UNA RELACION QUE CARACTERIZA DIVERSOS ESPACIOS DE

137
Revista de la
Unión Matemática Argentina
Volumen 3 9 , 1 9 9 5 .
UNA RELA C I ON QUE CARACTER IZA D I VERSOS ESPAC I OS D E CONVEXI DAD
Juan
AB S TRAC T .
An
con current
s egme n t s
t yp e s
of
d ev o t e d
" a l í gnme n t
of
a
convexí t y
prope r t í e s
of
to
thí s
the
of
are
prop e r t i e s
r e l a t í on .
cen t r a l
resul t s
of
ce l l s ,
( Dr e
ís
poí n t s
defí n e d .
cha r a c t e r í z e d
of
( ex í s t en c e
v í s í bí l í t y
The
between
spa c e
c h a r a c t e r í za t í on
con s t r u c t í on
preví ous
convex i t y
a l i gnment
condí t í o n s
pr ope r t y J .
r e l a t í on "
spa c e s
v í s í bí l í t y
s epa r a t í on
Ca r l o s B r e s s a n
't; ev í é ' s
t h e o r ems
Ko 't o dz í e j czyk
of
t hi s
( 1 985 )
spa c e s
c o n v ex
ís
wí t h
c ompon e n t s ,
spa c e s J
or
prope r t y
cert a í n
a t t ent í on
convexí t y
T- convexí t y
t wo
D í .f f e r e n t
by
Spe c i a l
of
of
and
wi t h
Kaku t a n í ' s
paper
gen e r a l í z e
and Bressan
&
Toranzos
( 1 992 ) .
l.
I NTRODU C C I ON y D E F I N I C I ONE S .
D i r emo s
(X,G)
qu e
un
es
e spa c i o
e s u n c o n j unto no vac ío y G e s
X
tal
t r a ba j o
Un
qu e
con j u nto
cápsul a
0
E
(X,G)
G,
X
E
G
si
Y
c o n v ex í da d
u n a f ami l i a de
'!}
e
G
entonc e s
n
si y
sólo
si
X
subcon j untos de
'!}
E
En
C.
este
s i emp r e d e n o t a r á u n e s p a c i o d e c o n v e x i d a d .
S
e
X
C - conv exa
se
l l ama r á
)
C - conv exo
si
y
sólo
si
S
E
C.
La
d e u n s u b c o n j u n t o S de X s e d e f i n e e n l a f o r ­
ma usual :
Si
de
C(S)
=
n
{
e
E
C
I
s
e
e
}.
e l c o n j u nto C ( { x , x , . . . , x } )
se escrie X,
{X ,X " " ,x
-n
1
1
2
2
b i r á C ( x , x , . . . , x ) . C omo c a s o p a r t i c u l a r , C ( { X , X } ) s e s im 1
n
1
2
2
138
bo l i z a rá
P
E
t; ( x , x )
e
X Y S
X,
C o n s i d e r emo s
y
2
1
se
l l amará
t; ( { p } v S )
e
S
j u nto
X y
t; - s t ( x , S )
c o n j u nto
El
S
se
s ó l o s i t; - s t ( x , S )
dirá
es
si
'€ - e s t r e l l a do
Para
S
e
X
y
x E S,
{
=
E
y
E
x
S
S
sólo
y
a l gu n o d e s u s p u n t o s ,
Tamb i é n ,
2
S) .
t; ( x , y )
I
con
e
S
es
el
a
x E S
=
{
C OJl ­
}.
S
r e spe c t o
si
y
respecto
a
si , es
e s decir ,
de f i n imo s
}.
'€ - s t ( x , S ) = S
I
'€ - e s t r e l l ado
con
s i y s ó l o s i '€ - m i r ( S )
la
cél ul a
de
'"
0 .
t; - v i s i bi l i da d de
con r e sp e c t o a S med i a n t e
t; - v i s ( x , S )
si
E l '€ -mi r ador de S e s e l c o n j u n t o
'€ - m i r ( S )
S
{
=
x .
1
La t; - e s t r e l l a de x en
'€ - e s t r e l l a do
S .
=
v
s e d e n o t a r á t; ( p
x E S.
x ,
t; - s egmen t o
y E '€ - s t ( x , S )
I
e
'€ - s t ( x , S )
t; - s t ( y , S )
x
}.
La n o c i ó n d e c é l u l a de v i s ib i l i d a d f u e i n t rodu c i d a p o r T o r a n z o s
[ 10 ]
para
la
c o nvexidad u s u a l
en
e spac i o �
vector i a l e s
real�s .
S u g e n e r a l i z a c i ó n a e s p a c i o s de c o n v e x i dad s e e n c u e n t r a e n
Si
S
sólo
e
d i r emo s
X,
si
t r aba j o ,
M
es
M(S)
un
que M e s
una
subcon j unto
s i emp r e
compo n en t e
t; - c o nvexo
denotará
n e nt e s '€ - c o nvexa s d e S .
la
'€- convexa
max ima l
de
f am i l i a d e t o d a s
de
S.
las
S
En
[4] .
si
y
este
c ompo ­
A c o n t i nu a c i ó n d e f i n i r emo s d i v e r s o s t i ­
po s d e e s p a c i o s de c o nv e x i da d .
( X , t; )
es
un
e spa c i o
'€ ( S ) = U
( X , '€ )
p
E
es
un
{
e spa c i o
de
I
,€ ( F )
de
si
DF- convexi dad
e
F
S
y
y
sólo
c a rd ( F ) <
JHC - convexi dad s i y
( X , t; )
=
U
{
'€ ( p , s )
I
s
E
}.
sólo
X Y p a r a t odo s u b c o n j u n t o n o va c í o S d e X ,
'€ ( p v S )
ro
'€ ( S )
}
si
si
V S
para
e
X,
todo
s e c u mp l e
.
e s u n espa c i o de JD- convexi dad s i y s ó l o s i e s u n e s pa c i o
d e JHC - c o n v e x idad y DF - c o nv e x idad .
( X , t; )
es
un
e spa c i o
de
'U" - convexi dad
1
'€ ( x )
=
{x} .
si
y
sólo
si
\;/ x E X ,
139
es
(Xf �)
En
e spa c i o
Toran z o s
1967
rea l e s
un
T - convexi dad
�-mir ( S ) = n M ( S ) .
probó
esta
ax i o má t i c o
(1.7)
en
1 9 8 5 p o r K o l od z i e j c z y k
de
[4) ,
pr u eba n
de
en
sólo
y
V S
e
X,
vector i a l e s
en
l a d emo s t r ó
de
al
si
e spac i o s
[2) ,
de
VI
equ iv a l e n t e
si
espacios
un
de
V
1
Lo s e s p a c i o s de T - c o n v e x i d a d f u e r o n i n t r o du c i do s
JD - c o nvexidad .
células
p r op i edad
En 1 9 7 6 Bre s s an ,
[9) .
c o n t exto
de
una
[8) .
G - v i s ib i l idad .
má s a r r iba apa r e c e n e n
En
1992
e nt r e
relación
Las
Bres s a n y Toran z o s ,
e spac i o s
def inic iones
y
3 . 3
T - c o n v e x i d ad y
de
da d a s
not ac iones
l o s d o s ó l t imo s t r aba j o s me n c i o n a do s .
S e gu i dame n t e d e f i n i r emo s
l o s e s p a c i o s de S - c o n v e x idad y u n a r e ­
l a c i ó n d e a l i n e a c i ó n e n t r e p u n t o s de do s G -- s e g1n e n t o s qu e p e rm i ­
t irá
caracterizar
tani ,
e spac ios
los
de
q u e d e f i n i r em � s má s
ade l a n t e ,
t amb i é n
s e podrán
r i z a r m e d i a n t e l a r e l a c i ó n a n t e s me n c i o n ada .
D i r emo s
qu e
e
para todo S
Para
qu e
(X,G)
es
E
G
{a,b, c,d}
e
X,
->
G(a,b)
l l am a r emo s
�
r e l a c i ón
pueden
d e t e r m i n ad a
no
ser
E s c r ib i r emo s
ción .
�
'R Y
y
por
de
d i s t i ntos
[a,b, c,d)
D e n o t a r em o s
S,
G(a,b)
E
de
G ( c , y) ,
G(a,b) .
pu n t o s
pero
para
a,
de
con
y
aracte ­
s610
pun t o
qu e d a
de
qu e � e
cump l e
c ump l i r
la
Dom � [ a , b , c , d ) =
=
{
{
X
E
y E
G(a,d)
G
(a,b)
I
I
:3 Y
:3
E
x E
si
re l ac ión
c,
u n ivo c a ­
los
X,
qu e
entre
cua l e s
d E G(b,c) .
e s ta
condi­
r e l a c i ó n a n t e r i o r med i a n t e � [ a , b f c , d ) .
la
b, e, d1
el
La m i sma
domi n i o y l a imagen de e s t a r e l a c i ó n s o n ,
1 m :R [ a ,
c
S ..
b, c, d
deben
indicar
e
d e f i n imo �,
a l i n e a c i ón
l os
los
X
si
S - conv exi dad
d E G(b, c ) ,
por
x
de
e
'r/ { a , b }
donde
l o s pun t o s d e G ( a , d )
mente
e spa c i o
un
X s e c u mp l e
S
G(a,d)
'R :
y
JO- c o nvexidad
L o s e s p a c i o s d e c o nv e x i da d d e D r e � e v i 6 y d e K a k u ­
T - c o nv e x i d a d .
El
r e s p e c t i v am e n t e :
G(alb) ,
G
(a,d) ,
x 'R y
x 'R
y
},
}.
E n l a c o nvexidad u s u a l e n e s pa c i o s v e c t o r i a l e s r e a l e s s e c u mp l e
V
[a,b, c,d) ,
Dom 'R [ a , b , c , d ] = G ( a , d ) y 1 m � [ a , b , c , d ) = G ( a , b ) ;
140
es
má s ,
si
�:
�(a,d)
a, b, c
�(a,b)
�
e s tán
a l i n e ados
y
d . c,
enton c e S
e s u n a f u n c i ó n b i y e c t iva .
CARACTE R I Z AC I ON
2.
no
DE
LOS
E S PAC I O S
DE
3D - CONVE X I DAD
Y
DE
qu e
se
T - C ONVE X I DAD .
C ome n z a r emo s
uti l i z arán
este
en
parágra fo
la
dando
demo s t r a c i ó n
2 . 1 :
Sea
(X,�)
subcon j un t o no v a c ío de X ,
r e s u l t ado s
t e o r ema
2.5.
de l
p r opo s i c i ó n e s e l t e o r ema 2 . 2 d e
P ROPO S I C I ON
a l gu n o s
un
e spa c i o
de
s i gu i e n t e
convexi dad
ent onces
� -m i r ( S ) = n
La
[4] .
{ �-vis (x, S )
I
x E S
S
y
un
}.
D i r emo s q u e u n a f am i l i a d e s u b c o n j u n t o s d e X e s u n a cadena s i y
s ó l o s i l a m i sma e s t á t o t a lme n t e o r d e n ada p o r i n c l u s i ó n .
gu i e n t e equ iva l e n c i a f u e p r obada p o r Harnme r
TEOREMA 2 . 2 :
es
un
Sea
espa c i o
(X, G)
de
un
cadena de c o n j un t o s G - convexos es
P ROPO S I C I ON 2 . 3 :
Si
(X,�)
[7] .
e spa c i o de convex i da d .
DF - convexi dad s i
y
un
sól o
La s i ­
si
la
(X,�)
En t on c e s
u n i ón
de
t oda
con j un t o � - conv exo .
e s un espa c i o de S - convexi dad ,
ent on­
c e s e s un e spa c i o de DF- convexi dad .
L a p r o po s i c i ó n a nt e r i o r s e p r u eba med i a n t e l a ap l i c a c i ó n d e l a s
de f i n i c i o n e s
de
e spac i o s
r e c ipr o c a n o e s vá l i d a ,
de
S - c o nv e x i dad
y
DF - c o nv ex i d a d .
l o c u a l p u e d e v e r s e u s ando 4 . 3 d e
Su
[4] .
C omo c o n s e c u e n c i a d e l t e o r ema 2 . 2 y d e l l ema de Z o r n obt e n emo s :
COROLAR I O 2 . 4 :
Sea
(X,�)
un espa c i o de DF- convexi dad ,
ent onces
v a l en l a s s i gu i e n t e s propo s i c i on e s :
(i)
Si
C
e
S
e
X y C e s � - convexo ,
t e � - convexa de S ,
( ii )
Si
tal que C
e
e n t o n c e s exi s t e M,
c ompo n e n ­
M.
S e s u n a un i ón de subcon j un t o s � - convexo s d e X ,
ces S e s un i 6n d e sus compon en t e s � - convexa s .
enton­
1 41
E l t e o r ema q u e d a r emo s
a continuación caracteriza
de JD- c o nv e x i d a d u t i l i z a ndo
las
los
e spac i o s
relaciones � [ a , b , c , d ] .
Ademá s ,
perm i t e c a r a c t e r i z a r d i c h o s e s p a c i o s med i a n t e l a exp r e s i ó n ,
ra c i e r t o s s ub c o n j u n t o s d e X ,
pa­
de l a s c é l u l a s d e � - v i s i b i l idad y
d e l � - m i r ad o r c omo i n t e r s e c c i ó n de c ompo n e n t e s � - c o nvexa s .
TEOREMA 2 . 5 :
Sea
(X,�)
un
e spa ci o de
convex i da d ,
ent onces
son
equ i v a l ent e s :
(i)
(X,�)
e s u n e spa c i o d e S - convexi dad t a l que
Dom � [ a , b , c , d ]
V[a,b, c,d]
( ii )
(X,�)
( iii )
Si
S e s un i 6n d e subcon j un t o s G' - convex o s d e X ,
G' - V i S ( X , S ) = n
{
I X E M
M E .M ( S )
S e s un i ón de subcon j u n t o s � - convexo s de X ,
Si
G' - m i r ( S )
(i)
Demo s t r a c i ón .
=?
( ii ) .
probar ,
qu e
=
u
{p}
ú n i c am e nt e ,
n .M ( S ) .
qu e
(i) .
Sean p E X,
G - j o i n ( p , G' ( S »
i nmed i a t o
=
S u p o n gamo s
e s pa c i o d e DF - c o nv e x i dad .
Es
�(a,d) .
e s un e spa c i o de JO- convex i da d .
V X E S,
( iv )
=
S
U
e
0
*
{ G'(P, S ) !
S
Por
e
s
G- j o in ( p , G ( S »
y
E �(S)
e
G' - j o i n ( p , � ( S »
es
}.
2.3,
X,
}
ent onces
ent onces
es
( X , G' )
un
.
�(p
S) .
u
G - c o nvexo .
Re s t a
S
T ornemo s
Lu ego
exi s t e n
S
X EO G ( X , X ) ·
y
{ X , x } c G- j oi n ( p , G ( S » ,
2
2
2
l
l
l
e l em e n t o s d e G ( S ) , t a l e s qu e X E G' ( P , S ) y X E � ( P , S ) ' P e r o
2
2
l
l
Doro � [ x , S / P , x 1 = G' ( X , x ) i
así
ex i s t e
y E G ( Xl , S 2 )
tal
que
2
2
2
l
l
exi s t e
x E �(p,y) .
C orno
Dom R [ s , s , P , x l
�(S ,X ) '
2
2
l
l
l
Z E � ( S , S ) t a l qu e y E G ( p , Z ) . As í , X E � ( P , y ) c G ( p , z ) , d o n =
2
1
Z E �(S , S ) e G(S) .
En
consecuenc ia ,
2
l
r e s u l t ando e s t e c o n j u n t o G - c onvexo .
de
( ii )
=?
( iii ) .
S u p o n gamo s
( ii ) .
Sea x E S ,
E
x
donde
de s ub c o n j u n t o s 'G' - c o nvexo s de X y c o n s i d e r emo s
.M ( S )
Por 2 . 4
( ii ) ,
x
U .M ( S )
=
S
enton c e s
y E G-St ( X , S ) .
2 . 4
(i) ,
3 M
Si
E
{
M E .M ( S )
V M
tal
x E M
}.
en consecuenc ia ,
E
.M ( S ) ,
Z E �-St ( X , S ) ,
.M ( S )
I
x
que
�(x,y)
enton c e s
�- j oin ( p , G ( S »
S
es
x
M
e
�(x, z)
�(x, z ) c M.
unión
l a f am i l i a
"*
.M ( S )
e
una
,
" .
S,
e
es
S
de c i r ,
y,
por
E v i d e n t em e n t e ,
142
M
E
M (S)¡
en
x
consecuenc ia ,
y E M,
qu e imp l i c a qu e z E t:i' - s t ( y , S ) .
Ahora ,
Si
y E t:i' - v i s ( x , S ) ,
s ea
M E M (S) ,
ento n c e s
x
cia ,
V z E M,
ma l idad
de
e
G' ( y , z )
S¡
imp l i c a
M
e s t a f o rma y E n M ( S ) .
x
�
( iii )
( iv ) .
t r iv i a l .
�
( iv )
t:i' ( a , b )
(i) .
e
*
0
as í ,
e s ' dec i r ,
u
t:i' ( y
( iii ) .
M) = M,
A = G' - m i r ( A ) = n Al ( A ) E li' .
e
S.
u
t:i' ( y
En
e
M)
lo
[a,b, c,d] ,
es decir ,
A.
De
En
S = U
Por
2 . 3
Y
c E t:i' - m i r ( S )
As í
r e s u l t, a
3 y E t:i' ( a , b )
cia ,
De
(i) ,
2.4
Y
I
por
qu e
G' ( c , y )
x
I
De
esta
2'
max i -
y E M.
e s ta
V
De
resu lta
f o rma ,
y u t i l i z a ndo
{a,b}
A
tal
que
}.
= n Al ( S ) ,
t:i' ( a , d )
decir ,
( X , li' )
t:i' ( a , b )
de
e
S
x R y.
es
e
V
En
A
una
es
un
Tornemo s
M.
donde
y
e
o bt e -
( iv )
X c o n d E t:i' ( b , c ) .
e
f o rma
es
La
( iv )
consecuencia ,
li' - m i r ( S )
E t:i' ( c , y ) ,
lo
consecuen-
qu e
tal
y E li' ( a , b )
3 M E Al ( S )
( iv ) ,
S = M E G.
tal
{
{a,b, c,d}
S,
t:i' - s t ( y , S
cual
e s pa c i o de S - c o n v e x i dad .
Sea
e
S.
entonc e s
X
e
A
u n i ó n d e s ub c o n j u n t o s li' - c o n v e x o s d e X ,
n erno s
e
M
c orno c o n s e c u e n c i a d e 2 . 1 .
Sea
==
M
por
0 ,
S =
( iv )
G' - m i r ( A )
e
( ii ) ,
Si
( iv ) .
y E t:i' - s t ( x , S )
t:i' ( x , z )
por
e
t:i' ( y , z )
y E t:i' - v i s ( x , S ) .
dec i r ,
E M,
s e obt i e n e
S up o n gamo s
A,
Z
donde
L u e go ,
es
que
S upo n gamo s
Para S
V
de
X
Pero ,
c E M.
E t:i' ( a , d )
cons ecuen­
Dom R [ a , b , c , d ] = t:i' ( a , d ) .
la
equ i v a l e n c i a
s i gu i e n t e c o r o l a r i o ,
( X , t:i' )
( ii )
y
( iv )
de
2.5,
obt e n erno s
el
que e s e l t e o r ema 4 . 2 d e [ 8 ] .
(X,G)
e spa c i o de � - convexi dad . En t on c e s
l
e s un espa c i o d e T - convexi dad s i y s 6 l o s i e s un e s pa ci o
COROLAR I O
Sea
entre
2 .6:
un
de JO- convexi dad .
En 2 . 6
l a condic ión �
1
s e u t i l i z a G n i c am e n t e p a r a p r o b a r qu e l a
JD -- c o n v e x i dad imp l i c a l a T - c o nv e x i dad .
hay
e s pa c i o s
de
T - c o nv e x i dad q u e
no
E n v i r t u d de 4 . 1 de
son � .
1
Sin
emb a r go ,
[4] ,
todo
e s p a c i o de T - c onvex idad d e b e r á c ump l i r l a c o nd i c i ó n � D
l
D i r em o s q u e
e s u n e spa c i o de � D - convexi dad s i y s ó l o s i
l
V x E X , V C E G - { e!} ,
t:i' ( x ) e { x } u C .
( X , t:i' )
143
PROPO S I C I ON 2 . 7 :
(X,�)
Sea
un
e spa c i o
de
conv exi dad,
entonces
son equ i va l en t e s :
(i)
(X,�)
e s u n e spa c i o d e 11"
'r/ S E :P ( X ) - { 0 } ,
( i i ) 'r/ x E X ,
( iii )
( iv )
E
Si x
e
X
'r/ { x , y }
e
S
Si
e
S
X y e e S,
- convexi dad.
�(x) e {x} v �( S ) .
donde 0 � e
e E �
exi s t e
y
lD
tal
que
E
�,
X,
S,
e
0 � e
uni 6n d e subcon j un t o s � - convexo s .
(v)
e
e n t on c e s � ( x )
S.
S
ent onces
es
� ( x ) e { x } v �' ( y ) .
La s i gu i e n t e c a r a c t e r i z a c i ó n d e l o s e s pa c i o s de T - c o nv e x i d a d s e
demu e s t r a f á c i lment e a p a r t i r d e 2 . 5 y 2 . 7 .
TE OREMA
(X,�)
Sea
2.8:
un
espa c i o de
conv exi da d ,
en t on c e s
son
equ i va l e n t e s :
(i)
es un e spa ci o de 1r l S - convex .i dad t a l que
D
(X,�)
'r/ [ a , b , c , d ]
( ii )
(X,�)
( iii )
e s un espa c i o de lr
S e X
Si
(X,G)
'*
si
no
�
pac io
e
(X,�)
(i) .
de
( ii ) .
S
e
si
E
X.
S,
y E S,
0.
= e � 0
Por 2 . 4 ( i i )
{
e
E
0
que
tal
M(S)
�
e
e
x E e
S,
ent onces
}.
exi s t e
qu e
e
e E (';{
( iv ) .
tal
que
G-mir ( S ) = n M ( S ) .
0 � e
S.
e
S,
=
S,
en­
P o r o t r a p a rt e ,
entonces
n M(S)
A s l. ,
e
0 � e
M(S)
=
{0}
y
� -mir ( S ) .
0
De
e s u n e s p a c i o d e T - c o nvexidad .
qu e v e r ,
tales
c orno
= G-mir ( S ) .
ú n i c am e nt e ,
S u p o n gamo s
qu e
�(x,y) � S,
Pero
Y
Si
G(x,y)
1I" 1 D - c o nvex idad .
=
�
Re s u l t a d e 2 . 5 .
( iv ) ,
tal
G
T e nd r emo s
e E G- { 0 } ,
G-mir ( S )
n M(S)
e
'r/ { x , y }
x E X,
As í ,
Sea
exi s t e
e s t a f o rma
( iv )
'*
por 2 . 5 y 2 . 7
ademá s
E
E s consecuencia de 2 . 5 y 2 . 7
( iv ) .
tonces ,
e
JD- convex i da d .
G-vis ( x , S ) = n
(i)
( iii ) .
'*
( iii )
lD
e s un espa c i o de T - convexi dad .
Demo s t r a c i 6n .
( ii )
exi s t e
y
E S,
x
'r/
( iv )
Dom � [ a , b , c , d ] = � ( a , d ) .
es
qu e
c o n t r a r i am e n t e
G ( x ) fl,' { x } v e .
decir
G(x) � {x}
(X,G )
V
l a equ i va l e n c i a e n t r e
Sea
que
S
x � G-st ( y , S ) ,
e,
enton c e s
( ii ) ,
( iii ) Y
un
es
es­
exi s t e n
{x} v C .
de
donde
M(S) = {e}
( iv )
y
de 2 . 5 ,
144
obt e n emo s e l s i gu i e n t e c o r o l a r i o ,
(X,�)
Sea
COROLAR I O 2 . 9 :
[4] .
qu e es e l t e o r ema 3 . 3 d e
un e spa c i o de convexi da d ,
en t on c e s son
equ i va l en t e s :
(i)
(X,�)
e s u n e spa c i o d e T
( ii ) y S e X ,
( iii )
E
Y x
(X,�)
es
=
�-vis ( x , S )
S,
un
JD - convexi da d .
1
e spa c i o
de
{
n
C
E
I
M(S)
T - convex i da d
y S e X,
}.
x E e
tal
que
S = U M(S).
CARA C TE R I Z AC I ON DE LOS E S PAC I O S DE CONVE X I DAD DE DRE S E V I é y
3.
DE KAKUTAN I .
E n 1 9 7 0 D r e � e v i é d emo s t r ó u n t e o r ema de s ep a r a c i ó n p a r a c o n j u n ­
tos
e s t r e l l ad o s
( 2 . 3 ) V I de
co .
en
[2] ,
e spac ios
vectoriales
r ea l e s
[5] .
En
1976,
s e p r o b ó e s t e t e o r ema e n u n c o n t ex t o a x i omát i ­
L a d e f i n i c i ó n q u e damo s a c o n t i n u a c i ó n s e ba s a e n e l t e o r e ­
m a d e D r e s ev i é .
(X,G)
D i r emo s q u e
es
u n espa c i o de convexi dad de Dr e � ev i 6 s i y
s ó l o s i s at i s f a c e l a s i gu i e n t e p r o p i edad :
Si
A e X,
enton c e s
exi s t e n
C v D = X,
El
A
B e X,
n
B
C e X,
A e C,
B e D,
s i gu i e n t e t e o r ema
=
0 ,
E
a
C -mir ( A )
tales
D e X,
a E C -mir ( C )
caracteriza
los
b
y
que
b
y
E
e s pa c i o s
E
C-mir ( B ) ,
n
C
D
C-mi r ( D ) .
de
=
0 ,
D r e s ev i é u t i ­
l i z a n d o ú n i c am e n t e l a s r e l a c i o n e s R [ a , b , c , d ] .
TEOREMA
3. 1 .
Sea
(X,�)
un
e spa c i o
de
convexi dad ,
en t on c e s
las
s i gu i en t e s propo s i c i on e s son equ i v a l e n t e s :
(i) Y[a,b,c,d]
1m R [ a , b , c , d ]
( ii )
D e X,
Si
C e X,
p E X,
entonces
( iii )
(X,�)
a E �-mir ( C ) ,
C
n
�(b,p)
e R c,
*-
n
n
D
D
=
=
0
�(a,b) .
0,
E
a
o
n
C
�-mir ( C ) ,
�(b,p)
=
b
0 .
E
G-mir ( D )
y
e s un e spa c i o de convex i dad de Dr e s e v i é .
Demo s t r a c i ón .
Pero
G(a,p)
C
=
(i)
b
0 .
E
=>
L u e go ,
e
E
=
qu e
S u p o n gamo s
�-mir ( D )
1m R [ b , p , a , d ]
es decir ,
( ii ) .
y
p
exi s t e n
�(b,p) ;
�(a, c ) .
E
X,
d
así
E
Lu e go e
tales
�(a,p)
exi s t e
E
que
n
�(a,c)
D
�(a,p)
y
C
E
C
�(b,d)
n
n
D
*-
0
e
C
y
�(b,p) .
que
tal
e E �(b,d)
n
D e X,
C e X,
exi s t e n
n
D.
145
( ii )
( iii )
�
�
( iii ) .
(i) .
S u po n gamo s
*
1m � [ a , b , c , d J
�(a1d)
n
�
Demo s t ra c i ó n a n á l oga a v i )
�(a,b) .
�(c,y)
0 .
=
�
tración d e v )
que
P r o c ed i endo
( 4 . 1 ) de [ 3 J ,
i) ,
E l t e o r ema de Ka k u t a n i p e rm i t e ,
f o rma ,
en
3 y
subcon j u nto s
convexos
(4.1)
f o rma
E
de
[3] .
tal
�(a,b)
a n á l o ga
qu e
tal
a
la
d emo s ­
en e s pa c i o s v e c t o r i a l e s r e a l e s ,
c omp l ement a r i o s .
med i a n t e u n p a r d e
Bas ándon o s
en
este teo­
l a s i gu i e n t e d e f i n i c i ó n .
D i r emo s qu e
(X,�)
e s u n espa c i o de convexi dad de Kaku t a n i
s ó l o s i c ump l e l a s i gu i e n t e p r o p i edad :
Si
A
E
l e s qu e
E
B
e,
n
C
G,
D
=
n
A
0 ,
B
C
=
u
D
0,
entonces
X,
=
A
e
exi s t e n
C
B c D.
y
E l t e o r ema de K a ku t a n i f u e ge n e r a l i z ado ,
tico ,
por J .
W.
u n axioma de
de
qu e
s e l l ega a u n a c o n t r ad i c c i ó n .
s eparar do s s u b c o n j u nt o s c o nvexo s d i s j u n t o s ,
r ema damo s
de
[ a, b, c , d ]
3
esta
De
v) ,
Ellis
[6J .
a
c o nv e x i dad
de
Kakutan i .
En
el los
se
1
3.1
(i) ,
des arro l l ar
de
este
las
demo s t r a c i o n e s
una
[IJ .
s i gu i e n t e t e o r ema s e obt i e n e c omo c o n s e c u e n c i a de
de
ta­
s o n e spac i o s
El
y
G,
JD - c o nv e x i dad c o n
puede
t e o r í a d e s em i e s pa c i o s y p u nt o s ext r ema l e s
t r aba j o
E
D
e n u n c o n t e x t o axiomá­
L o s e s pac i o s d e V
s ep a r a b i l idad equ iva l e nt e
C E G,
si y
de
2.5 y 3.1
de
[3J ,
que
entonces
las
(4. 1)
s i gu e n s i e n d o vá l i d a s e n e s p a c i o s de JO - c o nv e x i dad .
TEOREMA
Sea
3.2.
(x,e)
un
espa ci o de
convexi da d ,
s i gu i ent e s propo s i c i on e s son equi v a l ent e s :
(i)
(X,G)
e s u n e spa c i o de S - convexi dad t a l qu e
V[a,b, c,d1
( ii )
( iii )
(X,G)
Dom :R [ a , b , c , d 1
=
�(a,d)
Y
Im :R [ a , b , c , d 1
=
G(a,b) .
e s un e s pa c i o de JO- convexi dad de Kaku t a n i .
(X,e)
e s un e spa c i o de JO- convexi dad de Dr e s ev i é .
RE FERENC I A S :
[1]
BRE S SAN ,
J.
C. ,
sul a convexa .
[2]
BRE S SAN ,
Tes i s
J.
S i s t ema axi omát i co pa r a operado r e s de cáp ­
Rev i s t a de l a U .
C. ,
Do c t o r a l ,
S i st ema s
M.
A. ,
axi omá t i cos
Departame nto
26 . ( 1 9 7 2 )
para
131-142 .
la
convex i dad,
de Mat emát i c a ,
F a c u l tad de
146
Ciencias
res ,
[3]
y Na t u r a l e s ,
Exa c t a s
J.
C. ,
Es t r e l l a do s y s eparabi l i da d en
axi omát i co pa r a
[4]
( 1983 )
BRE S SAN ,
la
convex i dad,
J.
DRE � EV I é ,
C. ,
TORAN Z O S ,
M. ,
Mat emát i c o
[6]
E LL I S ,
J.
[7J
J.
19
F.
P.
[8J
[9]
C. ,
Ma t h .
Math .
'rORAN Z O S ,
bodi e s ,
[ 1 0 ] TORAN Z O S ,
de
la
s i s t ema
M.
A. ,
cel l s
and
U.
F.
Vi s i bi l i t y
( 1992 )
Kaku t a n i
( 22 ) ,
( 1970 )
251-257 .
Not i c i a r i o
L emma ,
347-348 .
Duke Math .
s e t - s epa r a t i on t h eo r em ,
Ext ended
( 1963 )
25
K. ,
Doma i n
t opo l ogy
f i n i t en e s s ,
200-2 12 .
s t a r shapedn e s s
in
convexi t y
spa ce s ,
56
( 1985 )
361-367 .
A. ,
Radi a l
funct i on s of convex and s t a r sh aped
Ma t h .
Am e r .
F.
83
417-42 1 .
KO�OD Z I E J C Z YK ,
C omp .
7
A. ,
Mat h .
on
ru s o ) ,
A gen e r a l
W. ,
I nd a g .
not e
A
( en
( 1952 )
HAMME R .
Rev i s t a
un
1-5 .
T - cqnvexi t y spa ce s , C omp .
[5]
Ai ­
( 1976 ) .
BRE S S AN ,
31
U n i ve r s idad de B u e n o s
A. ,
shaped s e t s ,
Mo n t h l y 74
( 1967 )
278-2 8 0 .
The po i n t s of l o c a l nonconvexi t y of s t a r ­
Pac i f i c J .
101
( 1982 )
2 0 9 -2 1 3 .
Juan Car l o s B r e s s an
D e p a r t am e n t o d e F i s i c omat emát i c a
F a c u l t ad de F a rma c i a y B i oqu imi c a
U n i v e r s idad de B u e n o s A i r e s
Ju n i n 9 5 6
( 1 1 1 3 ) B u e n o s Ai r e s - ARGEN T I NA
Recibido e n diciembre d e 1 994 .