Ecuaciones lineales de orden n con coeficientes constantes

Ecuaciones lineales de orden n con coecientes constantes
Una ecuación lineal de orden n con coecientes constantes es una ecuación de la forma:
an
dn y(t)
dn−1 y(t)
dy(t)
+
a
+ . . . + a1
+ a0 y(t) = f (t)
n−1
n
n−1
dt
dt
dt
en la que la función incógnita y y sus derivadas aparecen en una combinación lineal (de ahí que
digamos que la ecuación es lineal) con coecientes ak ∈ IR (y por tanto constantes). Como la
ecuación es de orden n tenemos necesariamente que an 6= 0.
Es habitual emplear notación de operadores para escribir este tipo de ecuaciones de la forma:
L[y](t) = f (t)
donde L es el operador (entendido aquí como una función sobre funciones) que, dada una función
y nos devuelve otra función L[y] cuyo valor en un punto t viene dado por
L[y](t) = an
dn y(t)
dn−1 y(t)
dy(t)
+ a0 y(t)
+
a
+ . . . + a1
n−1
n
n−1
dt
dt
dt
Llamaremos Ecuación homogénea asociada a la ecuación anterior a la que resulta de
tomar f (t) = 0, es decir,
L[y](t) = 0
Llamaremos polinomio característico de una ecuación homogénea al polinomio de grado n
dk y(t)
q(λ) que resulta de sustituir en ella cada derivada
por el término λk
dtk
Dada la ecuación
an
dn y(t)
dn−1 y(t)
dy(t)
+ an−1
+ . . . + a1
+ a0 y(t) = 0
n
dt
dtn−1
dt
su polinoimio característico es
q(λ) = an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0
En la denición anterior se entiende que y(t) es la derivada de orden 0 de y en el punto t, por lo
que a0 y(t) se convierte en el término independiente a0 del polinomio.
Es fácil comprobar que el polinomio característico de una ecuación puede obtenerse introduciendo eλt en el operador L:
L[eλt ] = q(λ)eλt
1
Solución
Aunque la justicación teórica deberá esperar unos cuántos temas es fácil calcular, en determinadas circunstancias, la solución general de una ecuación de este tipo.
La solución general de una ecuación lineal es la suma de la solución general del
problema homogéneo asociado y una solución particular cualquiera.
• Es muy importante advertir que una solución del problema homogéneo no es nunca solución
del problema completo no homogéneo (es decir, con f (t) 6= 0).
Solución general del problema homogéneo
La propiedad fundamental de las soluciones de un sistema o ecuación de este tipo es que
Las soluciones de una ecuación lineal de orden n homogénea constituyen un espacio
vectorial de dimensión n
Si conseguimos encontrar, por tanto, una base del espacio de soluciones, es decir, n soluciones
linealmente independientes {x1 , . . . , xn }, podremos escribir cualquier solución como una de sus
combinaciones lineales. La solución general dependerá entonces de n constantes arbitrarias c1 , . . . cn
y la podremos expresar como
yH (t) = c1 x1 (t) + . . . + cn xn (t)
Cálculo de la base
Para calcular la base del espacio de soluciones basta conocer las n raíces del polinomio característico.
• A cada raiz real rk de multiplicidad mk del polinomio característico le corresponden
las mk soluciones:
{erk t , terk t , . . . , tmk −1 erk t }
• A cada par de raices complejas rk = ak ± ibk de multiplicidad mk (por ser el polinomio
característico de coecientes reales si un complejo es raiz también lo es su complejo
conjugado) le cortresponden las 2mk soluciones:
{ eak t sen(bk t), teak t sen(bk t), . . . , tmk −1 eak t sen(bk t),
eak t cos(b t), teak t cos(b t), . . . , tmk −1 eak t cos(b t)}
k
k
2
k
Ejemplo: Calcular la solución general de las ecuaciones a)y 00 + y = 0;
b)y 00 − 2y 0 + y = 0;
a) El polinomio característico es q(λ) = λ2 + 1 que tiene por raíces ±i con multiplicidad 1, luego
una base del espacio de soluciones es {sen(t), cos(t)} y la solución general es
y(t) = Asen(t) + Bcos(t)
b)El polinomio característico es q(λ) = λ2 − 2λ + 1 cuyas raíces son 1 doble, luego la solución
general es
y(t) = Aet + Btet
Solución Particular. Método del Anulador
Para calcular una solución particular en el caso general deberemos esperar hasta conocer el
método de variación de las constantes para sistemas lineales. Sin embargo, existen ciertos casos
en los que es posible calcularla de manera sencilla:
• Si el término f (t) es solución de alguna ecuación lineal homogénea de coecientes constantes
podemos aplicar el método del anulador.
Justicación y Método
Supongamos que existe una ecuación lineal homogénea de coecientes constantes de la que f (t)
es solución, es decir, en términos de operadores, existe un operador M tal que M [f ](t) = 0.
Como la ecuación original es L[y](t) = f (t), aplicando el operador M obtendríamos
h
i
M L[y] (t) = M [f ](t) = 0. La composición de los dos operadores M y L es un nuevo operador
T , algunas de cuyas soluciones cumplen la ecuación original L[y](t) = f (t). Buscaremos, por
tanto, nuestra solución particular entre las soluciones de la ecuación homogénea T [y](t) = 0.
Es fácil obtener el polinomio característico del operador T :
h
i
h
i
T [eλt ] = M L[eλt ] = M qL (λ)eλt = qL (λ)M [eλt ] = qL (λ)qM (λ)
donde qL y qM son los polinomios característicos de los operadores L y M respectivamente. Es
decir,
La solución particular que buscamos es combinación lineal de las soluciones de un
problema homogéneo mayor cuyas raíces características son la suma de las del operador
L y el operador M .
Dentro de la base del espacio de soluciones de este problema ampliado están las soluciones
del problema homogéneo L[y](t) = 0, que jamás contribuirán a la solución particular. Un uso
3
inteligente del argumento anterior implica la exclusión de éstas en la combinación lineal candidata
a solución de nuestro problema.
Obsérvese la importancia de reconocer funciones que pueden ser solución de una ecuación lineal
de coecientes constantes y las raíces de las que proviene.
Ejemplo: Las siguientes funciones pueden ser soluciones de ecuaciones lineales de coecientes
constantes, correspondiendo a las raíces que se indican
• e3t . Corresponde a la raiz λ = 3 con multiplicidad 1
√
• 27 π . Corresponde a la raiz λ = 0 con multiplicidad 1.
• t3 +te3t . Es suma de t3 que corresponde a λ = 0 con multiplicidad 4 y te3t que corresponde
a λ = 3 con multiplicidad 2.
1 1
+ cos(2t). Luego corresponde a raíces λ = 0
2 2
con multiplicidad 1 y ±2i con multiplicidad 1 (recuérdese que siempre que tengamos una
• cos2 (t). Se puede escribir como cos2 (t) =
raiz compleja tenemos automáticamente su compleja conjugada)
• sh(t). El seno hiperbólico es una combinación lineal de las exponenciales et y e−t , por lo
que corresponde a las raíces 1 y -1, ambas con multiplicidad 1.
• tk eat cosb (t). Como cualquier potencia de seno y coseno se puede escribir como una combinación lineal de cos(mt) y sen(mt) todas estas funciones coresponden a varios autovalores
complejos de parte real a, con partes imaginarias igual a los valores m que aparezcan en la
combinación lineal anterior y multiplicidad k + 1.
• 2−t . Podemos escribir cualquier exponencial como una exponencial de base e. 2−t =
−t
eln 2 = e−t ln 2 que corresponde a un autovalor λ = − ln 2 con multiplicidad 1.
Ejemplo: Las siguientes funciones no son solución de ecuaciones lineales de coecientes constantes:
• ln t
• ln (1 + t)
• tg(t)
• arccos(t)
• sec (t)
Ejemplo: Escribir explícitamente la ecuación lineal homogénea de coecientes constantes y
mínimo orden que tiene a tsen(t) + t como solución.
Para que tsen(t) + t sea solución deben ser raíces ±i con multiplicidad 2 y 0 con multiplicidad 2.
El polinomio de grado mínimo que tiene estas raíces es q(λ) = (λ − i)2 (λ + i)2 λ2 = λ6 + 2λ4 + λ2 ,
y la ecuación que lo tiene por polinomio característico es:
d6 y(t)
d4 y(t) d2 y(t)
+
2
+
=0
dt6
dt4
dt2
4
Ejemplo: Calcular la solución general del problema
d4 y(x)
− y(x) = sen(x).
dx4
d4 y(x)
−y(x) = 0 cuyo polinomio característico q(λ) = λ4 −1
dx4
tiene por raíces 1, -1 y ±i todas ellas con multiplicidad 1. La solución general del problema
La ecuación homogénea asociada es
homogéneo es entonces
yH (x) = A1 ex + A2 e−x + A3 cos(x) + A4 sen(x)
Para calcular la solución particular hay que tener en cuenta que el término no homogéneo f (x) =
sen(x) corresponde a raíces ±i con multiplicidad 1. El problema ampliado tiene entonces por
raíces 1 y-1 con multiplicidad 1 y ±i con multiplicidad 2.
Las soluciones de este problema están generadas por la base
{ex , e−x , sen(x), cos(x), xsen(x), xcos(x)}
Retirando las cuatro primeras, que son solución de nuestro problema homogéneo, debemos buscar
la solución particular como una combinación de las otras dos:
yP (x) = axsen(x) + bxcos(x)
Introduciendo este candidato en la ecuación obtenemos
sen(x) =
d4 yP (x)
− yP (x) = −4acos(x) + 4bsen(x)
dx4
y como esta ecuación debe ser válida ∀x necesariamente tenemos que a = 0 y b = 1/4 con lo que,
1
nalmente yP (x) = xcos(x) y la solución general pedida es
4
1
y(x) = A1 ex + A2 e−x + A3 cos(x) + A4 sen(x) + xcos(x)
4
Ejemplo: Se sabe que sen(t) + t2 es solución de la ecuación lineal de coecientes constantes
L[y](t) = 2 de mínimo orden posible. Calcular la solución general del problema homogéneo
associado. Escribir explícitamente la ecuación y dar su solución general.
La información que nos da el enunciado es sobre una solución y sobre el término no homogéneo
f (t) = 2 pero no tenemos información sobre la ecuación homogénea. Podemos aplicar el método
del anulador a la inversa para obtener la información que nos falta.
Tenemos el siguiente cuadro de raices con sus multiplicidades:
Raíces del P. Homogéneo
Raíces de f (t)
Raíces de la Sol. Particular
λ = 0 multip. 1
λ = ±i multip. 1
λ = 0 multip. 3
5
Como las raíces en la última celda deben ser la suma de las que hay en las dos anteriores, tenemos
para el problema homogéneo las raíces λ = ±i con multiplicidad 1 y λ = 0 con multiplicidad 2.
La base del espacio de soluciones del problema homogéneo es entonces {1, t, sen(t), cos(t)} y su
solución general
yH (t) = A + Bt + Csen(t) + Dcos(t)
El polinomio que tiene por raíces las anteriores es q(λ) = aλ2 (λ2 + 1) = a(λ4 + λ2 ) y por tanto
³ d4 y(t) d2 y(t) ´
la ecuación es a
+
=2
dt4
dt2
Para calcular el valor de a basta observar que como sen(t) + t2 debe ser solución del problema,
tenemos que a(−sen(t) + sen(t) + 2) = 2 y, por tanto, a = 1. La ecuación es, entonces:
d4 y(t) d2 y(t)
+
=2
dt4
dt2
Y su solución general es la suma de la solución general del problema homogéneo y una solución
particular, es decir y(t) = A + Bt + Csen(t) + Dcos(t) + t2 + sen(t) o, lo que es lo mismo si
observamos que sen(t) es una solución del homogéneo
y(t) = A + Bt + Csen(t) + Dcos(t) + t2
José Olarrea Busto
6