Teorema del número de caminos y aplicaciones

TEOREMA DEL NÚMERO DE CAMINOS Y APLICACIONES
Teorema del número de caminos. (Teorema 7.1. en [1]). Sea G = (W, F) un grafo (resp. grafo dirigido)
con matriz de adyacencia A para W = {v1,…, vn}. Entonces el número de caminos (resp. caminos
orientados) de longitud l que conectan los vértices vi y vj coincide con la coordenada (i, j)–ésima de Al.
Son muchas las aplicaciones del teorema del número de caminos. Desde el punto de vista
computacional este teorema constituye una herramienta eficaz, capaz de resolver multitud de problemas.
Entre otras, éstas son algunas de sus aplicaciones más directas:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Se usará para determinar el grado de cada vértice del grafo (función 6.2.). Obsérvese que la
diagonal principal del cuadrado de la matriz de adyacencia, según el teorema, representaría el
número de los ciclos de longitud 2 que existen para cada vértice, pero en un vértice existirán
tantos ciclos de longitud 2 que empiecen y terminen en él como lados incidentes con él, esto es,
la coordenada (i, i)-ésima del cuadrado de la matriz de adyacencia es el grado del vértice vi.
(Véase el epígrafe 1 del capítulo 6 de [1]).
Análogamente, podemos razonar que la coordenada (i, i)–ésima diagonal principal de la tercera
potencia de la matriz de adyacencia es el doble del número de triángulo (ciclos de longitud 3)
que contienen al vértice vi.
Podemos reconocer los grafos regular y completos comprobando la diagonal principal del
cuadrado de la matriz de adyacencia (funciones 6.6.bis. y 6.8.). (Véase el epígrafe 2 del capítulo
6 de [1]).
Conseguiremos hallar la distancia entre dos vértices y el número de geodésicas (función 7.16.).
(Véase el epígrafe 4 del capítulo 7 de [1]).
Permitirá determinar si un grafo no orientado es conexo o si un digrafo es conexo o fuertemente
conexo y además calcular sus respectivas componentes conexas o fuertemente conexas
(funciones 7.13., 7.14. y 7.15.). (Véase el epígrafe 3 del capítulo 7 de [1]).
[1]
Métodos Computacionales en Álgebra. Matemática Discreta: Grupos y Grafos. Ruiz J. F.
Servicio de Publicaciones de la Universidad de Jaén. 2008