Propiedades de la Igualdad - Ejemplo 1

Propiedades de la Igualdad
Ejemplo 1
Efraı́n Soto Apolinar
aprendematematicas.org.mx
26 de septiembre de 2010
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
1/8
Introducción
El álgebra es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las
propiedades de objetos matemáticos.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
2/8
Introducción
El álgebra es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las
propiedades de objetos matemáticos.
Un objeto matemático puede ser un número, una ecuación, un vector, etc.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
2/8
Introducción
El álgebra es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las
propiedades de objetos matemáticos.
Un objeto matemático puede ser un número, una ecuación, un vector, etc.
Por ejemplo, para el álgebra de los números, tenemos un conjunto de objetos,
en este caso, los números, y el álgebra lo que hará es buscar y encontrar
todas las propiedades de ese conjunto de números.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
2/8
Introducción
El álgebra es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las
propiedades de objetos matemáticos.
Un objeto matemático puede ser un número, una ecuación, un vector, etc.
Por ejemplo, para el álgebra de los números, tenemos un conjunto de objetos,
en este caso, los números, y el álgebra lo que hará es buscar y encontrar
todas las propiedades de ese conjunto de números.
La igualdad es una relación que se define entre números.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
2/8
Introducción
El álgebra es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las
propiedades de objetos matemáticos.
Un objeto matemático puede ser un número, una ecuación, un vector, etc.
Por ejemplo, para el álgebra de los números, tenemos un conjunto de objetos,
en este caso, los números, y el álgebra lo que hará es buscar y encontrar
todas las propiedades de ese conjunto de números.
La igualdad es una relación que se define entre números.
Las tres propiedades más importantes de la igualdad se resumen en una
estructura matemática que se conoce como relación de equivalencia.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
2/8
Definición
Definición: Relación de equivalencia
La relación de equivalencia se define con las siguientes propiedades:
Reflexiva: a = a.
Ejemplo: 5 = 5.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
3/8
Definición
Definición: Relación de equivalencia
La relación de equivalencia se define con las siguientes propiedades:
Reflexiva: a = a.
Ejemplo: 5 = 5.
Simétrica: Si a = b, entonces, b = a.
Ejemplo: Si x = 2, entonces, 2 = x.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
3/8
Definición
Definición: Relación de equivalencia
La relación de equivalencia se define con las siguientes propiedades:
Reflexiva: a = a.
Ejemplo: 5 = 5.
Simétrica: Si a = b, entonces, b = a.
Ejemplo: Si x = 2, entonces, 2 = x.
Transitiva: Si a = b, y b = c, entonces, a = c.
Ejemplo: Si x = 2, y 2 = w , entonces, x = w .
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
3/8
Introduccion
Las propiedades de la igualdad nos ayudan a justificar los métodos que usaremos
para resolver problemas.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
4/8
Introduccion
Las propiedades de la igualdad nos ayudan a justificar los métodos que usaremos
para resolver problemas.
Por ejemplo, la propiedad reflexiva en palabras dice: un número siempre es igual a
sı́ mismo. En un contexto familiar, podemos decir: yo siempre tengo mi propia
edad.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
4/8
Introduccion
Las propiedades de la igualdad nos ayudan a justificar los métodos que usaremos
para resolver problemas.
Por ejemplo, la propiedad reflexiva en palabras dice: un número siempre es igual a
sı́ mismo. En un contexto familiar, podemos decir: yo siempre tengo mi propia
edad.
La propiedad simétrica en palabras dice: Si un número es igual a otro, el segundo
debe ser igual al primero. En el mismo contexto, podemos decir: Si Alicia tiene la
misma edad que Berenice, entonces Berenice tiene la misma edad que Alicia.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
4/8
Introduccion
Las propiedades de la igualdad nos ayudan a justificar los métodos que usaremos
para resolver problemas.
Por ejemplo, la propiedad reflexiva en palabras dice: un número siempre es igual a
sı́ mismo. En un contexto familiar, podemos decir: yo siempre tengo mi propia
edad.
La propiedad simétrica en palabras dice: Si un número es igual a otro, el segundo
debe ser igual al primero. En el mismo contexto, podemos decir: Si Alicia tiene la
misma edad que Berenice, entonces Berenice tiene la misma edad que Alicia.
La propiedad transitiva en palabras dice: Si un primer número es igual a otro
segundo número, y además, el segundo número es igual a otro tercer número,
entonces el tercer número y el primer número deben ser iguales. En el contexto de
las edades esto se aplica ası́: Si Alicia tiene la misma edad que Berenice, y
Berenice tiene la misma edad que Claudia, entonces, Alicia y Claudia tienen la
misma edad.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
4/8
Introduccion
Las propiedades de la igualdad nos ayudan a justificar los métodos que usaremos
para resolver problemas.
Por ejemplo, la propiedad reflexiva en palabras dice: un número siempre es igual a
sı́ mismo. En un contexto familiar, podemos decir: yo siempre tengo mi propia
edad.
La propiedad simétrica en palabras dice: Si un número es igual a otro, el segundo
debe ser igual al primero. En el mismo contexto, podemos decir: Si Alicia tiene la
misma edad que Berenice, entonces Berenice tiene la misma edad que Alicia.
La propiedad transitiva en palabras dice: Si un primer número es igual a otro
segundo número, y además, el segundo número es igual a otro tercer número,
entonces el tercer número y el primer número deben ser iguales. En el contexto de
las edades esto se aplica ası́: Si Alicia tiene la misma edad que Berenice, y
Berenice tiene la misma edad que Claudia, entonces, Alicia y Claudia tienen la
misma edad.
Sin embargo, esas propiedades no son todas las que posee la igualdad.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
4/8
Definición
Definición: Propiedades de la igualdad
Además de las propiedades que se mencionan en la relación de equivalencia, la
igualdad presenta las siguientes:
Para la suma: Si a = b, entonces, a + c = b + c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x + 3 = 5 + 3.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
5/8
Definición
Definición: Propiedades de la igualdad
Además de las propiedades que se mencionan en la relación de equivalencia, la
igualdad presenta las siguientes:
Para la suma: Si a = b, entonces, a + c = b + c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x + 3 = 5 + 3.
Para la resta: Si a = b, entonces, a − c = b − c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x − 3 = 5 − 3.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
5/8
Definición
Definición: Propiedades de la igualdad
Además de las propiedades que se mencionan en la relación de equivalencia, la
igualdad presenta las siguientes:
Para la suma: Si a = b, entonces, a + c = b + c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x + 3 = 5 + 3.
Para la resta: Si a = b, entonces, a − c = b − c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x − 3 = 5 − 3.
Para la multiplicación: Si a = b, entonces, a c = b c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, 7 x = (7)(5).
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
5/8
Definición
Definición: Propiedades de la igualdad
Además de las propiedades que se mencionan en la relación de equivalencia, la
igualdad presenta las siguientes:
Para la suma: Si a = b, entonces, a + c = b + c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x + 3 = 5 + 3.
Para la resta: Si a = b, entonces, a − c = b − c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x − 3 = 5 − 3.
Para la multiplicación: Si a = b, entonces, a c = b c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, 7 x = (7)(5).
a b
Para la división: Si a = b, entonces, = .
c
c
x
5
Ejemplo: Si x = 5, entonces, = .
7 7
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
5/8
Definición
Definición: Propiedades de la igualdad
Además de las propiedades que se mencionan en la relación de equivalencia, la
igualdad presenta las siguientes:
Para la suma: Si a = b, entonces, a + c = b + c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x + 3 = 5 + 3.
Para la resta: Si a = b, entonces, a − c = b − c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x − 3 = 5 − 3.
Para la multiplicación: Si a = b, entonces, a c = b c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, 7 x = (7)(5).
a b
Para la división: Si a = b, entonces, = .
c
c
x
5
Ejemplo: Si x = 5, entonces, = .
7 7
Para la potencia: Si a = b, entonces, an = b n .
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x 2 = 52 .
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
5/8
Definición
Definición: Propiedades de la igualdad
Además de las propiedades que se mencionan en la relación de equivalencia, la
igualdad presenta las siguientes:
Para la suma: Si a = b, entonces, a + c = b + c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x + 3 = 5 + 3.
Para la resta: Si a = b, entonces, a − c = b − c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x − 3 = 5 − 3.
Para la multiplicación: Si a = b, entonces, a c = b c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, 7 x = (7)(5).
a b
Para la división: Si a = b, entonces, = .
c
c
x
5
Ejemplo: Si x = 5, entonces, = .
7 7
Para la potencia: Si a = b, entonces, an = b n .
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x 2 = 52 .
√
√
Para la raı́z: Si a = b, entonces, n a = n b.√
√
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x = 5.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
5/8
Interpretación
3 La propiedad para la suma, nos dice en palabras que al sumar un mismo
número en ambos lados de una igualdad, obtenemos una nueva igualdad
válida.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
6/8
Interpretación
3 La propiedad para la suma, nos dice en palabras que al sumar un mismo
número en ambos lados de una igualdad, obtenemos una nueva igualdad
válida.
3 La propiedad para la resta, nos dice que al restar un mismo número en ambos
lados de una igualdad, obtenemos otra igualdad válida.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
6/8
Interpretación
3 La propiedad para la suma, nos dice en palabras que al sumar un mismo
número en ambos lados de una igualdad, obtenemos una nueva igualdad
válida.
3 La propiedad para la resta, nos dice que al restar un mismo número en ambos
lados de una igualdad, obtenemos otra igualdad válida.
3 La propiedad para la multiplicación, nos dice en palabras que si multiplicamos
ambos lados de la igualdad por un número real, obtenemos otra nueva
igualdad válida.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
6/8
Interpretación
3 La propiedad para la suma, nos dice en palabras que al sumar un mismo
número en ambos lados de una igualdad, obtenemos una nueva igualdad
válida.
3 La propiedad para la resta, nos dice que al restar un mismo número en ambos
lados de una igualdad, obtenemos otra igualdad válida.
3 La propiedad para la multiplicación, nos dice en palabras que si multiplicamos
ambos lados de la igualdad por un número real, obtenemos otra nueva
igualdad válida.
3 La propiedad para la división, nos dice que si dividimos ambos lados de la
igualdad por un número real (distinto de cero), obtenemos otra nueva
igualdad válida.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
6/8
Interpretación
3 La propiedad para la suma, nos dice en palabras que al sumar un mismo
número en ambos lados de una igualdad, obtenemos una nueva igualdad
válida.
3 La propiedad para la resta, nos dice que al restar un mismo número en ambos
lados de una igualdad, obtenemos otra igualdad válida.
3 La propiedad para la multiplicación, nos dice en palabras que si multiplicamos
ambos lados de la igualdad por un número real, obtenemos otra nueva
igualdad válida.
3 La propiedad para la división, nos dice que si dividimos ambos lados de la
igualdad por un número real (distinto de cero), obtenemos otra nueva
igualdad válida.
3 La propiedad de la igualdad para la potencia indica que, si elevamos a la
misma potencia ambos lados de una igualdad, ésta se sigue cumpliendo.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
6/8
Interpretación
3 La propiedad para la suma, nos dice en palabras que al sumar un mismo
número en ambos lados de una igualdad, obtenemos una nueva igualdad
válida.
3 La propiedad para la resta, nos dice que al restar un mismo número en ambos
lados de una igualdad, obtenemos otra igualdad válida.
3 La propiedad para la multiplicación, nos dice en palabras que si multiplicamos
ambos lados de la igualdad por un número real, obtenemos otra nueva
igualdad válida.
3 La propiedad para la división, nos dice que si dividimos ambos lados de la
igualdad por un número real (distinto de cero), obtenemos otra nueva
igualdad válida.
3 La propiedad de la igualdad para la potencia indica que, si elevamos a la
misma potencia ambos lados de una igualdad, ésta se sigue cumpliendo.
3 La propiedad de la igualdad para la raı́z nos dice que si calculamos la raı́z
n-ésima en ambos lados de una igualdad (si esta operación es posible de
realizar), la igualdad sigue siendo válida.
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
6/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
7/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
para la suma
26 de septiembre de 2010
7/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
para la suma
3 Si a = 4, entonces, a + 2 = 4 + 2
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
7/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
para la suma
3 Si a = 4, entonces, a + 2 = 4 + 2
para la suma
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
7/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
para la suma
3 Si a = 4, entonces, a + 2 = 4 + 2
para la suma
3 Si m = 6, entonces, 2 · m = 2 · 6
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
7/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
para la suma
3 Si a = 4, entonces, a + 2 = 4 + 2
para la suma
3 Si m = 6, entonces, 2 · m = 2 · 6
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
para la multiplicación
26 de septiembre de 2010
7/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
para la suma
3 Si a = 4, entonces, a + 2 = 4 + 2
para la suma
3 Si m = 6, entonces, 2 · m = 2 · 6
para la multiplicación
3 Si u = v y v = w , entonces, u = w
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
7/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
para la suma
3 Si a = 4, entonces, a + 2 = 4 + 2
para la suma
3 Si m = 6, entonces, 2 · m = 2 · 6
3 Si u = v y v = w , entonces, u = w
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
para la multiplicación
transitiva
26 de septiembre de 2010
7/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
para la suma
3 Si a = 4, entonces, a + 2 = 4 + 2
para la suma
3 Si m = 6, entonces, 2 · m = 2 · 6
3 Si u = v y v = w , entonces, u = w
para la multiplicación
transitiva
3 Si p = 11 + q, entonces, p − 11 = 11 + q − 11
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
7/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
para la suma
3 Si a = 4, entonces, a + 2 = 4 + 2
para la suma
3 Si m = 6, entonces, 2 · m = 2 · 6
3 Si u = v y v = w , entonces, u = w
3 Si p = 11 + q, entonces, p − 11 = 11 + q − 11
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
para la multiplicación
transitiva
para la resta
26 de septiembre de 2010
7/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
para la suma
3 Si a = 4, entonces, a + 2 = 4 + 2
para la suma
3 Si m = 6, entonces, 2 · m = 2 · 6
3 Si u = v y v = w , entonces, u = w
3 Si p = 11 + q, entonces, p − 11 = 11 + q − 11
2m
r
3 Si 2 m = r , entonces,
=
2
2
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
para la multiplicación
transitiva
para la resta
26 de septiembre de 2010
7/8
Primer ejemplo
Para puedas entender mejor lo anterior, tenemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Identifica la propiedad que se ilustra en cada caso.
3 Si x = y , entonces, x + 2 = y + 2
para la suma
3 Si a = 4, entonces, a + 2 = 4 + 2
para la suma
3 Si m = 6, entonces, 2 · m = 2 · 6
3 Si u = v y v = w , entonces, u = w
3 Si p = 11 + q, entonces, p − 11 = 11 + q − 11
2m
r
3 Si 2 m = r , entonces,
=
2
2
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
para la multiplicación
transitiva
para la resta
para la división
26 de septiembre de 2010
7/8
Final
¿Quién NO tiene
preguntas?
Efraı́n Soto Apolinar (aprendematematicas.org.mx)
Propiedades de la Igualdad
26 de septiembre de 2010
8/8