290 - amontes

Ejercicio 290 Ejercicios de cónicas
Applet CabriJava
(1046-424)
Dada una cónica C y un punto P , determinar el lugar geométrico del punto medio del par de puntos en
que una recta variable, que pasa por P , corta a la cónica.
SOLUCIÓN:
El problema del mes (Setembre 2009). Aquı́ matemàtiques!
http://www.xtec.cat/recursos/mates/aqui/set09/midellp.htm
Con el siguiente enunciado:
On es troben els punts mitjans?
Tenim una ellipse ε i un punt P que li és exterior. Aleshores des de P tracem les rectes secants o tangents a
l’ellipse, les quals la tallen en els punts A i B.
Qüestió:
Trobeu el lloc geomètric dels punts M , que són els punt mitjans de cadascun dels segments AB. Naturalment, en
els dos casos de tangència, A = B = M .
————————
Si el punto P es exterior a la cónica C, podemos trazar las dos tangentes (reales), que tomamos como ejes coordenados; entonces, la cónica forma parte del haz bitangente con las dos cónicas degeneradas formadas por el producto
de dichas tangentes y otra por la polar de p de P , tomada dos veces. La polar p corta a todas las cónicas del haz
en los puntos de tangencia de las dos tangentes consideradas, que tomamos como extremos de los vectores básicos en
cada eje coordenado.
Si el punto P no es necesariamente exterior, podemos tomar P como origen y los dos ejes coordenados dos rectas
arbitrarias que cortan a la cónica, en las que tomamos los extremos de las los vectores básicos en los puntos de
intersección con la polar p de P . Ası́, p tiene por ecuación x + y − 1 = 0. La cónica corta a los ejes coordenadas en
puntos de abscisas a y a0 y en los puntos de ordenadas b y b0 , verificándose que (a a0 0 1) = −1 y (b b0 0 1) = −1. De
estos valores de la razón doble, se tiene que:
a0 =
a
,
2a − 1
b0 =
b
.
2b − 1
En el caso particular de que P sea exterior a la cónica y tomando los ejes coordenados coincidentes con las tangentes
desde P , se tiene que a = a0 = b = b0 = 1.
Resolveremos el problema ateniéndonos al segundo caso enumerado (más general), sin tener en cuenta que el punto
P sea interior o exterior a la cónica C. La ecuación de la cónica se puede poner en la forma:
³x y
´³ x
´
y
2kxy +
+ −1
+
−
1
= 0.
a
b
a0
b0
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Angel Montesdeoca
b2 (2a − 1)x2 + a2 (2b − 1)y 2 − 2ab(1 − a − b − abk)xy − 2a2 b2 x − 2a2 b2 y + a2 b2 = 0.
Si tomamos una recta variable ` por el origen de coordenadas P y por un punto (t, 1 − t) de su polar, x + y − 1 = 0,
respecto a C, el punto del infinito de dicha recta variable es, en coordenadas homogéneas, (0, t, 1 − t). La polar de este
punto es un diámetro que corta a la recta ` en el punto medio M de los dos puntos D y E en que ` corta a C.
La ecuación de tal diámetro es:
³
´
³
´
b a(1 − a − b − abk) − (a − a2 − b + ab − a2 bk)t x + a a(1 − 2b) − (a − b − ab + b2 + ab2 k)t y + a2 b2 = 0.
Eliminando t entre esta ecuación y la de la recta ` : (1 − t)x − ty = 0, se obtiene que el lugar geométrico pedido
es la cónica de ecuación:
C0 :
b2 (2a − 1)x2 + a2 (2b − 1)y 2 − 2ab(1 − a − b − abk)xy − a2 b2 x − a2 b2 y = 0.
Las cónicas C y C 0 son semejantes. Sus centros están alineados con P ; y el centro C 0 de C 0 es el punto medio de
−−→
P y el centro C de C. Por lo que, una traslación de C en la dirección del vector 21 CP , seguida de una homotecia de
centro C 0 y una adecuada razón, transforman C en C 0 .
Las coordenadas del centro C de C (que está en C 0 , pues está en el diámetro que pasa por P ), son:
µ
¶
a(a − b − ab + b2 + ab2 k)
b(−a + b − ab + a2 + a2 bk)
,
.
a2 − 2ab + b2 − 2ab(1 − a − b)k + a2 b2 k 2
a2 − 2ab + b2 − 2ab(1 − a − b)k + a2 b2 k 2
En el caso en que P sea exterior a la cónica C y siguiendo el procedimiendo del primer caso enunciado, la ecuación
de C (con centro en (1/(2 + k), 1/(2 + k))), es:
2kxy − (x + y − 1)2 = 0,
x2 + y 2 + 2(1 + k)xy − 2x − 2y + 1 = 0.
Y la ecuación de la cónica C 0 , lugar geométrico pedido, es:
x2 + y 2 + 2(1 + k)xy − x − y = 0.
NOTA SOBRE LA CONSTRUCCIÓN CON CABRI:
Cuando el punto P es exterior a la cónica C, hay rectas que pasan por P que no cortan a C en puntos reales,
sino en dos puntos imaginarios conjugados y podemos acudir al método expuesto por Roger Cuppens en ”Faire de la
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géomètrie supérieure en jouant avec Cabri-Géomètre II” (pág. 123), para determinar dos puntos ”reales asociados”
D0 y E 0 , cuyo punto medio está en el lugar geométrico pedido.
Para ello utlizamos interseccion recta conica.mac:
MACRO CabriII vers. MS-Windows 1.0
interseccion recta conica, no name
Icon:
0000000000000003
0000000000000030
0000000000000300
0000000000003300
0000000000003066
3000000000088600
0300000000688000
0030000066630000
0003006600030000
0008860000030000
0068800000003000
6600300000000300
0000300000000333
0000300000000000
0003000000000000
0030000000000000
Help:
”Dada un recta d y cinco puntos S, T, A, B, C (en este orden) sobre una conica, determina los puntos reales de interseccion de recta
y conica o un segmento (cuyos extremos son los puntos reales asociados) cuando la interseccion no son puntos reales. ”
Mth: 0
CN:6, ON:66, FN:5, PO:64
CT:
point, CS 0, R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
point, CS 0, R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
point, CS 0, R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
point, CS 0, R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
point, CS 0, R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
line, CS 0, V, W, t, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Const:
Line, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 1 3
Line, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 1 4
Line, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 1 5
Line, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 2 3
Line, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 2 4
Line, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 2 5
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 7 6
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 10 6
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 8 6
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 11 6
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 9 6
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 12 6
Mid, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 13 16
Cir, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 19 13
Perp, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 19 6
Int, Mth:1, 0, 256, CN:2, VN:1, Const: 21 20
Tr, Mth:0, 0, 0, CN:3, VN:0, Const: 15 14 22
PBiss, Mth:1, 0, 2, CN:1, VN:2, Const: 23
PBiss, Mth:1, 0, 0, CN:1, VN:2, Const: 23
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 24 25
Line, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 19 26
Refl, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 22 27
Tr, Mth:0, 0, 0, CN:3, VN:0, Const: 22 13 18
PBiss, Mth:1, 0, 2, CN:1, VN:2, Const: 29
PBiss, Mth:1, 0, 0, CN:1, VN:2, Const: 29
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 30 31
Tr, Mth:0, 0, 0, CN:3, VN:0, Const: 22 14 17
PBiss, Mth:1, 0, 2, CN:1, VN:2, Const: 33
PBiss, Mth:1, 0, 0, CN:1, VN:2, Const: 33
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 34 35
Line, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 32 36
Refl, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 22 37
Tr, Mth:0, 0, 0, CN:3, VN:0, Const: 28 22 38
PBiss, Mth:1, 0, 2, CN:1, VN:2, Const: 39
PBiss, Mth:1, 0, 0, CN:1, VN:2, Const: 39
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 40 41
Cir, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 42 28
Perp, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 42 6
Perp, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 42 44
Int, Mth:1, 0, 256, CN:2, VN:1, Const: 45 43
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Int, Mth:1, 0, 256, CN:2, VN:1, Const: 44 43
Biss, Mth:0, 0, 0, CN:3, VN:2, Const: 46 42 47
Int, Mth:1, 0, 32768, CN:2, VN:1, Const: 44 43
Perp, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 42 48
Mid, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 49 42
Perp, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 51 48
Par, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 49 48
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 48 52
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 50 53
Line, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 54 55
Par, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 49 56
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 52 57
Sym, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 49 42
Sym, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 58 42
Mid, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 51 42
Perp, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 61 48
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 48 62
Line, Mth:1, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 63 55
Par, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:2, Const: 49 64
Int, Mth:0, 0, 0, CN:2, VN:1, Const: 62 65
Con, Mth:0, 0, 1, CN:5, VN:6, Const: 49 58 66 59 60
Int, Mth:5, 1, 32768, CN:2, VN:1, Const: 6 67, R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
Int, Mth:5, 1, 256, CN:2, VN:1, Const: 6 67, R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
Seg, Mth:0, 1, 0, CN:2, VN:0, Const: 68 69, O, W, tT, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Int, Mth:1, 1, 32768, CN:2, VN:1, Const: 6 43, R, W, t, DS:1 1, GT:3, V, nSt
Int, Mth:1, 1, 256, CN:2, VN:1, Const: 6 43, R, W, t, DS:1 1, GT:3, V, nSt
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejco1046.pdf
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