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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La distribución binomial es unas de las distribuciones de probabilidad discreta más importantes.
Recordemos que en una distribución de probabilidad discreta, la variable aleatoria asigna un valor numérico a
cada resultado en el espacio muestral del experimento. La distribución binomial tiene que ver con una clase
especial de experimento llamado experimento binomial.
EXPERIMENTO BINOMIAL
Un experimento que tiene exactamente dos posibles resultados o dos categorías de resultados
conocidos como "éxito" o "fracaso".
Ejemplos
1. Experimento: Lanzar una moneda.
El experimento tiene solamente dos resultados (H, T), por lo tanto es un experimento
binomial.
2. Experimento: Probando una nueva droga contra una enfermedad.
La droga cura (éxito) o no cura (fracaso) la enfermedad. Por lo tanto es un experimento
binomial.
3. Experimento: Un jugador gana si obtiene un número mayor que 4 y pierde si obtiene
cualquier otro número en el lanzamiento de un dado.
Los resultados del experimento (lanzar un dado) se puede poner en una de dos categorías:
5, 6
1, 2, 3, 4
Los resultados en la primera categoría se definen como "éxito" y los resultados en la segunda categoría se
definen como "fracaso".
.DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La probabilidad de obtener x número de éxitos en n intentos independientes de un experimento
n!
p x (1  p) n  x para x = 0, 1, 2, … , n , donde p es la probabilidad
binomial está dado por: P( x) 
x!(n  x)!
de éxito en cada intento.
Ejemplo 1:
Solución:
Si una moneda se lanza 15 veces, encuentre la probabilidad de obtener exactamente 10
caras.
El lanzar una moneda es un experimento binomial. Dado que nos interesa contar el número
de caras, así reclamamos como éxito cuando salen éstas. Dejemos que el número de éxitos
sea la variable aleatoria (x). Substituyendo
n = número de intentos = 15,
x = número de éxitos = 10, y
p = probabilidad de éxito (cara) en cada intento
= , obtenemos
15!
P(10) 
0.510 (1  0.5)1510
10!(15  10)!
P(10) 
15!
0.510 (0.5) 5  0.0916 ó aproximadamente un 9,16% de oportunidad.
10!(5)!
Ejemplo 2: Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce de cada 1000 piezas 7
defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.
n = 50
x=1
p = 7/1000 = 0,007
1 – p = 1 – 0,007 = 0,993
50!
𝑝(1) = (50−1)!1!(0,007)1(0,993)50 – 1 = 0,248 ≈ 24,8%
Ejemplo 3: La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores
ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
p = 80/100 = 0.8
1 – p = 0.2
La probabilidad de que la novela la hayan leído dos personas es del 15,36%
2. ¿Y cómo máximo 2?
Máximo 2 significa que puede ser 0, 1 ó 2 por tanto es necesario hallar la probabilidad de cada una de ellas.
Es decir que la probabilidad de que máximo 2 hayan leído la novela es del 18,08%
Ejemplo 4: La probabilidad de que un equipo funcione es de 0.9. Si se prueban 16 equipos, la probabilidad de
que al menos14 funcionen es:
El equipo funciona o no funciona, esto indica un experimento de tipo binomial. Al menos 14 significa que
deben funcionar, 14, 15 y 16, por lo que la probabilidad es:
P( X  14)  P( X  14)  P( X  15)  P( X  16)
𝑝(14) =
16!
0,914 0,12 = 0,2745
2! 14!
𝑝(15) =
16!
0,915 0,11 = 0,3294
1! 15!
𝑝(16) =
16!
0,916 0,10 = 0,1853
0! 16!
P( X  14)  0,2745 0,3294 0,1853 0.7893
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud.
Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3.
Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
a. Las cinco personas.
b. Al menos tres personas.
c. Exactamente dos personas.
2. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad
de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una
ocasión?
3. Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100
pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga.
¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
a. Ningún paciente tenga efectos secundarios.
b. Al menos dos tengan efectos secundarios.
4. Un partido político consigue el 20% de los votos en unas elecciones. Se realiza una encuesta a 15 personas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya entre ellas ningún votante del partido?
b) Hallar la probabilidad de que no haya más de 3 votantes de ese partido.
c) Obtener la probabilidad de que al menos tres personas voten a dicho partido
5. El 2,5% de los tornillos fabricados por una máquina presentan defectos. Si tenemos un lote de 40 tornillos,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos 5 defectuosos?
b) Determine el número de tornillos defectuosos esperado.
6. La probabilidad de que cierta secretaria cometa algún error de tipografía es 0,4 para cada página.
Suponiendo que hay independencia en la elaboración de páginas distintas, se pide:
a) Hallar la probabilidad de que en un informe de 5 páginas no se encuentran errores
b) Hallar la probabilidad de que en dicho escrito existan al menos tres páginas con errores
7. Suponga que la probabilidad del nacimiento de un varón es 1/2. Calcule la probabilidad de que en una
familia con 4 hijos haya:
a) Al menos un niño
b) Al menos un niño y una niña
8. La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea defectuoso, es 0,2. Al revisar cinco
aparatos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea defectuoso?
b) ¿Y la de que haya alguno defectuoso?
9. Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales sólo una es
correcta. Si un alumno contesta al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien 4 preguntas?
b) ¿Y la de que conteste correctamente más de 2 preguntas?
c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas.
10. La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez
administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad
b) Todos sufran la enfermedad
c) Dos de ellos contraigan la enfermedad