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APUNTES MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA FÍSICA.
1
Taller Nº1
Tema: Vectores y escalares.
Conceptos Clave:







Vector.
Escalar.
Magnitud.
Dirección.
Sentido.
Vector Posición.
Vector Unitario.







Método del Paralelogramo.
Método del Polígono.
Método Analítico.
Notación polar.
Producto Punto.
Producto Cruz.
Vectores componentes.
Introducción:
En Física, generalmente, se trabaja con vectores en una, dos o tres dimensiones,
los cuales pueden ser operados analíticamente y representados gráficamente en
un sistema de coordenadas apropiado. Un vector puede expresarse de diferentes
maneras según sea el tema y la aplicación que se le esté dando.
Estudiaremos el vector, tratándolo como un modelo representativo de algunas
cantidades, en forma gráfica y analítica, desarrollando algunas aplicaciones.
Actividad 1: “Definiciones”.
Vectores y Escalares
Escalar: cantidad física que queda perfectamente determinada indicando
solamente una cantidad acompañada de su correspondiente unidad de medida.
Estas son las magnitudes escalares, entre las que podemos mencionar: masa,
volumen, rapidez, presión, trabajo y temperatura.
Vector: cantidad física que requiere, además de la magnitud, la dirección y sentido
para quedar definida. Como ejemplo se pueden mencionar: desplazamiento,
velocidad, aceleración, fuerza.
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


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La magnitud corresponde al tamaño (longitud del segmento dirigido).
La dirección corresponde a la línea de acción del vector (ángulo que forma el
segmento respecto a una línea de referencia horizontal o vertical).
El sentido indica hacia qué lado se mueve dentro de la dirección que tiene
(hacia donde apunta la punta de la flecha)
El vector se debe dibujar o graficar utilizando regla y transportador.
Sentido
Dirección
θ
Magnitud
Línea de acción
Vector libre
Un vector V se define como un ente en el espacio (desde donde puede ser
transportado al plano o a una dimensión) que representa alguna cantidad y que
posee magnitud, dirección y sentido. Un vector es un segmento orientado en el
espacio, el cual, posee un origen que puede ser usado como punto de aplicación
del vector.
Vector CERO
Es aquel cuya magnitud es cero. Este vector queda gráficamente representado por
un punto y se anota como 0.
Vectores Iguales
Dos vectores A y B son iguales si poseen la misma magnitud, dirección y sentido.
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Actividad 2: “Operación de Cantidades Vectoriales”.
Multiplicación de un escalar por un vector
Sea A un vector y “m” un escalar, entonces m·A, se define de la siguiente forma:
a)
b)
c)
d)
La magnitud de m·A es: m·A= m A.
Si m>0 y A0, entonces, el sentido de m·A es el de A.
Si m<0 y A0, entonces, el sentido de m·A es opuesto al de A.
Si m=0 ó A=0, entonces, m·A=0.
Suma y resta vectorial mediante métodos geométricos
Consideremos los vectores libres A y B:
A
B
Método del Paralelogramo: “Dibuje dos vectores desde un origen común, luego
trace las paralelas a los vectores, y obtenga el vector resultante, con su origen en
el origen de los vectores y su término en el punto donde se unen las paralelas”.
A
B
R = A+B
B
A
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Método del Polígono o del Triángulo: “Dibuje un vector, donde termine este vector
dibuje el siguiente, obteniendo el vector resultante desde el origen del primer
vector al término del último vector”.
R = A+B
B
A
Observación: El método del polígono es más ventajoso en cuanto a que se
pueden sumar o restar más de dos vectores a la vez.
Actividad 3: “Ejemplos de Sumas y Restas en forma geométrica con
vectores”.
Verifique si las sumas dadas a continuación son correctas.
u
e
e
d
u
ude
d
u
ud
u
d
d
d
-u
u
du
u
du
d
d
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Nota: El negativo de un vector conserva su tamaño y dirección, pero tiene distinto
sentido.
v
v
Actividad 4: “Propiedades de la Suma”.
La suma vectorial tiene las siguientes propiedades:
Conmutatividad:
Asociatividad:
Neutro aditivo:
Inverso aditivo:
A+B=B+A
A + (B + C) = (A + B) + C
A+0=A
A + (-A) = 0
Actividad 5: “Ponderación de Vectores”.
Sea “m” un número real y A un vector de coordenadas (x,y) en dos
dimensiones, entonces la ponderación de A por “m” se define por: mA, esto es
(mx,my) ponderar un vector por número real positivo, distinto de 1, solamente
cambia su tamaño, pero al hacerlo por un número real negativo, distinto de (– 1),
también cambia su sentido.
Ejemplo: Considerando el vector A, se puede obtener los vectores 3A y -2A.
A
3A
-2A
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Actividad 6: “Ejemplos”.
Ejemplo 1. Sean los siguientes vectores libre E, F, G y H, determinar:
D = E+3F+0,5G+(-2)H.
G
F
H
E
Ejemplo 2. Sean los siguientes vectores libre K, L, M y N, determinar:
P = 0,25k+3,5L+0,5M+N.
L
K
M
N
Actividad 7: “Vector Unitario”.
Es todo vector de módulo unidad. Si A es un vector de módulo distinto de cero,
A 0, el vector A/A, es un vector unitario de la misma dirección y sentido de A.
UA = A/A
Nota: Se puede anotar una magnitud como A y un vector como A.
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Los vectores unitarios permiten identificar el eje de coordenadas con el cual se
está trabajando, es decir:
Eje coordenado
X
Y
z
Vector unitario asociado
i
j
k
Actividad 8: “Ejemplo”.
Determinar el vector unitario, para el vector A = 3i – 4j + 8k
Actividad 9: “Vectores Componentes”.
Todo vector V en el espacio (tres dimensiones) se puede representar con su
origen en un sistema de coordenadas trirectangulares.
Sean (V1, V2, V3) las coordenadas cartesianas del punto extremo del vector V cuyo
origen es O, es decir (0,0,0).
Los vectores V1i , V2j, V3k, se llaman vectores componentes rectangulares o
simplemente vectores componentes de V según las direcciones x,y,z,
respectivamente. Los escalares V1, V2, V3 se llaman componentes rectangulares o
simplemente componentes del vector V según las direcciones x,y,z,
respectivamente.
Z
V3 k
V1 i
Y
V2 j
X
La suma o resultante de los tres vectores V1 i , V2 j, V3 k es el vector V, esto es:
V = V1 i + V 2 j + V3 k
El módulo o magnitud de V es:
V = [V12 + V22 + V32]½
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Actividad 10: “Ejemplos”.
Ejemplo 1: Representar gráficamente cada uno de los vectores indicados y
determinar la magnitud de cada uno de ellos.
a)
b)
c)
d)
E = -3i + 2j
F = i + 5j
G = 6i – 4j + 2k
H = 4i + 3j – 6k
Ejemplo 2: Dados los siguientes vectores E = -3i + 2j, F = i + 5j, G = -6i – 4j,
H = 4i + 3j, determinar su resultante en magnitud, dirección y sentido, indicando
sus componentes.
Actividad 11: “Vector Posición”.
Anteriormente se consideró que todo vector se puede representar por un punto en
un sistema coordenado rectangular, siendo dicho punto, el punto final del vector.
Ahora, cualquier punto referido al sistema coordenado rectangular entrega un
vector, el que se denomina vector posición. La notación del vector posición es r.
Ejemplo: El vector posición del punto (3,2) es el siguiente:
Y
2
r
X
3
Actividad 12: “Ejemplo”.
Dados los puntos A(1, -2) y B(4,-3), ubicados en un plano. Determinar:
a) Los vectores posición rA y rB de los puntos A y B.
b) El vector posición rC que va desde el punto A al punto B.
c) La magnitud del vector posición rC.
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Actividad 13: “Vectores y su relación con otros elementos”.



Un punto en el plano se representa por un par ordenado P(x,y).
El vector que une el punto origen del sistema de coordenadas, O(0,0), con el
punto P(x,y) se puede anotar como V = Vx i + Vy j.
Los vectores posición en dos dimensiones se pueden representan también
como un par ordenado que muestre como coordenadas las magnitudes en
cada eje del vector. Es decir:
V = Vx i + Vy j puede ser representado por V(x,y)

En el sistema de los números complejos anotamos en el eje horizontal la parte
real (a) y en el eje vertical la parte imaginaria (b), lo que se expresa
analíticamente: z = a + bj, y que también puede escribirse como par ordenado
z(a,b).
Observación: Se pueden anotar algebraicamente distintos elementos que se
ubican físicamente en el mismo lugar (en la gráfica), pero corresponden a
conceptos diferentes según el tema en que se esté trabajando.
Concepto
Punto en el plano
Número complejo
Vector posición
Forma trigonométrica
Forma polar
Forma exponencial
Notación
P(x,y)
z=a+bi o z=a+bj
r = rx i + ry j
r = r (cosi + sen j)
r = r∟
r = rej
Actividad 14: “Ejemplos”.
Ejemplo 1. Hallar la suma de los siguientes desplazamientos, entregando su
respuesta en forma rectangular:
A: 10 [m] hacia el noroeste.
B: 20 [m], norte 60º este.
C: 35 [m] hacia el sur.
Ejemplo2. Un hombre recorre a pie A: 630º, B: 6180º, C: 6120º, todos
medidos en metros. Determinar el vector posición resultante en forma polar.
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Para recordar: “Trigonometría del triángulo rectángulo”.
1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
tg = longitud cateto opuesto a /longitud cateto adyacente a 
2. Razones seno y coseno de un ángulo agudo.
sen = longitud cateto opuesto a /longitud de la hipotenusa
cos = longitud cateto adyacente a /longitud de la hipotenusa
Hipotenusa
Cateto opuesto a 

Cateto adyacente a 
Teorema de Pitágoras.
Sea:
a: cateto adyacente a .
b: cateto opuesto a .
c: hipotenusa.
a 2 + b 2 = c2
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Actividad 15: “El vector en Electrotecnia”.
El vector es una cantidad estática que representa posiciones fijas o magnitudes
invariables en el tiempo. En electrotecnia, se utiliza el fasor que es un vector que
cambia de posición periódicamente según varíe el tiempo. En un tiempo
determinado y a intervalos iguales de tiempo sucesivos, los puntos Q, R y S de
una partícula llevan el mismo tipo de movimiento, lo que se refleja en la posición
del vector en P.
Y
Y
P
Q
R
S
t[s]
.
t1
t2
t3
Actividad 16: “Producto Punto o Escalar”.
Definición.
Sean A y B dos vectores cualquiera, su producto escalar AB, se define como el
producto de sus módulos por el coseno del ángulo “” que forman. Por lo tanto:
AB = A·B·cos,
0
Obsérvese que AB es un escalar, un número, y no un vector.
Interpretación: La interpretación del producto punto es la proyección del primer
vector sobre el segundo, amplificado por la magnitud del segundo.
A

E
F
B
G
H
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EF = GH: corresponde a la proyección de A sobre B.
: es el ángulo que forma A con B.
Acos: proyección de A sobre B.
Pero: A·uB = A(1)cos = A cos: proyección de A sobre B.
Propiedades.
a) Propiedad Conmutativa: AB = BA
b) Propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma:
A(B + C) = AB + AC
c) Producto de un vector por un escalar: m(AB) = (mAB) = A(mB) = (AB) m
d) ii = jj = kk = 1 ; ij = jk = ki = 0
e) Dados A = A1 i + A2 j + A3 k y B = B1 i + B2 j + B3 k, se verifica:
AB = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3
AA = A2 = A12 + A22 + A32
BB = B2 = B12 + B22 + B32
f) Si AB = 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son perpendiculares.
Actividad 17: “Ejemplo”.
Sea M = 3i – j + 6k y N = -2i –4j –3k.
a) Calcular su producto punto e interpretar
b) Calcular el valor de la proyección de M sobre N.
c) Calcular el ángulo formado por los vectores.
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Actividad 18: “Producto Cruz o Vectorial”
Definición.




Dados los vectores A y B, su producto vectorial o cruz, es otro vector C = AxB.
El módulo de AxB es el producto de los módulos por el seno del ángulo “” que
forman los vectores A y B.
La dirección de C = AxB es la perpendicular al plano que forman A y B.
Luego:
AxB = A·B·sen·u(AxB)


Siendo u(AxB) un vector unitario que indica la dirección y sentido del producto
AxB.
Si AxB, o bien, si A tiene la misma dirección que B, el seno del ángulo será
cero, con lo que AxB = 0.
Interpretación: “El producto cruz entre dos vectores A y B, entregará como
resultado un tercer vector C, perpendicular al plano formado por los otros dos
vectores”.
C
A

B
Propiedades.
a) No goza de la Propiedad Conmutativa: AxB = - BxA
b) Propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma:
Ax(B+C) = AxB + AxC
c) Producto de un vector por un escalar: m(AxB) = (mA)xB = Ax(mB) = (AxB)m
d) ixi = jxj = kxk = 0 ; ixj = k, jxk = i, kxi = j
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e) Dados A = A1 i + A2 j + A3 k y B = B1 i + B2 j + B3 k, se verifica:
AxB =
i
A1
B1
j
A2
B2
k
A3
B3
f) El módulo de AxB representa el área del paralelogramo de lado A y B.
g) Si AxB = 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos tienen la misma
dirección.
Actividad 19: “Ejemplos”.
Ejemplo 1. Hallar los siguientes productos:
a) 2j X 3k
b) 3i X (-2k)
c) 2j X (i - 3k)
Ejemplo 2. Dados los vectores L = 2i – 3j – k y M = i + 4j –2k, hallar:
a) L x M
b) M x L
c) (L + M)x(L - M)
Ejemplo 3. Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por los
vectores:
S = 2i – 6j - 3k
T = 4i + 3j – k
Ejemplo 4. Si F = 2i –j - 3k y G = i - 2j + k, encontrar un vector 5 perpendicular a
los vectores F y G.
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Actividad 21: “Sugerencia de trabajo con el Texto: Física-Volumen 1Resnick-Halliday-Krane”.
Capítulo 3: “Vectores”.



Definiciones, ejercicios resueltos: pág 41 a 50.
Preguntas 1 a 22: pág 53.
Problemas:
1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,30,31,32,33,34,3
8,39,40.
Observación: En biblioteca puede encontrar los siguientes textos de apoyo:
 Murria R. Spiegel, “Análisis Vectorial”, Editorial Mc Graw-Hill, 1985.
 Resnick-Halliday-Kramer, “Física” Parte I. Cuarta Edición. CECSA. México.
2002.
 Sears-Zemansky, “Física Universitaria”. Tomo I. Novena Edición.
 Serway – Faughn, “Física”. Editorial Prentice Hall 2002.
 Tippens, “Física, Conceptos y Aplicaciones”, Editorial Mc Graw Hill, 2001.
 Alvarenga Beatriz, “Física General”, Editorial Harla, 1985.
 Hecht Eugene, “Física 1”, Editorial Thomson, Segunda Edición.
 Jones&Childers, “Física Contemporánea”, Editorial Mc Graw Hill, 2001.
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Problemas Propuestos.
Prob.1. Encontrar las componentes rectangulares de un vector de 1000 Unidades
de magnitud, cuando éste forma un ángulo, con respecto al eje de las x , de :
(a) 50º , (b) 130º , (c) 230º , haciendo uso de las funciones trigonométricas.
50º
130º
x
x
x
230º
R: (642; 766,0)
(-642,8; 766,0)
(-642,8; -766,0)
 

Prob.2. Sean los vectores D, E y F , representados en la figura. Cada uno de
ellos posee 120 unidades de magnitud. Las direcciones y sentidos son los
indicados en la figura. Determinar la dirección, magnitud y sentido de la resultante
de la suma de los tres vectores dados, a través del método analítico, o sea,
descomponiendo los vectores según el sistema coordenado rectangular.
D
E
40º
25º
70º
F
R: 57,9i + 15,0j
59,8
14,5°
Prob.3. Repetir el problema anterior, pero según el método del:
(a) Paralelogramo.
(b) Polígono.
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  

Prob.4. Sean cuatro vectores E , F , G y H ubicados consecutivamente, de tal





forma que
hace
un
ángulo
de
65º
con
;
el
vector
forma
67º
con
y
hace
H
G
G
F
F

85º con E . Las magnitudes de cada vector son de 9 unidades.
(a) Representar gráficamente estos cuatro vectores, según los datos dados.
(b) Construir el vector resultante, de tal manera que sea igual a:




4/3 G + E - 2 / 3 F - 1 / 3 H


(c) Determinar la magnitud del vector D y el ángulo que forma con E .

(d) Dibujar los vectores componentes, horizontal y vertical, del vector D y
determinar
las magnitudes que poseen, como los ángulos que forman con el

vector D.
R: (c.) 1,49 ; 6,78°.
Prob.5. Un hombre viaja 25[Km] rumbo 045, 15[Km] a 090 y 10[Km] 180. Usando
una escala apropiada determinar la distancia desde su posición de partida:
(A) Gráficamente.
(B) Analíticamente.
R: (B) 33,6 [Km].
Prob.6. Una mujer camina 250 [m] en dirección O35, y luego 170 [m] hacia el este.
(a) Usando método gráfico, halle su desplazamiento final a partir del punto de
arranque.
(b) Compare la magnitud del desplazamiento con la distancia que recorrió.
Prob.7. Un barco se dispone a zarpar hacia un punto situado a 124[Km] al Norte.
Una tormenta inesperada empuja el barco hasta un punto 72[km] al Norte y
31[Km] al Este de su punto de arranque. ¿Qué distancia y en qué dirección debe
navegarse, para llegar a su destino original?
R: (-31i + 52j) [Km]; 60,5 [Km]; 59,2.
Prob.8. Un golfista ejecuta tres golpes para meter la bola en el hoyo. El primer
golpe desplaza la bola 12 [m] al norte, el segundo 6 [m] en la dirección 135, y el
tercero 3 [m] a 210. ¿ Qué desplazamiento se necesitaría, para meter la bola en el
hoyo al primer golpe?. Trace el diagrama vectorial.
R: d =(2,74i + 5,16j)[m].
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Prob.9. Resolviendo por el Método Analítico, halle el desplazamiento resultante de
los vectores:
A : 20[Km] Este 30º Sur.
B : 50[Km] hacia el Oeste.
C : 40[Km] hacia el Noroeste.
D : 30[km] Oeste 60º Sur.
R: d = (-91,0i – 33,6j) [Km].
Prob.10. dados los vectores R1 = 3i - 2j + k, R2 = 2i - 4j - 3k, R3 = 6i + 2j + 3k
hallar los módulos de :
(a) R3
(b) R1 + R2 + R3
(c) 2R1 - 4R2 - 5R3
R: (a) 7.
(b) 11,7.
(c) 32,1.
Prob.11. Sea A = 4i - 6j - 4k y B = -i + 2j - 3k, determine:
(a) A + B
(b) A - B
(c) A  B
(d) Magnitud de A.
R: (a) 3i –4j –7k
(b) 5i –8j –k
(c.) 4
Prob.12. Dados los vectores A = 3i - 2j , B = i + k y C = 2j - 4k. Encuentre:
(a) El producto punto entre ( A + 2C ) y 3B.
(b) El ángulo formado por los vectores ( A + 2C ) y 3B.
(c) La proyección de A sobre B.
R: (a) –15
(b) 113,5°
(c.) 2,14
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Prob.13. Dados los vectores A = 3i - 2j , B = i + k y C = 2j - 4k. Encuentre:
(a) El ángulo formado por los vectores A + 2C y 3B.
(b) El producto cruz entre los vectores A + B y C.
R: (a) 113,5°
(b) 6i +16j +8k
Prob.14. Dados los vectores A y B del problema anterior, usando el teorema del
seno o coseno, encuentre la magnitud del vector A + B.
Prob.15. ¿ Para qué valores de "" son K = i - 2j + k y L = 2i + j- 4k,
perpendiculares?
R: 2; -1.
Prob.16. Dados los vectores U = i + 4j y V = 9i + 12j + k, encontrar los valores
de “” y “”, de manera que ambos vectores sean paralelos.
R:  = 0;  = 3.
Prob.17. Encontrar la proyección del vector 4i – 3j + k, sobre la recta que pasa
desde el punto ( -2 , 4 , 3 ) al punto ( 2, 3, -1 ).
R: 2,63.
Prob.18. Hallar un vector unitario perpendicular al plano formado por
A = ai - 2j + k y B = 2ai + aj -4k, de modo que A y B sean perpendiculares.
R: (0,29i + 0,57j –0,77k); (0,80i - 0,53j –0,27k)
Prob.19. Hallar un vector unitario, paralelo al plano XY que sea perpendicular al
vector -8i+ 6j -2k.
Prob.20. Encuentre un vector unitario en la dirección de la suma de los vectores
unitarios i+j+k, y el ángulo que forma con el eje X, Y y Z.
Prof. Manuel Plaza Bombal.