Ejercicio 1

Estadística
EIAE (UPM)
Ejeriios de
modelos ontinuos
Estadística– p. 1
Ejercicio 1
Estadística
EIAE (UPM)
A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que
a) En 1 minuto lleguen dos coches.
b) En 1 minuto lleguen al menos dos coches.
c) En 5 minutos lleguen 10 coches.
d) El primer coche que llegue lo haga pasados 40 segundos.
e) El primer coche que llegue lo haga antes de 40 segundos.
f) El quinto coche que llegue lo haga pasados 2 minutos.
g) El quinto coche que llegue lo haga antes de 2 minutos.
h) El noveno coche que llegue lo haga antes de que pasen 5 minutos desde
que llegó el cuarto coche.
Estadística– p. 2
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que
a) En 1 minuto lleguen dos coches.
λ = 3 ≡ Número medio de coches que llegan en 1 minuto
X ≡ Número de coches que llegan en 1 minuto ≡ P(λ = 3)
λx λ
P (X = x) =
e
x!
x = 0, 1, 2, . . .
32 −3
P (X = 2) =
e = 0.2240
2!
Estadística– p. 3
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que
b) En 1 minuto lleguen al menos dos coches.
λ = 3 ≡ Número medio de coches que llegan en 1 minuto
X ≡ Número de coches que llegan en 1 minuto ≡ P(λ = 3)
λx λ
P (X = x) =
e
x!
x = 0, 1, 2, . . .
P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 −
1
X
3x
x=0
x!
e−3 = 0.8008
Estadística– p. 4
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que
c) En 5 minutos lleguen 10 coches.
λ = 15 ≡ Número medio de coches que llegan en 5 minutos
X ≡ Número de coches que llegan en 5 minutos ≡ P(λ = 15)
λx λ
P (X = x) =
e
x!
x = 0, 1, 2, . . .
1510 −15
P (X = 10) =
e
= 0.0486
10!
Estadística– p. 5
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que
d) El primer coche que llegue lo haga pasados 40 segundos.
λ ≡ Número medio de coches que llegan en 1 segundo =
3
1
=
60
20
X ≡ Tiempo, en segundos, que tarda en llegar el primer coche ≡ Exp(λ)
f (x) = λ e−λx
1
P (X > 40) =
20
Z
+∞
40
x≥0
+∞
1
1
− 20
x
− 20
x
e
dx = −e
= e−40/20 = e−2 = 0.1353
40
Estadística– p. 6
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que
e) El primer coche que llegue lo haga antes de 40 segundos.
λ ≡ Número medio de coches que llegan en 1 segundo =
3
1
=
60
20
X ≡ Tiempo, en segundos, que tarda en llegar el primer coche ≡ Exp(λ)
f (x) = λ e−λx
1
P (X < 40) =
20
Z
0
40
x≥0
40
1
1
e− 20 x dx = −e− 20 x = 1 − e−40/20 = 1 − e−2 = 0.8647
0
Estadística– p. 7
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que
f) El quinto coche que llegue lo haga pasados 2 minutos.
λ ≡ Número medio de coches que llegan en 1 minuto = 3
X ≡ Tiempo, en minutos, que tarda en llegar el quinto coche ≡ Er(n = 5, λ = 3)
λn n−1 −λx
f (x) =
x
e
Γ(n)
5
3
P (X > 2) =
4!
Z
x≥0
+∞
x4 e−3x dx = 115 e−6 = 0.2851
2
Estadística– p. 8
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que
g) El quinto coche que llegue lo haga antes de 2 minutos.
λ ≡ Número medio de coches que llegan en 1 minuto = 3
X ≡ Tiempo, en minutos, que tarda en llegar el quinto coche ≡ Er(n = 5, λ = 3)
λn n−1 −λx
f (x) =
x
e
Γ(n)
5
3
P (X < 2) =
4!
Z
0
x≥0
2
x4 e−3x dx = 1 − 115 e−6 = 0.7149
Estadística– p. 9
Estadística
Ejercicio 1
EIAE (UPM)
A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que
h) El noveno coche que llegue lo haga antes de que pasen 5 minutos desde
que llegó el cuarto coche.
λ ≡ Número medio de coches que llegan en 1 minuto = 3
X ≡ Tiempo, en minutos, que tarda en llegar el quinto coche ≡ Er(n = 5, λ = 3)
λn n−1 −λx
f (x) =
x
e
Γ(n)
35
P (X < 5) =
4!
coche
4o
tiempo
0
5o 6o
Z
5
4 −3x
x e
0
x≥0
22403 −15
e
= 0.9991
dx = 1 −
8
7o
8o
9o
5min
Estadística– p. 10
Ejercicio 2
Estadística
EIAE (UPM)
Un sistema está formado por tres componentes independientes, C1 , C2 y C3 ,
colocados en serie, de tal forma que si uno de los componentes se avería,
el sistema deja de funcionar. En media, se produce un fallo cada 1000h,
500h y 400h, en cada componente, respectivamente. Si se produce un fallo
de uno o varios componentes, se repara inmediatamente, y el sistema sigue
funcionando en las mismas condiciones. Se pide,
(a) Obtener la distribución del tiempo de vida del sistema completo.
(b) Calcular la probabilidad de que el sistema no falle en las primeras 100h
de su puesta en funcionamiento.
(c) Calcular la probabilidad de que el segundo fallo del componente C1 se
produzca pasadas las primeras 500h.
Estadística– p. 11
Estadística
Ejercicio 2
EIAE (UPM)
(a) Obtener la distribución del tiempo de vida del sistema completo.
C1 −→ λ1 =
1
1000
C2 −→ λ2 =
1
500
C3 −→ λ3 =
1
400
Xk = Número de fallos de la componente k en 1h. ≡ P(λk )
Y = Tiempo de vida del sistema, en horas
Función de distribución de Y
F (t)
=
=
=
=
P(Y ≤ t) = 1 − P(Y > t) = 1 − P(en t horas haya 0 fallos del sistema) =
1 − P(en t horas haya 0 fallos de C1 y 0 fallos de C2 y 0 fallos de C3 ) =
3
Y
1−
P(en t horas haya 0 fallos de Ck ) =
1−
k=1
3
Y
k=1
e−λk t = 1 − e−(λ1 +λ2 +λ3 )t
Estadística– p. 12
Estadística
Ejercicio 2
EIAE (UPM)
(a) Obtener la distribución del tiempo de vida del sistema completo.
C1 −→ λ1 =
1
1000
C2 −→ λ2 =
1
500
C3 −→ λ3 =
1
400
Xk = Número de fallos de la componente k en 1h. ≡ P(λk )
Y = Tiempo de vida del sistema, en horas −→ F (t) = 1 − e−(λ1 +λ2 +λ3 )t
Función de densidad de Y
f (t) = F ′ (t) = (λ1 + λ2 + λ3 )e−(λ1 +λ2 +λ3 )t
t≥0
que corresponde a una v.a. Exponencial de parámetro λ = λ1 + λ2 + λ3 =
11
2000
Y = Tiempo de vida del sistema ≡ Exp(λ = λ1 + λ2 + λ3 )
Estadística– p. 13
Estadística
Ejercicio 2
EIAE (UPM)
(b) Calcular la probabilidad de que el sistema no falle en las primeras 100h de
su puesta en funcionamiento.
11
)
Y ≡ Tiempo de vida del sistema, en horas ≡ Exp(λ =
2000
P(no falle en las primeras 100 horas) = P(Y > 100) =
=λ
Z
+∞
100
11
e−λt dt = e−100λ = e− 20 = e−0.55 ≈ 0.5769
Estadística– p. 14
Estadística
Ejercicio 2
EIAE (UPM)
(c) Calcular la probabilidad de que el segundo fallo del componente C1 se produzca pasadas las primeras 500h.
1
C1 −→ λ1 =
1000
W1 = Tiempo, en horas, hasta que ocurre el segundo fallo de C1 ≡ Er(n = 2, λ1 )
λ21 −λ1 t
f (t) =
te
1!
t≥0
P(segundo fallo de C1 pasadas las primeras 500h.) =
= P(W1 > 500) = λ21
Z
+∞
500
te−λ1 t dt = (1 + 500λ1 ) e−500λ1 ≈ 0.910
Estadística– p. 15
Ejercicio 3
Estadística
EIAE (UPM)
El volumen de ventas diario de un kiosco se distribuye uniformemente
entre 500 y 1000e
(a) Probabilidad de que cierto día las ventas sean superiores a 685e
(b) ¿Cuál es el volumen medio de ventas diario?
(c) ¿Cuál es el volumen medio de ventas de un mes de 30 días?
Estadística– p. 16
Estadística
Ejercicio 3
EIAE (UPM)
El volumen de ventas diario de un kiosco se distribuye uniformemente
entre 500 y 1000e
(a) Probabilidad de que cierto día las ventas sean superiores a 685e
X ≡ Ventas de un día ≡ U(500, 1000)
1
1
=
X −→ f (x) =
1000 − 500
500
P (X > 685) =
Z
+∞
f (x) dx =
685
Z
1000
685
500 < x < 1000
1000 − 685
1
dx =
= 0.6300
500
500
Estadística– p. 17
Estadística
Ejercicio 3
EIAE (UPM)
El volumen de ventas diario de un kiosco se distribuye uniformemente
entre 500 y 1000e
(b) ¿Cuál es el volumen medio de ventas diario?
X ≡ Ventas de un día ≡ U(500, 1000)
1
1
=
X −→ f (x) =
1000 − 500
500
500 < x < 1000
a+b
500 + 1000
=
= 750 e
E[X] =
2
2
Estadística– p. 18
Estadística
Ejercicio 3
EIAE (UPM)
El volumen de ventas diario de un kiosco se distribuye uniformemente
entre 500 y 1000e
(c) ¿Cuál es el volumen medio de ventas de un mes de 30 días?
Xk ≡ Ventas del día k
=⇒
Xk ≡ U(500, 1000)
1
1
=
Xk −→ f (x) =
1000 − 500
500
k = 1, 2, . . . , 30
500 < x < 1000
a+b
=
E[X1 + · · · + X30 ] = E[X1 ] + · · · + E[X30 ] = 30 ×
2
500 + 1000
= 30 ×
= 30 × 750 = 22500 e
2
Estadística– p. 19
Estadística
Ejercicio 4
EIAE (UPM)
Dadas n v.a. independientes
X1 ≡ N(µ1 , σ1 ), . . . , Xn ≡ N(µn , σn ) =⇒ Y = X1 + · · · + Xn ≡
X1 ≡ N(µ, σ), . . . , Xn ≡ N(µ, σ) =⇒ Y = X1 + · · · + Xn ≡
X1 ≡ N(µ1 , σ1 ), . . . , Xn ≡ N(µn , σn ) =⇒ Y =
??
X1 + · · · + Xn
≡
n
X1 + · · · + Xn
≡
X1 ≡ N(µ, σ), . . . , Xn ≡ N(µ, σ) =⇒ Y =
n
??
??
??
Estadística– p. 20
Estadística
Ejercicio 4
EIAE (UPM)
X1 ≡ N(µ1 , σ1 ), . . . , Xn ≡ N(µn , σn ) =⇒ Y = X1 + · · · + Xn
q
Y ≡ N µ1 + · · · + µn , σ12 + · · · + σn2
X1 ≡ N(µ, σ), . . . , Xn ≡ N(µ, σ) =⇒ Y = X1 + · · · + Xn
√ Y ≡ N nµ, σ n
X1 + · · · + Xn
X1 ≡ N(µ1 , σ1 ), . . . , Xn ≡ N(µn , σn ) =⇒ Y =
n
!
p
σ12 + · · · + σn2
µ1 + · · · + µn
,
Y ≡N
n
n
X1 + · · · + Xn
X1 ≡ N(µ, σ), . . . , Xn ≡ N(µ, σ) =⇒ Y =
n
σ
Y ≡ N µ, √
n
Estadística– p. 21
Ejercicio 5
Estadística
EIAE (UPM)
El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con
media µ = 33 cl y desviación típica σ = 2 cl.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 35 cl?
(b) Si un paquete consta de 6 latas, ¿Cuál es la probabilidad de que
el contenido total sea inferior a 192 cl?
Estadística– p. 22
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con
media µ = 33 cl y desviación típica σ = 2 cl.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 35 cl?
X ≡ contenido de una lata ≡ N(33, 2)
P (X > 35) = P
35 − 33
Z>
2
= P Z > 1 = 0.1587
Estadística– p. 23
Ejercicio 5
Estadística
EIAE (UPM)
(b) Si un paquete consta de 6 latas, ¿Cuál es la probabilidad de que el
contenido total sea inferior a 192 cl?
X1 ≡ contenido de la lata 1 ≡ N(33, 2)
..
.
X6 ≡ contenido de la lata 6 ≡ N(33, 2)
√
X ≡ contenido del paquete = X1 + · · · + X6 ≡ N 6 × 33, 6 × 2
192 − 6 × 33 √
P (X < 192) = P Z <
=
6×2
= P Z < −1.22 = P Z > 1.22 = 0.1112
Estadística– p. 24
Ejercicio 6
Estadística
EIAE (UPM)
Se estima que el tiempo necesario para realizar un examen sigue
una distribución Normal de media 90 min. y desviación típica 7 min. El
examen comienza a las 9:00h
(a) Cinco amigos acuden al examen con la imperiosa necesidad de
que al menos uno de ellos termine antes de las 10:15h. Calcular
la probabilidad de que esto suceda.
(b) El profesor desea fijar un tiempo máximo, suficiente para que terminen el examen por lo menos el 75 % de los alumnos. ¿Cuál
deberá ser ese tiempo?
Estadística– p. 25
Estadística
Ejercicio 6
EIAE (UPM)
El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución Normal
de media 90 min. y desviación típica 7 min. El examen comienza a las 9:00h
(a) Probabilidad de que al menos uno de ellos termine antes de las 10:15h.
Xk ≡ Tiempo que tarda el alumno k en realizar el examen ≡ N(90, 7)
P(al menos 1 amigo acaba antes de 75 min.) =
= 1 − P(ningún amigo acaba antes de 75 min.) =
= 1 − P(los 5 amigos acaban después de 75 min.) =
5
Y
= 1 − P {X1 > 75} ∩ · · · ∩ {X5 > 75} = 1 −
P(Xk > 75) =
k=1
h
i5
h h
i5
75 − 90 i5
= 1 − P(X > 75) = 1 − P Z >
= 1 − 0.9838 ≈ 0.0784
7
Estadística– p. 26
Estadística
Ejercicio 6
EIAE (UPM)
El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución Normal
de media 90 min. y desviación típica 7 min. El examen comienza a las 9:00h
(b) Fijar un tiempo máximo, suficiente para que terminen el examen por lo
menos el 75 % de los alumnos.
X ≡ Tiempo que tarda un alumno en realizar el examen ≡ N(90, 7)
Buscamos el valor de t tal que
t − 90 0.75 ≤ P(1 alumno acabe antes de t min.) = P(X < t) = P Z <
7
t − 90
≈ 0.675
7
=⇒
t ≈ 94.7 min
Estadística– p. 27
Ejercicio 7
Estadística
EIAE (UPM)
En una empresa de productos lácteos hay dos máquinas embotelladoras
M1 y M2 que trabajan en paralelo y de forma independiente. El tiempo, en
segundos, que tarda cada una de ellas en embotellar una unidad sigue una
distribución Normal. La máquina M1 sigue una N(2, 0.4) y la máquina M2
una N(1.8, 0.3). Se pide,
(a) Calcular la probabilidad de que la primera unidad embotellada haya salido de la máquina M2 , sabiendo que ha salido en menos de 1.9s.
(b) Si cada una de las máquinas embotella 20 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que las 40 unidades estén embotelladas en menos de 38s?
(c) Si cada una de las máquinas embotella 10 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que las botellas producidas por M2 estén listas al menos un
segundo, antes que las producidas por M1 ?
Estadística– p. 28
Estadística
Ejercicio 7
EIAE (UPM)
Xk ≡ Tiempo, en segundos, que tarda la máquina Mk en embotellar una unidad
X1 ≡ N(2, 0.4)
X2 ≡ N(1.8, 0.3)
A = {La primera botella sale en menos de 1.9s}
Sk = {La primera botella sale de la máquina Mk }
P(A|S2 )P(S2 )
= 0.7489
P(S2 |A) =
P(A|S1 )P(S1 ) + P(A|S2 )P(S2 )
P(A|S1 ) = P(X1 ≤ 1.9) = P(Z ≤ −0.25) = 0.4013
P(A|S2 ) = P(X2 ≤ 1.9) = P(Z ≤ 0.33) = 0.6293
P(S1 ) = P(X1 ≤ X2 ) = P(X1 − X2 ≤ 0) = P Z ≤ −0.4 = 0.3446
√
2
2
X1 − X2 ≡ N 2 − 1.8, 0.4 + 0.3 = N 0.2, 0.5
P(S2 ) = P(X2 ≤ X1 ) = 1 − P(S1 ) = 0.6554
Estadística– p. 29
Estadística
Ejercicio 7
EIAE (UPM)
(b) Cada una de las máquinas embotella 20 unidades, ¿probabilidad de que las 40 unidades estén
embotelladas en menos de 38s?
Xk ≡ Tiempo, en segundos, que tarda la máquina Mk en embotellar una unidad
X1 ≡ N(2, 0.4) y
X2 ≡ N(1.8, 0.3)
U1 ≡ Tiempo, en segundos, que tarda la máquina M1 en embotellar 20 unidades
√
U1 = X1 + · · · + X1 ≡ N(20 × 2, 20 × 0.4) = N(40, 1.79)
|
{z
}
20
U2 ≡ Tiempo, en segundos, que tarda la máquina M2 en embotellar 20 unidades
√
U2 = X2 + · · · + X2 ≡ N(20 × 1.8, 20 × 0.3) = N(36, 1.34)
|
{z
}
20
Las máquinas trabajan en paralelo e independientemente, para que las 40 unidades estén embotelladas en menos de 38s deben estarlo las 20 de la máquina M1 y las 20 de la máquina M2
!
P {U1 ≤ 38} ∩ {U2 ≤ 38}
38 − 40
P Z≤
1.79
= P U1 ≤ 38 × P U2 ≤ 38 =
38 − 36
×P Z ≤
1.34
= 0.1314 × 0.9319 = 0.1224
Estadística– p. 30
Estadística
Ejercicio 7
EIAE (UPM)
(c) Cada una de las máquinas embotella 10 unidades, ¿probabilidad de que las botellas producidas
por M2 estén listas al menos un segundo, antes que las producidas por M1 ?
Xk ≡ Tiempo, en segundos, que tarda la máquina Mk en embotellar una unidad
X1 ≡ N(2, 0.4) y
X2 ≡ N(1.8, 0.3)
V1 ≡ Tiempo, en segundos, que tarda la máquina M1 en embotellar 10 unidades
√
V1 = X1 + · · · + X1 ≡ N(10 × 2, 10 × 0.4) = N(20, 1.26)
|
{z
}
10
V2 ≡ Tiempo, en segundos, que tarda la máquina M2 en embotellar 10 unidades
√
V2 = X2 + · · · + X2 ≡ N(10 × 1.8, 10 × 0.3) = N(18, 0.95)
|
{z
}
10
La máquina M2 debe acabar al menos un segundo antes que la máquina M1 , entonces {V1 −V2 ≥ 1}
p
V1 − V2 ≡ N 20 − 18, 1.262 + 0.952 = N(2, 1.58)
1−2
= P Z ≥ −0.63 = 0.7357
P V1 − V2 ≥ 1 = P Z ≥
1.58
Estadística– p. 31