Frecuentemente, la gente confunde a la matemática con

Frecuentemente, la gente confunde a la matemática con la aritmética y la considera meramente como una
ciencia que se ocupa de dar los procedimientos necesarios para realizar operaciones y cálculos. Sin
embargo, la matemática es mucho más que eso. El diccionario de la Real Academia Española la define
como:
Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o
símbolos, y sus relaciones.
El trabajo de un matemático no consiste en realizar cálculos complejísimos sino más bien, en buscar
patrones, formular conjeturas e intentar probarlas mediante razonamientos deductivos. De este modo, el
análisis de un juego, la resolución de un problema o un desafío forman parte del quehacer matemático. El
conocer qué es la matemática nos puede acercar a definir cuál es el objetivo de enseñar matemáticas en la
escuela y a determinar la mejor manera de hacerlo.
La enseñanza de las matemáticas ocupa un lugar central en la currícula escolar dedicándole hasta un 20%
del tiempo disponible. Pero, ¿cuáles son los objetivos de enseñar matemáticas a los estudiantes? Enseña a
pensar: La matemática desempeña un rol importante en el desarrollo del intelecto. Enseña a observar con
detenimiento, analizar una situación, realizar conjeturas, diseñar estrategias y utilizar un razonamiento
deductivo para probarlas. En fin, enseña a pensar críticamente.
Utilidad: Es bien sabido que las matemáticas son muy útiles y necesarias en la vida cotidiana así como en el
campo laboral de la mayoría de las profesiones. Uno emplea las matemáticas cuando decide si comprar o no
un electrodoméstico en cuotas, cuando calcula un descuento en el supermercado o cuando tiene que
decidir cómo acomodar los muebles en su casa. Ni hablar de los usos que le pueden dar un ingeniero, un
físico o un economista.
Comprensión del entorno: Los modelos matemáticos permiten una mejor comprensión del entorno. Sea
que se trate de interpretar información como los patrones de lluvia en una determinada región, los
impuestos, el índice de inflación, la velocidad, los planos de una casa, la latitud y la longitud, el movimiento
de la Luna alrededor de la Tierra los modelos matemáticos permiten una mirada más profunda de la
naturaleza y del entorno creado por el ser humano. Comprensión de otras áreas del conocimiento: La
matemática se enseña también porque permite la comprensión y el desarrollo de otras áreas del
conocimiento como por ejemplo: la Física, la Química, la Biología, la Economía y las Ciencias Sociales.
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En nuestro sistema educativo, la enseñanza verbalista tiene una larga tradición y los estudiantes están
acostumbrados a ella. Se pone mucho énfasis en aprender una determinada secuencia de procedimientos
en vez de entender qué es lo que se está haciendo, por qué y para qué. Frecuentemente, las clases de
matemáticas consisten en explicaciones impartidas por el maestro o profesor sobre los algoritmos
necesarios para realizar cálculos, operaciones y otros ejercicios. Los estudiantes se limitan, en el mejor de
los casos, a escuchar, tomar apuntes y luego estudiar de memoria los procedimientos para los exámenes. No
hay tiempo para la resolución de problemas, para discutir estrategias. Un gran número de factores
contribuyen a que esta situación se perpetúe en el tiempo: - con frecuencia el docente está acostumbrado a
este estado de cosas y lo ve como natural; en última instancia, así fue como él aprendió. - debido a la
extensión de los programas el docente decide cubrirlos en su totalidad y no se da tiempo para la resolución
de verdaderos problemas, para fomentar las intervenciones de los estudiantes, para enseñarles a pensar. los maestros y profesores no ven como esencial el enseñar matemáticas a través de la resolución de
problemas y tampoco están formados para encarar una clase desde esta perspectiva. - La falta de tiempo y
la escasa preparación de los docentes de matemáticas en otras disciplinas distintas a la suya resulta en la
falta de ejemplos que muestren la relación de las matemáticas con otras áreas del conocimiento, en una
escasa motivación de los estudiantes limitando su esfuerzo a estudiar para pasar los exámenes, luego de los
cuales olvidan, en su mayor parte, el contenido “aprendido”. Como consecuencia, este modo de enseñar las
matemáticas prácticamente no cumple con ninguno de los objetivos que planteamos anteriormente.
Ciertamente, este enfoque no enseña a pensar; con suerte enseña a repetir procedimientos que fácilmente
son reemplazables por una computadora o un teléfono celular. Tampoco permite aprovechar la utilidad de
las matemáticas en distintas situaciones de la vida cotidiana y profesional. Si los estudiantes no comprenden
la matemática y aprenden a resolver problemas, difícilmente puedan hacer ellos mismos la transferencia de
conocimientos cuando la situación lo requiera. Simplemente, no estarán disponibles en su bagaje de
herramientas. Para que haya una comprensión del entorno y vinculación con otras áreas del conocimiento
es necesario resolver algunos problemas y tratar situaciones que vayan más allá de los conocimientos
puramente matemáticos. Esta vinculación debe ser explícita y no tácita.
Aunque esta pregunta resulte un tanto obvia vale la pena responderla porque frecuentemente se confunde
problema con ejercicio. Un problema implica una situación novedosa que no se resuelve aplicando
metódicamente algún procedimiento, sino que requiere de análisis y diseño de estrategias. Podría decirse
que si un problema se resuelve en menos de 15 minutos, entonces no es un problema sino un ejercicio.
También en importante distinguir entre un problema propiamente dicho y un problema tipo. Este último no
es un verdadero problema ya que no implica una situación novedosa que requiere el diseño de estrategias
sino simplemente es un ejercicio con enunciado narrado con estrategias prediseñadas y aprendidas para ser
repetidas.
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Básicamente, la resolución de problemas permite cumplir con los objetivos de enseñar matemáticas que
planteamos anteriormente. Por un lado, ayuda a aprender a pensar que es el objetivo central de enseñar
esta ciencia. Para resolver un problema los estudiantes debe analizar una situación no ordinaria con
detenimiento, realizar conjeturas, diseñar una estrategia y llevarla a cabo utilizando el razonamiento
deductivo. A su vez, deben evaluar su trabajo, determinar si el camino elegido es el correcto y si el problema
está bien resuelto. Por otra parte, el comprender y aprender a emplear diversas estrategias permite
aprovechar la utilidad de las matemáticas en situaciones de la vida cotidiana y en el campo profesional. Uno
nunca, salvo en el contexto artificial de una clase de matemáticas tradicional, se encuentra con una
formulación matemática ya digerida, sea una ecuación, una figura geométrica o una función. Al enfrentarse
a una situación, primero se deben identificar los datos relevantes y separarlos de los irrelevantes, luego
plantear matemáticamente el problema si correspondiera y finalmente encontrar la solución, si es que la
hay. Todo esto debe ser enseñado y guiado por el docente ya que no se puede esperar que el estudiante
haga la transferencia sólo, pues justamente es la parte más difícil. Es como si la formación de un mecánico
de automóviles consistiera en una clasificación exhaustiva de las distintas piezas y herramientas con la
descripción de sus tamaños y materiales; pero nunca lo enfrentáramos a un vehículo real.
En su libro “Mathematical problem solving” publicado en 1985 Allan Schoenfeld identificó cuatro aspectos
centrales que son necesarios considerar cuando se enseña a los estudiantes a resolver problemas de
matemáticas:
Recursos: Los recursos son los conocimientos previos que posee el individuo; se refiere, entre otros, a
conceptos, fórmulas, algoritmos, y, en general, a todas las nociones que se considere necesario saber para
enfrentarse a un determinado problema. El docente debe, no sólo tener en cuenta cuáles son las
herramientas con las que cuenta el estudiante, sino que también debe ser conciente del inventario de
recursos que dispone. Es decir, que necesita conocer cómo los estudiantes acceden a los conceptos que
tienen. Por otra parte, también es necesario considerar los recursos defectuosos, es decir, aquellos
procedimientos o fórmulas mal aprendidas o que el estudiante aplicar en situaciones que no son las
apropiadas.
Heurísticas: Las heurísticas son las estrategias que se emplean para resolver un problema. Puede ser
razonar por el absurdo, hace un esquema, explorar simetrías, analizar el problema de atrás hacia adelante,
etc. Estas estrategias varían de problema en problema, o al menos entre tipos de problemas. Es por esto,
que tal vez la manera más conveniente para aprender diferentes heurísticas es a través de la resolución de
problemas variados y no tanto mediante análisis teóricos de las mismas.
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Control: Se refiere a cómo un estudiante controla su trabajo. En primer lugar, debe asegurarse de
comprender el problema y no abocarse a resolverlo antes de estar seguro de haberlo entendido. Luego debe
considerar distintas posibilidades para resolverlo, es decir, debe diseñar una estrategia. Si el estudiante
puede ver una serie de caminos posibles para resolver el problema, luego debe ser capaz de darse cuenta si
el que seleccionó está funcionando o si va hacia un callejón sin salida. En otras palabras, tiene que darse
cuenta a tiempo, retroceder e intentar de nuevo empleando otra estrategia. Es frecuente que un estudiante
que escogió un camino para resolver un problema, se empecine con él y no lo abandone. Incluso puede
aplicar recursos erróneos y llegar a una solución equivocada sin percatarse de ello. Todo esto debe ser
controlado: la elección de una entre varias estrategias posibles, llevarla a cabo o abandonarla si no es útil,
detectar si se empleó mal algún procedimiento y analizar si la respuesta es coherente con lo que pide el
problema. El estudiante debe poder monitorear y evaluar constantemente el proceso de resolver el
problema. Debe conocerse a sí mismo y saber qué es capaz de hacer, con qué herramientas cuenta y cómo
reacciona frente a la resolución de un problema.
Sistemas de creencias: Las creencias sobre la matemática inciden notablemente en la manera en la que los
estudiantes, e incluso los profesores, abordan la resolución de un problema. Las creencias condicionan
prácticamente todos los aspectos relacionados con el aprendizaje de las matemáticas. Por ejemplo:
•
Determinan el tiempo que le dedican los estudiantes a un problema antes de abandonarlo.
•
Determinan si el estudiante considera que debe aplicar conocimientos formales o no.
•
Determinan la manera en que los estudiantes tratan de aprender matemática, memorizando o no.
De este modo, si los estudiantes creen que la matemática es simplemente una serie de reglas que deben
memorizar, difícilmente tengan una buena predisposición para tratar de comprenderla, y menos para
resolver un problema, pues no lo considerarán útil. Las creencias sobre las matemáticas más frecuentes
entre los estudiantes incluyen:
•
Los problemas tienen una sola respuesta correcta.
•
Existe una única manera de resolver correctamente un problema, generalmente es la regla que profesor
dio en clase.
•
Los estudiantes no pueden esperar comprender matemática, con suerte podrán memorizarla y aplicarla
cuando la hayan aprendido mecánicamente.
•
En la matemática no hay trabajo en grupo, todo el trabajo es individual. - Los estudiantes que han
entendido matemáticas podrán resolver cualquier problema que se les asigne en 5 minutos o menos.
•
Las matemáticas aprendidas en la escuela tienen poco o nada que ver con el mundo real y no son útiles
para resolver situaciones cotidianas. - El razonamiento formal y deductivo sólo es necesario utilizarlo
para demostrar algo que el profesor dice que se puede demostrar.
•
Sólo los genios pueden resolver verdaderos problemas de matemáticas.
Estas son solo algunas de las creencias frecuentes en los estudiantes. Por otra parte, las creencias de los
profesores también tienen mucho impacto en cómo se desarrollan las clases de matemáticas e incluso
modelan algunas de las creencias de los alumnos que mencionamos anteriormente. Estas creencias están
condicionadas por la forma en que los profesores mismos aprendieron matemáticas en la escuela y el
profesorado. Algunas creencias frecuentes son:
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•
La matemática es fija y predeterminada, y los procesos generativos no son relevantes para enseñarla. Es
un producto terminado que debe ser asimilado.
•
El docente debe impartir la información y el estudiante debe aprenderla.
•
Es más importante dedicar el tiempo a cumplir el programa que a actividades más entretenidas como la
resolución de problemas, desafíos, etc.
•
Resolver muchos ejercicios ayuda a aprender matemáticas.
•
Enseñar recetas es más eficiente para poder resolver ejercicios que explicar los fundamentos de los
procedimientos, sobre todo en estudiantes de bajo rendimiento.
•
No es necesario dedicar tiempo de la clase a vincular la matemática con otras áreas del conocimiento.
Eso es tarea de otras materias.
•
El alumno que entendió debería poder resolver todo lo que se le asigne. Cada problema o ejercicio no
resuelto es una falla que debe ser corregida.
Finalmente las creencias sociales, tienen un gran impacto en la enseñanza de las matemáticas pues
determinan qué pueden aprender los estudiantes a diferentes edades, qué deben aprender en un
determinado momento de la escolaridad y cuál es el mejor método para enseñar matemáticas.
Experiencias realizadas por Schoenfeld en los años 80 mostraron que los estudiantes, al enfrentarse a un
problema novedoso, lo leen e inmediatamente eligen un enfoque al cual se avocan. Continúan trabajando
en el camino escogido, a pesar de existir claras evidencias de que no están progresando y cuando se les
pregunta por la estrategia empleada generalmente no pueden justificar su elección.
En cambio, cuando un matemático se enfrenta a la resolución de problemas dedica gran parte del tiempo a
analizar el enunciado y escoger la estrategia más adecuada a implementar, sin perder tiempo en una
exploración no estructurada. Además, es capaz de evaluar si un determinado camino es correcto o si debe
abandonarlo en pos de otro más apropiado.
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Estas actitudes y mecanismos de control, pueden ser adquiridos por los estudiantes; pero deben ser
activamente fomentados por los docentes a través de la resolución de problemas, el análisis de estrategias y
demás.
¿Cómo podemos implementar la resolución de problemas en la escuela?
Las acciones del docente en una clase de resolución de problemas pueden dividirse en 3 etapas:
•
Las acciones previas donde el docente comunica a los estudiantes el problema y se asegura de que lo
hayan comprendido.
•
Las acciones durante la resolución por parte de los estudiantes, donde el docente los acompaña y sirve
de apoyo.
•
Las acciones posteriores donde se discuten entre todos las distintas estrategias, extensiones del
problema, etc.
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Hoy en día se le dedica un tiempo excesivo al tratamiento de los recursos en las clases de matemáticas en
desmedro de la resolución de problemas y otras actividades que pueden ser muy fructíferas. Los motivos
son varios:
•
Gran parte del tiempo se dedica a repasar contenido mal aprendido u olvidado por los estudiantes.
•
Algunos recursos que se enseñan son excesivamente complejos o rebuscados y muy difícilmente los
estudiantes los empleen en un problema. Por ejemplo, una ecuación que ocupe un renglón completo
puede aparecer en un problema al que se enfrente un ingeniero, un físico o un matemático, pero no un
estudiante de 13 años de edad.
•
Erróneamente, se considera más importante que los estudiantes puedan resolver correctamente los
ejercicios a que puedan resolver problemas que empleen recursos un poco más sencillos.
•
Se considera que los recursos enseñados como receta son más fáciles de asimilar y repetir por los
estudiantes que explicándoles el porqué de cada paso.
En primer lugar, es fundamental que los docentes realicen un análisis detallado de qué recursos consideran
importantes y necesarios para la resolución de problemas o para aprender otros recursos más adelante en la
escolaridad y que también les serán de utilidad. Por ejemplo, ¿vale la pena dedicar mucho tiempo a
operaciones de ángulos en grados, minutos y segundos?, ¿tiene sentido realizar una operación combinada
que ocupe un renglón entero?, ¿sirve de algo aplicar una fórmula de geometría sin entender para qué sirve
o en qué condiciones es válido aplicarla?
Es decir, el docente debe determinar cuál es el objetivo de enseñar un determinado tema y diseñar las
clases en pos de ese objetivo. De este modo, si llegamos a la conclusión de que el objetivo de enseñar
proporcionalidad y porcentajes es brindarles a los estudiantes herramientas para resolver situaciones
cotidianas, las actividades y problemas deben estar orientados en este sentido.
Otro aspecto importante es que los recursos no deben enseñarse de manera aislada y descontextualizada
sino relacionando con los contenidos que los estudiantes aprendieron previamente. La matemática es una
sola y el separarla categóricamente en distintos temas que se tratan de manera aislada no contribuye a la
comprensión. Todo lo contrario.
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A su vez, se debe buscar motivar a los estudiantes de modo generarles interés en el tema ya sea
relacionando con la vida cotidiana, con otras áreas del conocimiento, problemas, desafíos o juegos. La
enseñanza tradicional de las matemáticas se ha ocupado de dar respuestas a preguntas que los estudiantes
nunca se hicieron. No es de extrañar que no la comprendan, ni le encuentren utilidad, ni les interese.
Por otra parte, la manera tradicional de enseñar los recursos como receta resulta insuficiente para el
aprendizaje. Para una computadora, puede resultar óptimo un procedimiento secuencial para resolver una
tarea porque disminuye el tiempo de procesamiento. Esto no funciona así en los ser humanos que somos
más propensos al error y a los olvidos. Una secuencia lineal de pasos es la manera más lábil de construir un
conocimiento ya que olvidarse un paso implica no poder resolver la situación. Por lo tanto, si nuestra
intención es enseñarles matemáticas a seres humanos debemos crear relaciones y mecanismos de control
que les permitan a los estudiantes moverse por distintos caminos hasta llegar a la solución.
¿Y cómo pueden los estudiantes con dificultades aprender los porqués de los procedimientos si ni siquiera
pueden aprender las reglas empleadas? Justamente, no pueden aplicar las reglas porque no entienden qué
están haciendo. Por otra parte, si comprenden los procedimientos no será necesario perder tanto tiempo
repitiéndolos. A su vez, el explicar los porqués puede ayudar a desmitificar muchas de las creencias que
poseen los estudiantes sobre las matemáticas.
Existen varias maneras de encarar una clase de resolución de problemas para que los estudiantes aprendan
diferentes heurísticos y desarrollen mecanismos de control apropiados.
A) Se les propone a los estudiantes uno o dos problemas y se les da un tiempo para que lo piensen
individualmente. Dependiendo de la duración de la clase pueden ser 30 minutos o se pueden dar de
una clase a la otra. Luego el docente, junto con la participación activa de los estudiantes, va
discutiendo las distintas estrategias empleadas.
B) Se les propone a los estudiantes uno, dos o tres problemas. Se leen los enunciados entre todos y se
discuten aquellos términos que presenten confusión. Luego los estudiantes resuelven los problemas
individualmente o en grupos pequeños (para favorecer la colaboración y el desarrollo de
mecanismos de control). El docente va pasando por los bancos interrogando a los estudiantes sobre
su trabajo: ¿qué estás haciendo exactamente? ¿Por qué lo estás haciendo? ¿Cómo te ayuda a
resolver el problema? Estas preguntas ayudan a que los estudiantes aprendan a desarrollar
mecanismos de control. Cuando sea necesario proveer de sugerencias para ayudar a superar
bloqueos. Luego discutir entre todas las distintas estrategias empleadas, relacionar con otros
problemas vistos anteriormente, etc.
C) Se les propone a los estudiantes un problema. Se lee el enunciado entre todos y se discuten aquellos
términos que presenten confusión. Luego se discute entre todos diferentes estrategias para encarar
el problema sin privilegiar una por sobre las demás, simplemente para mostrar diferentes caminos
que podrán tomar. Luego los estudiantes resuelven el problema individualmente o en grupos
pequeños. El docente va pasando por los bancos interrogando a los estudiantes sobre su trabajo:
¿qué estás haciendo exactamente? ¿Por qué lo estás haciendo? ¿Cómo te ayuda a resolver el
problema? Cuando sea necesario proveer de sugerencias para ayudar a superar bloqueos. Luego
discutir entre todas las distintas estrategias empleadas, relacionar con otros problemas vistos
anteriormente, etc.
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D) Se les propone a los estudiantes un problema. Se lee el enunciado entre todos y se discuten aquellos
términos que presenten confusión. Luego se discuten distintas estrategias para resolver el
problema. El docente actúa como moderador de las propuestas de los estudiantes e incluso avanza
por caminos que no son fructíferos. En caso de llegar a un punto sin salida, pregunta: ¿estamos en el
camino correcto? ¿Cambiamos de rumbo? ¿Qué estrategia podemos emplear ahora?. El objetivo, es
ayudar a los estudiantes a desarrollar mecanismos de control.
Es importante notar, que los distintos heurísticos se aprenden resolviendo problemas variados. A pesar de
que se han realizado numerosos intentos para generalizar los heurísticos para todo tipo de problemas, hoy
se ha comprobado que cada tipo de disciplina y de problema emplea heurísticos particulares que no se
pueden trasladar a otras áreas.
•
Para enseñar matemáticas a través de la resolución de problemas el docente también debe tener la
costumbre de resolver problemas él mismo.
•
Modelar el comportamiento frente a la resolución de problemas, explorando y experimentando junto
con los estudiantes.
•
Crear una atmósfera en la que todos los estudiantes se sientan cómodos probando ideas.
•
Invitar a los estudiantes a explicar sus razonamientos en todas las instancias de la resolución de
problemas.
•
Discutir más de una solución cuando el problema lo requiera y valorar el pensamiento creativo y las
ideas originales.
•
Presentar problemas, cuando corresponda, en los que las situaciones se acerquen a situaciones reales
en riqueza y complejidad.
•
Calidad de problemas y discusión es preferible a cantidad de ejercicios.
•
La mejor manera de aprender algo es descubriéndolo uno mismo.
•
Permitir a los estudiantes aprender a conjeturar y a comprobar.
Cada capítulo del libro comienza con una sección denominada “Revista” que puede emplearse como
disparador del tema a tratar en clase, junto con algunos problemas. El cuerpo del capítulo contiene diversas
estrategias para resolver problemas, especialmente en los problemas resueltos. Para aprovecharlos mejor,
se pueden discutir grupalmente en clase las estrategias para resolverlos, aprovechando el aporte de los
estudiantes. Cabe aclarar, que las soluciones presentadas no son la únicas sino más bien las que me pareció
más importante desatacar en ese momento, por lo que cualquier otra solución válida propuesta por los
estudiantes debe ser más que bienvenida y alentada.
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La lista de problemas que figura al final del capítulo contiene problemas con un grado de dificultad
creciente. Generalmente los primeros presentan cierta guía para ayudar a los estudiantes que aún no están
tan entrenados. A su vez al final del libro figuran algunas ideas y sugerencias que pueden ser de ayuda. Para
estos problemas se pueden aprovechar algunas de las modalidades propuestas anteriormente donde los
estudiantes resuelven los problemas en pequeños grupos (o individualmente) con distinto grado de
intervención del docente.
No se debe esperar que los alumnos resuelvan todos los problemas. Cualquier avance es positivo y debe
alentarse, tanto en el desarrollo de estrategias, como de mecanismos de control, así como también en el
cambio de actitudes hacia la matemática.
En este sentido la actividad de resolución de problemas no debe evaluarse sólo por el resultado. Si algunos
problemas no les salen, lo importante es que muestren el avance que realizaron e indiquen qué entendieron
del problema, qué pudieron calcular y qué no, qué datos necesitarían hallar, etc.
Finalmente, en la sección de “Recreación” encontrarán juegos, actividades y desafíos que sirven para
distenderse y motivar a los estudiantes. No es necesario que su tratamiento quede para el final de la unidad,
sino que es conveniente que se intercale con la resolución de problemas y el estudio de los recursos.
Como complemento del libro, en esta página los estudiantes podrán encontrar material adicional y discutir
en foros las soluciones a los problemas propuestos y otros que se publicarán periódicamente. El hacer
matemáticas es una actividad colectiva, que requiere desarrollo individual, pero también la comunicación de
los hallazgos y la discusión con pares y docentes. Al menos, esa es mi concepción de la educación 2.0 en el
siglo XXI.
Para Mayor información Puede visitar la página Web:
http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html
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