Introducción a la K-Teor´ıa y el Teorema de periodicidad de Bott

Introducción a la K-Teorı́a y el Teorema
de periodicidad de Bott
Gabriel Tucci Scuadroni
Orientador: Fernando Abadie
9 de febrero de 2004
Trabajo Monográfico
Licenciatura en Matemática
Universidad de la República
Montevideo - Uruguay.
Índice general
1. Fibrados vectoriales
1.1. Operaciones sobre fibrados vectoriales . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Propiedades homotópicas de fibrados vectoriales . . . . . . . .
1.3. Construcción Clutching de fibrados vectoriales . . . . . . . . .
1.4. Núcleo e imagen de morfismos de fibrados con rango constante
1.5. Otras Construcciones de Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Métricas sobre un fibrado vectorial de dimensión finita . . . . .
1.7. El semianillo de fibrados vectoriales . . . . . . . . . . . . . . .
2. Teorema de Kuiper
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6
9
13
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17
19
21
24
3. Familias de operadores de Fredholm
31
3.1. Índice de una familia de operadores de Fredholm. . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Teorema de Atiyah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. Operadores de Toeplitz
37
4.1. Operadores asociados a funciones escalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2. Operadores asociados a funciones matriciales. . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3. Operadores de Toeplitz generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5. Teorema de periodicidad de Bott
45
5.1. Definición de K(X) para X localmente compacto . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2. Sucesión exacta infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3. Teorema de Bott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. Apéndice
62
1
Introducción
La K-teorı́a fue introducida por A. Grothendieck en su formulación del teorema de
Riemann-Roch. Para cada variedad algebraica proyectiva, Grothendieck construyó un
grupo a partir de la categorı́a de los haces algebraicos, y probó propiedades interesantes
y útiles de éste. Atiyah y Hirzebruch consideraron un análogo topológico, definiendo para
cada espacio topológico compacto X, un grupo K(X) construido a partir de la categorı́a
de los fibrados vectoriales sobre X. Esto es lo que se denominó K-teorı́a topológica,
para la cual este trabajo pretende ser una introducción.
La K-teorı́a topológica se ha convertido en una herramienta importante de la topologı́a.
Aplicaciones al análisis y al álgebra pueden ser encontradas en los trabajos de Atiyah,
Singer y otros. Un resultado importante de la K-teorı́a es el teorema de periodicidad de
Bott, cuya demostración es el objetivo principal de este trabajo.
El primer capı́tulo es una introducción a la teorı́a de fibrados vectoriales sobre un
espacio compacto X, en donde se encuentran resultados importantes para el desarrollo
de los restantes capı́tulos, y también la definición del grupo K(X).
En el segundo capı́tulo se demuestra el teorema de Kuiper, el cual dice que todos los
grupos de homotopı́a del grupo GL(H) de los operadores invertibles sobre un espacio de
Hilbert separable y de dimensión infinita son nulos, es decir π k (GL(H)) = 0 para todo
k ≥ 0.
En el tercer capı́tulo se generaliza la definición de ı́ndice para un operador de Fredholm,
a una familia de operadores de este tipo. A diferencia del primero que es un entero, este
nuevo ı́ndice es un elemento de K(X), y al igual que el primero solo depende de la clase de
homotopı́a de la familia de operadores de Fredholm. Esto nos muestra la conexión entre
la definición del ı́ndice de un operador de Fredholm y la teorı́a de fibrados vectoriales.
En el cuarto capı́tulo se definen los operadores de Toeplitz, que son ejemplos importantes
de operadores de Fredholm, y se da una generalización de los mismos.
En el último capı́tulo se define el grupo K(X) en el caso que X sea localmente compacto;
se demuestran propiedades importantes de este grupo, y finalmente se prueba el teorema
de periodicidad de Bott via familias de operadores de Fredholm, la cual es una idea
original de Atiyah.
2
Capı́tulo 1
Fibrados vectoriales
En este capı́tulo comenzaremos con una revisión rapida de la definición y propiedades
elementales de los fibrados vectoriales. Despúes de esta revisión pasaremos a definir el
grupo K(X) cuando X es un espacio topológico compacto y de Hausdorff. El resto del
capı́tulo esta destinado a mostrar algunos resultados que seran muy importantes en el
desarrollo de este trabajo.
Definición 1.0.1. Sea X un espacio topológico. Una familia de espacios vectoriales sobre
X es un espacio topológico E con :
1.
Una función continua y sobreyectiva p : E → X llamada proyección.
2.
Una estructura de espacio de Banach para cada E x := p−1 (x), x ∈ X, con la
topologı́a inducida por E.
Observación 1.0.2. Cuando hablamos de espacios vectoriales, hablamos de espacios
vectoriales sobre C, salvo que se diga lo contrario.
Definición 1.0.3. Sean (E,p,X) y (F,q,X) dos familias de espacios vectoriales. Un homomorfismo de familias es un mapa u : E → F continuo tal que :
1.
q ◦ u = p.
2.
ux : Ex → Fx es un mapa lineal y acotado para todo x en X, donde u x es la
restricción del morfismo a Ex := p−1 (x).
Decimos que u es un isomorfismo de familias en el caso que exista un morfismo v : F → E
tal que v ◦ u = 1E y u ◦ v = 1F
Ejemplo 1.0.4. Una familia trivial sobre X es (X × B, p, X) con la topologı́a producto
en X × B, donde p es la proyección sobre el primer factor y B es un espacio de Banach.
Definición 1.0.5. Un fibrado vectorial (E, p, X) es una familia de espacios vectoriales tal
que localmente esisomorfa a la familia trivial, es decir, para todo x ∈ X existe un entorno
U de x tal que E U := p−1 (U ) es isomorfo como familia de espacios vectoriales a U × B
3
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
4
donde B es un espacio de Banach, a estos isomorfismos
los llamaremos trivializaciones.
Además para todos U y V entornos de X y ϕ 1 : E U → U × B, ϕ2 : E V → V × B dos
isomorfismos de familias, ϕ1 ◦ (ϕ2 )−1 : (U ∩ V ) × B → (U ∩ V ) × B induce un mapa
ΦU,V : U ∩ V → B(B) dado por (y, ΦU,V (y)(v)) := ϕ1 ◦ (ϕ2 )−1 (y, v) continuo con la
topologı́a de la norma de operadores en B(B).
Definición 1.0.6. Sean (E, p, X) y (F, q, X) dos fibrados vectoriales. Un homomorfismo
de fibrados es un homomorfismo
de familias de espacios vectoriales tal que para todos U y
V entornos de X, y ϕ : E U → U ×BE , ψ : F V → V ×BF dos isomorfismos de familias,
ϕ ◦ (ψ)−1 : (U ∩ V ) × BF → (U ∩ V ) × BE induce un mapa ΦU,V : U ∩ V → B(BF , BE )
dado por (y, ΦU,V (y)(v)) := ϕ ◦ (ψ)−1 (y, v) continuo con la topologı́a de la norma de
operadores en B(BF , BE ).
Observación 1.0.7. En el caso de fibrados vectoriales de dimensión finita E y F sobre
X, todo morfismo u : E → F de familias es un morfismo de fibrados. Esto es claro
observando que hay una única topologı́a vectorial sobre B(C n , Cm ).
Definición 1.0.8. La categorı́a de fibrados vectoriales, V B X tiene como objetos los
fibrados vectoriales sobre X y como flechas los morfismos de fibrados. Para cada X,
f in
llamaremos V BX
a la subcategorı́a de fibrados vectoriales de dimensión finita. El isomorfismo de fibrados es una relación de equivalencia. La clase de E, fibrado sobre X,
será denotada por [E]. El conjunto de clases de isomorfismos de fibrados de dimensión
finita sobre X será denotado por Vect(X), y el subconjunto de Vect(X) formado por las
clases de fibrados de dimensión n será denotado por Vect n (X).
Proposición 1.0.9. Sea u : E
→ F un morfismo de fibrados vectoriales. Entonces u es
un isomorfismo si y solo si up−1 (x) es un isomorfismo para todo x en X.
Demostración. El directo es
trivial. Probaremos el recı́proco. Sea u : E → F un morfismo de fibrados tal que up−1 (x) es un isomorfismo para todo x en X. Sea v : F → E
definida por v q−1 (x) := (up−1 (x) )−1 . La función v es el candidato a la inversa de u,
→ U × V1
solo tenemos
que
probar
que
es
continua.
Sean
U
⊆
X
abierto,
ϕ
:
E
1
U
y ϕ2 : F U → U × V2 isomorfismos de fibrados, que existen por la trivialidad local
de los fibrados vectoriales. Para probar que v es continua es suficiente con probar que
v : q −1 (U ) → p−1 (U ) es continua. Por otro lado, es claro que ϕ −1
2 uϕ1 : U × V1 → U × V2
tiene la forma (x, v) 7→ (x, fx (v)) donde x 7→ fx es un mapa de U 7→ GL(V1 , V2 ) continuo
−1
con la topologı́a de la norma, entonces ϕ −1
1 vϕ2 tiene la forma (x, v) 7→ (x, f x (v)) donde
−1
x 7→ fx es un mapa de U 7→ GL(V2 , V1 ) continuo, puesto que invertir es una operación
continua, de manera que v es continuo.
Definición 1.0.10. Sean Y un espacio topológico, (E, p, X) un fibrado vectorial y f :
Y → X una función continua. Definimos el fibrado pullback de E como:
f ∗ (E) = {(y, e) ∈ Y × E : f (y) = p(e)}
con la topologı́a producto de Y × E.
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
5
Proposición 1.0.11. Sean E un fibrado sobre X y f : Y → X una función continua.
Entonces f ∗ (E) es un fibrado sobre Y . Además el pullback es un functor covariante de
VBX en VBY .
Demostración. Para probar que f ∗ (E) es un fibrado vectorial basta probar que es localmente trivial. Dado (y0 , e0 ) ∈ f ∗ (E) tal que f (y0 ) = p(e0 ) = x0 , existe U , entorno
de x0 , tal que E U es trivial. Consideremos el entorno de y 0 V = f −1 (U ). Entonces
f ∗ (E)V = {(y, e) ∈ V × E : f (y) = p(e)} = {(y, e) ∈ V × E U : f (y) = p(e)}. Pero
como E U ∼
= U × B se cumple que f ∗ (E)V ∼
= V × B por lo que f ∗ (E) es un fibrado
sobre Y .
Si u : E → F es un morfismo de fibrados sobre X, consideremos el mapa f ∗ (u) :
∗
f (E) → f ∗ (F ) dado por f ∗ (y, e) := (y, u(e)). Este mapa es claramente un morfismo de
fibrados que respeta la composición y la identidad, por lo que f ∗ : VBX → VBY es un
functor.
Observación 1.0.12. En el caso que tengamos una función continua g : Z → Y donde
Z es otro espacio topológico, tenemos que g ∗ ◦f ∗ (E) ∼
= (f ◦g)∗ (E) y además Id∗ (E) ∼
= E:
∗
(f ◦ g) (E) = {(z, e) ∈ Z × E : (f ◦ g)(z) = p(e)}, g ∗ ◦ f ∗ (E) = {(z, u) ∈ Z × f ∗ (E) :
g(z) = p∗ (u)} como u ∈ f ∗ (E) se cumple que u = (y, e) donde f (y) = p(e), p ∗ (u) = y
con lo que g ∗ ◦ f ∗ (E) = {(z, y, e) ∈ Z × Y × E : f (y) = p(e), g(z) = p ∗ (u) = y} =
{(z, y, e) ∈ Z × Y × E : f (g(z)) = p(e)} ∼
= (f ◦ g)∗ (E).
∗
Por otro lado (Id) (E) = {(x, e) ∈ X × E : x = p(e)} ∼
= E.
Esto muestra que también podemos pensar el pullback, como un “functor” F :
Top → V B de la categorı́a de espacios topológicos en la “categorı́a” de fibrados, tal que
dado un objeto X de Top le asigna V BX y a cada mapa continuo f : Y → X le asigna
F (f ) = f ∗ : V BX → V BY .
La palabra functor y categorı́a en esta observación están entre comillas porque estrictamente hablando V B no es una categorı́a, ya que en una categorı́a los objetos no
pueden ser categorı́as.
Definición 1.0.13. Una sección de un fibrado vectorial (E, p, X) es una función continua s : X → E continua tal que p ◦ s = 1X . Es decir, es un mapa que cumple la siguiente
propiedad : ∀x ∈ X s(x) ∈ p−1 (x), la fibra sobre x.
Al conjunto de secciones sobre un fibrado E lo llamaremos Γ(E).
Proposición 1.0.14. Sea E un fibrado sobre X. Entonces la función a : A E := {(e, f ) ∈
E × E : p(e) = p(f )} → E dada por a(e, f ) = e + f y la función s : C × E → E dada
por s(k, e) = ke son continuas.
Demostración. Como la continuidad es una propiedad local y los fibrados vectoriales son
localmente triviales, alcanza con probar este resultado para el fibrado trivial. En este
último caso, alcanza simplemente con observar que la suma y la multiplicación por un
escalar son operaciones continuas en un espacio de Banach.
Proposición 1.0.15. Sean s y t dos secciones de un fibrado vectorial κ = (E, p, X) y
sea σ : X → C continua. Entonces s + t, σs y el mapa x 7→ 0 ∈ p −1 (x) son secciones de
κ. En consecuencia, Γ(E) es un C(X)-módulo.
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
6
Demostración. Sea h : U × B → E una trivialización de E sobre U , y sean h −1 s(x) =
(x, fs (x)) y h−1 t(x) = (x, ft (x)), donde fs , ft : U → B son continuas. Entonces h−1 (s +
t)(x) = (x, ft (x)+fs (x)), h−1 (σs)(x) = (x, σ(x)fs (x)) y h−1 (0)(x) = (x, 0) son continuas,
lo que prueba que s + t, σs y 0 son continuas y por lo tanto secciones de E.
1.1.
Operaciones sobre fibrados vectoriales
Operaciones naturales sobre espacios vectoriales, como la suma directa y el producto tensorial, pueden ser extendidas a fibrados vectoriales. La única interrogante es
cuál topologı́a se debe introducir en el espacio resultante. Nosotros daremos un método
general para extender las operaciones de espacios vectoriales a fibrados vectoriales que
resolverá estos problemas de forma uniforme.
Definición 1.1.1. Sea T : (C − mod)n → C − mod un functor, donde C − mod es la
categorı́a de espacios vectoriales de dimensión finita sobre C. Diremos que el functor T
es continuo sii
TV1 ...Vn ,W1 ...Wn : Hom(V1 , W1 ) × . . . × Hom(Vn , Wn ) → Hom(T (V1 . . . Vn ), T (W1 . . . Wn ))
es continuo para todo Vi y Wi espacios vectoriales de dimensión finita, donde la topologı́a
de Hom(V, W ) es la inducida por la norma de las transformaciones lineales, es decir: si
ϕ ∈ Hom(V, W ) entonces kϕk = supkvk=1 kϕ(v)k.
Teorema 1.1.2. Para cada functor continuo T : (C − mod) n → C − mod, existe una
familia de functores TX : Vect(X)n → Vect(X), uno para cada espacio topológico X,
tales que TY (f ∗ (E1 ), . . . , f ∗ (En )) y f ∗ (TX (E1 , . . . , En )) son fibrados vectoriales sobre Y
isomorfos para cada mapa f : Y → X continuo.
Demostración. Por simplicidad en la notación, y porque no hay pérdida de generalidad,
lo probaremos para el caso en que T sea un functor de una sola variable.
Sean E y F fibrados vectoriales de dimensión finita sobre X y ϕ un homomorfismo
de fibrados. Definimos el conjunto T (E) como la unión disjunta
[
T (Ex )
x∈X
y definimos T (ϕ) : T (E) → T (F ) por los mapas T (ϕ x ) : T (Ex ) → T (Fx ). Lo que debemos
probar es que T (E) tiene una topologı́a natural que lo hace un fibrado vectorial, y que
en esta topologı́a T (ϕ) es continua.
Veamos primero el caso en que E = X × V . Entonces T (E) = X × T (V ) con la
topologı́a producto. Supongamos que F = X ×W y que ϕ : E → F es un homomorfismo.
Éste induce un mapa continuo Φ : X → Hom(V, W ) dado por Φ(x)(v) = ϕ(x, v). Puesto
que por hipótesis TV,W : Hom(V, W ) → Hom(T (V ), T (W )) es continuo, se cumple que T ◦
Φ : X → Hom(T (V ), T (W )) es continuo, lo que hace que T (ϕ) : X × T (V ) → X × T (W )
sea continuo. Además si ϕ es un isomorfismo, entonces T (ϕ) será un isomorfismo puesto
que es continuo y es un isomorfismo en cada fibra.
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
7
Ahora veamos el caso
en que E sea un fibrado trivial y α : E → X × V un isomorfismo. Entonces T (αEx ) es un isomorfismo de T (Ex ) en T (V ) puesto que T es un
functor. Definimos T (α) : T (E) → X × T (V ) dado por T (α)(x, v) := (x, T (α Ex )(v)).
Esta función es una biyección. Consideremos la topologı́a sobre T (E) de forma que T (α)
sea un homeomorfismo. Sea β : E → X × W otro isomorfismo; la topologı́a inducida en
T (E) por T (β) es la misma que la inducida por T (α) puesto que X × T (V ) y X × T (W )
son homeomorfos ya que V y W lo son.
Además
si Y ⊂ X, se cumple que la
que la topologı́a
topologı́a en T (E) Y es la misma
∼
∼
en T (E Y ): E ∼
X
×
V
.
Entonces
E
Y
×
V
,
por
lo
que
T
(E
)
Y × T (V ); por
=
Y =
Y =
∼
otro lado T (E) Y = Y × T (V ).
Finalmente si ϕ : E → F es un homomorfismo de fibrados triviales y τ : F → X × U
es una trivialización de F , tenemos que el siguiente diagrama conmuta:
ϕ
E
∼
= τ
α ∼
=
X ×V
/F
ψ
/X ×U
donde ψ es el homomorfismo dado por ψ := α −1 ◦ ϕ ◦ τF : X × V → X × U . Este homomorfismo induce un mapa continuo Ψ : X → Hom(V, U ). Como T V,U : Hom(V, U ) →
Hom(T (V ), T (U )) es continuo por hipótesis, T ◦ Ψ : X → Hom(T (V ), T (U )) es continuo
e induce un mapa continuo T (ψ) : X × T (V ) → X × T (U ) tal que el siguiente diagrama
conmuta:
T (ϕ)
T (E)
/ T (F )
T (τ )
T (α)
X × T (V )
T (ψ)
/ X × T (U )
Entonces T (ϕ) = T (τ )−1 ◦ T (ψ) ◦ T (α) es un homomorfismo continuo.
Consideremos abiertos U y V de X y sean β : E U → U × W y γ : E V → V × W
trivializaciones
de E sobre U y V respectivamente. Ahora probaremos que si consider
en T (E U ∩V )
amos T (E U ) y T (E V ) con la topologı́a anterior, esta
topologı́a coincide
y que además este conjunto es abierto tanto en T (E U ) como en T (E V ).
s
(U ∩ V ) × W
OOO
OO ∼
=
OOOOO
O'
β
U ∩V
/ (U ∩ V ) × W
oo
∼
=oooo
o
o
w oo γ o
T (E U ∩V )
U ∩V
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
8
El mapa s definido por el diagrama induce un mapa
TW,W
s
U ∩ V → Hom(W, W ) → Hom(T (W ), T (W ))
continuo y biyectivo que llamaremos δ.
δ
(U ∩ V ) × T (W )
QQQ
QQQ ∼
=
QQQQQ
Q(
T (β)
T (E U ∩V
/ (U ∩ V ) × T (W )
m
m
∼
= mmmm
U ∩V
mmm vmmm T (γ)
)
U ∩V
Con el mismo
argumento se ve que δ −1 es continuo, de donde ambas topologı́as coinciden
en T (E U ∩V ).
Además la proyección pU : T (E U ) → U es continua con la topologı́a en T (E U ) inducida
por T (β), y por lo tanto T (E U ∩V ) = p−1
U (U ∩V ) es abierto en T (E U ). De forma análoga
es abierto en T (E V ).
Ahora supongamos que E es un fibrado vectorial de dimensión finita. Si U ⊂ X es
tal que E U es trivial, le damos una topologı́a a T (E U ) como antes. Ahora definiremos
una topologı́a en T (E) de la siguiente
manera. Diremos que V ⊂ T (E) es abierto si y
solo si V ∩ T (E) U es abierto en T (E U ) para todo abierto U ⊂ X tal que E U es trivial.
Es fácil verificar
define una topologı́a y que la
que la condición anterior realmente
topologı́a de T (E Y ) es la misma que la de T (E) Y , por como fue la definición de la
misma.
Si ϕ : E → F es un homomorfismo de fibrados. Tenemos que probar que T (ϕ) :
T (E) → T (F ) es un homomorfismo de fibrados. Dado x ∈ X existe un entorno U de x
tal que ambos fibrados restringidos a este entorno son triviales. Entonces
ϕ : E → F U
U
U
) : T (E ) → T (F ). Puesto que T (E ) ∼
induce
un
homomorfismo
continuo
T
(ϕ
U =
U
U
U
T (E)U y T (F U ) ∼
= T (F )U se cumple que
T (ϕ) : T (E) → T (F )
es un homomorfismo continuo.
Por último, probemos que f ∗ (T (E)) ∼
= T (f ∗ E). Dado y ∈ Y se tiene que f ∗ (T (E))y =
T (Ef (y) ) y por otro lado T (f ∗ E)y = T (Ef (y) ), por lo tanto ambos fibrados son isomorfos.
Observación 1.1.3. Si E y F son fibrados vectoriales sobre X, el teorema anterior nos
permite en particular construir los fibrados:
E⊕F
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
9
E⊗F
Hom(E, F )
E ∗ , el dual del fibrado E.
Y se puede ver fácilmente que:
E⊕F ∼
=F ⊕E
E⊗F ∼
=F ⊗E
E ⊗ (F ⊕ G) ∼
= (E ⊗ F ) ⊕ (E ⊗ G)
1.2.
Propiedades homotópicas de fibrados vectoriales
Definición 1.2.1. Sean X e Y espacios topológicos. Consideremos los mapas continuos
f y g : X → Y . Decimos que f y g son homotópicos
si existe un mapa continuo F :
X × I → Y donde I = [0, 1], tal que F0 := F (X×{0}) = f y F1 := F (X×{1}) = g.
La notación utilizada sera f ∼ g.
Observación 1.2.2. La homotopı́a es una relación de equivalencia; la clase de f : X →
Y se llama clase de homotopı́a de f , y será denotada por f. El conjunto de clases de
homotopı́a de mapas f : X → Y será denotado por [X, Y ].
Definición 1.2.3. Sean X e Y espacios topológicos, y f : X → Y continua. Se dice que
f es una equivalencia homotópica si existe g : Y → X continua tal que g ◦ f ∼ Id X y
f ◦ g ∼ IdY . En ese caso decimos que X e Y son homotópicamente equivalentes.
Definición 1.2.4. Decimos que X es contráctil si es homotópicamente equivalente a un
punto.
Ejemplo 1.2.5. Rn es un espacio topológico contráctil para todo n ≥ 0.
Dado y ∈ Rn , consideremos h : Rn → Rn dada por h(x) = y. Sea I = [0, 1] y F :
Rn × I → Rn dada por F (x, t) = (1 − t)x + ty, F (x, 0) = x y F (x, 1) = y entonces h ∼ id.
De forma que Rn ∼ {y} ∀n ∈ N.
Definición 1.2.6. Sean X un espacio topológico e Y ⊆ X. Decimos que Y es un retracto
de X si existe un mapa continuo f : X → Y , llamado retracción, tal que f Y = id. Si
además i ◦ f ∼ id, donde i es la inclusión, decimos que Y es un retracto por deformación
de X.
Observación 1.2.7. En el caso que Y sea un retracto por deformación de X, es fácil
ver que X e Y son espacios homotópicamente equivalentes.
Proposición 1.2.8. Sea (E, p, X) un fibrado vectorial, con X compacto y de Hausdorff.
Entonces existe una función continua k · k : E → R tal que (E x , k · k) es un espacio de
Banach homeomorfo a Ex con la norma original. Si x ∈ X y (ai )i∈N ⊂ E es tal que
kai k → 0 y p(ai ) → x, entonces ai → 0x en E.
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
10
ϕ
Demostración. Veamos primero el caso en que E sea trivial, es decir E ∼
= X × B donde
B es un espacio de Banach, y π : X × B → B la proyección sobre B.
Definimos k · k : E → R como kek = kπ ◦ ϕ(e)k B . Claramente (Ex , k · k) ∼
= Ex con la
norma original.
Sea x ∈ X, (ai )i∈N ⊆ E tal que:
kai k → 0
p(ai ) → x
Entonces ϕ(ai ) → (x, 0) y por lo tanto ai → 0x
Ahora veamos el caso en que E sea un fibrado cualquiera de Banach sobre X.
Sea U = {Ui : i = 1 . . . n} un cubrimiento finito de X tal que E U es trivial.
i
Entonces tenemos bien definidas las funciones
k · ki : E U → R
i
ϕi
donde E U ∼
= Ui × B y B es un espacio de Banach. Ahora consideramos una partición
i
de la unidad subordinada al cubrimiento U, es decir
φj : X → R , j = 1 . . . n
mapas continuos tal que:
0 ≤ φj (x) ≤ 1 ∀x ∈ X
sop(φj ) ⊂ Uj
Pn
j=1 φj (x) = 1 ∀x ∈ X
Definimos k · k : E → R dado por
kek =
X
φj (p(e))kekj .
j
P
Sean x ∈ X y (ai )i∈N ⊆ E tal que kai k → 0 y p(ai ) → x, entonces kai k = j φj (p(ai ))kai kj
tiende a cero, entonces cada uno de los términos tiene que tender a cero puesto que son
todos positivos, y por lo tanto kai kj → 0 de donde se concluye que ai → 0x .
Proposición 1.2.9. Sea Γ(E) el conjunto de las secciones continuas de E, donde E
es un fibrado de Banach sobre X (un espacio compacto y de Hausdorff). Si ξ ∈ Γ(E),
se define kξk∞ = máxx∈X kξ(x)k. Entonces (Γ(E), k · k∞ ) es un espacio de Banach, y
además un C(X)-módulo.
Demostración. Es claro que (Γ(E), k · k ∞ ) es un C(X)-módulo por la Proposición 1.0.15.
Para probar que es un espacio de Banach solo resta probar que es completo. Sea {ξ i }i∈N ⊆
Γ(E) una sucesión de Cauchy. Dado > 0 existe n 0 tal que kξn − ξm k < ∀m, n ≥ n0 ,
entonces ∀x ∈ X, {ξn (x)} ⊆ Ex es de Cauchy y por lo tanto para todo x en X existe
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
11
ξ(x) ∈ Ex tal que ξn (x) → ξ(x). Definimos ξ : X → E como ξ(x) = lı́m n ξn (x). Ahora
probaremos que ξ es continua. Dado x ∈ X existe U , entorno cerrado de x, tal que
h
es continua estamos probando que ξ es continua
que
ξ
E U ∼
= U × B. Si probamos
U
→ h ◦ ξ , puesto que
en X. Consideremos h ◦ ξ U : U → U × B. Se tiene que
h
◦
ξ
n
U
U
C(U, B) es un espacio de Banach, de manera que h ◦ ξ U es continua y por lo tanto ξ U
también.
Ahora solo resta probar que ξn → ξ en la norma infinito. Si x ∈ X, ∀ > 0 existe n 1 (x)
tal que kξ(x) − ξm (x)k < 2 ∀m > n1 (x). Si m > n1 (x)
kξn (x) − ξ(x)k ≤ kξn (x) − ξm (x)k + kξm (x) − ξ(x)k <
3
2
para todo n ≥ n0 .
Proposición 1.2.10. Si Λ es un submódulo de Γ(E) tal que Λ(x) := {ξ(x) : ξ ∈ Λ} es
denso en Ex ∀x ∈ X. Entonces Λ = Γ(E).
Demostración. Por la trivialidad local del fibrado E, sabemos que Λ es denso
localmente.
Es decir, para cada x ∈ X existe un entorno U de x tal que Λ U = Γ(E) U . La familia de
tales entornos
cubre X, y por lo tanto existe un subcubrimiento U = {U i : i = 1 . . . n}
tal que ΛU = Γ(E)U .
i
i
Dados > 0 y ξ ∈ Γ(E). Entonces existe ξ i : X → E con ξi ∈ Λ tal que kξ U −ξi U k < .
i
i
Consideremos una partición de la unidad {φ i }ni=1 subordinada al cubrimiento U.
Sea
φi ξi (x) si x ∈ Ui
γi (x) =
0
en otro caso
Ahora definimos
γ(x) =
n
X
γi (x).
j=1
Pn
Pn
Dado
Pn x ∈ X se tiene que kξ(x)
Pn − γ(x)k = k j=1 φj (x)ξ(x) − j=1 φj (x)ξj (x)k =
k j=1 φj (x)(ξ(x) − ξj (x))k ≤ j=1 kφj (x)(ξ(x) − ξj (x))k < .
De manera que
kξ − γk∞ < .
Teorema 1.2.11 (Teorema de extensión de Tietze). Sean X compacto e Y ⊆ X
cerrado. Entonces el mapa
Γ(E) −→ Γ(E Y )
ξ 7→ ξ Y
es acotado y sobreyectivo.
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
12
Demostración. Sea Γ = {ξ Y : ξ ∈ Γ(E)}. Por el teorema
de extensión de Tietze para
funciones reales se tiene que Γ es un submódulo de Γ(E Y ). Por la trivialidad local de
E, se tiene también que Γ(y) = Ey , ∀y ∈ Y .
Se puede aplicar la Proposición 1.2.10. Entonces dada η ∈ Γ(E Y ) existe {ξn }n∈N ⊂ Γ(E)
1
.
tal que ξn Y → η en Γ(E Y ), y se puede asumir que kξn+1 Y − ξn Y k ≤ 2n+1
Ahora definimos:
ξn0 : X → E
(
1
ξn+1 (x) − ξn (x)
si kξn+1 (x) − ξn (x)k ≤ 2n+1
0
ξn (x) =
ξn+1 (x)−ξn (x)
1
1
2n+1 kξn+1 (x)−ξn (x)k si kξn+1 (x) − ξn (x)k ≥ 2n+1
1
.
Entonces ξn0 ∈ Γ(E) para todo n, y kξn0 k ≤ 2n+1
Sea entonces
ξ:X→E
P+∞ 0
P
0
dado por ξ(x) := ξ1 (x) + n=1 ξn (x). Entonces
ξ ∈ Γ(E), y ξ(y) = ξ1 (y) + +∞
n=1 ξn (y) =
lı́mn ξn+1 (y) = η(y) ∀y ∈ Y , de donde ξ Y = η.
Lema 1.2.12.
Sean X compacto e Y ⊆ X cerrado. Si E y F son fibrados sobre X, y si
f : E Y → F Y es un isomorfismo, entonces existen U , abierto de X tal que Y ⊂ U , y
una extensión fe : E U → F U de f que es un isomorfismo.
Demostración. La función f es una sección de Hom(E Y , F Y ), ası́ que puede ser extendida a una sección de Hom(E, F ) por el Teorema de Tietze 1.2.11. Si U es el conjunto de
puntos de X para los cuales esta extensión es un isomorfismo entonces U es claramente
abierto.
Lema 1.2.13. Sean X e Y espacios compactos y de Hausdorff, E un fibrado sobre X, y
f0 , f1 : Y → X continuas tales que f0 ∼ f1 . Entonces
f0∗ (E) ∼
= f1∗ (E).
Demostración. Consideremos la función continua F : Y ×I → X dada por F (y, t) = f t (y)
y la proyección π : Y × I → Y . Entonces se cumple que
(π ∗ ◦ ft∗ (E))Y ×{t} ∼
= F ∗ (E)Y ×{t} .
Por la compacidad de Y y aplicando el Lema 1.2.12 estos fibrados son isomorfos en todo
un entorno, y por la compacidad de I existe > 0 tal que
∼
(π ∗ ◦ ft∗ (E))
,
= F ∗ (E)
Y ×(t−,t+)
Y ×(t−,t+)
de manera que para todo u ∈ (t − , t + ), f t∗ (E) ∼
= fu∗ (E).
∗
Luego, puesto que I es conexo, se cumple que f 0 (E) ∼
= f1∗ (E).
Como ya dijimos, usaremos Vect(X) para representar el conjunto de clases de isomorfismos de fibrados vectoriales de dimensión finita sobre X, y Vect n (X) para representar
el subconjunto de Vect(X) de clases de fibrados de dimensión n. No es difı́cil ver que
Vect(X) es un semigrupo abeliano con la suma directa de fibrados como operación.
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
13
Teorema 1.2.14. Sean X e Y espacios topológicos compactos y f : X → Y una equivalencia homotópica. Entonces la transfomación f ∗ : Vect(Y ) → Vect(X) es un isomorfismo de semigrupos. En el caso en que X sea contráctil todo fibrado vectorial sobre X es
trivial, y por lo tanto Vect(X) ∼
= N.
Demostración. Este teorema es una consecuencia inmediata del Lema 1.2.13 en el caso
de fibrados de dimensión finita.
1.3.
Construcción Clutching de fibrados vectoriales
Sean X un espacio compacto y de Hausdorff y X 1 , X2 subespacios cerrados de X
tales que X = X1 ∪ X2 y A = X1 ∩ X2 . Ahora consideremos fibrados vectoriales E 1 y E2
sobre X1 y X2 respectivamente, y supongamos que
ϕ : E 1 A → E 2 A
es un isomorfismo de fibrados.
Definimos el fibrado E1 ∪ϕ E2 , llamado fibrado clutching
de E1 y E2 según ϕ, como el
F
espacio topológico cociente
de la unión disjunta E 1 E2 por la relación de equivalencia
que identifica e1 ∈ E1 A con ϕ(e1 ) ∈ E2 A .
F
Identificando X con el correspondiente cociente de la unión disjunta de X 1 X2 ,
obtenemos la proyección natural p : E 1 ∪ϕ E2 → X. Notar que p−1 (x) tiene naturalmente
una estructura de espacio de Banach. Para ver que E 1 ∪ϕ E2 es un fibrado vectorial solo
resta probar que es localmente trivial.
Proposición 1.3.1. E1 ∪ϕ E2 es un fibrado vectorial sobre X, cuya clase de isomorfismo
solo depende de la clase de homotopı́a de la función ϕ.
Demostración. Es suficiente considerar el caso en que x ∈ A, pues la trivialidad local
fuera de A es evidente. Sea V1 un entorno cerrado de x en X1 donde E1 es trivial.
Entonces tenemos un isomorfismo
τ : E 1 V1 → V 1 × B
donde B es un espacio de Banach, y que restringido a A también es un isomorfismo
τ A : E1 V1 ∩A → (V1 ∩ A) × B.
Sea
κA : E2 V1 ∩A → (V1 ∩ A) × B
el isomorfismo dado por κA := τ A ◦ ϕ−1 .
Por el Lema 1.2.12 este isomorfismo puede ser extendido a un isomorfismo κ : E 2 V2 →
V2 × B, donde V2 es un entorno de x en X2 .
El par τ, κ define un isomorfismo
τ ∪ϕ κ : E1 ∪ϕ E2 V1 ∪V2 → (V1 ∪ V2 ) × B
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
14
de la siguiente forma:

 τ (e) si p(e) ∈ (V1 ∪ V2 ) \ X2
τ (e) si p(e) ∈ V1 ∩ V2
τ ∪ϕ κ(e) =

κ(e) si p(e) ∈ V2 \ V1
Para ver que la fórmula anterior define un mapa, sea e ∈ E 1 ∪ϕ E2 V1 ∪V2 tal que p(e) ∈
(V1 ∩ V2 ). Puesto que e está identificado con ϕ(e), τ ∪ ϕ κ(e) = τ (e) y τ ∪ϕ κ(ϕ(e)) =
κ(ϕ(e)) = τ (e). Por otro lado, este homomorfismo es claramente un isomorfismo, puesto
que lo es en cada partición. Ahora probaremos que esta construcción solo depende de la
clase de homotopı́a de la función ϕ.
Sean ϕ1 y ϕ2 homotópicas, y sea φ : E1 A × I → E2 A una homotopı́a dentro de la
clase de isomorfismos, donde I = [0, 1].
Sean π1 : X1 × I → X1 , π2 : X2 × I → X2 y π : A × I → A las proyecciones. Si E es un
fibrado sobre A, π ∗ (E) es un fibrado sobre A × I
π ∗ (E) = {(e, a, t) ∈ E × A × I : p(e) = π(a, t) = a}.
Consideremos el isomorfismo
Φ : π ∗ (E1 A ) → π ∗ (E2 A )
dado por Φ(e, a, t) = (φ(e, t), a, t).
Por otro lado, consideremos ft : X → X × I con ft (x) = (x, t) y
ϕt : E 1 A → E 2 A
con ϕt (e) = φ(e, t). Entonces es evidente que:
E 1 ∪ ϕt E 2 ∼
= ft∗ (π1∗ (E1 ) ∪Φ π2∗ (E2 )).
Pero puesto que f0 ∼ f1 , se cumple que:
E 1 ∪ ϕ0 E 2 ∼
= E 1 ∪ ϕ1 E 2
= f1∗ (π1∗ (E1 ) ∪Φ π2∗ (E2 )) ∼
= f0∗ (π1∗ (E1 ) ∪Φ π2∗ (E2 )) ∼
que es lo que querı́amos probar.
Ahora veremos algunas propiedades muy simples de demostrar de la construcción
clutching.
Proposición 1.3.2. Con la notación que venı́amos utilizando:
1. Sea E un fibrado sobre X. Consideremos E i := E X con i = 1, 2 y IA : E1 A →
i
E2 A la identidad. Entonces E ∼
= E 1 ∪ IA E 2 .
2. Sean β1 : E1 → F1 , β2 : E2 → F2 , ϕ : E1 A → E2 A y ψ : F1 A → F2 A
isomorfismos de fibrados tales que ψ ◦ β 1 = β2 ◦ ϕ. Entonces
E1 ∪ϕ E2 ∼
= F1 ∪ψ F2
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
3.
15
Si E1 , F1 y E2 , F2 son fibrados
vectoriales sobre X1 y X2 respectivamente y ϕ :
E1 A → E2 A y ψ : F1 A → F2 A son isomorfismos de fibrados. Entonces,
a)
b)
(E1 ⊕ F1 ) ∪ϕ⊕ψ (E2 ⊕ F2 ) ∼
= (E1 ∪ϕ E2 ) ⊕ (F1 ∪ψ F2 )
(E1 ⊗ F1 ) ∪ϕ⊗ψ (E2 ⊗ F2 ) ∼
= (E1 ∪ϕ E2 ) ⊗ (F1 ∪ψ F2 )
Definición 1.3.3. Consideremos un espacio topológico compacto Y . Definimos la suspensión S(Y ) de Y como el espacio cociente de Y × [−1, 1] con la topologı́a producto,
identificando entre sı́ los puntos {(y, 1) : y ∈ Y } por un lado y por otro lado los puntos
{(y, −1) : y ∈ Y }.
+
Observación 1.3.4. Al conjunto YY ×[0,1]
×{1} lo denotaremos por C (Y ) y al conjunto
lo denotaremos por C − (Y ). Es fácil ver que Y ∼
= C + (Y ) ∩ C − (Y )
Y ×[−1,0]
Y ×{−1}
Ejemplo 1.3.5. Es fácil ver que S(S n ) ∼
= S n+1 .
Teorema 1.3.6. Existe una biyección natural entre [X, GL(C n )] y Vectn (S(X))
+
Demostración. Sea E un fibrado vectorial sobre
S(X) de
dimensión n. Puesto que C (X)
−
y C (X) son contráctiles se cumple que E C + (X) y E C − (X) son fibrados triviales. Sean
α+ : E C + (X) → C + (X) × Cn
α− : E C − (X) → C − (X) × Cn
trivializaciones de estos fibrados.
Consideremos el isomorfismo β : X × C n → X × Cn
dado por β = (α+ X ) ◦ (α− X )−1 . Éste induce un mapa continuo
α : X → GL(Cn )
dado por (x, α(x)(v)) := β(x, v). Consideremos α + : E C + (X) → C + (X) × Cn y γ + :
→ C + (X) × Cn dos trivializaciones; sea γ + ◦ (α+ )−1 : C + (X) × Cn → C + (X) ×
E +
C (X)
Cn . Éste es un isomorfismo que induce un mapa continuo λ : C + (X) → GL(Cn ) dado por
(x, λ(x)(v)) := γ + ◦ (α+ )−1 (x, v). Puesto que C + (X) es contráctil y GL(Cn ) es conexo
por caminos, se cumple que λ ∼ Id, lo que muestra que α + y λ+ son homotópicas.
Entonces tengo un mapa definido de manera natural
ϕ : Vectn (S(X)) → [X, GL(Cn )] dado por ϕ(E) = α.
Por otro lado, sea el mapa
θ : [X, GL(Cn )] → Vectn (S(X))
dado por θ(f ) = (C + (X) × Cn ) ∪f (C − (X) × Cn ). Este mapa está bien definido puesto
que la construcción clutching de fibrados solo depende de la clase de homotopı́a de la
función f . Es claro que θ y ϕ son inversas una de la otra y por lo tanto biyecciones.
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
16
Ejemplo 1.3.7. En este ejemplo probaremos que todo fibrado sobre S 1 es trivial. Sabemos que [{−1, 1}, GL(Cn )] tiene el mismo cardinal que Vect n (S 1 ). Ahora consideremos
un mapa continuo f : {−1, 1} → GL(Cn ). Puesto que GL(Cn ) es conexo por caminos,
es trivial ver que f ∼ Id, donde Id : {−1, 1} → GL(C n ) es tal que Id(x) = Id. Entonces [{−1, 1}, GL(Cn )] tiene un solo elemento y por lo tanto todo fibrado complejo de
dimensión n sobre S 1 es trivial.
1.4.
Núcleo e imagen de morfismos de fibrados con rango
constante
Definición 1.4.1. Sean E y F dos fibrados de dimensión finita sobre X y u : E → F
un morfismo de fibrados. Definimos
Ker(u) como la subfamilia de espacios vectoriales
F
de E dadaFpor Ker(u) := x∈X ker ux ⊆ E e Im(u) como la subfamilia de F dada por
Im(u) := x∈X im(ux ) ⊆ F .
Observación 1.4.2. Una pregunta natural es si Ker(u) e Im(u) son fibrados vectoriales
sobre X, y la respuesta es que en general no lo son. Veamos un ejemplo.
Sea u : [0, 1] × C → [0, 1] × C dado por u(t, z) = (t, tz). Entonces ker(u t ) = 0 si t 6= 0
y ker(u0 ) = C, de donde Ker(u) no es localmente trivial y por lo tanto no es un fibrado
vectorial.
Observación 1.4.3. De aquı́ en adelante cuando hablemos de fibrados vectoriales de
dimensión finita supondremos que estos tienen dimensión constante.
Definición 1.4.4. Sean E y F fibrados de dimensión finita sobre X y u : E → F un
morfismo de fibrados. Se dice que u es de rango constante k si u x : Ex → Fx es de rango
k como transformación lineal para todo x ∈ X.
Teorema 1.4.5. Sea u : E → F un morfismo de fibrados sobre X de rango constante k.
Entonces Ker(u) e Im(u) son fibrados sobre X.
Demostración. Puesto que lo que queremos probar se refiere a una cuestión local, podemos asumir que E y F son fibrados triviales. Consideremos entonces un morfismo de
fibrados u : X × Cn → X × Cm tal que rango(ux ) = k para todo x ∈ X.
Sean a ∈ X y ua : Cn = V1 ⊕V2 → Cm = W1 ⊕W2 , donde V2 := ker(ua ), W1 := im(ua )
dim(V1 ) = dim(W1 ), dim(V2 ) = n − k y dim(W2 ) = m − k.
Ahora para cada x ∈ X definimos el mapa w x como:
w
x
W 1 ⊕ W2 ⊕ V2 = Cm ⊕ V2 = W
V = Cn ⊕ W2 = V1 ⊕ V2 ⊕ W2 7−→
dado por
wx (v1 , v2 , w2 ) = (π1 ◦ ux (v1 , v2 ), π2 ◦ ux (v1 , v2 ) + w2 , v2 )
donde π1 : Cm → W1 y π2 : Cm → W2 son las proyecciones.
Ahora puesto que wa es un isomorfismo y puesto que el mapa x 7→ w x es continuo
en Hom(V, W ), existe un entorno U de a tal que w x es un isomorfismo para todo x ∈ U .
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
17
Definimos vx : W → V el operador inverso de wx para cada x ∈ U . Entonces el mapa
x 7→ vx es un mapa continuo de U 7→ Iso(W, V ).
Primero probaremos la trivialidad local de Ker(u) U . Observando que (v1 , v2 ) ∈
ker(ux ) si y solo si wx (v1 , v2 , 0) = (0, 0, v2 ), esto es, si y solo si (v1 , v2 ) = vx (v2 ) tenemos que ker(ux ) = vx (V2 ) y por lo tanto (x, v2 ) 7→ (x, vx (v2 )) es un isomorfismo de
fibrados de U × V2 → Ker(u)U cuya inversa es el mapa (x, v) 7→ (x, wx (v)).
En segundo lugar probaremos la trivialidad local de Im(u). Observando que si v 1 ∈ V1
entonces
ux (v1 ) = 0 si y solo si wx (v1 , 0, 0) = 0 para todo v1 ∈ V1 , y por lo tanto,
ux V1 : V1 → im(ux ) es un isomorfismo para todo x de U . Además (x, v) 7→ (x, u x (v)) es
con inversa el mapa (x, v) 7→ (x, vx (v))
un isomorfismo de fibrados
de
U
×
V
→
7
Im(u)
1
U
puesto que ux V1 = wx V1 para todo x en U .
Corolario 1.4.6. Sea u : E → F un morfismo de fibrados inyectivo en cada fibra.
Entonces Im(u) es un fibrado sobre X. Si u es sobreyectivo en cada fibra, entonces Ker(u)
es un fibrado sobre X.
1.5.
Otras Construcciones de Fibrados
Consideremos un espacio compacto y de Hausdorff X
e Y un subconjunto de X.
Sean E un fibrado de dimensión finita sobre X y α : E Y → Y × V un isomorfismo.
Llamaremos a α una trivialización de E sobre Y .
Si π : Y × V → V es la proyección, definimos la siguiente relación de equivalencia en E Y
dada por:
e ∼ e0 si y solo si π(α(e)) = π(α(e0 ))
Ahora extendemos esta relación de equivalencia a E X\Y como e ∼ e0 si y solo si e = e0 .
Llamaremos E/α al espacio cociente de E por esta relación de equivalencia.
Observación 1.5.1. Si X es compacto y de Hausdorff entonces es normal. Y por lo
tanto dado Y ⊆ X cerrado tenemos que X/Y es compacto y de Hausdorff.
Proposición 1.5.2. Si Y ⊆ X es cerrado, entonces E/α es un fibrado vectorial sobre
X/Y .
Demostración. Para probar que E/α es un fibrado sobre X/Y lo único que hay que
probar es que éste sea localmente trivial
en el punto Y /Y de X/Y .
Consideremos el isomorfismo α : E Y → Y ×
V . Por el Lema 1.2.12 este isomorfismo
puede ser extendido a un isomorfismo α
e : E U → U × V , donde U es un abierto que
contiene a Y .
Definamos el homomorfismo de familias de espacios vectoriales
e(e))
ϕ : (E U )/α → (U/Y ) × V dado por ϕ(e) = (p(e), π ◦ α
donde p : U → U/Y es la proyección sobre el espacio cociente y π : U × V → V la
proyección.
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
18
Lo primero que hay que observar es que el mapa ϕ está bien definido. Puesto que e ∼ e 0
si y solo si π ◦ α(e) = π ◦ α(e0 ) entonces π ◦ α
e(e) = π ◦ α
e(e0 ) de donde ϕ(e) = ϕ(e0 ).
Además el homomorfismo ϕ es un isomorfismo puesto que lo es en cada fibra.
El resultado anterior nos dice que si tenemos un subconjunto cerrado Y ⊆ X y una
trivialización α sobre Y de un fibrado E de dimensión finita sobre X queda definido un
fibrado E/α de dimensión finita sobre X/Y . Una pregunta natural es de qué manera el
fibrado E/α depende de la trivialización α. La respuesta a esta pregunta viene dada por
el siguiente resultado:
Proposición 1.5.3. La clase de isomorfismo de E/α en Vect(X/Y ) solo depende de la
clase de homotopı́a de α.
Demostración. Consideremos un fibrado E sobre X y dos trivializaciones α 0 y α1 homotópicas sobre Y . Es decir, que existe un mapa continuo en la clase de isomorfismos
Ω : E Y × I → Y × V tal que Ω(e, 0) = α0 (e) y Ω(e, 1) = α1 (e).
Sea π : X ×I → X la proyección; entonces π ∗ (E) es un fibrado sobre X ×I. Consideremos
el isomorfismo de fibrados
Γ : π ∗ (E)Y ×I → I × Y × V dado por Γ(y, t, e) = (t, Ω(t, e)).
Este isomorfismo Γ es una trivialización de π ∗ (E) sobre Y × I, tal que Γ(y, 0, e) =
(0, α0 (e)) y Γ(y, 1, e) = (1, α1 (e)). Entonces π ∗ (E)/Γ es un fibrado sobre (X ×I)/(Y ×I).
Consideremos el mapa f : (X/Y ) × I → (X × I)/(Y × I) dado por f ([x], t) = [(x, t)]. Es
∗ ∗
fácil ver que este mapa es un homeomorfismo, y por lo tanto tenemos que
f (π (E)/Γ) es
un fibrado sobre (X/Y ) × I tal que su restricción a (X/Y ) × {0} es E α0 y su restricción
a (X/Y ) × {1} es E α1 , de modo que E α0 ∼
= E α1 .
Teorema 1.5.4. Sea Y ⊆ X un subespacio cerrado y contráctil, y sea p : X → X/Y la
proyección sobre el cociente. Entonces p ∗ : Vect(X/Y ) → Vect(X) es una biyección.
Demostración.
Sea E un fibrado sobre X. Como el subespacio Y es contráctil
tenemos
que E Y es un fibrado trivial por el Teorema 1.2.14. Consideremos α : E Y → Y × V una
trivialización; ésta determina un fibrado E/α sobre X/Y .
Si consideramos otra trivialización β : E Y → Y ×V , tenemos el isomorfismo γ := α◦β −1
que induce un mapa continuo
Λ : Y → GL(V ) dado por (y, Λ(y)(v)) := γ(y, v).
Luego como Y es contráctil y GL(V ) es conexo por caminos, se cumple que α y β son
homotópicas, y por lo tanto
E/α ∼
= E/β.
De forma que podemos definir un mapa λ : Vect(X) → Vect(X/Y ) con la construcción
anterior. Es trivial ver que este mapa es la inversa del mapa p ∗ : Vect(X/Y ) → Vect(X),
de donde p∗ es una biyección.
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
1.6.
19
Métricas sobre un fibrado vectorial de dimensión finita
Definición 1.6.1. Una sucesión de homomorfismos de fibrados vectoriales
... → E → F → G → ...
es llamada exacta si ∀x ∈ X la sucesión de homomorfismos de espacios vectoriales
. . . → E x → Fx → Gx → . . .
es exacta.
Ahora introduciremos métricas en los fibrados vectoriales de dimensión finita. Para esto definimos el functor Herm sobre la categorı́a de espacios vectoriales de dimensión finita,
el cual asigna a cada espacio vectorial V el espacio vectorial de todas las formas Hermitianas sobre V . Si ϕ ∈ L(V, W ) definimos entonces Herm(ϕ) : Herm(W ) → Herm(V )
como Herm(ϕ)(b)(v1 , v2 ) := b(ϕ(v1 ), ϕ(v2 )) donde b es una forma hermitiana en W . Por
la construcción hecha en la sección 1.1.2 este functor nos permite definir un fibrado
vectorial Herm(E) para cada fibrado E sobre X.
Definición 1.6.2. Una métrica en un fibrado E sobre X es una sección h : X →
Herm(E) tal que h(x) es definida positiva para todo x ∈ X. A un fibrado con una métrica,
lo llamaremos fibrado Hermitiano.
Proposición 1.6.3. Sean (E, h) un fibrado Hermitiano y F un subfibrado de E. Para
cada x en X, consideremos la proyección ortogonal P x : Ex → Fx definida por la métrica.
Estas PFx definen un morfismo de fibrados de rango constante P : E → F . Además
F ⊥ := x∈X Fx⊥ es un fibrado que cumple que E ∼
= F ⊕ F ⊥.
Demostración. Como la continuidad del mapa P es un problema local, podemos asumir
que E y F son triviales, y por lo tanto tenemos secciones f 1 , f2 , . . . , fn de F de forma que
{f1 (x), f2 (x),P
. . . , fn (x)} forman una base en cada fibra, por lo que si v ∈ E x tenemos
que P (v) = ni=1 hx (v, fi (x))fi (x). Puesto que h es continua obtenemos la continuidad
de P . Si Fx⊥ es el complemento ortogonal de Fx en Ex es claro que F ⊥ es el kernel
de P y como P es un morfismo de rango constante este es un subfibrado de E tal que
E∼
= F ⊕ F⊥
Teorema 1.6.4. Sea E un fibrado de dimensión finita sobre X, donde X es compacto
y de Hausdorff. Entonces existe una métrica hermitiana sobre E.
Demostración. Una métrica en un espacio vectorial V define una métrica en X × V , y
por lo tanto en fibrados triviales. Sea {U α } un cubrimiento finito y abierto de X tal
que E Uα es trivial y sea hα una métrica asociada. Consideremos {p α } una partición de
la unidad subordinada a {Uα }. Definimos kα (x) = pα (x)hα (x). De esta manera kα es
una sección de Herm(E) semidefinida positiva. Pero para todo x ∈ X existe
P α tal que
pα (x) > 0, entonces para este α, kα (x) es definida positiva y por lo tanto α kα (x) es
una métrica para E.
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
ϕ
20
ψ
Corolario 1.6.5. Si 0 → E → F → G → 0 es una sucesión exacta de fibrados de
dimensión finita sobre X, entonces se cumple que F ∼
= E ⊕ G.
Demostración. El homomorfismo ϕ es inyectivo en cada fibra de modo que ϕ(E) es
un subfibrado de F . Ahora consideremos una métrica hermitiana sobre F . Entonces
F = ϕ(E) ⊕ ϕ(E)⊥ . Además ψ es sobreyectivo en cada fibra por lo que Ker(ψ) es
un subfibrado de E. Luego puesto que ker ψ x = im ϕx y que ψ(F ) = G tenemos que
ψ ϕ(E)⊥ : ϕ(E)⊥ → G es un isomorfismo de manera que F ∼
= E ⊕ G.
Definición 1.6.6. Se dice que un subespacio V ⊂ Γ(E) es amplio si
ϕ :X ×V →E
dada por ϕ(x, s) = s(x) es sobreyectiva.
Observación 1.6.7. Si E = X × Cn es un fibrado trivial, consideremos s i : X → Cn
dado por si (x) = ei ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}. Si V es el subespacio generado por los s i entonces
es claro que V es un subespacio amplio de dimensión n.
Proposición 1.6.8. Sean X compacto y de Hausdorff y E un fibrado de dimensión finita
sobre X. Entonces Γ(E) contiene un subespacio amplio de dimensión finita.
Demostración. Sea U = {Ui : i = 1 . . . k} un cubrimiento abierto de X tal que E U es
i
trivial para todo ı́ndice. Consideremos p i : X → R una partición de la unidad subordinada
a U.
ϕi
Puesto que E U ∼
Ui × Cn , existe Vi ⊂ Γ(E U ) un subespacio amplio de dimensión
=
i
i
finita por la observación 1.6.7.
Entonces definimos
θi : Vi → Γ(E)
como
θi (vi )(x) =
pi (x)vi (x) si x ∈ Ui
0
en otro caso
Los mapas anteriores definen el mapa lineal
θ:
k
Y
i=1
Pk
Vi → Γ(E)
dado por θ(v1 , v2 , . . . , vk )(x) = i=1 θi (vi )(x), cuya imagen V es un subespacio de dimensión finita de Γ(E). Debido a que para todo x ∈ X existe i ∈ {1, .P
. . , k} tal que
pi (x) > 0 deducimos que el mapa X × V → E tal que (x, θ(v 1 , . . . , vk )) → ki=1 θi (vi )(x)
es sobreyectivo.
Corolario 1.6.9. Si E es un fibrado de dimensión finita, entonces existe un fibrado F
tal que E ⊕ F es trivial.
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
21
Demostración. Sea V ⊂ Γ(E) un subespacio de dimensión finita amplio, el cual existe
según la Proposición 1.6.8.
Consideramos el homomorfismo φ : X × V → E dado por φ(x, s) = s(x).
Dicho homomorfismo tiene rango constante, luego por el Teorema 1.4.5 Ker(φ) es un
fibrado. Además la siguiente sucesión es exacta
0 → Ker(φ) → X × V → E → 0
de donde deducimos que
E ⊕ Ker(φ) ∼
=X ×V
como querı́amos probar.
1.7.
El semianillo de fibrados vectoriales
Dado un espacio topológico compacto y de Hausdorff X, consideremos el semigrupo
Vect(X) de clases de isomorfismos de fibrados sobre X. Si X consiste en un solo punto
tenemos que Vect(X) ∼
= N. Ahora generalizaremos la construcción que se utiliza para
obtener Z a partir de N, de forma que podamos asignarle un grupo K(X) al semigrupo
Vect(X).
Teorema 1.7.1. Sea A un monoide conmutativo. Entonces
1.
Existen un grupo abeliano G(A) y un homomorfismo de semigrupos α : A → G(A),
tal que si G es un grupo y γ : A → G es un homomorfismo de semigrupos, hay
un único homomorfismo de grupos β : G(A) → G que hace conmutar el siguiente
diagrama :
α
/ G(A)
DD
DD
β
γ DDD
" A DD
G
2.
A 7→ G(A) es un functor de la categorı́a de monoides abelianos en la categorı́a de
grupos abelianos.
Demostración. Sea ∆ : A → A × A el homomorfismo de monoides dado por el mapa
diagonal: ∆(a) = (a, a). Definimos G(A) := (A × A)/ ∼ con la siguiente relación de
equivalencia: (a1 , a2 ) ∼ (b1 , b2 ) si y solo si existen c y d en A tal que a i + c = bi + d para
i = 1, 2.
Entonces G(A) es un monoide cuya unidad es (a, a) con a ∈ A. Además es fácil ver que
dado (a, b) ∈ G(A) su inverso es (b, a), por lo cual G(A) es un grupo.
Definimos ahora el homomorfismo de semigrupos α A : A → G(A) como αA (a) = (a, 0).
Sean G un grupo y γ : A → G un morfismo de semigrupos; definimos β : G(A) → G
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
22
como β((a, b) + ∆(A)) := γ(a)γ(b)−1 . Es fácil probar que este mapa está bien definido
y que es un homomorfismo de grupos que hace conmutar el diagrama del enunciado. La
unicidad es clara por como fue la construcción de β.
Sea ν : A → B un morfismo de monoides conmutativos. Por la propiedad universal probada anteriormente existe un único morfismo G(ν) : G(A) → G(B) que hace
conmutar el siguiente diagrama:
A
ν
/B
G(ν)
αA
αB
G(A)
/ G(B)
Es trivial ver que respeta las composiciones y la identidad.
Definición 1.7.2. Llamaremos al grupo de la construcción anterior grupo de Grothendieck
asociado al monoide conmutativo A.
Observación 1.7.3. El homomorfismo natural α A : A → G(A) no es necesariamente
inyectivo como veremos más adelante.
Notaremos por K(X) al grupo de Grothendieck asociado a Vect(X), cuando X sea
compacto y de Hausdorff. En este caso, si E es un fibrado vectorial sobre X y A =
Vect(X), obtenemos que αA (E) = [E] ∈ K(X) y todo elemento de K(X) puede ser
escrito como una diferencia formal de estos elementos.
Observación 1.7.4. Vect(X) no es siempre cancelativo. Consideremos T S 2 , el fibrado
tangente a la esfera y el fibrado trivial de dimensión dos S 2 × R2 sobre S 2 . Estos dos
fibrados no son isomorfos, pero formando la suma directa de estos fibrados con el fibrado
trivial de dimensión uno, obtenemos dos fibrados isomorfos.
Proposición 1.7.5. 1. Todo elemento de K(X) puede ser escrito en la forma [E]−n,
donde E ∈ Vect(X) y n := [CnX ] es el fibrado trivial de dimensión n.
2.
Sean E y F dos fibrados vectoriales sobre X. Entonces [E] = [F ] si y solo si ∃n ∈ N
tal que E ⊕ CnX ∼
= F ⊕ CnX
Demostración. Si F ∈ K(X) podemos escribirlo como F = [E 1 ] − [E2 ] donde E1 y
E2 ∈ Vect(X). Por el Corolario 1.6.9 existe G ∈ Vect(X) tal que G ⊕ E 2 ∼
= CnX , con lo
cual F = [E1 ] + [G] − [E2 ] − [G] = [E1 + G] − n.
Por otro lado [E] = [F ] si y solo si existe G tal que E ⊕ G ∼
= F ⊕ G. En ese caso, por
n
e
e
e∼
e
el Corolario 1.6.9 existe G tal que G ⊕ G = CX de manera que E ⊕ G ⊕ G
=F ⊕G⊕G
n
n
∼
y por lo tanto E ⊕ CX = F ⊕ CX .
Capı́tulo 1. Fibrados vectoriales
23
Por medio del producto tensorial para fibrados vectoriales se puede introducir una
estructura multiplicativa en K(X) haciéndolo un anillo conmutativo con unidad. Sean
u y v ∈ K(X) tales que u = [E1 ] − [E2 ] y v = [F1 ] − [F2 ], donde Ei y Fi pertenecen a
Vect(X) para i = 1, 2. Definimos el producto u.v := [(E 1 ⊗ F1 ) ⊗ (E2 ⊗ F2 )] − [(E1 ⊗ F2 ) ⊕
(E2 ⊗ F1 )]. Es fácil probar que este producto está bien definido, es decir, no depende de
los representantes elegidos, y que le da a K(X) estructura de anillo con unidad.
Proposición 1.7.6. Sean X e Y espacios topológicos compactos y de Hausdorff y f :
Y → X una función continua. Entonces el homomorfismo de semigrupos f ∗ : Vect(X) →
Vect(Y ) induce un homomorfismo de anillos ff∗ : K(X) → K(Y ) que solo depende de la
clase de homotopı́a de la función f .
Demostración. Consideremos el siguiente diagrama:
Vect(X)
f∗
/ Vect(Y )
αY ◦f ∗
αX
&
K(X)
fe∗
αY
/ K(Y )
Existe un único homomorfismo de grupos fe∗ : K(X) → K(Y ) dado por:
fe∗ ([E1 ] − [E2 ]) = (αY ◦ f ∗ )(E1 ) − (αY ◦ f ∗ )(E2 ) = [f ∗ (E1 )] − [f ∗ (E2 )]
que hace conmutar al diagrama anterior.
Es claro que fe∗ solo depende de la clase de homotopı́a de f puesto que f ∗ solo depende
de la clase de homotopı́a de f . Ahora probaremos que fe∗ es un homomorfismo de anillos:
fe∗ (([E1 ] − [F1 ]) ⊗ ([E2 ] − [F2 ]))
= fe∗ ([E1 ⊗ E2 + F1 ⊗ F2 ] − [F1 ⊗ E2 + F2 ⊗ E1 ])
= [f ∗ (E1 ⊗ E2 + F1 ⊗ F2 )] − [f ∗ (F1 ⊗ E2 + E1 ⊗ F2 )]
= [f ∗ (E1 ) ⊗ f ∗ (E2 )] + [f ∗ (F1 ) ⊗ f ∗ (F2 )] −
[f ∗ (F1 ) ⊗ f ∗ (E2 )] − [f ∗ (E1 ) ⊗ f ∗ (F2 )]
= fe∗ ([E1 ] − [F1 ]) ⊗ fe∗ ([E2 ] − [F2 ])
Capı́tulo 2
Teorema de Kuiper
Siempre que nos refiramos a un espacio de Hilbert H éste será separable, de dimensión
infinita y sobre el cuerpo R o C. Llamaremos GL(H) al grupo de los operadores acotados
invertibles sobre el espacio de Hilbert H.
En este capı́tulo estamos interesados en estudiar [X, GL(H)] en el caso en que X sea
un espacio topológico compacto y de Hausdorff. Probaremos el teorema de Kuiper que
nos dice que [X, GL(H)] tiene un solo elemento. Existe una versión un poco más general
de este teorema que nos dice que GL(H) es contráctil, lo cual no será probado en este
trabajo; su prueba puede hallarse en [Kuiper].
Definición 2.0.7. Dados A y B ∈ B(H) , definimos A ⊕ B : H ⊕ H → H ⊕ H como
A ⊕ B(h1 , h2 ) = (A(h1 ), B(h2 )).
Observación 2.0.8. Las siguientes propiedades se deducen fácilmente aplicando directamente la definición:
Si A y B ∈ B(H) entonces A ⊕ B ∈ B(H ⊕ H)
Si A y B ∈ GL(H) entonces A⊕B ∈ GL(H ⊕ H) y además (A⊕B) −1 = A−1 ⊕B −1
Si A y B ∈ U (H) entonces A ⊕ B ∈ U (H ⊕ H) donde U (H) es el grupo de los
operadores unitarios sobre H
Lema 2.0.9. Sean R y S : X → GL(H) continuas, donde X es un espacio topológico y
H un espacio de Hilbert de dimensión finita o infinita. Entonces:
SR ⊕ Id ∼ R ⊕ S
Demostración. Consideremos la función
π
F : X × [0, ] → GL(H ⊕ H) dada por:
2
F (x, t) =
cos(t) −sen(t)
sen(t) cos(t)
Sx O
0 Id
24
cos(t) sen(t)
−sen(t) cos(t)
Rx 0
0 Id
Capı́tulo 2. Teorema de Kuiper
25
Es fácil ver que F es continua y que F (x, t) ∈ GL(H ⊕ H) para todo x, t por ser
composición de operadores invertibles. Además F (x, 0) = S x ◦Rx ⊕Id y F (x, 1) = Rx ⊕Sx
de manera que ambas familias de operadores son homotópicas.
Observación 2.0.10. Observar que la imagen de F está contenida en GL(H ⊕ H), pero
se puede ver fácilmente que no está en GL(H) × GL(H). También es fácil ver que la
imagen de F no abandona U (H × H) si R y S ∈ U (H) y no abandona F(H ⊕ H) si R
y S ∈ F(H).
Teorema 2.0.11. (Teorema de Kuiper) Sean X un espacio compacto y de Hausdorff,
y H un espacio de Hilbert de dimensión infinita y separable. Entonces [X, GL(H)] tiene
un solo elemento.
Demostración. Consideremos un mapa continuo f 0 : X → GL(H). El primer paso en
la demostración es probar que f0 es homotópico a f1 , con f1 : X → GL(H) tal que su
imagen está contenida en un subespacio de dimensión finita de B(H).
Puesto que GL(H) es abierto hay una bola contenida en GL(H) para cada punto T ∈ f0 (X). Con estas bolas obtengo un cubrimiento abierto U de f 0 (X). Luego
reemplazando cada bola U de U por una bola U 0 de igual centro y radio 13 del de U ,
obtenemos U 0 = {U 0 : U ∈ U}, otro cubrimiento abierto de f 0 (X). Por otra parte, como
X es S
compacto se cumple que su imagen es compacta y por lo tanto f 0 (X) ⊆ U∗ donde
U∗ = N
i=1 B(Ti , i ), para ciertas bolas B(Ti , i ) = {T ∈ B(H) : kT − T1 k < i } suficientemente pequeñas de forma que B(Ti , i ) ⊂ GL(H) y B(Ti , 3i ) ⊂ GL(H).
N
Ahora definiremos {φi }N
i=1 , una partición de la unidad de U ∗ subordinada a {B(Ti , i )}i=1
de la siguiente forma:
i − kT − Ti k para T ∈ B(Ti , i )
ψi (T ) =
0
en otro caso
Definimos φi (T ) =
ψ (T )
PN i
k=1 ψk (T )
para T ∈ U∗ .
Consideremos T ∈ U∗ y t ∈ [0, 1] definimos :
gt (T ) = (1 − t)T + t
N
X
i=1
φi (T )Ti
entonces tenemos que g0 : U∗ → GL(H) es la inclusión y g1 : U∗ → GL(H) tiene su
imagen contenida en un subconjunto del complejo simplicial formado por los vértices
T1 , T 2 , . . . , T N .
Para asegurarnos de que la homotopı́a g t no abandona GL(H) usaremos el siguiente
argumento: sea T ∈ U∗ y B(Ti1 , i1 ), B(Ti2 , i2 ), . . . , B(Til , il ) las bolas que contienen a T ,
y B(Tm , m ) la mayor de estas. Entonces como consecuencia de la desigualdad triangular,
tenemos que B(Tij , ij ) ⊆ B(Tm , 3m ) para todo j = 1, . . . , l y por lo tanto
gt (T ) = (1 − t)T + t
N
X
i=1
φi (T )Ti ⊆ B(Tm , 3m ) ⊆ GL(H) para todo t ∈ [0, 1]
Capı́tulo 2. Teorema de Kuiper
26
de donde la homotopı́a no abandona GL(H).
Consideremos ft := gt ◦ f0 . Ésta es una homotopı́a entre f0 a f1 , con la particularidad de que f1 (X) está contenido en un complejo simplicial dentro de GL(H) y por lo
tanto en un subespacio de dimensión finita W de B(H). Sean g 1 , g2 , . . . , gN elementos
de f1 (X) ⊂ GL(H) ∩ W que generan al espacio W .
Como segundo paso en la demostración construiremos por inducción una sucesión de
vectores unitarios ai , una sucesión de subespacios Ai de dimensión N + 2 en H y una
sucesión de vectores unitarios a0i para i = 1, 2, 3 . . ..
Primero elegimos un vector unitario a 1 y consideremos un subespacio A1 de H de
dimensión N + 2 que contiene a a1 y a gj (a1 ) para j = 1, . . . , N , y sea a01 un vector
unitario y ortogonal a estos N + 1 vectores. Ahora supongamos que a k , Ak y a0k están
definidos para k < i. Entonces elegimos el vector a i en el subespacio de codimensión
finita
i−1
N
\
i
\h
−1
⊥
∩
g
(A
)
.
A⊥
ai ∈
k
k
j
k=1
j=1
−1
⊥
De esta elección tenemos que ai ∈ A⊥
k para k < i y ai ∈ gj (Ak ) para k < i, por lo tanto
gj (ai ) ∈ A⊥
k para k < i.
Esto nos permite la siguiente elección del subespacio A i de dimensión N + 2 de H
que contiene a ai y a gj (ai ), y a un vector unitario a0i ortogonal a ai y a gj (ai ) para
j = 1, . . . , N . Además este subespacio es ortogonal a A k para k < i.
Definiremos ahora una homotopı́a entre f 1 y f2 donde f2 : X → GL(H) es un mapa
continuo tal que f2 (x)(ai ) tiene la dirección de ai para todo i > 0. Luego definiremos
una homotopı́a entre f1 y f3 de forma que f3 (x)(ai ) = ai para i > 0.
Sabemos que f1 (X) ⊂ W ∩ GL(H) con dim(W ) ≤ N . Sea C ≥ 1 tal que kf 1 (x)k ≤ C
y kf1−1 (x)k ≤ C para todo x ∈ X. Tal C existe porque X es compacto. Definimos
WC = {w ∈ W ∩ GL(H) tal que kwk ≤ C y kw −1 k ≤ C}.
Por lo tanto f1 (X) ⊆ WC .
Concentremos ahora nuestra atención en uno de los subespacios A i para algún valor
de i. Si w ∈ WC , por ejemplo si w ∈ f1 (X), sabemos que
w(ai ) ∈ Ai y
1
≤ kw(ai )k ≤ C.
C
Rotaremos el vector w(ai ) en el plano formado por los vectores ortogonales w(a i ) y
hasta que llegue a la posición kw(a i )ka0i . Después de eso rotaremos a0i en el plano
formado por los vectores ortogonales a 0i y ai , hasta que a0i haya tomado la posición de ai .
Por las dos rotaciones todos los vectores perpendiculares a los planos de rotación quedan
fijos. Como resultado obtenemos un movimiento rı́gido de w(a i ) en kw(ai )ka0i . Ahora
describiremos esta homotopı́a de la siguiente forma; definiremos
a0i
ki : WC × [0, 1] → U (H) dada por:
Capı́tulo 2. Teorema de Kuiper
27

= cos(πt)(w(ai )) + sen (πt)kw(ai )ka0i
 ki (w, t)(w(ai ))
k (w, t)(kw(ai )ka0i ) = −sen (πt)(w(ai )) + cos(πt)kw(ai )ka0i
 i
ki (w, t)(x)
= x para x ⊥ w(ai ) y x ⊥ a0i
en el caso que t ∈ [0, 21 ] y dada por

−1
 ki (w, t)(ki (w, 12 ))(a0i ) = cos(π(t − 21 ))a0i + sen (π(t − 12 ))ai
k (w, t)(ki−1 (w, 12 ))(ai ) = −sen (π(t − 21 ))a0i + cos(π(t − 21 ))ai
 i
ki (w, t)(ki−1 (w, 12 ))(x) = x para x ⊥ a0i y x ⊥ ai
en el caso que t ∈ [ 21 , 1].
Probaremos ahora que ki (w, t) es continua en w ∈ WC y t, uniformemente en i.
Sean w y w0 ∈ WC y t, t0 ∈ [0, 1] tenemos por la desigualdad triangular que
kki (w0 , t0 ) − ki (w, t)k ≤ kki (w0 , t0 ) − ki (w0 , t)k + kki (w0 , t) − ki (w, t)k.
Como las transformaciones unitarias preservan la norma en las multiplicaciones tenemos
que el miembro derecho de la desigualdad anterior es igual a
kki (w0 , t0 )ki−1 (w0 , t) − 1k + kki (w0 , t)ki−1 (w, t) − 1k.
Podemos suponer que t y t0 están en el mismo intervalo [0, 21 ] o [ 12 , 1]. Luego en este
caso ki (w0 , t0 )ki−1 (w0 , t) es una rotación de ángulo π|t0 − t| y por un simple argumento de
geometrı́a plana tenemos que
kki (w0 , t0 )ki−1 (w0 , t) − 1k ≤ π|t0 − t|.
Ahora estudiaremos el segundo término kk i (w0 , t)ki−1 (w, t) − 1k en el caso que t ∈ [0, 21 ].
Como w(ai ) y w0 (ai ) son dos vectores de Ai ortogonales a a0i podemos suponer que
forman un ángulo α entre sı́, y puesto que kw(a i )k ≥ C1 y que kw0 (ai )k ≥ C1 tenemos
que:
α
2
kw(ai ) − w0 (ai )k ≥ sen ( ).
C
2
0
0
Los vectores w(ai ), w (ai ) y ai generan un subespacio de dimensión 3 que llamaremos E.
Se puede ver con relativa facilidad que la transformación unitaria k i (w0 , t)ki−1 (w, t) en E
cumple que:
α
kki (w0 , t)ki−1 (w, t) − 1k ≤ 4sen ( ).
2
Por la definición de la norma de una transformación lineal tenemos que kw(a i )−w0 (ai )k ≤
kw − w0 k y por lo tanto
kki (w0 , t)ki−1 (w, t) − 1k ≤ 2C
α
2
sen ( ) ≤ 2Ckw − w 0 k
C
2
en el caso que t ∈ [0, 21 ]. Por otro lado, en el caso que t ∈ [ 21 , 1] sale directamente de cómo
es la transformación lineal que
kki (w0 , t0 ) − ki (w, t)k ≤ π|t0 − t| + kw − w 0 k
Capı́tulo 2. Teorema de Kuiper
28
lo que implica la continuidad en w y t uniformemente en i.
Ahora definimos k(w, t) ∈ U (H) como
k(w, t)A = ki (w, t)
i
k(w, t)(y) = y para y ⊥ Ai para todo i.
Probaremos que k(w, t) es continuo en w y t. Dado y ∈ H llamaremos y Ai la componente
de y en el subespacio Ai , entonces:
k(k(w0 , t0 ) − k(w, t))yk
=k
=k
=
+∞ h
X
i=1
+∞
Xh
i=1
i
(k(w0 , t0 ) − k(w, t)) yAi k
i
(ki (w0 , t0 ) − ki (w, t)) yAi k
+∞ h
X
i=1
≤
(ki (w0 , t0 ) − ki (w, t))yAi
+∞ h
X
i=1
i2 1
2
(π|t0 − t| + 2Ckw − w 0 k)yAi
≤ (π|t0 − t| + 2Ckw − w 0 k)kyk
i2 1
2
El mapa k además de ser continuo cumple que k(w, 0) = Id y que k(w, 1)(w(a i )) =
kw(ai )kai para todo i > 0. Luego a partir del mapa anterior definimos la siguiente
homotopı́a F : X × [1, 2] → GL(H) como
F (x, t) = k(f1 (x), t − 1)f1 (x).
Entonces f1 ∼ f2 . Notar que f2 (x)(ai ) := k(f1 (x), 1)f1 (x)(ai ) = kf1 (x)(ai )kai .
Sean H 0 = span{ai : i > 0}, H1 = (H 0 )⊥ , p0 : H → H 0 , y p1 : H → H1 las proyecciones ortogonales sobre estos espacios. Entonces
p0 + p1 = Id ∈ GL(H).
Definamos ahora la siguiente homotopı́a R : X × [2, 3] → GL(H) dada por
(
L+∞ ⊥
f2 (x)(u)
si
u
∈
i=1 Ai
R(x, t)(u) =
t−2
(3 − t) + kf2 (x)(ai )k f2 (x)(u) si u ∈ Ai
Entonces R(x, 2) = f2 (x) y R(x, 3)(ai ) = ai para todo i > 0; definimos f3 (x) := R(x, 3).
Hasta ahora hemos probado que f0 ∼ f3 donde f3 : X → WC ⊂ GL(H) y verifica que
f3 (x)(y) = y para todo y ∈ H 0 . Consideremos el conjunto J = {g ∈ GL(H) tal que g H 0 =
Id}.
Capı́tulo 2. Teorema de Kuiper
29
Para completar la prueba solo resta probar que el conjunto J es contráctil en J a la
identidad. Sea g0 ∈ J, entonces es de la forma:
Q O
g0 =
∗ Id
donde Q ∈ GL(H1 ) y ∗ es un término que puede ser deformado a cero por un camino
continuo dentro de GL(H): basta considerar la homotopı́a
Q
O
t 7→ gt =
(1 − t)∗ Id
donde t ∈ [0, 1].
Sabemos que {ai : i ∈ N} es una base ortonormal de H 0 . Descomponemos N en una
colección infinita de conjuntos disjuntos:
Nj = {2j−2 (2n − 1) : n ∈ N} con j ≥ 2.
Sea Hj el subespacio cerrado generado por a i con i ∈ Nj . Entonces es claro que
H=
+∞
M
Hj .
j=1
Además identificando Hj con H1 (todos los espacios de dimensión infinita
son isomorfos), obtenemos que:

 
Q
0
0
0
...
Q 0 0 0 ...
 0 Id 0 0 . . .   0 QQ−1 0
0
...

 
 0 0 Id 0 . . .   0
0
Id
0
.
..

 
−1 . . .
g1 =  0 0 0 Id . . .  =  0
0
0
QQ

 
 ..
..
..
..
..
..
.. . .   ..
..
 .
.
.   .
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
0
...
0
0
0
...
y separables









Ahora, utilizando el Lema 2.0.9, obtenemos un camino en GL(H 1 )×GL(H1 ⊕H1 ) . . . GL(H1 ⊕
H1 ) ⊂ GL(H) del operador g1 al operador g2 dado por:


Q
0
0
0
...
 0 Q−1 0
0
... 


 0

0
Q
0
.
.
.


g2 =  0
−1
0
0 Q
... 


 .
..
..
..
.. 
 ..
. 
.
.
.
0
0
0
0
...
Capı́tulo 2. Teorema de Kuiper
30
y con una segunda utilización del Lema antes mencionado, obtenemos un camino continuo
esta vez en GL(H1 ⊕ H1 ) × GL(H1 ⊕ H1 ) × . . . × GL(H1 ⊕ H1 ) de g2 a g3 dado por:


Id 0 0 0 . . .
 0 Id 0 0 . . . 


 0 0 Id 0 . . . 


g3 =  0 0 0 Id . . .  = IdH


 ..
..
..
.. . . 
 .
. 
.
.
.
0
0
0
0
...
Corolario 2.0.12. Todos los grupos de homotopı́a de GL(H) son nulos es decir que
πk (GL(H)) = 0 para todo k ≥ 0.
Corolario 2.0.13. GL(H) es conexo por caminos.
Capı́tulo 3
Familias de operadores de
Fredholm
En este capı́tulo se generaliza la definición de ı́ndice para un operador de Fredholm
a una familia de operadores de este tipo. Dicho ı́ndice es un elemento de K(X) que solo
depende de la clase de homotopı́a de la familia de operadores con respecto a la cual
esta definido. Además se probara el Teorema de Atiyah que afirma que el mapa ı́ndice
ind : [X, F(H)] → K(X) es un homomorfismo de semigrupos.
3.1.
Índice de una familia de operadores de Fredholm.
Definición 3.1.1. Una familia de operadores de Fredholm sobre un espacio topológico
X es una función continua T : X → F(H) donde H es un espacio de Hilbert.
Observación 3.1.2. En el caso en que X sea conexo se cumple que ind(T x ) = ind (Ty )
para todo x e y ∈ X. De esta forma podemos asignarle un ı́ndice a T .
Lema 3.1.3. Sean T ∈ F(H) y V ⊆ H un subespacio cerrado de codimensión finita tal
que V ∩ ker(T ) = 0. Entonces existe U , un entorno de T en B(H), tal que para todo
S ∈ U se cumple que:
1.
2.
V ∩ ker(S) = 0
F
H
El espacio S∈U S(V
) con la topologı́a inducida por el cociente de U × H, es un
fibrado vectorial de dimensión finita y trivial sobre U .
Demostración. Sea W = T (V )⊥ , como T es un operador de Fredholm y V tiene codimensión finita se cumple que W es un espacio de dimensión finita.
Ahora dado S ∈ B(H) definimos ϕS : V ⊕ W → H como ϕS (v, w) = S(v) + w. Es
claro que ϕS ∈ B(V ⊕ W, H) y además el mapa Φ : B(H) → B(V ⊕ W, H) dado por
Φ(S) := ϕS es continuo.
Por otro lado, probaremos que Φ(T ) = ϕ T es un isomorfismo. Primero probaremos que
es inyectivo, y para eso consideramos (v, w) y (v 0 , w0 ) tales que ϕT (v, w) = ϕT (v 0 , w0 ), de
31
Capı́tulo 3. Familias de operadores de Fredholm
32
modo que T (v − v 0 ) = w0 − w. Luego, como T (V )⊥ = W , se cumple que T (v − v 0 ) = 0 y
por lo tanto w = w 0 y v − v 0 pertenece a ker(T ); pero como V ∩ ker T = 0 tenemos que
v = v0 .
En cuanto a la sobreyectividad, ésta se deduce directamente de que H = T (V ) ⊕ W .
Utilizando el teorema de la aplicación abierta deducimos que ϕ T es un isomorfismo.
Puesto que los isomorfismos forman un conjunto abierto dentro de B(V ⊕ W, H) existe
un entorno U de T en B(H) tal que ϕS es un isomorfismo para todo S en U .
Si S ∈ U , entonces ϕS es un isomorfismo, y por lo tanto ker(S) ∩ V = 0.
Por otro lado:
G H
:= (U × H) ∼ donde (S, h) ∼ (S 0 , h0 ) si y solo si S = S 0 y h − h0 ∈ S(V )
S(V )
S∈U
0
es decir que existe
v ∈ V tal que h − h = S(v).
Dado S ∈ U , S V : V → S(V ) es un isomorfismo puesto que ker(S) ∩ V = 0, y por lo
tanto S(V ) es de codimensión finita, de donde la familia de espacios vectoriales antes
definida es de dimensión finita.
Ahora probaremos que esta familia de espacios vectoriales de dimensión finita sobre U
es trivial, y en particular estaremos probando que es un fibrado vectorial.
Para eso consideremos el mapa continuo y sobreyectivo
Γ : U × H → U × W dado por Γ(S, h) := (S, π ◦ ϕ −1
S (h)),
donde π es la proyección sobre W .
Este mapa pasa al cociente, puesto que Γ(S, h) = Γ(S 0 , h0 ) si y solo si S = S 0 y π ◦
−1
−1 0
0
0
ϕ−1
S (h) = π ◦ ϕS (h ), lo cual es equivalente a π ◦ ϕ S (h − h ) = 0; si h = S(v) + w y h =
−1
0
0
0
0
0
S(v )+w entonces π◦ϕS (h−h ) = 0 si y solo si w = w , y por loFtanto h−h = S(v−v 0 ).
H
De esto deducimos que existe un mapa continuo y biyectivo φ : S∈U S(V
) → U × W tal
que el siguiente diagrama conmuta:
Para probar que
F
F
H
/
U × HL
S∈U S(V )
LLL
LL
LL
φ
Γ LLL
& U ×W
H
S∈U S(V )
es un fibrado trivial solo resta probar que la inversa de φ
F
H
también es continua. Para ello consideremos el mapa continuo ψ : U × W → S∈U S(V
)
dadoFpor ψ(S, w) = [(S, w)]. Es fácil ver que ψ es la inversa de φ, de donde concluimos
H
que S∈U S(V
) es un fibrado trivial.
Proposición 3.1.4. Sea T una familia de operadores de Fredholm sobre un espacio
compacto y de Hausdorff X. Entonces existe un subespacio cerrado de codimensión finita
V ⊆ H tal que V ∩ ker(Tx ) = 0 paraFtodo x ∈ X. Además para cualquier subespacio V
con estas propiedades se cumple que x∈X TxH(V ) es un fibrado de dimensión finita sobre
X con la topologı́a inducida por X × H.
Capı́tulo 3. Familias de operadores de Fredholm
33
Demostración. Dado x ∈ X consideremos V x := ker(Tx )⊥ . Por el Lema 3.1.3, y puesto
que los operadores de Fredholm forman un conjunto abierto de B(H), sabemos que
existe Wx ⊂ F(H), un entorno abierto de Tx , tal que para todo S en Wx se tiene que
ker(S) ∩ Vx = 0. Ahora consideremos Ux := T −1 (Wx ). Este conjunto es abierto en X
puesto que Wx es abierto y T es continuo. Además para todo y ∈ U x tenemos que
ker(Ty ) ∩ Vx = 0. Puesto que X es compacto existe una colección finita {K i := Uxi }ni=1
que cubre X. Definimos el subespacio cerrado de codimensión finita V := ∩ i Vxi . Éste
satisface que:
V ∩ ker(Tx ) = 0 para todo x ∈ X.
Sea
G
x∈X
H
:= (X × H) ∼
Tx (V )
con la topologı́a F
cociente, donde (x, h) ∼ (x 0 , h0 ) si y solo si x = x0 y h − h0 ∈ Tx (V ).
Para probar que x∈X TxH(V ) es un fibrado sobre X de dimensión finita, lo único que resta
probar es que es localmente trivial. Para eso dado un x ∈ X existe W x ⊆ F(H), entorno
de Tx , tal que para todo S ∈ Wx se tiene ker(S) ∩ F
V = 0. Entonces T : Ux = T −1 (Wx ) →
H
trivial sobre
Wx es continua, y por el Lema 3.1.3 se tiene que S∈Wx S(V
) es un fibrado
h
i
F
H
= TyH(V ) , y por
Wx . Observemos que para todo y ∈ Ux se tiene que T ∗
S∈Wx S(V )
y
lo tanto
T∗
G
S∈Wx
F
H ∼ G
H
.
=
S(V )
Ty (V )
y∈Ux
H
x∈X Tx (V )
es una familia de espacios vectoriales que localmente es isomorfa
F
al pullback de un fibrado trivial, de manera que x∈X TxH(V ) es un fibrado vectorial sobre
X.
F
Observación 3.1.5. Por simplicidad en la notación, al fibrado x∈X TxH(V ) lo denotareEntonces
mos como
H
T (V ) .
Y denotaremos
H
V
al fibrado trivial X ×
H
V .
Dados un espacio compacto y de Hausdorff X y una familia de operadores de Fredholm T : X → F(H) podemos definir un ı́ndice ind(T ) ∈ K(X), dado por:
" # "
#
H
H
ind(T ) :=
−
.
V
T (V )
Lo que tenemos que probar es que este ı́ndice no depende del subespacio V elegido.
Proposición 3.1.6. Dados un espacio compacto y de Hausdorff X y una familia de
operadores de Fredholm T : X → F(H), el ı́ndice definido anteriormente no depende del
subespacio V elegido.
Demostración. Consideremos W , otro subespacio de H con las mismas caracterı́sticas
que V . Puesto que V ∩ W tiene las mismas propiedades alcanza con suponer que W ⊆ V .
Ahora analicemos las siguientes sucesiones exactas de fibrados vectoriales:
Capı́tulo 3. Familias de operadores de Fredholm
0→
donde ϕ : X ×
V
W
→
F
34
H
V ϕ H
ψ
→0
→
→
W
T (W )
T (V )
H
x∈X Tx (V )
está dado por ϕ(x, [v]) = (x, [Tx (v)]). La restricción
V
de ϕ a cada una de sus fibras está dada por ϕ x : W
→ TxH
(W ) con ϕx ([v]) = [Tx (v)]. Lo
primero que tenemos que ver es que ϕ está bien definida, es decir, si v 1 y v2 son tales
que v1 − v2 ∈ W entonces ϕx ([v1 − v2 ]) = [Tx (v1 − v2 )] = [0]. Esto se deduce del hecho
que Tx (v1 − v2 ) ∈ Tx (W ).
Veamos ahora que ϕx es inyectiva. Para eso, observemos que ϕ x ([v]) = ϕx ([v 0 ]) si y solo
si [Tx (v − v 0 )] = 0. Supongamos entonces que se verifica esta última igualdad. Entonces
existe w ∈ W tal que Tx (v − v 0 ) = Tx (w). Luego como ker(Tx ) ∩ V = 0 deducimos que
v − v 0 = w ∈ W , y por lo tanto [v] = [v 0 ].
(V )
Por otro lado es trivial ver que im(ϕ x ) = TTxx(W
).
Consideremos ahora el morfismo ψ :
H
Tx (W )
claro que éste es sobreyectivo y que ker(ψ x ) =
Finalmente es fácil ver que
0→
H
Tx (V )
Tx (V )
Tx (W ) .
→
dado por ψ(x, [h]) = (x, [h]). Es
H
H
V
→
→
→0
W
W
V
es también una sucesión exacta y por lo tanto se cumple que
hH i
hH i h V i
h H i h H i hV i
∼
∼
⊕
⊕
.
=
=
W
V
W
T (W )
T (V )
W
h i h
i h i h
i
H
H
H
H
− T (W
−
De manera que W
=
V
)
T (V ) , y por lo tanto se deduce que el ı́ndice
no depende del subespacio elegido.
Proposición 3.1.7. Sean X e Y espacios compactos y de Hausdorff, f : Y → X una
función continua y T : X → F(H) una familia de operadores de Fredholm. Entonces se
cumple que ind(T ◦ f ) = f ∗ (ind(T )).
Demostración. Sabemos que existe V ⊆ H, un subespacio cerrado de codimensión finita,
X.
tal que ker(Tx ) ∩ V = 0 para todo x en X, y que T H
(V ) es un fibrado sobre
H
H
El mismo subespacio V sirve para la familia T ◦ f . Además f ∗ ( T (V ) ) y = (T ◦f )(y)(V
) de
manera que
H H
∼
f∗
.
=
T (V )
(T ◦ f )(V )
Entonces
ind(T ◦ f ) =
hH i
V
Y
−
con lo cual queda probada la Proposición.
h
H i
= f ∗ (ind(T ))
(T ◦ f ) Y
Capı́tulo 3. Familias de operadores de Fredholm
35
Observación 3.1.8. El conjunto [X, F(H)] de las clases de homotopı́a de X en los
operadores de Fredholm de H tiene una estructura de semigrupo: dados S y T : X →
F(H) definimos el producto T S como T S : X → F(H) dada por T S(x) = T (x) ◦ S(x).
Este producto solo depende de la clase de homotopı́a de S y T .
El operador T S(x) es un operador de Fredholm con ı́ndice ind(T S(x)) = ind(T (x)) +
ind(S(x)).
3.2.
Teorema de Atiyah
Teorema 3.2.1. (Atiyah) La construcción del ı́ndice de una familia de operadores de
Fredholm depende solo de la clase de homotopı́a de la familia.
Además :
ind : [X, F(H)] → K(X)
es un homomorfismo de semigrupos.
Demostración. Primero probaremos la invariancia de la clase de homotopı́a y para eso
consideremos T : X × I → F(H), una homotopı́a entre T 0 y T1 , donde I = [0, 1].
Consideremos el mapa it : X → X × {t} ⊂ X × I dado por it (x) = (x, t). Es claro que
i0 ∼ i1 y que T0 = T ◦ i0 , T1 = T ◦ i1 por lo que
ind(T0 ) = i∗0 (ind(T )) = i∗1 (ind(T )) = ind(T1 ).
Ahora probaremos que el ı́ndice es un homomorfismo de semigrupos. Para ello consideremos dos familias de operadores de Fredholm S y T sobre X y sea W ⊆ H el subespacio
de codimensión finita elegido para T en la definición de ı́ndice.
Primero probaremos que πW ◦ S y S son homotópicas, y para ello consideremos el mapa
continuo
F : X × I → F(H) dado por
F (x, t) = S(x) − t(S(x) − π W ◦ S(x)).
Es claro que F (x, t) es un operador de Fredholm, ya que el segundo término es un
operador de rango finito. Si reemplazamos S por el mapa homotópico π W ◦S : X → F(H),
donde πW : H → W es la proyección ortogonal, podemos suponer que S x (H) ⊆ W para
todo x ∈ X.
Ahora consideremos V ⊆ H tal que V ∩ ker(S x ) = 0 para todo x ∈ X. Tomando V como
H
antes se cumple que V ∩ ker(Tx ◦ Sx ) = 0 de manera que (T ◦S)(V
) es un fibrado sobre
X. Consideremos los morfismos de fibrados ϕ :
H
(T ◦S)(V )
H
T (W )
W
S(V )
→
H
(T ◦S)(V )
dado por ϕ([x, h]) =
[x, Tx (h)] y ψ :
→
dado por ψ([x, h]) = [x, h].
Estos morfismos generan la sucesión exacta de fibrados:
0→
H
H
W ϕ
ψ
→ 0.
→
→
S(V )
(T ◦ S)(V )
T (W )
Además es fácil ver que también tenemos la siguiente sucesión exacta de fibrados:
0→
W
H
H
→
→
→ 0.
S(V )
S(V )
W
Capı́tulo 3. Familias de operadores de Fredholm
36
Por lo tanto
ind(T ◦ S) =
=
hH i
V
−
hH i
V
−
h
i hH i h W i h H i
H
=
−
−
(T ◦ S)(V )
V
S(V )
T (W )
h H i hH i h H i
+
−
= ind(S) + ind(T ).
S(V )
W
T (W )
Existe una versión más general de este Teorema que nos dice que el homomorfismo
anterior es un isomorfismo, ver [BB].
Capı́tulo 4
Operadores de Toeplitz
Definiremos en este capı́tulo los operadores de Toeplitz, que son ejemplos importantes
de operadores de Fredholm, y se dará una generalización de los mismos. Los operadores
de Toeplitz generalizados jugaran un rol importante en la demostración del Teorema de
periodicidad de Bott.
4.1.
Operadores asociados a funciones escalares.
En esta sección consideraremos el espacio de Hilbert H = L 2 (S 1 ). Es un resultado
conocido de análisis funcional que el conjunto de las funciones {e n (z) = z n : n ∈ Z}
es una base ortonormal de H. Llamaremos H n = span{en : n ≥ 0} y P : H → H0 la
proyección ortogonal sobre H0 .
Definición 4.1.1. Dada f ∈ C(S 1 ) definimos el operador de Toeplitz asociado a f como
Tf : H0 → H0 dado por Tf (u) = P (f u) donde u ∈ H0 .
d al coeficiente n-ésimo de Fourier de u en H, es
Observación 4.1.2. Llamaremos u(n)
R
d = hu, en i = 1 2π f (z)z −n dz donde n ∈ Z.
decir u(n)
2π 0
Observación 4.1.3. Es claro que Tf es lineal y acotado, puesto que kTf (g)k = kP (f g)k ≤
kf gk ≤ kf k∞ kgk; entonces kTf k ≤ kf k∞
Observación 4.1.4. Sean f ∈ C(S 1 ), u ∈ H0 y n ∈ N; entonces se cumple que
\
(T
f (u))(n) =
+∞
X
i=0
d f (n
\
u(i)
− i) donde Tf
es el operador de Toeplitz asociado a f.
Si u ∈ H0 tenemos que
u=
+∞
X
k=0
hu, ek iek
y
fu =
+∞ X
+∞
X
k=−∞ i=0
37
hu, ei ihf, ek−i iek
Capı́tulo 4. Operadores de Toeplitz
por lo tanto Tf (u) = P (f u) =
P+∞ P+∞
k=0
i=0
38
hu, ei ihf, ek−i iek ,
hP (f u), en i = hTf (u), en i =
+∞
X
i=0
hu, ei ihf, en−i i
que es lo que querı́amos probar.
Observación 4.1.5. Consideremos el mapa T : C(S 1 ) → B(H0 ) dado por T (f ) = Tf ∈
B(H0 ). Este mapa es un operador continuo tal que kT k ≤ 1.
Proposición 4.1.6. Sea f ∈ C(S 1 ) tal que f (z) 6= 0 para todo z ∈ S 1 , entonces:
1.
Tf es un operador de Fredholm.
2.
ind(Tf ) = −W (f, 0) donde W (f, 0) es el número de vueltas de la función f en
torno al origen y por lo tanto solo depende de la clase de homotopı́a de la función
f.
Demostración. Sea π : B(H0 ) →
B(H0 )
K(H0 )
la proyección sobre el álgebra de Calkin y con-
B(H0 )
.
sidérese el operador lineal y continuo dado por π ◦ T : C(S 1 ) → K(H
0)
1
Consideremos la subálgebra A de C(S ) de las funciones continuas que pueden ser
representadas por una cantidad finita de coeficientes de Fourier, llamados polinomios
trigonométricos, es decir:
f, g ∈ A ⇔ f =
n
X
k=−n
hf, ek iek , g =
m
X
k=−m
hg, ek iek donde m, n ∈ N.
Consideremos ahora sus operadores de Toeplitz asociados T f y Tg . Probaremos que se
cumple que:
Tf Tg (ek ) = Tf g (ek ), k ≥ m + n.
Para eso consideremos
fg =
n
X
n+m
X
hf, ei ihg, ek−i iek .
n
X
n+m
X
hf, ei ihg, ek−i iek+l
i=−n k=−n−m
Se tiene
f gel =
i=−n k=−n−m
de manera que
Tf g (el ) =
n
X
n+m
X
i=−n k=−n−m
hf, ei ihg, ek−i iek+l
si
l ≥ m + n.
Capı́tulo 4. Operadores de Toeplitz
39
Ahora tomando k − i = j tenemos que
Tf g (el ) =
m
n
X
X
i=−n j=−m
Por otro lado
Tg (el ) =
hf, ei ihg, ej iel+j+i
m
X
j=−m
Entonces
Tf (Tg (el )) =
hg, ej iel+j
m
n
X
X
i=−n j=−m
si
si
l ≥m+n
l ≥ m.
hf, ei ihg, ej iel+j+i
y por lo tanto Tf Tg y Tf g coinciden en Hm+n , subespacio de H0 , de manera que Tf Tg −Tf g
es un operador de rango finito, cuyo rango es a lo sumo m + n, y por ende un operador
compacto. Entonces π(Tf g ) = π(Tf )π(Tg ) si f y g ∈ A. Por lo tanto π ◦ T es un homomorfismo cuando lo restringimos a A.
Por otro lado, toda función de C(S 1 ) puede ser aproximada en la norma del supremo
por polinomios trigonométricos, según el Teorema de Stone-Weierstrass. Es decir, A es
denso en C(S 1 ). Como π ◦ T es continua, tenemos que π ◦ T es un homomorfismo de
B(H0 )
álgebras de Banach (observar que T no lo es) tal que π ◦ T (Id) = Id ∈ K(H
. Entonces
0)
π ◦ T lleva operadores invertibles en operadores invertibles.
En nuestras hipótesis f (z) 6= 0 ∀z ∈ S 1 , y por lo tanto f es un elemento invertible de
B(H0 )
y por lo tanto un operador de Fredholm.
C(S 1 ), de manera que Tf es invertible en K(H
0)
Para probar que ind(Tf ) = −W (f, 0), antes probaremos que el ı́ndice de T f solo depende
de la clase de homotopı́a de la función f . Para eso consideramos dos funciones homotópicas f0 y f1 : S 1 → C \ {0}. Entonces existe una función continua F : S 1 × I → C \ {0}
tal que F (z, 0) = f0 (z) y F (z, 1) = f1 (z) para todo z ∈ S 1 . Definimos la función ft como
ft (z) = F (z, t). Consideremos el mapa
G : I → F(H0 ) dado por G(t) = Tft .
El mapa G es continuo, puesto que dados t y t 0 ∈ I tenemos que kG(t) − G(t0 )k =
kTft − Tft0 k = kT (ft − ft0 )k ≤ kft − ft0 k∞ . Ahora, por la compacidad de I, tenemos
que dado > 0 existe un entorno Ut de t ∈ I tal que para todo t0 ∈ Ut se cumple que
kft − ft0 k∞ < , lo que muestra la continuidad del mapa G.
Entonces tenemos que Tf0 y Tf1 son operadores de Fredholm que están en la misma
componente conexa y por lo tanto tienen el mismo ı́ndice.
Ahora
z m con m ≥ 0 y u ∈ H0 . Entonces u =
P+∞ consideremos la función f (z)P=
+∞
k=0 hu, ek iek y Tf (u) = P (f u) =
k=0 hu, ek iek+m , de manera que
Tf = (shif t+ )m con m ≥ 0.
De igual forma se puede ver que
Tf = (shif t− )|m| si m < 0.
Capı́tulo 4. Operadores de Toeplitz
40
De lo observado anteriormente se concluye que ind(T f ) = −m para todo m ∈ Z cuando
f (z) = z m .
Por la invariancia por homotopı́as concluimos que ind(T g ) = −m para toda g ∈ C(S 1 )
con g(z) 6= 0 que puede ser conectada con la función f (z) = z m por un camino continuo
de funciones en C(S 1 ) con valores en C \ {0}. Puesto que el número de vueltas de la
función f (z) = z m en torno al origen es m y que las curvas de S 1 → C \ {0} son
homotópicas a curvas en C \ {0} cuando tienen el mismo número de vueltas en torno al
origen, concluimos que ind(Tg ) = −W (g, 0), que era lo que querı́amos probar.
4.2.
Operadores asociados a funciones matriciales.
Dada una función continua f : S 1 → GL(Cn ), queremos definir un operador de
Fredholm asociado a f que solo dependa de la clase de homotopı́a de f de forma análoga
a lo hecho en la proposición anterior. Para eso consideremos el espacio de Hilbert H n ,
donde H = L2 (S 1 ) como antes, y P : H n → H0n es la proyección ortogonal. Definimos
Tf : H0n → H0n como Tf (h) := P (f h), donde f h(z) := f (z)h(z). Observar que f (z) es
una matriz invertible y h(z) es un vector columna.
Observación 4.2.1. Si A es un anillo, los ideales bilaterales del anillo M n (A) son de
la forma Mn (I), donde I es un ideal bilateral de A. Considerando A = B(H 0n ) sabemos
que el único ideal bilateral de éste es K(H 0n ). Como Mn (B(H0 )) ∼
= B(H0n ), tenemos que
Mn (K(H0 )) es un ideal bilateral de Mn (B(H0 )), de forma que Mn (K(H0 )) ∼
= K(H0n ).
Proposición 4.2.2. Tf es un operador de Fredholm.
Demostración. Primero probaremos que T f es un operador acotado. Para esto alcanza
con probar que Mf : H n → H n , dado por Mf (h) = f h, es un operador acotado.
Consideremos en Mn (C) la norma dada por kAk = sup{|ai,j | : i, j = 1 . . . n}, donde
A = (aij ) ∈ Mn (C) (Recordar que Mn (C) tiene una única topologı́a vectorial). Si f :
S 1 → GL(Cn ) es una función continua, sea kf k∞ = sup{kf (z)k : z ∈ S 1 }. Ahora, si


f11 (z) f12 (z) · · · f1n (z)
 f21 (z) f22 (z) · · · f2n (z) 


f (z) = 
 , entonces
..
..
..
..


.
.
.
.
fn1 (z) fn2 (z) · · · fnn (z)

f11 h1 + . . . + f1n hn
 f21 h1 + . . . + f2n hn

kMf (h)k22 = 
..

.
fn1 h1 + . . . + fnn hn
=
n
X
j=1
kfj1 h1 + . . . +
fjn hn k22
≤ n(
n
X
j,k=1

 2

 =

2
kfjk hk k2 )
Capı́tulo 4. Operadores de Toeplitz
41
El último paso es debido a que
k
n
X
i=1
ai k2 ≤ (
n
X
i=1
kai k)2 ≤ n(
n
X
i=1
kai k2 ).
Entonces tenemos que
kMf (h)k22 ≤ n
n
X
j,k=1
=n
(h)k2
2
1
2π
kf k2∞
Z
S1
|fjk hk (z)|2
n
X
k=1
1
2π
Z
S1
n2 kf k2 khk2 ,
≤ nkf k2∞
|hk (z)|2
n
X
j,k=1
1
2π
Z
S1
|hk (z)|2
= n2 kf k2∞ khk2 .
Luego kMf
≤
y por lo tanto kMf (h)k ≤ nkf kkhk, de lo que se deduce
que Mf es acotado y por lo tanto Tf también.
Entonces el operador T : C(S 1 , Mn (C)) → B(H0n ) es continuo con kT k ≤ n.
B(H n )
Consideremos π : B(H0n ) → K(H0n ) la proyección sobre el álgebra de Calkin, y el operador
0
continuo π ◦ T : C(S 1 , Mn (C)) →
B(H0n )
K(H0n ) .
Nuestro siguiente paso es probar que π ◦ T
es un homomorfismo de álgebras. Para eso consideremos f y g ∈ C(S 1 , Mn (C)). Las
componentes de f y g, que llamaremos f i,j y gi,j : S 1 → C respectivamente, son funciones
continuas para todos i, j = 1 . . . n. Como hemos visto en la demostración del Teorema
4.1.6 sabemos que Tfi,j ◦ Tgh,k − Tfi,j gh,k es un operador compacto para todos i, j, h y k =
1 . . . n. De aquı́ se deduce con facilidad que T f ◦Tg −Tf g ∈ Mn (K(H0 )). Por la Observación
4.2.1 sabemos que Mn (K(H0 )) ∼
= K(H0n ). Entonces π◦T es un homomorfismo de álgebras
de Banach que verifica π ◦ T (Id) = Id. Luego si f es invertible, es decir si f (z) ∈ GL(C n )
para todo z ∈ S 1 , se cumple que Tf es de Fredholm, que es lo que querı́amos probar.
Proposición 4.2.3. El ı́ndice de T f sólo depende de la clase de homotopı́a de f en
[S 1 , GL(Cn )]
Demostración. Sean f y g ∈ C(S 1 , GL(Cn )) dos funciones homotópicas. Entonces existe
un mapa continuo F : S 1 × I → GL(Cn ) tal que F (z, 0) = f (z) y F (z, 1) = g(z).
Consideremos G : I → C(S 1 , GL(Cn )) dado por G(t)(z) = F (z, t); este mapa es continuo.
Ahora, como T : C(S 1 , GL(Cn )) → F(H0n ) es un mapa continuo, se cumple que T ◦ G :
I → F(H0n ) es un mapa continuo que satisface que (T ◦G)(0) = T f y que (T ◦G)(1) = Tg .
Entonces Tf y Tg están en la misma componente conexa de F(H 0n ) lo que muestra que
ind(Tf ) = ind(Tg ).
4.3.
Operadores de Toeplitz generalizados
Una generalización de los operadores de Toeplitz definidos hasta ahora es la siguiente.
Consideremos un espacio topológico compacto y de Hausdorff X, y una función continua
f : S 1 × X → GL(Cn ). Entonces para cada x0 ∈ X tenemos una función continua
fx0 : S 1 → GL(Cn ) dada por fx0 (z) = f (z, x0 ), la cual tiene asociado un operador de
Capı́tulo 4. Operadores de Toeplitz
42
Fredholm Tfx0 como en la Proposición 4.2.2.
Considerando el mapa Tf : X → F(H0n ) dado por Tf (x) = Tfx , se obtiene el siguiente
resultado:
Proposición 4.3.1. El mapa Tf definido anteriormente es continuo, y por lo tanto tiene
asociado un ı́ndice ind(Tf ) ∈ K(X).
Además este ı́ndice solo depende de la clase de homotopı́a de la función f .
Demostración. Para probar que tiene asociado un ı́ndice en K(X) lo único que hay que
probar es que Tf es continuo, y eso se deduce rápidamente de que:
kTfx (u) − Tfy (u)k = kP (Mfx − Mfy )(u)k ≤ kMfx −fy (u)k ≤ nkfx − fy k∞ kuk
para u en H0n .
Consideremos ahora dos mapas homotópicos f y g : S 1 × X → GL(Cn ). Entonces
existe un mapa continuo F : S 1 × X × I → GL(Cn ) tal que F (z, x, 0) = f (z, x) y
F (z, x, 1) = g(z, x). Definimos el mapa continuo
G : X × I → F(H0n ) dado por G(x, t) = TF (z,x,t) .
Entonces G(x, 0) = Tf y G(x, 1) = Tg , de modo que Tf ∼ Tg , y por Teorema de Atiyah
3.2.1 se deduce que
ind(Tf ) = ind(Tg ).
En el caso anterior el espacio de Hilbert en que consideramos la familia de operadores
de Fredholm era fijo. Ahora permitiremos que ese espacio de Hilbert varı́e.
Sean E un fibrado vectorial de dimensión n sobre X y f : π ∗ (E) → π ∗ (E) un isomorfismo
de fibrados, donde π : S 1 × X → X es la proyección. Nuestro objetivo ahora es definir un
ı́ndice asociado a f en K(X) que solo dependa de la clase de homotopı́a del isomorfismo
f . Antes de hacer esta construcción demostraremos un resultado que nos será de mucha
utilidad.
Teorema 4.3.2. Si H es un fibrado de Hilbert de dimensión infinita sobre un espacio
compacto y de Hausdorff X, entonces H es trivial.
n
Demostración.
Como X es compacto existe un cubrimiento finito y cerrado {U i }i=1 de
X tal que HU es trivial para todo ı́ndice i. Consideremos los isomorfismos
i
φUi : HU → Ui × H,
i
donde H es un espacio de Hilbert de dimensión infinita y separable. Entonces dados U i
y Uj , dos elementos del cubrimiento, si U i ∩ Uj = ∅ no hacemos nada, y en el caso en que
Ui ∩ Uj 6= ∅ consideremos el isomorfismo
Φi,j := φUj ◦ φ−1
Ui U ∩U ×H : Ui ∩ Uj × H → Ui ∩ Uj × H.
i
j
Capı́tulo 4. Operadores de Toeplitz
43
Éste induce un mapa continuo ψUi ∩Uj : Ui ∩ Uj → GL(H) como siempre.
Construimos ahora el fibrado clutching
(Uj × H) ∪Φi,j (Ui × H).
Debido a que el clutching de fibrados solo depende de la clase de homotopı́a de Φ i,j , y
como ψUi ∩Uj es homotópica a la identidad por el Teorema de Kuiper, concluimos que
Φi,j es homotópica a la identidad. Por lo tanto
(Uj × H) ∪Φi,j (Ui × H) ∼
= (Uj × H) ∪Id (Ui × H) ∼
= (Ui ∪ Uj ) × H.
Observemos también que el siguiente diagrama es conmutativo:
HU ∩U
i
Id
j
φ Ui
(Ui ∩ Uj ) × H
Φi,j
/ H
U
i ∩Uj
φ Uj
/ (Ui ∩ Uj ) × H
Entonces por la Proposición 1.3.2 tenemos que
HU ∪U ∼
HU ∪Id HU ∼
=
= (Ui × H) ∪Φi,j (Uj × H) ∼
= (Ui ∪ Uj ) × H.
i
j
i
j
Y por lo tanto, después de razonar por inducción, obtenemos que
H∼
= X × H.
Teorema 4.3.3. Sean E un fibrado vectorial sobre X de dimensión n y f : π ∗ (E) →
π ∗ (E) un isomorfismo de fibrados, donde π : S 1 × X → X es la proyección. Entonces
f tiene asociado un ı́ndice en K(X) que solo depende de la clase de homotopı́a del
isomorfismo f .
Demostración. Consideremos el isomorfismo f : π ∗ (E) → π ∗ (E). Éste induce un isomorfismo en cada fibra dado por f p−1 (z,x) : p−1 (z, x) → p−1 (z, x), donde p es la proyección
del fibrado π ∗ (E). Dado x ∈ X definimos el mapa continuo f x : S 1 → Iso(Ex , Ex ), dado
por fx (z)(v) := f p−1 (z,x) (v), donde Ex = p−1 (z, x). Este mapa tiene asociado por la
Proposición 4.2.2 un operador de Fredholm T fx ∈ F(H0 ⊗ Ex ).
Consideremos el fibrado de Hilbert H 0 ⊗E sobre X. Por el Teorema 4.3.2 sabemos que existe un isomorfismo α : H0 ⊗ E → X × H0 ⊗ Cn . Entonces tenemos el siguiente diagrama
conmutativo, donde r y s son las proyecciones de los fibrados.
α
H0 ⊗ E
H
HH
HH
H
s HHH
#
X
/ X × H 0 ⊗ Cn
q
qqq
q
q
qq r
q
x qq
Capı́tulo 4. Operadores de Toeplitz
44
Si restringimos el mapa α a cada fibra tenemos el isomorfismo α x : H0 ⊗ Ex → H0 ⊗ Cn .
Dado x0 ∈ X construimos el mapa F
n
x0 7→ Tfx0 ∈ F(H0 ⊗ Ex ) 7→ (αx0 ◦ Tfx0 ◦ α−1
x0 ) ∈ F(H0 ⊗ C ).
Se puede ver fácilmente, usando la trivialidad local del fibrado de dimensión finita E, que
el mapa definido anteriormente F : X → F(H 0 ⊗ Cn ) es continuo. Entonces le podemos
asociar a f un elemento ind(f ) := ind(F ) ∈ K(X).
Ahora probaremos que este ı́ndice no depende del isomorfismo α elegido, sino que solo
depende de la clase de homotopı́a de f . Para eso consideremos otro isomorfismo β :
H0 ⊗ E → X × H0 ⊗ Cn . Entonces β ◦ α−1 : X × H0 ⊗ Cn → X × H0 ⊗ Cn induce un
mapa continuo Φ : X → GL(H0 ⊗ Cn ) tal que (x, Φ(x)(h ⊗ v)) = β ◦ α−1 (x, h ⊗ v). Por el
Teorema de Kuiper tenemos que Φ es homotópico al mapa identidad y por lo tanto α y
β son homotópicos, de manera que ind(f ) no depende del isomorfismo α. Además ind(f )
solo depende de la clase de homotopı́a del mapa f , puesto que la clase de homotopı́a
de F solo depende de la clase de homotopı́a de f , concluyendo ası́ lo que querı́amos
demostrar.
Capı́tulo 5
Teorema de periodicidad de Bott
El objetivo de este capı́tulo es definir el grupo K(X) en el caso en que X sea localmente compacto y probar algunos resultados importantes de la K-teorı́a, entre los cuales
se destaca el Teorema de periodicidad de Bott, que afirma que K(R 2 × X) ∼
= K(X)
cuando X es localmente compacto. La demostración de este teorema se hará via familias
de operadores de Fredholm siguiendo la idea original de Atiyah.
5.1.
Definición de K(X) para X localmente compacto
Denotaremos por C a la categorı́a de espacios compactos y C + a la categorı́a de
espacios compactos con un punto base distinguido. Dados X e Y ∈ C + con puntos base
x0 e y0 respectivamente, una flecha entre estos objetos es un mapa continuo f : X → Y
tal que f (x0 ) = y0 . Denotaremos por C 2 a la categorı́a de los pares compactos, cuyos
objetos son los pares (X, Y ) donde X es un espacio compacto e Y ⊆ X es un subespacio
cerrado. Dados dos objetos (X, Y ) y (X 0 , Y 0 ) de esta categorı́a, una flecha entre estos
objetos es un mapa continuo f : X → X 0 tal que f (Y ) ⊆ Y 0 .
Definimos los functores F : C 2 → C + y G : C → C 2 de la siguiente forma: F (X, Y ) = X/Y
y G(X) = (X, ∅). Observar que X/Y es un espacio compacto con Y /Y como punto base
en el caso en que Y 6= ∅ y es la unión disjunta de X con un punto en el caso en que
Y = ∅.
e
Definición 5.1.1. Sea X ∈ C + con x0 como punto base. Definimos K(X)
como el núcleo
∗
de i : K(X) → K(x0 ), donde i es la inclusión de x0 en X.
Proposición 5.1.2. Sea X ∈ C + con x0 como punto base. Se cumple que:
1.
2.
3.
e
K(X) ∼
⊕ K(x0 )
= K(X)
e es un functor contravariante de C + en la categorı́a de grupos abelianos.
K
e + ) donde X + es la compactificación de X con un punto.
K(X) ∼
= K(X
Demostración. Consideremos i∗ : K(X) → K(x0 ), donde i es la inclusión del punto base
x0 . Luego ker(i∗ ) = {[E] − [F ] ∈ K(X) : i∗ ([E] − [F ]) = 0} = {[E] − [F ] ∈ K(X) :
45
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
46
i∗ ([E]) = i∗ ([F ])} = {[E] − [F ] ∈ K(X) : E x0 ∼
= F x0 }.
Entonces
ker(i∗ ) = {[E] − [F ] ∈ K(X) : E x0 ∼
= F x0 }
e
e
Consideremos φ : K(X) → K(X)
⊕ K(x0 ) = K(X)
⊕ Z dado por
φ(u) =
([E] − [F ⊕ CnX ], n) para u = [E] − [F ] con dim(Ex0 ) − dim(Fx0 ) = n ≥ 0
([E ⊕ C−n
X ] − [F ], n) para u = [E] − [F ] con dim(E x0 ) − dim(Fx0 ) = n < 0
e
Es fácil ver que φ es un isomorfismo de grupos y por lo tanto K(X) ∼
⊕ K(x0 ).
= K(X)
e
Ahora probaremos que K es un functor. Para eso consideremos X e Y ∈ C + y una
función continua f : X → Y tal que f (x 0 ) = y0 con x0 e y0 los puntos base de X e Y
respectivamente. Entonces
f ∗ es un homomorfismo de grupos.
∗ e
∗
e
Definimos K(f ) := f K(Y
e ) . Luego lo único que hay que resta probar es que f (K(Y )) ⊆
e
K(X)
puesto que ya sabemos que K es un functor.
e ). Entonces f ∗ ([E]−[F ]) = [f ∗ (E)]−[f ∗ (F )] ∈ K(X) con f ∗ (E) =
Sea [E]−[F ] ∈ K(Y
x0
e
E
y f ∗ (F ) = F , de donde f ∗ ([E] − [F ]) ∈ K(X).
f (x0 )=y0
x0
f (x0 )=y0
X
_
o
e
K(X)
f
e )
K(f
/Y
_
e )
K(Y
e + ) es trivial.
Finalmente, probar que K(X) ∼
= K(X
e
Observación 5.1.3. Observar que, dado X ∈ C + , K(X)
es un ideal de K(X), y por lo
tanto un anillo, eventualmente sin unidad.
e
Definición 5.1.4. Dado (X, Y ) ∈ C 2 definimos K(X, Y ) como K(X/Y
).
Definición 5.1.5. Si X es un espacio localmente compacto y de Hausdorff definimos
e + ), donde X + es la compactificación de X con un punto.
K(X) como K(X
e es un functor de C + en la categorı́a de grupos abelianos,
Observación 5.1.6. Como K
se cumple que K(X, Y ) es un functor contravariante de C 2 en la categorı́a de los grupos
e ◦ F (X, Y ).
abelianos, dado por K(X, Y ) := K
Definición 5.1.7. Sean X e Y ∈ C + con x0 e y0 como puntos bases respectivamente,
definimos el producto cuña de X e Y como el espacio cociente X ∧Y := (X ×Y )/(X ∨Y )
donde X ∨ Y := (X × {y0 }) ∪ ({x0 } × Y ).
Observación 5.1.8. Dados X e Y ∈ C + con x0 e y0 como puntos bases respectivamente.
Entonces X ∧ Y ∈ C + con X ∨ Y como punto base. Además es fácil ver que el producto
cuña es un functor.
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
47
Lema 5.1.9. Dados X , Y y Z ∈ C + se cumple que X ∧ (Y ∧ Z) es homeomorfo a
(X ∧ Y ) ∧ Z.
Demostración.
Consideremos
primero X ∧Y = (X ×Y )/(X ∨Y ). Entonces (X ∧Y )∧Z =
X×Y
X×Y
X×Y
X×Y
∼
X∨Y ×Z / X∨Y ∨Z , donde X∨Y ∨ Z = ({x0 }×Y ×Z)∪(X ×{y0 }×Z)∪( X∨Y ×{z0 }).
X×Y
X×Y ×Z
∼
Además X∨Y × Z = ({x0 }×Y ×Z)∪(X×{y0 }×Z) de manera que
(X ∧ Y ) ∧ Z ∼
=
X ×Y ×Z
∼
= X ∧ (Y ∧ Z).
({x0 } × Y × Z) ∪ (X × {y0 } × Z) ∪ (X × Y × {z0 })
Observación 5.1.10. Es fácil ver que S 1 ∧ S n ∼
= S n+1 para todo n ∈ N. Luego el Lema
1
anterior prueba que S
. . ∧ S }1 ∼
= Sn.
| ∧ .{z
n
Definición 5.1.11. Dado X ∈ C + definimos la suspensión reducida de X como S 1 ∧ X
que será denotada por SX. La suspensión reducida es un functor.
Observación 5.1.12. Como el producto cuña es asociativo tenemos que S
. SX} ∼
=
| . .{z
S n ∧ X.
n
Definición 5.1.13. Para n ≥ 0 definimos
e −n (X) := K(S
e n X) para X ∈ C +
K
e −n (X/Y ) para (X, Y ) ∈ C 2
K −n (X, Y ) := K
e n X + ) para X ∈ C
K −n (X) := K(S
Observación 5.1.14. En la definición anterior son todos functores contravariantes en
las categorı́as apropiadas.
Definición 5.1.15. Dado X ∈ C definimos el cono sobre X, que denotaremos por CX,
como el espacio cociente de (I × X)/({0} × X), donde I = [0, 1].
Observación 5.1.16. C es un functor de C en C + . Además dado X ∈ C el espacio
CX/X es homeomorfo a S(X), donde S(X) es la suspensión no reducida definida en
1.3.3.
La siguiente proposición nos dice que la suspensión reducida y la no reducida de un
espacio compacto tienen el mismo K.
Proposición 5.1.17. Dado X ∈ C + se cumple que K(SX) ∼
= K(S(X)) y por lo tanto
∼
e
e
K(SX)
= K(S(X)).
Demostración. Dado X ∈ C + con punto base x0 , tenemos que Cx0 /x0 ∼
= I. Además es
CX/X
∼
trivial ver que SX = Cx0 /x0 .
Puesto que Cx0 /x0 es un espacio contráctil, usando el Lema 1.5.4 observamos que
K(SX) ∼
= K(CX/X), que es lo que querı́amos probar.
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
48
2
Definición 5.1.18.
F Dado (X, Y ) ∈ C definimos X ∪ CY como el espacio cociente de la
unión disjunta X CY identificando Y ⊆ X con {1} × Y ⊆ CY . Tomando como punto
base de X ∪ CY el punto base de CY tenemos que X ∪ CY pertenece a C + .
Observación 5.1.19. Existe un homeomorfismo natural entre (X ∪CY )/X y CY /Y . De
e
e
esta manera, si Y ∈ C + se cumple que K(X ∪CY, X) = K((X
∪CY )/X) ∼
/Y ) =
= K(CY
−1
e
e
K(CY, Y ) = K(SY ) = K (Y ).
Proposición 5.1.20. Dado (X, Y ) ∈ C 2 la siguiente sucesión es exacta
j∗
i∗
K(X, Y ) → K(X) → K(Y )
donde i : Y → X y j : (X, ∅) → (X, Y ) son las inclusiones.
e + ) = K(Y ). Análogamente
Demostración. Sabemos por definición que K(Y, ∅) = K(Y
se cumple que K(X, ∅) = K(X).
Por otro lado j ◦ i : (Y, ∅) → (Y, Y ) y por lo tanto i ∗ ◦ j ∗ : K(Y, Y ) → K(Y, ∅). Puesto
que K(Y, Y ) = 0 se cumple que i∗ ◦ j ∗ = 0, de forma que im(j ∗ ) ⊆ ker(i∗ ).
Veamos ahora que ker(i∗ ) ⊆ im(j ∗ ). Para eso consideremos u ∈ ker(i∗ ) al que podemos
representar como u = [E] − [CnX ]. Puesto que i∗ (u) = 0, se cumple que [E Y ] = [CnY ] en
K(Y ), es decir que existen m ∈ N y un isomorfismo α tales que:
α n+m
∼
.
(E ⊕ Cm
X ) Y = CY
Este isomorfismo α define un fibrado (E ⊕ C m
X )/α sobre X/Y a través de la construcción
1.5.3.
Consideremos
n+m
η = [(E ⊕ Cm
X )/α] − [CX/Y ].
n+m
e
Entonces η ∈ K(X/Y
) = K(X, Y ) y cumple que j ∗ (η) = [E ⊕ Cm
] = [E] −
X ] − [CX
n
∗
∗
[CX ] = u, estableciendo que ker(i ) ⊆ im(j ) como querı́amos probar.
Corolario 5.1.21. Sean (X, Y ) ∈ C 2 e Y ∈ C + (tomando el mismo punto base para X
podemos asumir que está en C + ). Entonces la siguiente sucesión es exacta
∗
∗
j
i e
e
K(X, Y ) → K(X)
→ K(Y
)
Ahora probaremos un Lema que nos será de utilidad más adelante, pero que también
tiene su interés propio.
Lema 5.1.22. Sean T : S 1 → S 1 la función definida por T (t) = 1 − t, con t ∈ I = [0, 1]
y T ∧ 1 : SY → SY el mapa inducido por T en S 1 (identificando S 1 con I/∂I) y la
e
identidad en Y . Entonces (T ∧ 1)∗ (y) = −y para todo y ∈ K(SY
).
Demostración. Sabemos que (T ∧ 1)∗ : K(SY ) → K(SY ) es un homomorfismo de
e
e
e
grupos. Puesto que K(SY
) = K(S(Y
)) podemos trabajar con K(S(Y
)). Luego dado
e
y ∈ K(S(Y )), por la Proposición 1.7.5 existen E ∈ Vect n (S(Y )) y n ∈ N tales que
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
49
y = [E] − n.
Por otro lado, como E ∈ Vect n (S(Y )), sabemos por el Teorema 1.3.6 que existe una
función continua f : Y → GL(Cn ) tal que
G
E∼
= (C + (Y ) × Cn ) (C − (Y ) × Cn ).
f
Además por la construcción de la función f , es trivial observar que
G
(T ∧ 1)∗ (E) = (C + (Y ) × Cn )
(C − (Y ) × Cn ).
f −1
Luego
E ⊕ (T ∧ 1)∗ (E)
∼
= (C + (Y ) × Cn )
G
∼
= (C + (Y ) × C2n )
f
(C − (Y ) × Cn ) ⊕ (C + (Y ) × Cn )
G
f ⊕f −1
(C − (Y ) × C2n ),
G
f −1
(C − (Y ) × Cn )
donde f ⊕ f −1 : Y → GL(C2n ) está dada por f ⊕ f −1 (y)(v, w) = (f (y)(v), f −1 (y)(w)),
con v y w ∈ Cn . Por el Lema 2.0.9, sabemos que f ⊕ f −1 es homotópica al mapa
Id : Y → GL(C2n ) con Id(y) = IdC2n para todo y ∈ Y , de manera que
E ⊕ (T ∧ 1)∗ (E) ∼
= S(Y ) × C2n ,
y por lo tanto
5.2.
e
y + (T ∧ 1)∗ (y) = 0 para todo y ∈ K(SY
) .
Sucesión exacta infinita
Teorema 5.2.1. Dado (X, Y ) ∈ C 2 con Y ∈ C + , para cada n > 1 existen homomorfismos
δ : K −n (Y ) → K −n+1 (X, Y ) tales que la siguiente sucesión infinita es exacta:
j∗
i∗
j∗
δ
i∗
δ
· · · K −2 (X, Y ) → K −2 (X) → K −2 (Y ) → K −1 (X, Y ) → K −1 (X) → K −1 (Y ) →
δ
j∗
i∗
→ K(X, Y ) → K(X) → K(Y ).
Demostración. Primero observemos que es suficiente probar que para todo (X, Y ) ∈ C 2
e Y ∈ C + , la siguiente sucesión de cinco términos es exacta
∗
∗
∗
j e
i e
i e −1
δ
e −1 (X) →
→ K(Y
).
K
K (Y ) → K(X, Y ) → K(X)
(5.1)
De hecho, si esto ha sido establecido, entonces reemplazando (X, Y ) por (S n X, S n Y ) con
n ≥ 1, obtenemos una sucesión infinita continuando 5.1. Después de esto, reemplazando
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
50
(X, Y ) por (X + , Y + ), obtenemos la sucesión infinita del enunciado. Ahora por 5.1.20
tenemos la exactitud en el penúltimo término de 5.1. Para probar la exactitud de la
secuencia en los lugares faltantes consideremos los pares (X ∪ CY, X) y ((X ∪ CY ) ∪
CX, X ∪ CY ). Entonces aplicando la Proposición 5.1.20 al par (X ∪ CY, X) obtenemos
la siguiente sucesión exacta
∗
∗
m e
k e
K(X ∪ CY, X) → K(X
∪ CY ) → K(X).
Puesto que (X ∪ CY )/CY ∼
= X/Y , y como CY es un espacio contráctil, por 1.5.4
tenemos que la proyección p : X ∪ CY → (X ∪ CY )/CY ∼
= X/Y induce un isomorfismo
∗
∗
e
e
p : K(X/Y ) → K(X ∪ CY ). Además la composición k ◦ p∗ coincide con j ∗ .
Por otro lado sabemos por la Observación 5.1.19 que
θ
Entonces definimos
e −1 (Y ).
K(X ∪ CY, X) ∼
=K
e −1 (Y ) → K(X, Y )
δ:K
como
δ = (p−1 )∗ ◦ m∗ ◦ θ −1 .
Ahora probaremos que la siguiente sucesión es exacta
∗
j e
δ
e −1 (Y ) →
K
K(X, Y ) → K(X).
e −1 (Y ). Luego
Para eso sea a ∈ Im(δ). Entonces a = (p −1 )∗ ◦ m∗ ◦ θ −1 (b) donde b ∈ K
∗
∗
−1
∗
∗
−1
∗
∗
−1
∗
∗
−1
∗
j (a) = j ◦ (p ) ◦ m ◦ θ (b) = k ◦ p ◦ (p ) ◦ m ◦ θ (b) = (k ◦ m∗ )(θ −1 (b)) = 0,
y por lo tanto Im(δ) ⊆ Ker(j ∗ ). Para probar la otra inclusión consideremos x ∈ Ker(j ∗ ).
De esta manera k ∗ ◦ p∗ (x) = 0, y entonces p∗ (x) ∈ Ker(k ∗ ) = Im(m∗ ). Entonces existe
y ∈ K(X ∪ CY, X) tal que p∗ (x) = m∗ (y), y por lo tanto x = [(p−1 )∗ ◦ m∗ ](y). Además
θ
e −1 (Y ), de modo que existe z ∈ K
e −1 (Y ) tal que θ −1 (z) = y y por lo
K(X ∪ CY, X) ∼
=K
tanto x = (p−1 )∗ ◦ m∗ ◦ θ −1 (z) = δ(z).
Finalmente, aplicando la Proposición 5.1.20 al par (X ∪ C 1 Y ∪ C2 X, X ∪ C1 Y ) obtenemos la siguiente sucesión exacta
∗
∗
β e
α e
K(X ∪ C1 Y ∪ C2 X, X ∪ C1 Y ) → K(X
∪ C1 Y ∪ C2 X) → K(X
∪ C1 Y ).
Consideremos ahora
ψ
b
X ∪ C1 Y ∪ C2 X → (X ∪ C1 Y ∪ C2 X)/(X ∪ C2 X) ∼
= C1 Y /Y
donde b es la proyección al cociente y ψ el homeomorfismo natural entre los espacios
involucrados. Definiendo q := ψ ◦ b, se tiene que q ∗ es un isomorfismo.
Por otro lado
ϕ
SX ∼
= (X ∪ C1 Y ∪ C2 X)/(X ∪ C1 (Y ))
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
51
e
con lo cual obtenemos el isomorfismo ϕ ∗ entre K(SX)
y K(X ∪ C1 Y ∪ C2 X, X ∪ C1 Y ).
−1
e
Para ver la exactitud de 5.1 en K (Y ) será suficiente probar que el siguiente diagrama
conmuta a menos del signo, ya que las flechas verticales son isomorfismos,
K(X ∪ C1 Y ∪ C2 X, X ∪ C1 Y )
β∗
O
ϕ∗
e
K(SX)
/ K(X
e
∪ C1 Y ∪ C2 X)
O
q∗
/ K(SY
e
)
i∗
α∗
/ K(X
e
∪ C1 Y )
O
p∗
(5.2)
/ K(X, Y )
δ
donde el sı́mbolo significa que anticonmuta, es decir que conmuta a menos del signo,
y el sı́mbolo significa que conmuta.
Es fácil ver que α∗ ◦ q ∗ = p∗ ◦ δ.
Ahora solo resta probar que q ∗ ◦ i∗ = −β ∗ ◦ ϕ∗ . La dificultad radica en el hecho de que
i∗ es inducida por la inclusión
i
C2 Y −→ C2 X
y que en los diagramas nosotros tenemos C 1 Y y no C2 Y . Para solucionar este problema
introducimos el doble cono en Y , C1 Y ∪ C2 Y , donde estamos identificando las partes
de Y en ambos conos obteniendo que C1 Y ∪ C2 Y ∼
= S(Y ). Esto nos genera el siguiente
diagrama conmutativo:
q
π1
/ X ∪ C1 Y ∪ C2 X
X ∪ C1 Y ∪ gOC2 X
OOO
X ∪ C2 X
OOO
OOO
β
O
j OOOO
OOO
4T
X ∪ C1 Y ∪ C2 X
C1 Y ∪ CN2 Y
NNN
X ∪ C2 Y
oo
ϕ
C2 X ∼
= SX
X
]
∼
=
γ
/ C1 Y
YO
∼
= b1
π2
%
/ SY
/ C1 Y ∪ C 2 Y
NNN
NNN
π3 NNNN
&
o
oo
o
wo o
∼
=
a1
C2 Y
(5.3)
C1 Y ∪ C 2 Y
C1 Y
∼
= b2
C2 Y
Y
i
∼
=
a2
/ SY
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
52
Este diagrama induce el siguiente diagrama:
q∗
K(X ∪ C1 Y ∪ C2 X) o
β∗
O DD
DD
DD
DD
DD
DD ∼
DD=
D
J DD
DD
DD
DD
DD
D!
e X ∪ C1 Y ∪ C2 X
K
X ∪O C1 Y
ϕ∗ ∼
=
e
)
K(SY
uu
∼
= uuu
u∗
u
z u a1
u
e C1 Y
K
Y
r
r
∼
= rrr
r
rrr(b1 ◦π2 )∗
xrrr
e 1 Y ∪ C2 Y )
K(C
fLLL
LLL ∼
LL=L
(b2 ◦π3 )∗ LLL
id
(5.4)
e C2 Y
K
Y dI
e
K(SX)
II ∼
I=
II
a∗2 III
/ K(SY
e
)
i∗
Aquı́ J es el isomorfismo dado por J = π 1∗ ◦ γ ∗ ◦ (b∗1 )−1 ◦ (π2∗ )−1 = (j ∗ )−1
e C1 Y o
K
Y
q
(b1 ◦π2 )∗qq
q
qqq
q
q
x
q
e 1 ∪ C2 Y )
K(C
fMMM
MMM
MMM
(b2 ◦π3 )∗ M
e
K(SY
)
e C2 Y o
K
Y
(5.5)
e
K(SY
)
Entonces el diagrama 5.2 va a conmutar a menos del signo si el diagrama 5.4 conmuta a
menos del signo, y esto se debe a que 5.5 es anticonmutativo por el Lema 5.1.22.
Corolario 5.2.2. Sean X un espacio compacto e Y ⊆ X un retracto de X. Entonces
para todo n ∈ N la sucesión
j∗
i∗
0 → K −n (X, Y ) → K −n (X) → K −n (Y ) → 0
es exacta y se escinde; por lo tanto
K −n (X) = K −n (X, Y ) ⊕ K −n (Y ).
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
53
Demostración. Observar que para probar que la sucesión del enunciado es exacta alcanza
con ver que los mapas δn del Teorema 5.2.1 son nulos para todo n, y para esto último
solo es necesario probar que i∗ es sobreyectivo para todo n ≥ 0.
Para probar que i∗ : K −n (X) → K −n (Y ) es sobreyectivo alcanza con probarlo para
e −n (X) y luego utilizar X + e Y + . Entonces solo resta probar que i∗ : K(S
e n X) →
K
e n Y ) es sobreyectivo. Como Y es un retracto de X, S n Y es un retracto de S n X y por
K(S
lo tanto existe un mapa continuo rn : S n X → S n Y tal que rn S n Y = IdS n Y . Entonces
e n Y ) → K(S
e n X) cumple que i∗ ◦ r ∗ = Id e n , de manera que r ∗ es inyectivo,
rn∗ : K(S
n
n
K(S Y )
i∗ es sobreyectivo, y la sucesión se escinde.
Corolario 5.2.3. Sean X un espacio compacto e Y ⊆ X un retracto de X. Entonces
5.3.
e
K(X) ∼
) ⊕ K(Y )
= K(X, Y ) ⊕ K(Y ) = K(X/Y
Teorema de Bott
Sean F un fibrado de dimensión finita sobre un espacio compacto y de Hausdorff X
y f : π ∗ (F ) → π ∗ (F ) un isomorfismo, donde π : S 1 × X → X es la proyección.
Entonces a partir de (F, f ) con la construcción clutching construiremos un fibrado E
sobre S 2 × X que solo dependa de F y de la clase de homotopı́a de la función f .
Para eso consideremos B + , la semiesfera superior de S 2 , y B − , la semiesfera inferior.
Entonces S 2 = B + ∪ B − y B + ∩ B − = S 1 . Construimos el fibrado E sobre S 2 × X como
G
E = π1∗ (F ) π2∗ (F )
f
donde π1,2 : B ± × X → X son las proyecciones.
Proposición 5.3.1. Todo fibrado sobre S 2 × X puede ser construido de esta forma.
Demostración. Sea E un fibrado sobre S 2 × X. Consideremos los mapas s : X → S 2 × X
dado por s(x) = (1, x), πA : S 1 × X → X, π1 : B + × X → X y π2 : B − × X → X las
proyecciones. Consideremos el fibrado F = s ∗ (E). Entonces es trivial ver que
ϕ
∗
(F )){1}×X ∼
(πA
= E {1}×X
∗ (F ))
.
a través del morfismo natural ϕ : E {1}×X → (πA
{1}×X
+
+
Por otro lado, el mapa s ◦ π1 : B × X → {1} × X ⊆ B × X es un mapa homotópico a
la identidad,
puesto que B + es contráctil. Por lo tanto existe un isomorfismo de fibrados
f1 : E B + ×X → π1∗ (F ) que extiende a ϕ. Si g1 es otro isomorfismo que extiende a ϕ,
definimos el isomorfismo α = g1 ◦ f1−1 : π1∗ (F ) → π1∗ (F ). Éste es tal que α ∗ π1 (F )
{1}×X
es la identidad. Entonces α es homotópico a la identidad en todo B + × X (puesto que
B + es contráctil), y por lo tanto la clase de homotopı́a de f 1 está determinada por ϕ.
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
54
De forma análoga se define el isomorfismo f 2 : E B − ×X → π2∗ (F ).
Definimos
f := f2 ◦ f1−1 : π1∗ (F )S 1 ×X → π2∗ (F )S 1 ×X
Entonces, usando la Proposición 1.3.2, tenemos que:
G G
E∼
= (E B + ×X ) (E B − ×X ) ∼
= (π1∗ (F )) (π2∗ (F ))
Id
f
como querı́amos probar.
En el caso en que X sea un espacio localmente compacto sabemos que K(X) es un
grupo abeliano y por lo tanto un Z-módulo. Además K(X) es un anillo con el producto
tensorial y por lo tanto un K(X)-módulo.
Consideremos otro espacio localmente compacto Y , y los Z-módulos K(X ×Y ) y K(X)⊗
K(Y ). Éstos tienen también una estructura de K(X)-módulos por izquierda con las
siguientes acciones:
dados w, u ∈ K(X) y v ∈ K(Y ), sea
w.(u ⊗ v) = (w ⊗X u) ⊗ v
y dados a ∈ K(X × Y ) y b ∈ K(X), sea
∗
b.a = πX
(b) ⊗ a
donde πX : X × Y → X es la proyección.
Es fácil ver que efectivamente son acciones y por lo tanto K(X × Y ) y K(X) ⊗ K(Y )
son K(Y )-módulos por derecha.
Definición 5.3.2. Sean X e Y espacios compactos y de Hausdorff, y sean E y F fibrados
de dimensión finita sobre X e Y respectivamente. Definimos el producto exterior de E y
∗ (E) ⊗ π ∗ (F ), donde π y π son las proyecciones de X × Y sobre
F como E F := πX
X
Y
Y
X e Y respectivamente.
Este es un fibrado sobre X × Y tal que E F (x,y) = Ex ⊗ Fy .
Observación 5.3.3. El mapa ϕ : Vect(X)×Vect(Y ) → Vect(X×Y ) dado por ϕ(E, F ) :=
E F es un mapa aditivo, puesto que ϕ(E ⊕ E 0 , F ) ∼
= ϕ(E, F ) ⊕ ϕ(E 0 , F ) y ϕ(E, F ⊕
0
0
F ) ∼
= ϕ(E, F ) ⊕ ϕ(E, F ). Entonces de este mapa obtenemos el mapa Z-bilineal ϕ ∗ :
K(X) × K(Y ) → K(X × Y ) dado por
ϕ∗ ([E] − [E 0 ], [F ] − [F 0 ]) = [ϕ(E, F )] + [ϕ(E 0 , F 0 )] − [ϕ(E, F 0 )] − [ϕ(E 0 , F )]
Por la propiedad universal del producto tensorial este mapa induce un morfismo de Zmódulos ψ : K(X) ⊗ K(Y ) → K(X × Y ) que hace conmutar el siguiente diagrama:
⊗ /
K(X) ⊗ K(Y )
RRR
RRR
RR
ψ
ϕ∗ RRRRR
(
K(X) × K(Y )
K(X × Y )
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
55
Al mapa ψ también lo llamaremos producto exterior y usualmente será denotado por .
Además ψ también es un homomorfismo de K(X)-módulos. Para probar esto consideremos w, u ∈ K(X) y v ∈ K(Y ). Entonces u = [E 1 ]−[E2 ], w = [H1 ]−[H2 ] y v = [F1 ]−[F2 ],
de manera que w ⊗X u = [(H1 ⊗ E1 ) ⊕ (H2 ⊗ E2 )] − [(H1 ⊗ E2 ) ⊕ (H2 ⊗ E1 )].
Entonces tenemos que
ψ(w.(u ⊗ v)) = ψ((w ⊗X u) ⊗ v) = ϕ∗ ((w ⊗X u), v) =
= ϕ∗ ([(H1 ⊗ E1 ) ⊕ (H2 ⊗ E2 )] − [(H1 ⊗ E2 ) ⊕ (H2 ⊗ E1 )], [F1 ] − [F2 ]) =
∗
∗
= [πX
((H1 ⊗ E1 ) ⊕ (H2 ⊗ E2 )) ⊗ πY∗ (F1 ) ⊕ πX
((H1 ⊗ E2 ) ⊕ (H2 ⊗ E1 )) ⊗ πY∗ (F2 )] −
∗
∗
− [πX
((H1 ⊗ E1 ) ⊕ (H2 ⊗ E2 )) ⊗ πY∗ (F2 ) ⊕ πX
((H1 ⊗ E2 ) ⊕ (H2 ⊗ E1 )) ⊗ πY∗ (F1 )] =
∗
∗
= πX
([H1 ] − [H2 ]) ⊗ πX
([E1 ] − [E2 ]) ⊗ πY∗ ([H1 ] − [H2 ]) =
∗
([H1 ] − [H2 ]) ⊗ ψ(u ⊗ v) =
= πX
= w.ψ(u ⊗ v)
Por otro lado, si Z es otro espacio topológico compacto y de Hausdorff, y G es un
fibrado sobre Z, tenemos que (E F ) G ∼
= E (F G) como consecuencia inmediata
de la asociatividad del producto tensorial.
Esto implica la conmutatividad del siguiente diagrama:
K(X) × K(Y ) × K(Z)
/ K(X × Y ) × K(Z)
/ K(X × Y × Z)
K(X) × K(Y × Z)
Proposición 5.3.4. Podemos extender el producto exterior definido en 5.3.3 para el
caso en que X e Y sean espacios localmente compactos.
Demostración. Sean X + e Y + las compactificaciones con un punto de X e Y respectivamente. Consideremos A := X + × Y + y B := X + × {+}. Puesto que B es un retracto
de A se cumple por el Corolario 5.2.3 que
+
e
K(X + × Y + ) = K(X + ) ⊕ K((X
× Y + )/(X + × {+})).
Tomando ahora A := (X + × Y + )/(X + × {+}) y B = Y + , y haciendo las identificaciones
necesarias, es fácil ver que B es un retracto de A, de donde se obtiene que
+
e
K((X + ×Y + )/(X + ×{+})) = K(Y + )⊕ K((X
×Y + )/(X + ∨Y + )) = K(X ×Y )⊕K(Y + )
+ × Y + )/(X + ∨ Y + )) = K((X
e
e
donde la última igualdad se debe a que K((X
× Y )+ ) =
K(X × Y ).
De manera que
K(X + × Y + ) = K(X) ⊕ K(Y ) ⊕ K(X × Y ) ⊕ Z.
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
56
Sean x ∈ K(X) ⊆ K(X + ) e y ∈ K(Y ) ⊆ K(Y + ). Entonces x y pertenece a K(X + ×
Y + ). Lo que queremos probar es que x y está en K(X × Y ).
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que x = [E] − [C nX + ] e y = [F ] − [Cm
Y + ],
+
+
donde E ∈ Vect n (X ) y F ∈ Vect m (Y ). Entonces tenemos que x y = [E F ] −
n
m
[CnX + F ] − [E Cm
Y + ] + [CX + CY + ].
Consideremos i : X + → X + × Y + y j : Y + → X + × Y + las inclusiones. Entonces es
claro que i∗ (x y) = 0 y j ∗ (x y) = 0, lo que muestra que efectivamente x y está en
K(X × Y ).
Un importante ejemplo de espacio localmente compacto es R n , cuya compactificación
con un punto es S n , y por lo tanto K(S n ) = K(Rn ) ⊕ Z, lo que muestra que K(Rn ) es
la parte interesante de K(S n ). De manera más general tenemos el siguiente resultado.
Proposición 5.3.5. Sean X e Y espacios localmente compactos y de Hausdorff. Se
cumple que K(X + × Y ) = K(X × Y ) ⊕ K(Y ).
Demostración. Consideremos A := (X + × Y + )/(X + × {+}) y B = Y + . Haciendo las
identificaciones necesarias, B es un retracto de A, y por lo tanto se cumple que K(A) =
K(B) ⊕ K(A, B). En este caso K(B) = K(Y ) ⊕ Z y K(A, B) = K(X × Y ). Además se
puede ver fácilmente que (X + × Y + )/(X + × {+}) es homeomorfo a (X + × Y )+ , lo que
prueba la proposición.
Corolario 5.3.6. Sea X un espacio localmente compacto y de Hausdorff. Entonces se
cumple que
K(S n × X) = K(Rn × X) ⊕ K(X).
Sean E + = B + × C y E − = B − × C los fibrados triviales de dimensión 1 sobre B +
y B − respectivamente y el isomorfismo de fibrados f m : S 1 × C → S 1 × C dado por
fm (z, w) = (z, z m w). Definimos el fibrado Em sobre S 2 como Em := E + ∪fm E − donde
m ∈ Z.
Definición 5.3.7. Se define la clase de Bott como b := [E −1 ] − [E0 ] ∈ K(S 2 ). Puesto
que E−1 y E0 tienen la misma dimensión se cumple que b ∈ K(R 2 ).
Teorema 5.3.8. Sea X un espacio localmente compacto y de Hausdorff. Entonces existe
un homomorfismo de grupos y de K(X)-módulos α X : K(R2 × X) → K(X) con las
siguientes propiedades:
1.
En el caso en que X sea compacto se cumple que, dados un espacio compacto Y y
un mapa continuo g : Y → X, el siguiente diagrama conmuta
K(R2 × X)
(IdR2 ×g)∗
αX
/ K(X)
g∗
K(R2 × Y ) αY
/ K(Y )
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
2.
57
Dados X e Y , espacios localmente compactos, se cumple que el siguiente diagrama
también conmuta
K(R2 × X) ⊗ K(Y )
αX ⊗Id
t0
/ K(R2 × X × Y )
αX×Y
K(X) ⊗ K(Y )
t
/ K(X × Y )
donde t y t0 son los productos exteriores definidos en 5.3.4.
3.
En el caso en que X sea un punto el homomorfismo α X : K(R2 ) → Z cumple que
αX (b) = 1, donde b es la clase de Bott.
Demostración. Primero estudiaremos el caso en que X sea compacto.
Consideremos E ∈ Vect(S 2 × X) un fibrado de dimensión finita sobre S 2 × X. Por
la Proposición 5.3.1 este fibrado tiene asociado un par (V, f ), donde V ∈ Vect(X) y
f : π ∗ (V ) → π ∗ (V ) es un isomorfismo con π : S 1 × X → X la proyección.
A su vez, este par tiene asociado por el Teorema 4.3.3 una familia de operadores de
Fredholm F : X → F(H0 ⊗ Cn ), con ind(F ) ∈ K(X).
E 7−→ (V, f ) 7−→ F : X → F(H ⊗ Cn ) 7−→ ind(F ) ∈ K(X)
Definimos αX : Vect(S 2 × X) → K(X) como la composición de estos mapas. Primero
probaremos que αX es un homomorfismo de semigrupos. Para eso consideremos E y F ∈
Vect(S 2 × X) de dimensiones n y m respectivamente. Por la Proposición 5.3.1 sabemos
que existen VE y VF ∈ Vect(X) fibrados de dimensiones n y m, y f E , fF isomorfismos
de fibrados en π ∗ (VE ) y π ∗ (VF ) tales que:
G
G
y F ∼
E∼
= π1∗ (VF ) π2∗ (VF ).
= π1∗ (VE ) π2∗ (VE )
fF
fE
Por lo tanto:
G
G
E⊕F ∼
= π1∗ (VE ) π2∗ (VE ) ⊕ π1∗ (VF ) π2∗ (VF ) .
fF
fE
Ahora, tomando V := VE ⊕ VF y el isomorfismo f := fE ⊕ fF , donde
f : π1∗ (VE )⊕π1∗ (VF )S 1 ×X → π1∗ (VE )⊕π1∗ (VF )S 1 ×X dado por f (e1 ⊕e2 ) := (fE (e1 ), fF (e2 )),
tenemos que:
E⊕F ∼
= π1∗ (V )
π ∗ (V
G
π ∗ (V
π2∗ (V ).
f
El isomorfismo de fibrados f :
) →
) induce una familia de operadores de
Fredholm
F : X → F((H0 ⊗ Cn ) ⊕ (H0 ⊗ Cm )) = F(H0 ⊗ Cn+m )
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
58
dada por F (x) = F1 (x)⊕F2 (x), donde F1 y F2 son las familias de operadores de Fredholm
inducidas por fE y fF . Por lo tanto:
ind(F ) = ind(F1 ) + ind(F2 ).
Hasta ahora hemos probado que el mapa α definido anteriormente es un homomorfismo
de semigrupos. Este homomorfismo por el Teorema 1.7.1 define un homomorfismo de
grupos
αX : K(S 2 × X) → K(X)
que hace conmutar el siguiente diagrama:
Vect(S 2 × X)
/ K(S 2 × X)
PPP
PPP
P
αX
α PPPP
P(
K(X)
Este homomorfismo αX puede ser restringido al subgrupo K(R 2 × X) de K(S 2 × X) de
donde se obtiene el homomorfismo
αX : K(R2 × X) → K(X) dado por αX := αX K(R2 ×X) .
Este homomorfismo de grupos es también de K(X)-módulos (ver [At2] y [At3]).
Sean X e Y espacios compactos y g : Y → X una función continua. Consideremos
IdS 2 × g : S 2 × Y → S 2 × X. Nuestro objetivo es probar que el siguiente diagrama es
conmutativo:
E
_
(IdS 2 ×g)∗
(V 0 , f 0 )
(V, f )
_
_
F 0 : Y → F(H0 ⊗ Cn )
F : X → F(H0 ⊗ Cn )
_
_
ind(F ) ∈ K(X) / (g × Id 2 )∗ (E)
_S
g∗
/ ind(F 0 ) ∈ K(X)
Para eso alcanza con probar que F 0 = F ◦ g, puesto que entonces ind(F 0 ) = ind(F ◦ g) =
g ∗ (ind(F )) por la Proposición 3.1.7.
Es claro
que V 0 = g ∗ (V ) y que el isomorfismo f 0 : (πY∗ )(g ∗ (V )) → (πY∗ )(g ∗ (V )) está dado
por f 0 p−1 (z,y) = f p−1 (z,g(y)) . Entonces fy0 : S 1 → Iso(Vg(y) , Vg(y) ) está dado por fy0 (z) =
fg(y) (z), de modo que
F 0 : Y → F(H0 ⊗ Cn ) está dado por F 0 (y) = Tfy0 = Tfg(y) = (F ◦ g)(y),
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
59
que era lo que querı́amos probar.
Para probar la segunda parte del Teorema (primero para X e Y compactos) consideremos u ∈ K(R2 × X) y v ∈ K(Y ). Entonces
t0 (u ⊗ v) = t0 ((u ⊗ 1).v) = t0 (u ⊗ 1).v,
donde el segundo paso se debe a que estamos viendo a K(R 2 × X) ⊗ K(Y ) como un
K(Y )-módulo por derecha con la acción (u ⊗ v).w = u ⊗ (v ⊗ Y w).
Esto muestra que
αX×Y (t0 (u ⊗ v)) = αX×Y (t0 (u ⊗ 1)).v,
debido a que αX×Y es un homomorfismo de K(Y )-módulos.
Por otro lado
t(αX (u) ⊗ v) = t((αX (u) ⊗ 1).v) = t(αX (u) ⊗ 1).v.
Consideremos el siguiente diagrama:
K(R2 × X) ⊗ K(Y )
αX ⊗Id
t0
/ K(R2 × X × Y )
αX×Y
K(X) ⊗ K(Y )
t
/ K(X × Y )
Para probar que éste conmuta alcanza con ver que
αX×Y (t0 (u ⊗ 1)) = t(αX (u) ⊗ 1).
Observemos que αX×Y (t0 (u ⊗ 1)) = αX×Y ((IdR2 × π)∗ (u)), donde π : X × Y → X es la
proyección, y que t(αX (u) ⊗ 1) = π ∗ (αX (u)).
Aplicando la parte anterior del Teorema tenemos que
π ∗ (αX (u)) = αX×Y ((IdR2 × π)∗ (u))
de donde se deduce que el diagrama conmuta.
Ahora definiremos el homomorfismo αX en el caso en que X sea localmente compacto.
Consideremos X + , la compactificación con un punto de X, y el homomorfismo α X + :
K(R2 × X + ) → K(X + ) definido anteriormente.
Sabemos que por la Proposición 5.3.5 que K(R 2 × X + ) = K(R2 × X) ⊕ K(R2 ). Entonces
definimos αX como
αX : K(R2 × X) → K(X) como αX := πK(X) ◦ αX + K(R2 ×X) ,
donde πK(X) : K(X + ) → K(X) es la proyección.
Resta probar que, si Y es otro espacio localmente compacto, entonces el siguiente diagrama conmuta:
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
K(R2 × X) ⊗ K(Y )
αX ⊗Id
60
/ K(R2 × X × Y )
(5.6)
αX×Y
K(X) ⊗ K(Y )
/ K(X × Y )
Considerando nuevamente X + e Y + , las compactificaciones de X e Y , obtenemos el
siguiente diagrama conmutativo:
K(R2 × X + ) ⊗ K(Y + )
αX + ⊗Id
/ K(R2 × X + × Y + )
K(X + ) ⊗ K(Y + )
αX + ×Y +
/ K(X + × Y + )
Ahora, aplicando dos veces 5.3.5, obtenemos que:
K(R2 × X + × Y + ) = K(R2 × X × Y ) ⊕ K(R2 × X) ⊕ K(R2 × Y + ).
De estas dos últimas observaciones y de la Proposición 5.3.4 es inmediato ver que el
diagrama 5.6 es conmutativo.
Para probar la última parte del teorema consideremos X = {p}. Entonces α X (b) =
αX ([E−1 ]) − αX ([E0 ]). Pero sabemos que
Em 7−→ (C, z m ) 7−→ Tz m 7−→ −m,
y por lo tanto es claro que αX (b) = 1.
Teorema 5.3.9. (Bott) Para cada espacio topológico localmente compacto y de Hausdorff X, tenemos que
αX : K(R2 × X) → K(X)
es un isomorfismo cuya inversa
βX : K(X) → K(R2 × X)
está dada por βX (x) = b x, donde b es la clase de Bott.
Demostración. Primero probaremos que α X ◦βX = Id. Para eso consideremos el siguiente
diagrama, el cual es conmutativo por el Teorema 5.3.8:
K(R2 × {p}) ⊗ K(X)
α{p} ⊗Id
K({p}) ⊗ K(X)
/ K(R2 × {p} × X)
α{p}×X
/ K({p} × X)
Capı́tulo 5. Teorema de periodicidad de Bott
61
Entonces dado x ∈ K(X), se tiene que α X ◦βX (x) = αX (bx) = α{p} (b)x = 1x = x,
donde en el último paso estamos identificando {p} × X con X.
Ahora probaremos que βX ◦αX = Id. Para eso consideremos u ∈ K(R2 ×X), y observemos
que βX ◦αX (u) = bαX (u) = u si y solo si αX (u)b = ρ∗ (u), donde ρ : R2 ×X → X ×R2
es el homeomorfismo dado por ρ(v, x) = (x, v), ya que ρ ∗ (b αX (u)) = αX (u) b.
Consideremos el diagrama
K(R2 × X) ⊗ K(R2 )
αX ⊗Id
/ K(R2 × X × R2 )
αX×R2
K(X) ⊗ K(R2 )
/ K(X × R2 )
el cual es conmutativo por el Teorema 5.3.8. Entonces tenemos que α X (u)b = αX×R2 (u
b). Definimos el mapa τ : R2 × X × R2 → R2 × X × R2 dado por τ (a, b, c) = (c, b, a). Este
mapa es homotópico a la identidad, puesto que la matriz


0 0 1 0
 0 0 0 1 


 1 0 0 0 
0 1 0 0
tiene determinante +1, y por lo tanto está en la misma componente conexa que la
identidad. De esto deducimos que τ ∗ = IdK(R2 ×X×R2 ) .
Entonces tenemos que:
αX (u) b
= αX×R2 (u b) = αX×R2 (τ ∗ (u b)) = αX×R2 (b ρ∗ (u)) =
= (αX×R2 ◦ βX×R2 )(ρ∗ (u)) = ρ∗ (u)
lo que prueba el Teorema.
Del resultado anterior podemos deducir que los grupos K(R n ) son periódicos en n de
perı́odo 2, de forma que
K(R2m ) ∼
=Z y
K(R2m+1 ) ∼
= K(R) = 0.
Capı́tulo 6
Apéndice
En esta sección veremos algunos resultados básicos de Análisis Funcional y de Topologı́a
General que serán de utilidad para el resto del trabajo.
Teorema 6.0.10. (Stone-Weierstrass) Sean T un espacio compacto y de Hausdorff
y A ⊆ C(T ) una subálgebra autoadjunta que separa puntos de T y que contiene a las
constantes. Entonces A es denso en C(T ) con la norma infinito.
Definición 6.0.11. Sean X e Y espacios de Banach y T ∈ B(X, Y ). Se dice que T es
un operador compacto cuando T (B) es compacto, donde B es la bola unidad en X.
Llamaremos K(X, Y ) al conjunto de los operadores compactos.
Proposición 6.0.12.
1.
Todo operador de rango finito es compacto.
2.
El lı́mite de operadores de rango finito es compacto.
3.
Sea k ∈ C(I × I) donde I = [0, 1] se define el operador T k : C(I) → C(I) dado por
Este operador es compacto.
Tk (x)t =
Z
1
k(t, s)x(s)ds.
0
Proposición 6.0.13. Si X e Y son espacios de Banach, entonces el conjunto K(X, Y )
es un subespacio cerrado de B(X, Y ). Además, si Z 1 y Z2 son otros espacios de Banach
entonces se cumple que:
B(Y, Z1 )K(X, Y ) ⊆ K(X, Z1 )
K(X, Y )B(Z2 , X) ⊆ K(Z2 , Y )
Teorema 6.0.14. Sean T ∈ K(X) y λ ∈ F\{0} entonces:
1.
dim(Ker(T − λI)) < +∞
2.
(T − λI)(X) es cerrado y de codimensión finita.
62
Capı́tulo 6. Apéndice
63
Definición 6.0.15. Sea T ∈ B(X). Decimos que T es un operador de Fredholm si y solo
si T X es cerrado y dim(Ker(T )) < +∞ y codim(Im(T )) < +∞. En este caso se define
el ı́ndice del operador T como:
ind(T ) := dim(Ker(T )) − codim(Im(T )).
Proposición 6.0.16. Sean X, Y y Z espacios de Banach, T ∈ B(X, Y ) y S ∈ B(Y, Z)
operadores de Fredholm. Entonces S ◦ T ∈ B(X, Z) es un nuevo operador de Fredholm,
y ind(S ◦ T ) = ind(S) + ind(T ).
Proposición 6.0.17. Sean T ∈ K(X) y λ ∈ F/{0}. Entonces T − λI es un operador de
Fredholm de ı́ndice nulo.
Corolario 6.0.18. (Alternativa de Fredholm) Sean T ∈ K(X) y λ ∈ F/{0}. Entonces T − λI es inyectivo si y solo si T − λI es sobreyectivo.
Teorema 6.0.19. (Teorema de Atkinson) Sean X un espacio de Banach y T ∈ B(X).
B(X)
. Entonces T es de Fredholm si y solo si
Consideremos la proyección π : B(X) → K(X)
π(T ) es invertible en
B(X)
K(X) .
Observación 6.0.20. Al álgebra
B(X)
K(X)
se le llama álgebra de Calkin.
Teorema 6.0.21. Sea X un espacio de Banach.
Consideremos Φ := {T ∈ B(X) tal que T es de Fredholm}. Entonces :
1.
El conjunto Φ es abierto en B(X).
2.
La función ind : Φ → Z es continua.
3.
Si T ∈ Φ y S ∈ K(X) entonces ind(S + T ) = ind(T ).
Bibliografı́a
[At1] M. F. Atiyah, K-Theory, W. A. Benjamin, Inc., New York, 1967.
[At2] M. F. Atiyah, Algebraic Topology and Operators in Hilbert Spaces Lecture Notes
in Mathematics 103, Springer, Berlin (West) - Heidelberg - New York, 1969, 101-121.
[At3] M. F. Atiyah, Bott periodicity and the index of elliptic operators Quart. J. Math.
Oxford, 1968, 101-121.
[Bl] B. Blackadar, K-Theory for Operator Algebras, Springer–Verlag, New York, 1986.
[BB] B. Booss, D. D. Bleecker, Topology and Analysis, Springer–Verlag, New York, 1985
[Ka] Max Karoubi, K-theory, Springer-Verlag, 1978.
[Kuiper] Nicolaas H. Kuiper, The homotopy type of the unitary group of Hilbert spaces,
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64