Acertar: ¿dependencia o independencia de los sucesos?

Actividad para el estudiante
Estadística y Probabilidad
Regla de multiplicación de las probabilidades
Nivel: 2.º Medio
Sector: Matemática
Unidad temática: Estadística y probabilidad
Acertar: ¿dependencia o independencia de los sucesos?
Quizás hayas jugado el juego Monopoly® o Monopolio®. Este juego se puede
encontrar en muchas jugueterías alrededor del mundo, impreso en varios
idiomas. Muchas de las versiones extranjeras utilizan nombres de los lugares
locales para las propiedades en lugar de los nombres de Atlantic City y New
Jersey, que es el juego original. Por eso en Chile tenemos El Gran Santiago®.
Todo empezó en 1933 cuando un hombre cesante de nombre Charles B.
Darrow creó un pasatiempo en el cual los jugadores tenían la oportunidad de
comprar y vender inmuebles y se volvían ricos. Durante la Gran Depresión
muchos estadounidenses quedaron sin trabajo y Darrow pensó que su invento
era una fantasía que muchos jugadores podrían disfrutar. Darrow trató de
vender su idea a la empresa de juguetes Parker Brothers, pero no fue
aceptada. Los ejecutivos de la empresa pensaron que un juego basado en
compra-venta de propiedades no llamaría la atención. De igual modo,
pensaron que los jugadores se aburrirían jugando alrededor de un tablero sin
obtener ninguna meta real, y que el juego era demasiado largo. Los ejecutivos
de Parker Brothers pensaban que un juego debía tomar alrededor de 45
minutos para poder mantener el interés de las personas. El juego Monopoly®
podía durar varias horas. Después de probarlo, la empresa de
juguetes
escribió a Darrow diciéndole que no se interesaba en su juego. Darrow no se
dio por vencido. Con la ayuda de un amigo impresor, él mismo produjo varias
miles de copias del juego. Vendió 5000 a una tienda de Philadelphia. El juego
fue un éxito entre el público. Parker Brothers escuchó acerca del éxito de
Darrow y cambió de opinión sobre el juego Monopoly®. Dos años después de
que había rechazado la propuesta de Darrow, la empresa compró los derechos
1
Actividad para el estudiante
Estadística y Probabilidad
Regla de multiplicación de las probabilidades
de Monopoly®. La idea de Darrow finalmente lo hizo millonario y dio a la Parker
Brothers uno de los juegos de salón más populares del mundo.
Utiliza el tablero de El Gran Santiago® que se muestra para responder las
preguntas.
1) ¿Cuál crees que es el elemento más importante para ganar el juego El
Gran Santiago®?
2) Esta tabla muestra todos los resultados posibles de obtener cuando se
lanza un par de dados.
a)
¿Cuál es la suma mínima que se puede obtener?
b)
¿Cuál es la suma máxima que se puede obtener?
c)
Completa la tabla escribiendo la suma total que es posible obtener
con el lanzamiento de un par de dados. Se han llenado algunas
casillas a modo de ejemplo.
2
Actividad para el estudiante
Estadística y Probabilidad
Regla de multiplicación de las probabilidades
3) La que tiene la más alta frecuencia:
a) ¿Cuál suma es?
b) ¿Cuál es su frecuencia?
c) ¿Tiene alguna distribución especial en la tabla?
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener esta suma al lanzar dos dados
simultáneamente? Escribe como fracción y porcentaje.
4)
Para obtener una suma igual a “tres”:
a) ¿De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar esa
suma?
b) ¿Cuáles son esas formas sumar “tres”?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga
la suma “tres”? Escribe como fracción y porcentaje.
Los
sucesos
que
arrojan
más
de
un
resultado
se
llaman
sucesos
compuestos.
En ocasiones, la existencia de un suceso afecta la probabilidad de un segundo
suceso (aunque no siempre). Si no lo afecta, entonces se denomina suceso
independiente.
Si los sucesos no son independientes, el segundo suceso será el suceso
dependiente.
3
Actividad para el estudiante
Estadística y Probabilidad
Regla de multiplicación de las probabilidades
Si los sucesos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que
ambos ocurran se calcula con la ecuación: P(A y B) = P(A) • P(B).
Esta
propiedad
de
los
sucesos
independientes
se
llama
propiedad
multiplicativa.
Usando una representación geométrica de la multiplicación de fracciones, se
puede ver con este ejemplo que si la probabilidad del suceso A es
probabilidad del suceso B es
5
2
∗
7
3
ambos sucesos es:
5
y la
7
2
, entonces la probabilidad de que ocurran
3
=
10
21
Es decir:
5) Estás en el punto de partida. Si necesitas lanzar los dos dados para
obtener dos “tres” consecutivos (uno en cada lanzamiento y respetando
los turnos de juego) con el propósito de llegar primero a la calle “Lira” y
enseguida a “Gran Avenida”:
a) Estos dos sucesos, ¿son dependientes o independientes entre sí?
b) ¿Cuál
es
la
probabilidad
que
tienes
de
conseguir
ambos
propósitos? Escribe como fracción y porcentaje.
6) Estás en el “Cine”. Necesitas hacer el lanzamiento de los dos dados en
dos oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a su debido tiempo y
respetando los turnos de juego). Ello, con el propósito de llegar primero
al “Hotel” y luego a la “Clínica”. Entonces:
a) ¿Debes conseguir una misma suma en cada lanzamiento?
4
Actividad para el estudiante
Estadística y Probabilidad
Regla de multiplicación de las probabilidades
b) ¿Cuál es esa suma?
c) ¿De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar esa
suma?
d) ¿Cuáles son esas formas de sumar?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga
la suma que se necesita? Escribe como fracción y porcentaje.
7) Estás en la “Compañía de Teléfonos”. Necesitas hacer el lanzamiento de
los dos dados en tres oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a
su debido tiempo y respetando los turnos de juego). Ello, con el
propósito de llegar a un punto de destino que es la calle “Diez de Julio”.
Entonces:
a) ¿Cuántas casillas en total debes avanzar para llegar a “Diez de
Julio”?
b) ¿Es posible hacer dos paradas en el camino?
c) Considerando
que
vas
a
llegar
a
destino
haciendo
tres
lanzamientos de dados, ¿esas paradas podrán estar separadas
una de otra por una misma cantidad de casillas?
d) ¿Cuál es esa cantidad idéntica de casillas que separan una parada
de otra?
e) ¿A qué calles corresponden?
f) Entonces, ¿qué suma debes obtener en cada uno de los tres
lanzamientos que harás de los dados?
g) ¿De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar esa
suma?
h) ¿Cuáles son esas formas de sumar?
i) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados en tres
oportunidades obtengas la suma que necesitas? Escribe como
fracción y porcentaje.
j) ¿Tienes posibilidades?
5
Actividad para el estudiante
Estadística y Probabilidad
Regla de multiplicación de las probabilidades
8) Estás en la “Compañía de Gas”. La próxima vez que te corresponda tirar
los dos dados:
a) ¿Puedes llegar a la “Compañía de Teléfonos”?
b) ¿Por qué?
c) ¿Cuál es la probabilidad? Escribe como fracción y porcentaje.
9) Estás en la “Clínica”. La próxima vez que te corresponda tirar los dos
dados en dos oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a su debido
tiempo y respetando los turnos de juego) quieres llegar primero a
“Providencia” y luego a “Ahumada”. Entonces:
a) ¿Debes conseguir una misma suma en cada lanzamiento?
b) Si la respuesta es no, ¿cuál es cada suma en cada oportunidad?
c) ¿De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar la
primera suma?
d) ¿De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar la
segunda suma?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga
la primera suma? Escribe como fracción y porcentaje.
f) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga
la segunda suma? Escribe como fracción y porcentaje.
g) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga
la
primera
y
la
segunda
suma?
Escribe
como
fracción
y
porcentaje.
h) ¿Tienes posibilidades?
10) El lanzamiento simultáneo de un dado y una moneda, una sola vez:
6
Actividad para el estudiante
Estadística y Probabilidad
Regla de multiplicación de las probabilidades
a) ¿Es un suceso dependiente o independiente?
b) ¿Por qué?
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener “sello” en la moneda? Escribe
como fracción y porcentaje.
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener “cinco” en el dado? Escribe
como fracción y porcentaje.
e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener “sello”
y “cinco”? Escribe
como fracción y porcentaje.
f) ¿Cómo calificarías este suceso compuesto en relación con la
probabilidad? ¿Poco probable? ¿Imposible? ¿Igualmente probable?
11) Se aplicará una prueba en una determinada asignatura. La prueba tiene
dos ítems: “Verdadero y Falso”
y “Selección múltiple”. Considera que
acertar en las respuestas son sucesos independientes.
En el ítem de “V o F” existen 8 preguntas. Entonces:
a) ¿Cuál es la probabilidad de acertar en una respuesta de “V o F”?
Escribe como fracción y porcentaje.
b) ¿Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de “V
o F”? Escribe como fracción y porcentaje.
En el ítem de “Selección múltiple” existen cinco preguntas con cuatro
alternativas cada una (A, B, C, D). Entonces:
c) ¿Cuál es la probabilidad de acertar en una respuesta de “Selección
múltiple”? Escribe como fracción y porcentaje.
d) ¿Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de
“Selección múltiple”? Escribe como fracción y porcentaje.
e) ¿Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de “V
o
F”
y
de
“Selección
múltiple”?
Escribe
como
fracción
y
porcentaje.
Nota: afortunadamente las pruebas de conocimiento no dependen del
azar o la buena suerte. El éxito en una prueba de conocimiento
depende de tus conocimientos.
7
Actividad para el estudiante
Estadística y Probabilidad
Regla de multiplicación de las probabilidades
Si volvemos a la pregunta inicial:
Acertar: ¿dependencia o independencia de los sucesos?
Los
sucesos
que
arrojan
más
de
un
resultado
se
llaman
sucesos
compuestos.
En ocasiones, la existencia de un suceso afecta la probabilidad de un segundo
suceso (aunque no siempre). Si no lo afecta, entonces se denomina suceso
independiente.
Si los sucesos no son independientes, el segundo suceso será el suceso
dependiente.
Si los sucesos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que
ambos ocurran se calcula con la ecuación: P(A y B) = P(A) • P(B).
Esta
propiedad
de
los
sucesos
independientes
se
llama
propiedad
multiplicativa.
Entonces, si se tienen varios sucesos consecutivos e independientes entre sí, la
probabilidad de acertar a todos ellos a la vez corresponde al producto de las
probabilidades que por separado tenga cada suceso.
P (suceso simple) =
número de casos favorables
número de casos posibles
8