Clase 1

Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos
Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental
Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular
FENOMENOS DE TRANSPORTE
INTRODUCCIÓN
Objetivos:
-el estudio de los fenómenos de transporte sigue al estudio de la
termodinámica.
-la termodinámica “mira” a un sistema en equilibrio.
-los fenómenos de transporte “miran” a un sistema que se ha
apartado del equilibrio y tratan de cuantificar el flujo de
propiedades del sistema (energía, concentración de especies)
que surge para tratar que el sistema vuelva a su condición de
equilibrio.
Las propiedades fundamentales que se pueden transportar son tres:
-Cantidad de Movimiento
-Cantidad de Energía
-Cantidad de Materia
El transporte puede ocurrir en el seno de fluidos o entre un fluido y un
sólido. Por ejemplo:
-1) un fluido que circula a través de un conducto disipa energía por
rozamiento lo que se traduce en un transporte de cantidad de movimiento
entre las regiones con distinta velocidad.
-2) un sistema con regiones a distintas temperaturas (diferentes
concentraciones de energía) transporta energía desde la región mas
caliente hacia la mas fría.
-3) una mezcla de dos o mas componentes con regiones con diferentes
concentraciones transporta materia desde la zona mas concentrada hacia
la menos concentrada.
Porque es necesario estudiar los Fenómenos de Transporte?
En Biotecnología permite:
-proyectar la mejora en el desempeño de los
sistemas de agitación de bioreactores
-diseñar correctamente sistema de esterilización y
pasteurización
-estimar tamaños de bioreactores
En Tecnología de Alimentos permite:
-estimar tiempos de cocción.
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-estimar tamaños de lechos de secado de
legumbres
-estudiar
procesos
de
congelación
y
descongelación
En Medio Ambiente permite:
-predecir contaminaciones estudiando las
corrientes atmosféricas.
-diseñar equipos que permitan la purificación de
distintas corrientes de fluido.
TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
-Se estudiará el movimiento de los fluidos y las fuerzas que lo producen.
-Exceptuando las fuerzas que actúan a distancia (campo gravitatorio,
campo eléctrico) las fuerzas que actúan sobre un fluido: presión y
esfuerzo cortante provienen de una transferencia microscópica
(molecular) de cantidad de movimiento.
-Por lo tanto, se deducirán las ecuaciones que vinculen dicha
transferencia de cantidad de movimiento con las fuerzas que la generan.
-Existen tres métodos para hacerlo:
-Microscópico
-Macroscópico
-Similitud
Objetivo: encontrar ecuaciones que vinculan fuerzas y transferencia de
cantidad de movimiento en fluidos
Métodos
Balances Microscópicos
-No es necesario realizar
experiencias
-Brindan información punto a punto
del sistema
-Las ecuaciones son
matemáticamente complejas
Balances Macroscópicos
-Es necesario realizar experiencias
-Brindan información de la entrada y
salida al sistema
-Las ecuaciones son matemáticamente
sencillas
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Similitud
-Es necesario realizar experiencias
-Brindan información global del
sistema
-Las ecuaciones son
matemáticamente sencillas
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DISEÑO POR BALANCES MICROSCÓPICOS
CONCEPTOS Y DEFINICIONES
Definición de fluido:
-Es una sustancia que se deforma continuamente bajo la aplicación de un
esfuerzo cortante. El ángulo de deformación θ posee una velocidad de
aumento proporcional a la magnitud del esfuerzo aplicado. En esta
situación se dice que la sustancia fluye.
-Un cuerpo elástico o un sólido sólo se deforman hasta un cierto ángulo θ
proporcional al esfuerzo cortante aplicado.
Cuerpo Elástico
θ
t =0
θ
t = t1
t = t∞
Fluido
θ3
θ2
θ1
t =0
t = t1
t = t2
3
t = t3
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-En un fluido en reposo no pueden existir esfuerzos cortantes.
Hipótesis del Continuo
-Los fluidos al igual que el resto de la materia son discretos, están
constituidos por átomos o moléculas y espacios vacíos.
-En la actualidad no existen teorías que permitan modelar el
comportamiento de un fluido a partir de los movimientos individuales de
los átomos o moléculas.
-Además, ciertas propiedades comúnmente utilizadas pierden su sentido
cuando el análisis es llevado a la escala discreta.
-Así, la densidad ρ varía violentamente si el volumen considerado es lo
suficientemente pequeño para que se manifieste el carácter discreto de la
materia.
-Sin embargo, si se supone que un punto es un elemento de volumen lo
suficientemente grande para que contenga un número estadístico de
moléculas entonces la densidad de ese elemento de volumen surgirá de un
promedio en el mismo.
-El elemento de volumen debe ser lo suficientemente pequeño para
representar un promedio “local”.
Dominio
molecular
ρ
Dominio continuo
δV
4 Volumen de fluido considerado
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-La hipótesis del continuo distribuye el valor promedio en todo el
elemento de volumen.
-De esta manera se logra que las propiedades puedan representarse por
funciones continuas.
-Por ejemplo la densidad ρ se define como:
ρ = lim ΔV →δV
Δm
ΔV
donde:
Δm es la masa contenida en un volumen ΔV y δV es el volumen mínimo
para el cual tiene sentido el promedio estadístico.
Fluido y Flujo Incompresibles
-Algunos fluidos, en especial los líquidos, poseen densidades que
permanecen constantes dentro de un rango de temperaturas y presiones.
Se los llama fluidos incompresibles.
-Sin embargo los efectos de compresibilidad son una propiedad del flujo.
-Por ejemplo las ecuaciones que describen el movimiento del aire a baja
velocidad son idénticas a las que describen el movimiento del agua. Aún
cuando desde el punto de vista estático el aire es un fluido comprensible.
Esfuerzos Normales y Cortantes
-Consideremos un volumen de fluido como el de la figura sobre el cual
actúa una fuerza ΔF sobre un área ΔA del mismo.
ΔF
ΔFS
ΔFN
ΔA
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-La fuerza puede descomponerse en sus componentes normal y paralela a
la superficie ΔA.
-La fuerza por unidad de área o esfuerzo en un punto se define como:
ΔF
Esfuerzo = lim ΔA→δA
ΔA
donde δA es el área mínima para la cual vale la hipótesis del continuo.
-Si se consideran las componentes normal y paralela de la fuerza surgen
los esfuerzos normal y de corte:
ΔF N
Esfuerzo ⋅ Normal = τ ii = lim ΔA→δA
ΔA
Esfuerzo ⋅ Cor tan te = τ ij = lim ΔA→δA
ΔF S
ΔA
-Los esfuerzos son magnitudes tensoriales. Poseen nueve componentes.
Los subíndices indican los versores correspondientes a los ejes “x”, “y” y
“z”.
-El tensor puede representarse con notación analítica o matricial:
τ = τ xx i i + τ xy i j + τ xz i k + τ yx j i + τ yy j j + τ yz j k + τ zx k i + τ zy k j + τ zz k k
⎛ τ xx
⎜
τ = ⎜ τ yx
⎜
⎜ τ zx
⎝
τ xy τ xz ⎞⎟
τ yy τ yz ⎟
⎟
τ zy τ zz ⎟
⎠
-Por convención el primer subíndice indica la componente del área y el
segundo el de la fuerza. Así, τyx es un esfuerzo que produce una fuerza de
dirección “x” aplicada sobre un área “y”.
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-Cada componente del tensor tiene asociadas dos direcciones, por lo tanto
no es representable con una flecha como se hace con los vectores. Lo que
se hace es representar las fuerzas que generan.
τzy genera
una fuerza Fy
τzz genera una
fuerza Fz
Z
τzx genera
una fuerza Fx
Y
X
PRESION EN UN FLUIDO EN REPOSO O EN MOVIMIENTO
UNIFORME
-La hipótesis del continuo es un método utilizado para superar la falta de
información a nivel de teorías del movimiento molecular.
-De esta manera la definición de densidad por ejemplo permite que nos
manejemos con una magnitud continua aún cuando no conozcamos el
comportamiento a nivel molecular.
-Esta solución implica que la magnitud, por ejemplo la densidad, deba
evaluarse experimentalmente.
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-Para gases a bajas presiones es posible utilizar teorías cinéticas que
permiten predecir propiedades continuas en función de parámetros
moleculares.
-A pesar de no disponerse de estas teorías moleculares para todos los
sistemas, debido a que las magnitudes continuas se generan en las
propiedades discretas de la materia es posible comprender muchos
conceptos utilizando momentáneamente el análisis discreto aplicado a
gases a baja presión.
-El análisis de los esfuerzos existentes en un fluido es uno de estos casos.
-Consideremos un gas en reposo. Sus moléculas se mueven al azar en
todas las direcciones y si se hace un promedio en un elemento de volumen
la sumatoria de las velocidades será igual a cero.
-Imaginemos que dividimos el gas en dos porciones imaginarias I y II por
medio de un plano “x”. Entre ambos planos existe un intercambio
continuo de moléculas.
Región I
Z
Región II
Y
X
-Haciendo un balance de cantidad de movimiento en una de las regiones,
por ejemplo la II y teniendo en cuenta el carácter vectorial de la cantidad
de movimiento:
Componente “z”
Los valores positivos y negativos de uz son igualmente probables. Por lo
tanto:
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n
∑ mu z
1
=0
Re giónII
-No existe intercambio de cantidad de movimiento de dirección “z” entre
I y II
Componente “y”
Los valores positivos y negativos de uy son igualmente probables. Por lo
tanto:
n
∑ mu y
1
=0
Re giónII
-Tampoco existe intercambio de cantidad de movimiento de dirección “y”
entre I y II
Componente “x”
-Viniendo de I sólo se puede ingresar a II si las moléculas tienen
componente ux positiva.
-Para salir de II hacia I las moléculas deben tener componente ux negativa
n
Cantidad ⋅ de ⋅ movimiento ⋅ de ⋅ dirección ⋅ x ⋅ que ⋅ entra ⋅ a ⋅ II = + ∑ mu x
1
Re giónII
n
Cantidad ⋅ de ⋅ movimiento ⋅ de ⋅ dirección ⋅ x ⋅ que ⋅ sale ⋅ de ⋅ II = − ∑ mu x
1
Re giónII
n
Cantidad ⋅ de ⋅ movimiento ⋅ de ⋅ dirección ⋅ x ⋅ ganada ⋅ por ⋅ II = 2∑ mu x
1
-Teniendo en cuenta que:
F = ma = m
d v d (m v )
=
dt
dt
entonces al cabo de un cierto tiempo t, desde un punto de vista continuo el
anterior resultado puede interpretarse como:
1) Una velocidad de ganancia de cantidad de movimiento de dirección “x”
por la porción II:
9
Re giónII
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d (mv x )
dt
2) Una fuerza de dirección “x” que realiza I sobre II:
Fx
-Si se repite el análisis en cualquier otra dirección siempre existirá una
interacción normal a la superficie considerada y las componentes no
normales serán nulas.
-Por lo tanto la fuerza que surge cumple que:
1)Es normal a la superficie considerada, cualquiera que sea ésta.
2)Es proporcional al área considerada, mayor área mayor número de
moléculas pasan por unidad de tiempo, por lo tanto mayor fuerza.
3)El módulo de la fuerza es el mismo independientemente de la
orientación del área considerada. Isotropía.
-De manera que área y fuerza deben estar vinculados a través de un
escalar que recibe el nombre de presión p:
F = − pA
El signo menos tiene en cuenta que el vector área tiene sentido opuesto a
la fuerza.
ESFUERZOS EN UN FLUIDO SOMETIDO A DEFORMACIÓN
-Consideremos un fluido que fluye como en la figura:
Fy
FR
Y
vx
Región II
Plano de referencia con Vx=0
Región I
Fx
vx
y
x
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Vx
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-Analizando la región II y colocando el sistema de ejes que se mueve con
la velocidad continua de ese plano para eliminar el aporte convectivo y
haciendo nuevamente un balance de la cantidad de movimiento que
ingresa a la región II en las tres direcciones luego de un cierto tiempo t:
Componente “z”
-Los valores positivos y negativos de uz son igualmente probables. Por lo
tanto al igual que en el fluido en reposo no existe intercambio de cantidad
de movimiento de dirección “z” entre I y II
Componente “y”
-Al igual que en el fluido en reposo la región II tiene una ganancia neta de
n
cantidad de movimiento de dirección “y” igual a 2∑ mu y ,produciendo
1
una fuerza normal al plano considerado de dirección "y" positiva.
Componente “x”
-Las moléculas que ingresan a II provenientes de I tienen una
componente de velocidad en dirección “x”, ux, mayor que las moléculas
que viajan desde II hacia I de acuerdo al perfil de velocidades existentes.
n
Cantidad ⋅ de ⋅ movimiento ⋅ de ⋅ dirección ⋅ z ⋅ que ⋅ entra ⋅ a ⋅ II = + ∑ mu x
1
Re giónII
n
Cantidad ⋅ de ⋅ movimiento ⋅ de ⋅ dirección ⋅ z ⋅ que ⋅ sale ⋅ de ⋅ II = − ∑ mu x
1
Re giónII
n
Cantidad ⋅ de ⋅ movimiento ⋅ de ⋅ dirección ⋅ z ⋅ ganada ⋅ por ⋅ II = +2∑ mu x
1
Re giónII
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-Esta ganancia de cantidad de movimiento de la región II durante el
tiempo t produce una fuerza de dirección “x” positiva que se aplica sobre
un área de dirección “y”.
-La fuerza que surge cumple que:
1)No es normal a la superficie considerada. En este caso existen
componentes de F en las direcciones “x” y “z”.
2)Es proporcional al área considerada, mayor área mayor número de
moléculas pasan por unidad de tiempo, por lo tanto mayor fuerza.
3)El módulo de la fuerza No es el mismo si se cambia la orientación del
área considerada. No existe mas Isotropía.
-A diferencia de un fluido en reposo la existencia de un perfil de velocidad
(gradiente de velocidad) en el fluido generó la aparición de un esfuerzo
cortante.
-Esto implica que para obtener una expresión de las fuerzas que se
generan en un fluido con perfil de velocidades deberá utilizarse una
magnitud que reemplace al escalar presión y que operando sobre un
vector área le cambie la dirección y el módulo simultáneamente. Esto es
cumplido por un tensor:
F = +T • A
-La utilización del tensor contiene como caso particular al fluido en
reposo. Así los esfuerzos normales Txx, Tyy y Tzz tienen en cuenta la
presión existente en un fluido en reposo pero además si existe un
gradiente de velocidad aparece una contribución adicional a la
transferencia de cantidad de movimiento.
-Por lo tanto, si bien la presión es isotrópica, los esfuerzos normales en un
fluido sometido a deformación no necesariamente lo son y la fuerza puede
ser diferente según la cara del elemento de volumen considerado.
-Se conserva la definición de un valor isotrópico al que se le sigue
llamando presión aún en un fluido en movimiento.
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-Un valor isotrópico se logra utilizando un invariante del tensor T. Un
invariante es la traza del tensor. Por lo tanto:
p = − 1 T xx + T yy + Tzz
3
(
)
-Los esfuerzos normales tienen dos aportes:
a) una parte isotrópica, llamada presión
b) un tensor esfuerzo viscoso τ, que solo existe cuando hay un perfil de
velocidad en el fluido.
-Los esfuerzos cortantes solo tienen un aporte debido a τ y solo existen
cuando hay un perfil de velocidad en el fluido.
-El tensor esfuerzo T puede escribirse como:
T = − pI − τ
⎛ T xx
⎜
⎜ T yx
⎜
⎜ Tzx
⎝
T xy
T yy
Tzy
T xz ⎞⎟
T yz ⎟
⎟
Tzz ⎟
⎠
=−
⎛p
⎜
⎜0
⎜0
⎝
0
p
0
0⎞
⎟
0⎟
p ⎟⎠
−
⎛ τ xx
⎜
⎜ τ yx
⎜
⎜ τ zx
⎝
τ xy τ xz ⎞⎟
τ yy τ yz ⎟
⎟
τ zy τ zz ⎟
⎠
-La fuerza generada en el seno de un fluido en movimiento resulta:
F = − pI A −τ A
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