1. Analizar si son continuas las siguientes funciones. En el caso de

ANÁLISIS MATEMÁTICO I. SEGUNDO TRABAJO PARA EL PARCIAL.
1. Analizar si son continuas las siguientes funciones. En el caso de presentar algún punto
de discontinuidad, analizar el tipo de discontinuidad y si es posible, definir de nuevo la
función en dicho punto para hacerla continua.
x2
1 + x3
1. y =
,y=
x−2
1+x
√
7+x−3
x
2. y =
,y=
2
x −4
|x|
1
3. y = 1 + 2 x , y = log(cos x)
½ ( −1 )
1−x2 ,
si |x| < 1
4. f (x) = e
0,
si |x| ≥ 1

 −1, si x < −1
x3 , si − 1 ≤ x ≤ 1
5. f (x) =

1,
si x > 1

2
−x , si x < −1



3,
si x = −1
6. f (x) =
2
−
x,
si
−1<x≤1


 x2 ,
si x > 1
2. Responder a las siguientes cuestiones:
¿Tiene alguna raı́z la ecuación x5 − 18x + 2 = 0 que pertenezca al intervalo [−1, 1]?
¿Toma la función f (x) = x3 − sin(πx) + 3 el valor 32 dentro del intervalo [−2, 2]?
3. Resolver los siguientes apartados:
Calcular en qué punto la tangente a la parábola y = x2 − 7x + 3 es paralela a la
recta 5x + y − 3 = 0.
Escribir las ecuaciones de las tangentes y de las normales a la curva y = (x−1)(x−
2)(x − 3) en sus puntos de intersección con el eje de abscisas.
4. Un número a se llama raı́z doble de la función polinómica f si es f (x) = (x − a)2 g(x)
para alguna función polinómica g tal que g(a) 6= 0. Demostrar que a es raı́z doble de f si
y sólo si a es raı́z de f y de f 0 a la vez. ¿Cuándo tiene f (x) = ax2 + bx + c una raı́z doble?
1
2
ANÁLISIS MATEMÁTICO I. SEGUNDO TRABAJO PARA EL PARCIAL.
5. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
¡ x2 − 1 ¢
f (x) = 14 log 2
x +1
log(x2 · log x)
f (x) = x[sin(log(x) − cos(log(x)))]
(tan x)x
xlog x
log(arc cos √1x )
f (x) = xcos x
6. Demostrar las siguientes afirmaciones (puede consultarse Calculus. Michael Spivak)
Si n es impar, entonces cualquier ecuación xn + an−1 xn−1 + · · · a0 = 0 posee una
raı́z.
La función f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 tiene a lo sumo n raı́ces.
7. Realizar los siguientes apartados.
Sea f (x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3). Demostrar que la ecuación f 0 (x) = 0 tiene tres
raı́ces reales.
La ecuación ex = 1 + x tiene la raı́z x = 0. Demostrar que esta ecuación no puede
tener otra raı́z real.
Probar que x2 = x sin x + cos x se verifica exactamente para dos valores de x.
7. Describir la función f (x) =
x
. Representarla gráficamente.
log x
8. . Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo.
Notas: Se entiende por log el logaritmo neperiano.
Todas las respuestas deben estar razonadas detalladamente. Entrega: 24 de noviembre.