto está vinculado con los Lugares
Geométricos básicos, pero para desarrollarlo necesitamos adelantar algunos conceptos
que serán estudiados en la unidad siguiente.
La finalidad de adelantarnos al proceso teórico es comenzar a resolver problemas lo antes
posible. Los temas que estamos anticipando son:
– Figuras congruentes.
– Criterios de congruencia de triángulos.
– Condición necesaria y suficiente de paralelismo.
– Perpendicularidad entre rectas.
1.1 – Figuras congruentes.
La Geometría métrica tiene como principal objeto a estudiar los conjuntos de
puntos, es decir: las figuras y entre ellas una relación denominada congruencia.
Veamos algunas definiciones:
Dos figuras se llama congruentes cuando existe una isometría que hace
corresponder una con otra.
Una isometría, movimiento o congruencia es una función biyectiva del plano en
el plano que conserva las distancias.
1.2 – Criterios de congruencia de triángulos.
En la resolución de muchos problemas es necesario justificar que dos triángulos
son congruentes, por lo cual debemos conocer las condiciones necesarias y suficientes que
nos aseguran esta relación. Estas condiciones se llaman criterios de congruencia de
triángulos y comúnmente se las enuncia en este orden:
1º) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo
comprendido, son congruentes.
1
2º) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes un lado y los dos ángulos
adyacentes, son congruentes.
3º) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes los tres lados, son congruentes.
4º) Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos lados distintos y el ángulo
opuesto al mayor de ellos, son congruentes.
1.3 – Rectas paralelas.
Recordemos algunos enunciados estudiados en el Complemento 1-1:
Hemos definido:
Rectas paralelas, son dos rectas coplanares no secantes.
Observemos que dos rectas paralelas, no tienen ningún punto común o tienen todos sus
puntos comunes.
Axioma de paralelismo (o de Euclides1)
Dada una recta r y un punto P, existe una y sólo una recta paralela a r que pase por P.
1
Referencia histórica en la Web:
http://www.centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Euclides/euclides.html
http://www.euler.ciens.ucv.ve/matematicos/euclides.html
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Paralelas cortadas por una secante.
Consideremos dos rectas cortadas por una
tercera y tomemos las siguientes definiciones:
Los pares de ángulos
α y α’, β y β’, se llaman alternos internos;
γ y γ’, δ y δ’, se llaman alternos externos;
α y γ’, β y δ’, γ y α’, δ y β’, se llaman
correspondientes.
Teniendo en cuenta estas denominaciones vale la siguiente propiedad:
La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas, es que los pares de
ángulos alternos internos (alternos externos o correspondientes) sean congruentes.
1.4 – Rectas perpendiculares.
En la unidad 2, diremos que:
Rectas perpendiculares son dos rectas secantes que determinan cuatro ángulos
congruentes.
Demostraremos, entonces, la siguiente propiedad:
La perpendicular a una recta por un punto, existe y es única.
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2 – LUGARES GEOMÉTRICOS BÁSICOS
Un Lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen con una propiedad
común.
Estudiaremos siete Lugares Geométricos que hemos denominado "básicos" puesto que a
partir de ellos se pueden deducir otros.
Ellos son: Mediatriz, Bisectriz, Paralela media, Circunferencia, Paralela a una recta,
Semirrecta, y Arco capaz.
Mediatriz – Dado un segmento, el Lugar Geométrico
de los puntos del plano que equidistan de los extremos
es la mediatriz del segmento.
Bisectriz – Dado un ángulo, el Lugar Geométrico
de los puntos del plano que equidistan de los lados
es la bisectriz del ángulo.
Paralela media – Dadas dos rectas paralelas a y b
tales que d(a, b) = h, el Lugar Geométrico de los
puntos del plano que equidistan de a y b es la
paralela a ambas que dista de ellas 1 h.
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Circunferencia – Dado un punto O y un número real r no negativo, el Lugar Geométrico
de los puntos del plano que distan r de O es la
circunferencia de centro O y radio r.
Paralelas a una recta – Dada una recta x y un número real h no negativo, el Lugar
Geométrico de los puntos del plano que distan h de x
es la unión de las paralelas a x que distan h de x.
Semirrectas – Dada una semirrecta Os y un ángulo α, el Lugar Geométrico de los
puntos P del plano para los cuales el
ángulo POs es congruente con α es la
unión de las semirrectas Oa y Ob tales
que los ángulos aOs y bOs son
congruentes con α.
Arcos capaces - Dado un segmento AB y un ángulo α, el Lugar Geométrico de los puntos
P del plano tales que APB es congruente con
α es la unión de los arcos capaces de ángulo
α y cuerda AB.
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Recuerde que de los lugares antes mencionados, dispone de figuras dinámicas donde
podrá visualizar sus propiedades y recordar las construcciones más importantes.
Justificaremos uno de ellos: mediatriz de un segmento. Para que ustedes se ejerciten
damos sugerencias en el caso de la bisectriz de un ángulo.
3 – MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
Adoptemos la siguiente
DEFINICIÓN:
Se llama mediatriz de un segmento AB a la perpendicular a la recta AB en el punto medio
del segmento.
Basándonos en la definición considerada, justifiquemos el
TEOREMA:
Dado un segmento AB, el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de los
extremos es la mediatriz del segmento.
Debemos probar:
Teorema directo
H) AB es un segmento y P es un punto que cumple: AP = BP
T) P ∈ mz (AB)
Demostración
1) Si P ∈ AB, entonces P es punto medio de AB, lo
que implica P ∈ mz(AB) por def. de mediatriz de un
segmento.
2) Si P ∉ AB:
Construimos M, punto medio de AB y consideramos
los triángulos AMP y BMP que tienen:
• el lado MP común
• PA = PB por H)
⇒
• MA = MB por construcción
Por el 3º criterio de congruencia de triángulos:
AMP =c BMP ⇒
AMP = BMP
⇒ AB ⊥ PM
AMP adyacente de BMP
Entonces, como M es punto medio de AB y AB ⊥ PM, PM es la mediatriz de AB, o sea
P ∈ mz(AB)
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Teorema recíproco
H) AB es un segmento y P ∈ mz (AB)
T) AP = BP
Demostración
1) Si P ∈ AB, por definición de mediatriz de un
segmento, se tiene que P es punto medio de AB ⇒
AP = BP
2) Si P ∉ AB:
Por definición de mediatriz de un segmento,
mz(AB) ∩ AB = {M} siendo M el punto medio de AB y
mz(AB) ⊥ AB. Consideramos los triángulos AMP y BMP
que tienen:
• el lado MP común
• AMP = BMP = 1 recto
⇒
Por el 1er criterio de congruencia de triángulos:
• MA = MB pues M = pm (AB)
AMP = BMP
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⇒
PA = PB
4 – BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Partiremos de la siguiente
DEFINICIÓN: Se llama bisectriz de un ángulo AOB a una semirrecta de origen en su el
vértice O, interior a él, que lo divide en dos ángulos congruentes.
TEOREMA: Dado un ángulo aOb, el Lugar Geométrico de los puntos del plano que
equidistan de los lados Oa y Ob es la bisectriz del ángulo.
Debemos probar:
Teorema directo
H) aOb es un ángulo y P es un punto que cumple: d(P,Oa) = d(P,Ob)
T) P ∈ bz (aOb)
Sugerencia:
Considerar los triángulos OPA y OPB, probar que son
congruentes y deducir la congruencia de los ángulos
AOP y BOP.
Teorema recíproco
H) aOb es un ángulo y P ∈ bz (aOb)
T) d(P, Oa) = d(P,Ob)
Sugerencia:
Trazar desde P las rectas perpendiculares a Oa y Ob
que las cortarán en A y B respectivamente y probar la
congruencia de los triángulos OPA y OPB.
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5 – ARCO CAPAZ
Con la finalidad de introducir el concepto de Arco capaz, a continuación
estudiaremos las propiedades de los ángulos teniendo en cuenta su posición relativa
respecto a una circunferencia: ángulos inscriptos, semi-inscriptos, con el vértice interior y
con el vértice exterior a una circunferencia.
Ángulos Inscriptos
Comencemos con la siguiente definición:
Se llama ángulo inscripto en una circunferencia a aquel cuyo vértice es un punto de la
circunferencia y sus lados son semirrectas secantes a ella.
Si los puntos de intersección de los lados del
ángulo con la circunferencia, distintos del
vértice, son A y B, diremos que:
1) el ángulo inscripto APB abarca el arco AB
contenido en él.
2) al ángulo APB le corresponde el ángulo al
centro AOB (o ángulo central ).
Para los ángulos inscriptos vale el siguiente teorema:
Todo ángulo inscripto en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo al centro
que abarca el mismo arco.
APB = 1 AOB
Para demostrar esta propiedad analizaremos tres casos particulares:
1º caso: El centro de la circunferencia pertenece a un lado del ángulo inscripto.
2º caso: El centro de la circunferencia es un punto interior al ángulo inscripto.
3º caso: El centro de la circunferencia es un punto exterior al ángulo inscripto.
1º caso
2º caso
3º caso
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1º caso:
H) APB es un ángulo inscripto en una circunferencia de centro
O y radio r, que abarca el arco AB
O ∈ V(B)
T) APB = 1 AOB
Demostración
PO = AO = r por definición de circunferencia entonces el
triángulo APB es isósceles, por consiguiente es isoángulo, de lo que deducimos:
APO = PAO El ángulo AOB es exterior al triángulo AOP, por el teorema del ángulo externo se tiene:
AOB = APO + PAO De y deducimos que: AOB = 2 APB, o sea APB = 1 AOB
2º caso:
Demostración a completar.
H) APB es un ángulo inscripto en una circunferencia de
centro O y radio r, que abarca el arco AB
O es interior al ángulo APB
T) APB = 1 AOB
Demostración
Consideramos la semirrecta P(O) que corta al arco AB en el
punto C. El ángulo APB queda dividido por la semirrecta interior P(C) en dos ángulos:
APC y CPB que están en las condiciones del 1º caso, por tener uno de sus lados que pasa
por el centro O. Entonces se cumple:
APC = 1 AOC
CPB = ..............
Sumando miembro a miembro
ambas igualdades:
APC + CPB = ………...
AVB
= …………
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3º caso:
Demostración a realizar.
Para demostrar este caso, se procede en forma análoga al caso
anterior. Se traza la semirrecta P(O) que corta a la
circunferencia en el punto P y C.
En este caso el ángulo APB se obtendrá como diferencia de
los ángulos CPB y CPA.
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Ángulos semi-inscriptos
Los introduciremos a partir de la siguiente definición:
Se llama ángulo semi-inscripto en una circunferencia a aquel cuyo vértice es un punto de
la circunferencia, uno de sus lados es secante y otro tangente ella.
Diremos que:
1) el ángulo semi-inscripto TPA abarca el arco PA,
contenido en él.
2) al ángulo TPA le corresponde el ángulo al centro POA (o
ángulo central ).
Estos ángulos verifican la siguiente propiedad:
Todo ángulo semi-inscripto en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo al
centro que abarca el mismo arco.
APT = 1 AOP
Para demostrar esta propiedad analizaremos tres casos particulares:
1º caso: El centro de la circunferencia pertenece a un lado del ángulo semi-inscripto.
2º caso: El centro de la circunferencia es un punto interior al ángulo semi-inscripto.
3º caso: El centro de la circunferencia es un punto exterior al ángulo semi-inscripto.
1º caso
2º caso
3º caso
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1º caso:
H) APT es un ángulo semi-inscripto en una
de centro O y radio r, que abarca el arco AP
O ∈ P(A)
circunferencia
T) APT = 1 POA
Demostración
PO ⊥ PT por propiedad de la tangente2, entonces:
APT = 1 recto O(P) y O(A) son semirrectas opuestas, por lo tanto:
POA = 1 llano De y deducimos que: APT = 1 POA
2º y 3º casos:
Demostraciones a realizar.
Se demuestran aplicando el 1º caso demostrado. El ángulo semi-inscripto se obtiene como
suma o diferencia de un ángulo inscripto y uno semi-inscripto, trazando las semirrectas de
origen P que pasan por el centro O de la circunferencia.
En este caso, tomar el ángulo semi-inscripto TPA como
la diferencia entre el ángulo TPC (en las condiciones del
1º caso) y el inscripto APC.
2
La tangente a una circunferencia en uno de sus puntos es perpendicular a la recta que contiene al radio en
el punto de tangencia.
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Ángulos interiores
Se llama ángulo interior a una circunferencia a aquel cuyo vértice es un punto interior a la
circunferencia.
Diremos que:
1) el ángulo interior AIB abarca el arco AB, contenido en él y
que su opuesto por el vértice abarca el arco CD.
2) en este caso hay dos ángulos al centro: AOB y COD
Se cumple que:
Todo ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de los ángulos al
centro que abarcan él y su opuesto por el vértice.
AIB = 1 (AOB + COD)
Demostración a completar.
H) AIB es un ángulo interior a la circunferencia de centro O y radio r
T) AIB = AOB + COD
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Demostración
Consideramos el triángulo CIB. El ángulo AIB es externo al
triángulo CIB, entonces:
AIB = ICB + IBC
I ∈ A(C) ⇒ ICB = ACB
I ∈ B(D) ⇒ IBC = ……..
Por propiedad de los ángulos inscriptos:
ACB = .............
DBC = .............
Sustituyendo en AIB = ..............
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AIB = ………..
Ángulos exteriores
Se llama ángulo exterior a una circunferencia a aquel cuyo vértice es un punto exterior a la
ella y sus lados son semirrectas secantes a la misma.
Diremos que:
1) el ángulo exterior AEB abarca los arcos AB y CD
contenidos en él.
2) en este caso hay dos ángulos al centro: AOB y COD
La propiedad que cumplen es:
Todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los ángulos
al centro que él abarca sobre la circunferencia.
AIB = 1 (AOB – COD)
H) AEB es un ángulo exterior a la circunferencia de centro O y radio r
T) AEB = AOB - COD
2
La demostración queda como ejercicio.
Sugerencia:
Trazando por C la recta paralela a AE, se obtiene el
ángulo FCB, que resulta congruente con AEB por ser
correspondientes. es inscripto en la circunferencia.
No debemos olvidar:
Considerar otros ángulos con vértice exterior a la circunferencia que verifican propiedades
análogas: los que tienen uno o ambos lados tangentes a la circunferencia.
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